ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym

Transkrypt

1

2 S t r o n a ZBIÓR ZADAŃ Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym Każdy uczeń, który kończy szkołę ponadgimnazjalną i chce przystąpić do matury, zobowiązany jest do zdawania egzaminu z matematyki na poziomie podstawowym. Spora część maturzystów ma problem z osiągnięciem progu zdawalności - 0%. Założeniem autorów tej pracy jest pomoc nauczycielom oraz uczniom w osiągnięciu tego celu. Zbiór ten jest efektem pracy nauczycieli szkół ponadgimnazjalnych w ramach warsztatów organizowanych przez Samorządowy Ośrodek Doradztwa Metodycznego i Doskonalenia Nauczycieli w Kielcach pod kierunkiem doradcy metodycznego Piotra Leszczyńskiego. Zawiera on typowe zadania z kilku działów matematyki, które często pojawiają się w arkuszach egzaminacyjnych. Zdecydowana większość ćwiczeń tu umieszczonych pomoże nauczycielom w doborze zadań, w których uczniowie będą musieli używać nieskomplikowanych, dobrze znanych obiektów matematycznych oraz dobierać modele matematyczne do prostych sytuacji. Nauczyciele matematyki mają często problem ze znalezieniem zbiorów zadań, w których jest wystarczająca liczba zadań łatwych, pozwalających wyćwiczyć podstawowe umiejętności matematyczne u uczniów z problemami w nauce. Autorzy: Borowiec Katarzyna, Dobosz Beata, Hinc Zofia, Janaszek Agnieszka, Kowalczyk Jadwiga, Leszczyńska Beata, Leszczyński Piotr, Lipska Agnieszka, Lisowska Agnieszka, Macedońska Ludmiła, Mochocka Dorota, Paź Jolanta, Pielas Lidia, Polańska Dorota, Siciarska Kamila, Skucińska Elżbieta, Świąder Dorota, Wołcerz Marta.

3 S t r o n a Spis treści I. POTĘGI I PIERWIASTKI... Odpowiedzi (I)... 7 II. LOGARYTMY I PROCENTY... 9 Odpowiedzi (II)... 0 III. PROCENTY... Odpowiedzi (III)... IV. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE... Odpowiedzi (IV)... V. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI... 5 Odpowiedzi (V)... 9 VI. FUNKCJE... 0 Odpowiedzi (VI)... 5 VII. FUNKCJA LINIOWA... 7 Odpowiedzi (VII)... VIII. FUNKCJA KWADRATOWA... 4 Odpowiedzi (VIII)... 6 IX. CIĄGI LICZBOWE... 7 Odpowiedzi (IX)... 8 X. CIĄG ARYTMETYCZNY... 9 Odpowiedzi (X)... 4 XI. CIĄG GEOMETRYCZNY... 4 Odpowiedzi (XI)... 4 XII. CIĄG ARYTMETYCZNY I GEOMETRYCZNY Odpowiedzi (XII) XIII. GEOMETRIA ANALITYCZNA Odpowiedzi (XIII)... 48

4 S t r o n a I. POTĘGI I PIERWIASTKI Zadanie. Oblicz: a) 6 5 b) 5 8 : 5 40 c) ( ) : ( 8 7 ) d) 7 ( 9 ) e) f) ( )70 ( 4 )70 g) 9 h) 4 4 i) ( 7 ) ( 7 ) j) ( 5 )7 ( 5 )5 k) 4 6 ( 4 )6 l) ( 7 )4 ( 7 ) m) ( )6 : ( )4 : n) 5 : ( 5 )4 5 o) 4 [( 4 ) : 4 0 ] p) [( ) ] 4 q) 8 4 Zadanie. Oblicz: a) b) c) d) 7 5 7:7 e) f) 5 ( ) Zadanie. Oblicz: a) 7 5 b) c) ( ) 4 d) e) 8 ( )7 f) g) (6 ) h) (4 ) i) 8 9 j) k) l) (5 ) 4 5 (5 4) m) ( 7 ) n) 4 4 ( ) 7 r) s) ( ) o) ( ) 4 p) ( ) 5 t) Zadanie 4. Oblicz: a) e) f) i) j) b) c) g) d) h)

