Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile elementów ma T? b) Czy T jest relacj porz dku? c) Czy T jest relacj równowa»no±ci? d) Czy T jest funkcj? e) Opisz tak relacj P,»e T P i P jest relacj liniowego porz dku. Zadanie Sprawd¹,»e nast puj ce relacje s porz dkami na zbiorze liczb {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Dla ka»dej relacji narysuj diagram Hassego i wyznacz elementy minimalne, maksymalne najwi ksze i najmniejsze. a) T 1 = {(x, y) (x < y 1) (x = y)} b) T = {(x, y) (x > y ) (x = y)} c) T 3 = {(x, y) (x y) (x = y)} d) T 4 = {(x, y) ( n N x 3n = y) (x = y)} Zadanie 3 Na zbiorze liczb naturalnych N wprowadzamy relacj τ: (a, b) τ, gdy a < b +. Sprawd¹ czy τ jest relacj : a) symetryczn b) antysymetryczn c) przechodni. Zadanie 4 Na zbiorze liczb naturalnych N wprowadzamy relacj τ: (a, b) τ, gdy a b. Sprawd¹ czy τ jest relacj : a) symetryczn b) antysymetryczn c) przechodni. Zadanie 5 Zbadaj, które z nast puj cych relacji s zwrotne, symetryczne, antysymetryczne lub przechodnie: a) T 1 = {(x, y) R R ; x y} b) T = {(x, y) R R ; x y} c) T 3 = {(x, y) R R ; x + y 0} d) T 4 = {(x, y) R R ; y = x } Zadanie 6 Niech R + = (0, + ) za± T i R R. gdzie T 1 = {(x, y) R + R + ; y (1 + x ) = 1} T = {(x, y) R R + ; y (1 + x ) = 1} T 3 = {(x, y) R + R; y (1 + x ) = 1}
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. T 4 = {(x, y) R R; y (1 + x ) = 1} a) Które z tych relacji s funkcjami? b) Wypisz wszystkie inkluzje mi dzy tymi relacjami. Zadanie 7 Niech Q = {(x, y) ; x + y = 1}. Narysuj wykresy relacji: a) Q b) Q Q c) Q Q Q d) Q 1 e) Q Q 1. Zadanie 8 Niech K = {(x, y) ; x + y 1}. Narysuj wykresy relacji: a) K b) K K c) K K K. d) K 1 e) K K 1. Zadanie 9 Niech f (x) = x + x, g (x) = 3x. a) Wypisz f g i g f. b) Rozwi» równanie f g (x) = g f (x). Zadanie 10 Jako uniwersum rozpatrujemy zbiór K zªo»ony z ksi»ek w bibliotece WSISIZ. Rozpatrujemy form zdaniow : w (x, y) = ksi»ka x ma mniej stron ni» ksi»ka y. T = {(x, y) K K; w (x, y)} Stosuj c kwantykatory zapisz nast puj ce zdania: a) Relacja T jest antysymetryczna. b) Istnieje ksi»ka o najmniejszej liczbie stron. Nast puj ce zdania przetªumacz na j zyk potoczny: c) z x w (x, z). d) x y w (y, x) w (x, y) x y. e) Sprawd¹, czy T jest relacj porz dku. Zadanie 11 Które z nast puj cych relacji okre±lonych na zbiorze liczb caªkowitych Z jest relacj porz dku a która relacj równowa»no±ci: a) m τ n n 3 m, b) m τ n n 4 m 4 = n m, c) m τ n n 3 m n = m. Zadanie 1 Niech σ Q Q b dzie relacj okre±lon wzorem: σ = {(x, y) Q Q x = y } a) Sprawd¹,»e σ jest relacj równowa»no±ci. b) Wypisz wszystkie 1 elementowe klasy abstrakcji. Zadanie 13 Znajd¹ relacj τ a zbiorze A liczb naturalnych mi dzy 1 a 100 speªniaj c warunki: a) τ ma 4 klasy abstrakcji. b) Ka»da klasa abstrakcji τ ma 4 elementy. c) Ka»da klasa abstrakcji τ ma 3 elementy. d) τ ma 3 klasy abstrakcji.
