Bładzenie przypadkowe i lokalizacja

Transkrypt

1 Bładzenie przypadkowe i lokalizacja Zdzisław Burda Jarosław Duda, Jean-Marc Luck, Bartłomiej Wacław Seminarium Wydziałowe WFiIS AGH, 07/11/2014

2 Plan referatu Wprowadzenie Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW) Bładzenie przypadkowe o maksymalnej entropii (MERW) Na regularnej sieci: GRW=MERW Losowe defekty na sieci lokalizacja Podsumowanie i spekulacje

3 Zwiazek dyfuzji z ruchami Browna A. Einstein (1905) i M. Smoluchowski (1906) K. Pearson (1905) RANDOM WALK Bładzenie przypadkowe / Bładzenie losowe

4 Zwiazek dyfuzji z ruchami Browna A. Einstein (1905) i M. Smoluchowski (1906) K. Pearson (1905) RANDOM WALK Bładzenie przypadkowe / Bładzenie losowe

5 Zwiazek dyfuzji z ruchami Browna A. Einstein (1905) i M. Smoluchowski (1906) K. Pearson (1905) RANDOM WALK Bładzenie przypadkowe / Bładzenie losowe

6 Lokalizacja P.W. Anderson (1958) Absence of Diffusion in Certain Random Lattice. Efekt kwantowy

7 Lokalizacja P.W. Anderson (1958) Absence of Diffusion in Certain Random Lattice. Efekt kwantowy

8 Bładzenie przypadkowe na grafach P(3 >1) Macierz sasiedztwa: A ij = 1(0), ij sa (nie sa) sasiadami Liczba koordynacyjna: k i = j A ij Prawdopodobieństwo przeskoku: P(i j) = P ij Macierz stochastyczna: 0 P ij A ij ; j P ij = 1

9 Bładzenie przypadkowe na grafach P(3 >1) Macierz sasiedztwa: A ij = 1(0), ij sa (nie sa) sasiadami Liczba koordynacyjna: k i = j A ij Prawdopodobieństwo przeskoku: P(i j) = P ij Macierz stochastyczna: 0 P ij A ij ; j P ij = 1

10 Bładzenie przypadkowe na grafach P(3 >1) Macierz sasiedztwa: A ij = 1(0), ij sa (nie sa) sasiadami Liczba koordynacyjna: k i = j A ij Prawdopodobieństwo przeskoku: P(i j) = P ij Macierz stochastyczna: 0 P ij A ij ; j P ij = 1

11 Bładzenie przypadkowe na grafach P(3 >1) Macierz sasiedztwa: A ij = 1(0), ij sa (nie sa) sasiadami Liczba koordynacyjna: k i = j A ij Prawdopodobieństwo przeskoku: P(i j) = P ij Macierz stochastyczna: 0 P ij A ij ; j P ij = 1

12 Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład:

13 Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład:

14 Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład:

15 Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład:

16 Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład:

17 Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład:

18 Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład:

19 Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład:

20 Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład:

21 Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład:

22 Trajektorie bładzenia przypadkowego γ (t) ab Prawdopodobieństwo: P(γ (t) i 0 i t ) = P i0 i 1 P i1 i 2... P it 1 i t GRW: P(γ (t) i 0 i t ) = 1 k i0 1 k i k it 1 Przykład: P(γ czerwona ) = = 1 P(γ zielona ) = = 1 MERW: P(γ (t) ab ) = F(t, a, b)? 1120 ; 1764 ;

23 Entropia trajektorii S ab,t = γ Γ (t) P(γ) ln P(γ) ab Produkcja entropii (Shannon, McMillan): s GRW = s lim t S ab,t t i k i ln k i 2L Maksymalna entropia: = i π i P ij ln P ij j Nierówność: s max = ln N ab,t t = ln(at ) ab t s GRW s max ln λ max

24 Największa wartość własna - tw. Frobeniusa-Perrona k min λ max k max Nowa nierówność: Example: exp (s GRW ) = ( i k k i i ) 1 2L λ max exp (s GRW ) = 108 1/ ; λ max = (1 + 17)/ ;

25 Równość s GRW = s max exp (s GRW ) = λ max ; Grafy k-regularne; λ max = k; Dwudzielne grafy regularne: λ max = k 1 k 2 ;