5 4 S t r o n a Zadanie 5. Oblicz: a) 06 ( ) 0 7 b) c) d) e) g) h) k) l) n) o) f) i) m) Zadanie 6. Zapisz w postaci potęgi o podstawie naturalnej: a) ( ) b) (4 : 4 ) c) 5 4 : 5 05 d) (69 ) 4 : 7 e) 8 : 64 f) (5 ) 6 g) 0 : ( 8 4 ) h) 5 (56 5 ) i) (0,5) 4 : 8 8 j) ( 9 ) 7 6 k) ( 4 ) : 4 l) 7 : 8 5 m) 8 4 n) ( 7 ) 5 8 o) 5 (5 4 ) 0,5 04 ( ) p) ( 4 ) 4 8 (7 ) 6 q) (5 4 r) (5 ) 4 5 4) s) t) u) w) 49 7 z) + + x) Zadanie 7. Oblicz: a) 9 b) 8 c) 6 4 d) 8 e) 5 f) 6 4 g) 6,5 h) 6 4 i) 44 j) 49 k) ( 7 ) l) (0,5) m) 9,5 n) 65 4 o) 0,006 0,5

6 5 S t r o n a Zadanie 8. Oblicz: a) b) 64 6 d) ( 9 4) : ( ) 4 e) (64 ) 8 c) f) + 4 Zadanie 9. Zapisz w postaci potęgi o podstawie naturalnej: a) b) c) 6 : ( ) d) 6 5 e) ( 4) 4 6 f) 4 4 g) 5 j) 6 5 h) ( ) 8 i) 8 5 k) 0,5 6 l) 4 4 m) 6 4 p) 5 n) 9 q) o) 4 5 Zadanie 0. Uzasadnij, że liczba x jest podzielna przez liczbę m: a) x = ; m =, b) x = ; m = 57, c) x = ; m =, d) x = ; m = 7, e) x = ; m = 9, f) x = ; m =, g) x = ; m = 9, h) x = ; m = 5, i) x = ; m =, Zadanie. Uzasadnij, że liczba x jest liczbą naturalną: a) x = b) x = c) d) x = e) x = f)

7 6 S t r o n a Zadanie. a) Przedstaw sumę w postaci potęgi liczby. b) Wykaż, że liczba jest parzysta. c) Wykaż, że liczba jest nieparzysta. d) Uzasadnij, że liczba 8 6 Zadanie. Oblicz: 4 jest o 5 mniejsza od pola kwadratu o boku. a) 6 b) 8 d) 5 e) c) f) g) h) i) ( ) j) ( 5) ( + 5) k) ( + ) ( ) l) 4 8 m) n) o) Zadanie 4. Uzasadnij, że + = +. Zadanie 5. Wykonaj działania i przedstaw w najprostszej postaci: a) ( 5 ) b) (4 4 ) c) ( ) + 4 d) e) ( 4 )(4 + ) f) g) ( 5 ) ( + 5 ) h) ( 7 50) i) Zadanie 6. Usuń niewymierność z mianownika: a) d) f) d) 6 i) l) 5 b) + 7 g) 5 6 c) e) 6 5 j) + h) k) Zadanie 7. Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku długości + 6.

8 7 S t r o n a Odpowiedzi (I). a) b) 5 c) d) 7 e) 4 f) g) 8 h) 4 i) j) 4 5 k) l) 7 m) 8 n) 5 o) 04 p) 4 q). a) 6 b) 6 c) 7. d) 7 e) 65 f) 4 9 a) 8 g) 69 b) 7 h) 6 i) 9 c) 8 d) 5 e) j) 4 04 k) 7 l) f) m) n) o) 8 p) r) 64 s) t) 6 4. a) 9 b) 5 c) 6 8 d) 6 9 e) 49 f) g) 5 h) 5 i) 5 6 j) 5. a) 0000 b) 5 c) 7 d) 4 e) 5 f) 7 g) 9 n) 5 o) 7 6. h) 5 i) k) l) 8 m) a) 4 b) 4 7 c) 5 9 d) 7 e) 8 5 f) 0 6 g) h) 5 4 i) 6 j) k) 4 l) 99 m) n) o) 5 p) 7 q) 5 7 r) 0 s) 5 t) 6 u) 0 w) 7 7 z) x) 5 7. a) b) c) d) 4 e) 5 f) 8 g) 64 h) 8 i) j) 4 k) 9 l) 8 m) 7 n) 5 o) 5 8. a) 4 b) 8 c) d) e) 64 f) 6