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 3 Zadanie 14 Na zbiorze liczb naturalnych N wprowadzamy relacj τ: (a, b) τ a = b. Sprawd¹ czy τ jest relacj : a) symetryczn b) antysymetryczn c) przechodni. Zadanie 15 Niech A = [0, 1) i B = (, 5]. a) Znajd¹ bijekcj f : A B. b) Opisz f 1. Zadanie 16 Niech A = [, 4) i B = [1, ). a) Znajd¹ bijekcj f : A B. b) Opisz f 1. Zadanie 17{ Niech f : R R b dzie okre±lona wzorem: x f (x) = dla x < 1 3 x dla x 1 a) Naszkicuj wykres f. b) Wypisz f f. c) Znajd¹ f 1. { x Zadanie 18 Niech f (x) = 6x + 10 dla x < 6 x dla x a) Sprawd¹,»e f jest funkcj malej c. b) Znajd¹ f 1. c) Znajd¹ f f. Zadanie 19{ Niech f : R R b dzie okre±lona wzorem: x + 1 dla x 1 f (x) = x + x dla x > 1 a) Naszkicuj wykres f. b) Wypisz f f. c) Znajd¹ f 1. Zadanie 0 Niech f : R R b dzie funkcj okre±lon wzorem: f(x) = (x ). a) narysuj wykres relacji odwrotnej f 1 do f. b) zbadaj czy f 1 jest funkcj. c) opisz obraz odcinka (0; 5) przy przeksztaªceniu f. d) opisz przeciwobraz odcinka (0; 1) przy przeksztaªceniu f. Zadanie 1 a) Znajd¹ funkcj ró»nowarto±ciow przeprowadzaj c odcinek (1; 4) na (1; 3). b) Czy istnieje funkcja speªniaj ca dodatkowo warunek f() =
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 4 Zadanie. Niech A = {1,, 3, 4, 5, 6, 7} a) Ile jest podzbiorów A zawieraj cych, 3 i 5? b) Ile jest permutacji zbioru A nie poruszaj cych ani 3? ( ) 1 3 4 5 6 7 Zadanie 3 Niech g = ( 1 ) 4 3 6 7 5 1 3 4 5 6 7 h = 6 4 1 3 7 5 b d elementami grupy S 7 a) Przedstaw g i h w postaci iloczynów cykli rozª cznych, b) Oblicz rz dy elementów: g, h i gh, c) Zbadaj parzysto± permutacji g, h i gh, d) Przedstaw w postaci iloczynów cykli rozª cznych permutacje g 1, g i g 3. Zadanie 4 Znajd¹ o ile to mo»liwe permutacje zbioru 9-cio elementowego, które s rz du: a) 9, b) 13, c) 14, d) 15, e) 16. Rozwi zania Zadanie 1 a) T = {(1, 1), (1, ), (1, 3), (1, 4), (, ), (, 4), (3, 3), (4, 4)} wi c T = 8. b) Tak. T jest zwrotna bo {(1, 1), (, ), (3, 3), (4, 4)} T. T jest antysymetryczna bo (a, b) T (b, a) T m,n N am = b bn = a abmn = ab mn = 1 m = 1 a = b. T jest przechodnia bo (a, b) T (b, c) T m,n N am = b bn = c amn = c (a, c) T. c) T nie jest relacj równowa»no±ci gdy» nie jest symetryczna (1, ) T (, 1) T. d) T nie jest funkcj gdy» (1, ) T (1, 1) T. e) np. P = {(1, 1), (1, ), (1, 3), (1, 4), (, ), (, 3), (, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} Zadanie a) Zwrotno± wynika z warunku (x = y). Antysymetria: Niech (x, y) T 1 (y, x) T 1 x y. Wtedy { x y 1 y x 1. Sumuj c nierówno±ci otrzymujemy sprzeczno± : x + y y + x zatem (x, y) T 1 (y, x) T 1 x = y. Przechodnio± : Niech (x, y) T 1 (y, z) T 1. 1 0 Je»eli x = y to (y, z) = (y, z) T 1. 0 Je»eli y = z to (y, z) = (x, y) T 1. { x y 1 3 0 Je»eli x y y z to. St d otrzymujemy x y 1 y z 1 z < z 1. Zatem x z 1 i (y, z) = (x, y) T 1. Elementami minimalnymi s 1 i za± maksymalnymi 9 i 10. Nie ma elementów najmniejszych i najwi kszych.