26 MERW Wektor własny FP: i ψ2 i = 1 A ij ψ j = λ max ψ i Prawdopodobieństwo przeskoku: j P ij = Prawdopodobieństwo trajektorii: A ij λ max ψ j ψ i P(γ (t) ab ) = 1 ψ b λ t max ψ a Stan stacjonarny: π i = ψ 2 i Produkcja entropii: s MERW = s max = ln λ max

27 MERW Wektor własny FP: i ψ2 i = 1 A ij ψ j = λ max ψ i Prawdopodobieństwo przeskoku: j P ij = Prawdopodobieństwo trajektorii: A ij λ max ψ j ψ i P(γ (t) ab ) = 1 ψ b λ t max ψ a Stan stacjonarny: π i = ψ 2 i Produkcja entropii: s MERW = s max = ln λ max

28 MERW Wektor własny FP: i ψ2 i = 1 A ij ψ j = λ max ψ i Prawdopodobieństwo przeskoku: j P ij = Prawdopodobieństwo trajektorii: A ij λ max ψ j ψ i P(γ (t) ab ) = 1 ψ b λ t max ψ a Stan stacjonarny: π i = ψ 2 i Produkcja entropii: s MERW = s max = ln λ max

29 MERW Wektor własny FP: i ψ2 i = 1 A ij ψ j = λ max ψ i Prawdopodobieństwo przeskoku: j P ij = Prawdopodobieństwo trajektorii: A ij λ max ψ j ψ i P(γ (t) ab ) = 1 ψ b λ t max ψ a Stan stacjonarny: π i = ψ 2 i Produkcja entropii: s MERW = s max = ln λ max

30 GRW vs. MERW na grafie liniowym

31 GRW vs. MERW na grafie liniowym

32 GRW vs. MERW na grafie liniowym

33 GRW vs. MERW na grafie liniowym

34 GRW vs. MERW na grafie liniowym

35 GRW vs. MERW na grafie liniowym

36 GRW vs. MERW na grafie liniowym

37 GRW vs. MERW na grafie liniowym

38 GRW vs. MERW na grafie liniowym

39 Odpychanie od defektów π i = 2 L+1 sin2 iπ L+1 ; i = 1,..., L Odpychanie od punktów końcowych (defektów)

40 Siatka z losowymi defektami

41 MERW na siatce z losowymi defektami 2-wymiarowa siatka + mała ilość defektów: q = ułamek usuniętych krawędzi; Przykład: 40 40; q = 0.001, 0.01, 0.05, 0.1:

42 Przykład 1-wymiarowy + argument Lifshitza graf drabinowy z losowo usuniętymi szczeblami: ψ i+1 + ψ i 1 + r i ψ i = λ max ψ i, r i = 1 z prawdop. p; 0 z (1 p) ; ψ i+1 + ψ i 1 2ψ i + (r i 1)ψ i = (λ max 3)ψ i Lifshitz, Nieuwenhuizen, Luck ( ψ) i + v i ψ i = E 0 ψ i ; v i = 1 r i ; E 0 = 3 λ max lokalizacja na najdłuższej sekwencji szczebli: Lp n (1 p) 2 1 n ln L/ ln p ψ i sin iπ/(n + 1); E 0 π 2 /n 2

43 Przykład 1-wymiarowy + argument Lifshitza graf drabinowy z losowo usuniętymi szczeblami: ψ i+1 + ψ i 1 + r i ψ i = λ max ψ i, r i = 1 z prawdop. p; 0 z (1 p) ; ψ i+1 + ψ i 1 2ψ i + (r i 1)ψ i = (λ max 3)ψ i Lifshitz, Nieuwenhuizen, Luck ( ψ) i + v i ψ i = E 0 ψ i ; v i = 1 r i ; E 0 = 3 λ max lokalizacja na najdłuższej sekwencji szczebli: Lp n (1 p) 2 1 n ln L/ ln p ψ i sin iπ/(n + 1); E 0 π 2 /n 2

44 Przykład 1-wymiarowy + argument Lifshitza graf drabinowy z losowo usuniętymi szczeblami: ψ i+1 + ψ i 1 + r i ψ i = λ max ψ i, r i = 1 z prawdop. p; 0 z (1 p) ; ψ i+1 + ψ i 1 2ψ i + (r i 1)ψ i = (λ max 3)ψ i Lifshitz, Nieuwenhuizen, Luck ( ψ) i + v i ψ i = E 0 ψ i ; v i = 1 r i ; E 0 = 3 λ max lokalizacja na najdłuższej sekwencji szczebli: Lp n (1 p) 2 1 n ln L/ ln p ψ i sin iπ/(n + 1); E 0 π 2 /n 2