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 5 Rysunek 1: Diagramy Hassego do zadania Zadanie 3 a) τ jest symetryczna bo zawsze n < n +. b) τ nie jest antysymetryczna bo 4 < 3+ 3 < 4+ (4, 3) τ (3, 4) τ. c) τ nie jest przechodnia bo 4 < 3 + 3 < + (4, 3) τ (3, ) τ ale (4, ) τ. Zadanie 4 a) Nie jest (, 4) τ ale (4, ) τ. b) Nie jest (1, 4) τ i (4, 1) τ. c) Nie jest (4, 1) τ i (1, ) τ ale (4, ) τ. Zadanie 5 a) T 1 jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia, nie jest symetryczna. b) T nie jest zwrotna ( 1, 1) T, nie jest symetryczna (, 1) T ale ( 1, ) T, nie jest antysymetryczna (, 1) T i (1, ) T, nie jest przechodnia (4, ) T i (, 1) T ale (4, 1) T. c) T 3 nie jest zwrotna (, ) T 3, jest symetryczna bo x + y = y + x, nie jest antysymetryczna (, 1) T 3 i (1, ) T 3, nie jest przechodnia (4, 5) T 3 i ( 5, 4) T 3 ale (4, 4) T. d) T 4 nie jest zwrotna ( 1, 1) T 4, nie jest symetryczna bo (, 4) T ale (4, ) T, jest antysymetryczna bo: y = x i x = y y = y 4
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 6 y = 0 lub y = 1 x = y, nie jest przechodnia (, 4) T i (4, 16) T 4 ale (, 16) T 4. 1 Zadanie 6 a) T 1 jest funkcj y =. 1+x 1 T jest funkcj y = 1+x. T 3 nie jest funkcj bo (1, ) i (1, ) T 3. T 4 nie jest funkcj bo (0, 1) i (0, 1) T 3. b) T 1 T T 4 i T 1 T 3 T 4. Zadanie 7 a) Q jest okr giem o promieniu 1. b) Q Q = {(x, y) ; z (x, z) Q, (z, y) Q} = {(x, y) ; z x + z = 1, z + y = 1} = {(x, y) ; x = y, x 1}. Wykres jest par przecinaj cych si odcinków. c) Q Q Q = Q d) Q 1 = Q e) Q Q 1 = Q Q. Zadanie 8 a) K jest koªem o promieniu 1. b) K K = {(x, y) ; z (x, z) K, (z, y) K} = {(x, y) ; z x + z 1, z + y 1} = {(x, y) ; x 1, y 1}. Wykres jest kwadratem o wierzchoªkach w punktach (1, 1), ( 1, 1), (1, 1), ( 1, 1). c) K K K = K K d) K 1 = K e) K K 1 = K K. Zadanie 9 a) f g(x) = ( 3x) + ( 3x) = 18x 7x + 8 g f(x) = 3(x + x ) = 6x 3x + 8. b)18x 7x + 8 = 6x 3x + 8 rozwi zania x 1 = 0, x = 1. Zadanie 10 a) x y w(x, y) w(y, x) x = y. b) x y w(y, x). c) Dla dowolnej ksi»ki istnieje taka ksi»ka, która ma co najmniej tyle samo stron. d) Istniej dwie ró»ne ksi»ki o tej samej liczbie stron. e) T nie jest relacj porz dku bo nie jest zwrotna. x (x, x) / T. Zadanie 11 a) τ nie jest relacj porz dku ani relacj równowa»no±ci bo nie jest przechodnia. τ 7 7 τ 9 (, 9) / τ. Zadanie 1 a) x = x (x, x) σ wi c σ jest relacj zwrotn. (x, y) σ x = y y = x (y, x) σ wi c σ jest relacj symetryczn. (x, y) σ (y, z) σ x = y y = z x = z (x, z) σ wi c σ jest relacj przechodni. b) [q] = {q, q} wi c jedyn klas 1 elementow jest [0].