45 Przykład 1-wymiarowy + argument Lifshitza graf drabinowy z losowo usuniętymi szczeblami: ψ i+1 + ψ i 1 + r i ψ i = λ max ψ i, r i = 1 z prawdop. p; 0 z (1 p) ; ψ i+1 + ψ i 1 2ψ i + (r i 1)ψ i = (λ max 3)ψ i Lifshitz, Nieuwenhuizen, Luck ( ψ) i + v i ψ i = E 0 ψ i ; v i = 1 r i ; E 0 = 3 λ max lokalizacja na najdłuższej sekwencji szczebli: Lp n (1 p) 2 1 n ln L/ ln p ψ i sin iπ/(n + 1); E 0 π 2 /n 2

46 Przykład numeryczny π i = ψ 2 i for L = 500; q =1 p = 0.01, 0.1. ln Πi ln Πi

47 Test numeryczny E 0 (π ln p / ln L) 2 L = 20,..., 960; q =1 p = 0.1 E0-1/ ln L

48 Sfery Lifshitza dla D > 1 ( ψ) i + v i ψ i = E 0 ψ i ( ψ) i = E 0 ψ i z warunkami Dirichleta w największym obszarze sferycznym bez defektów (SFERA LIFSHITZA); w 2-wymiarach promień sfery R (ln L/(π ln p )) 1/2

49 Podsumowanie GRW maksymalizuje lokalnie (zachłannie) entropię MERW maksymalizuje globalnie entropię trajektorii Podobna filozofia do zasady minimalnego działania GRW = MERW na sieci regularnej Lokalizacja MERW w przypadku losowych defektów Klasyczny przykład lokalizacji Lokalizacja zwiazana jest ze stanami Lifshitza Ciekawa nierówność: ( i k k i i ) 1 2L λ max

50 Podsumowanie GRW maksymalizuje lokalnie (zachłannie) entropię MERW maksymalizuje globalnie entropię trajektorii Podobna filozofia do zasady minimalnego działania GRW = MERW na sieci regularnej Lokalizacja MERW w przypadku losowych defektów Klasyczny przykład lokalizacji Lokalizacja zwiazana jest ze stanami Lifshitza Ciekawa nierówność: ( i k k i i ) 1 2L λ max

51 Podsumowanie GRW maksymalizuje lokalnie (zachłannie) entropię MERW maksymalizuje globalnie entropię trajektorii Podobna filozofia do zasady minimalnego działania GRW = MERW na sieci regularnej Lokalizacja MERW w przypadku losowych defektów Klasyczny przykład lokalizacji Lokalizacja zwiazana jest ze stanami Lifshitza Ciekawa nierówność: ( i k k i i ) 1 2L λ max

52 Podsumowanie GRW maksymalizuje lokalnie (zachłannie) entropię MERW maksymalizuje globalnie entropię trajektorii Podobna filozofia do zasady minimalnego działania GRW = MERW na sieci regularnej Lokalizacja MERW w przypadku losowych defektów Klasyczny przykład lokalizacji Lokalizacja zwiazana jest ze stanami Lifshitza Ciekawa nierówność: ( i k k i i ) 1 2L λ max

53 Zastosowania i spekulacje Kwantowe amplitudy w zakrzywionej czasoprzestrzeni K ab = e S E ; S E t t γ (t) ab Bariery entropiczne i dynamika szkła spinowego; Model quasi-gatunków

54 Zastosowania i spekulacje Kwantowe amplitudy w zakrzywionej czasoprzestrzeni K ab = e S E ; S E t t γ (t) ab Bariery entropiczne i dynamika szkła spinowego; Model quasi-gatunków

55 Zastosowania i spekulacje Kwantowe amplitudy w zakrzywionej czasoprzestrzeni K ab = e S E ; S E t t γ (t) ab Bariery entropiczne i dynamika szkła spinowego; Model quasi-gatunków

56 Dynamika MERW

57 Dynamika MERW

58 Dynamika MERW

59 Dynamika MERW

60 Dynamika MERW

61 Dynamika MERW

62 Dynamika MERW

63 Dynamika MERW

64 Dynamika MERW

65 Dynamika MERW

66 Dynamika MERW