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 7 Zadanie 13 a) Np. τ = {(x, y) A A c x y = 5c}. b) Np. τ = {(x, y) A A c x y = 4c}. c) Nie istnieje. d) Np. klasami abstrakcji s {1}, {} i A \ {1, }. τ = {(x, y) A A x = y (x > y > )}. Zadanie 14 a) τ nie jest relacj symetryczn bo (4, ) τ (, 4) / τ. b) τ jest relacj antysymetryczn bo (a, b) τ a b. c) τ nie jest relacj przechodni bo (16, 4) τ (4, ) τ (16, ) / τ. Zadanie 15 a) Niech f b dzie postaci f(x) = ax + b. Podstawiamy f(0) = a0 + b = 5 i f(1) = a1 + b =. St d f(x) = 3x + 5. b) y = 3x + 5 x = y 5 3 f 1 (y) = y 5 3 Zadanie 16 i f 1 (x) = 5 x 3. a) U»yjmy funkcji logarytm dziesi tny. log((0, 1]) = (, 0]. [, 4) g (0, 1] log h (, 0] [1, ) i wyliczamy f = h log g. np. h(x) = x + 1 i g(x) = 1 x + wtedy f(x) = h log g(x) = h log( 1x + ) = log( 1 x + ) + 1. b) y = log( 1x + ) + 1 y 1 = log( 1x + ) 10 y 1 = 1x + 10 y 1 + 4 = x f 1 (y) = 10 y 1 + 4 i f 1 (x) = 10 x 1 + 4. Zadanie 17 b) I x < 1 y > 1 f f(x) = f(x ) = 3 (x ) = x + 1. II x 1 y 1 f f(x) = f( 3 x) = ( 3 x) = 4x + 1x + 7. { x Odp. f f (x) = + 1 dla x < 1 4x + 1x + 7 dla x 1 c) I x < 1 y > 1 y = f(x) = x x = y + x = y + lub x = y + zªy bo x < 1. II x 1 y 1 y = f(x) = 3 x x = 3 y f 1 (y) =. { 3 y Odp. f 1 (x) = Zadanie 18 dla y < 1 y + dla y 1 { 3 x dla x < 1 x + dla x 1
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 8 { x 6 dla x < a) f (x) = < 0 ponadto x < f(x) > i dla x x f(x) {. 3 b) f 1 1 (x) = x dla x < 3 { x 1 dla x x c) f f (x) = + 1x 14 dla x < 4x 1x + 10 dla x Zadanie 19 { 4x + 3 dla x 1 b) f f (x) = x 4 + 4x 3 + 6x + 4x dla x > 1 { x 1 b) f 1 (x) = dla x 1 x + 1 1 dla x > 1 Zadanie 0 b) nie jest funkcj bo f(1) = f(3). c) f(0) = 4, f(5) = 9 i f() = 0 wi c f ((0, 5)) = (0, 9). d) f 1 (0) =, f 1 (1) = {1, 3} wi c f 1 ((0, 5)) = (1, 3). Zadanie 1 Np. f(x) = 1 + { 3 (x 1). 4 x dla x Tak np. f(x) = + 1 (x ) dla x > Zadanie a) Tyle ile podzbiorów {1, 4, 6, 7} czyli 4. b) Tyle ile permutacji {1, 4, 5, 6, 7} czyli 5!. Zadanie 3 a) g = (1, )(3, 4)(5, 6, 7), h = (1, 6,, 4, 3)(5, 7) b) gh = (1, 7, 6)(, 3) wi c rz g = NW W {,, 3} = 6, rz h = NW W {5, } = 10, rz gh = NW W {3, } = 6. c) ( 1) g = ( 1) 4 = 1 wi c g jest parzysta, ( 1) h = ( 1) 5 = 1 wi c h jest nieparzysta, ( 1) gh= ( 1) 9 = 1 wi c h jest nieparzysta. d) g 1 = (1, )(3, 4)(5, 7, 6), g = (5, 7, 6), g 3 = (1, )(3, 4). Zadanie 4 a) (1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). b) Nie istnieje bo musiaªaby zawiera cykl dªugo±ci 13. c) (1,, 3, 4, 5, 6, 7)(8, 9). d) (1,, 3, 4, 5)(6, 7, 8). e) Nie istnieje bo musiaªaby zawiera cykl dªugo±ci 16.