9 8 S t r o n a 9. a) 5 5 b) 9 c) d) e) 8 5 f) g) h) i) 8 j) k) 5 l) m) n) 5 9 o) 5 8 p) 5 4 q) 5 8. a) b) 4 c) 0 d) 9 e) 4 f) 0 g) 0 h) i) j) k) 79 l) m) n) 0 7 o) a) b) 0 c) 0 6 d) 6 e) 47 f) 6 g) h) 8 i) 6 7. P = 5 +6.

10 9 S t r o n a II. LOGARYTMY I PROCENTY Zadanie. Oblicz: a) log 7 b) log c) log 5 5 d) log 5 65 e) log 4 f) log g) log 8 h) log i) log 64 j) log (log 4 6) k) log (log 8) l) log (log 0) Zadanie. Oblicz: a) log 9 d) log 5 5 b) log 7 e) log 8 c) log 4 64 f) log g) log 0,0 h) log 5 0,04 i) log 0, 0 Zadanie. Oblicz: a) log b) log 64 4 c) log 5 5 d) log 5 5 e) log 64 f) log 7 9 g) log 9 7 h) log 5 i) log 64 5 j) log 5 log 4 k) log + log 6 l) log log Zadanie 4. Oblicz: a) log log 7 b) log 8 + log 4 c) log 0 + log 5 d) log 5 + log 0, e) log 00 + log 5 f) log log 5 g) log 5 00 log 5 4 h) log 5 50 log 5 i) log 48 log j) log 4 60 log 4 5 k) log 5 0 log 5 6 l) log 6 log 7 6 m) log + log 6 6 n) log 8 log 4 64 o) log 7 log 8 p) 4 log 7 5 log 8 q) log 7 r) log 4 8 Zadanie 5. Oblicz: a) log 8 + log 4 b) log 6 + log 6 4 c) log 5 log 5 d) log 6 log 9 e) log + log 5 f) log 5 + log 4 log 5 g) log 7 log 6 + log 6 h) log 5 + log 4 log 5 i) log log 7 log 8 log 6

11 0 S t r o n a j) log (log 40 + log 5) k) log 5 9 : log 5 l) log 8 log 6 6 m) log n) ( )log 5 o) 8 log p) +log 5 q) 5 log 5 r) 7 log 7 65 Odpowiedzi (II). a) b) 5 c) 4 d) 4 e) 4 f) g) 4 h) i) 8 j) k) l) 0. a) b) c) d) e) f) 5 g) h) i). a) b) c) d) e) 5 6 f) g) h) i) 5 6 j) k) l) 4. a) b) 5 c) d) e) f) g) h) i) 4 j) k) l) m) n) 6 o) 0 p) q) r) 5. a) 4 b) c) 0 d) e) f) g) 5 h) 4 i) j) k) l) m) n) 5 o) 7 p) 0 q) 65 4 r) 5 49

12 S t r o n a III. PROCENTY Zadanie. Cenę towaru 00 zł obniżono o pewien procent. Jego cena po obniżce wynosi 840 zł. O ile procent obniżono cenę towaru? Zadanie. Kuba zapłacił 8,90 zł za bilet z 7% zniżką. Jaka jest cena biletu bez obniżki? Zadanie. Do ceny napoju doliczono % podatek VAT w wysokości 0,9 zł. Jaka jest cena netto napoju? Zadanie 4. Towar z % podatkiem VAT kosztował 50 zł. Ile kosztuje ten towar po wzroście podatku do %? Zadanie 5. o 40%? O ile procent wzrośnie pole trójkąta równobocznego, którego bok zwiększymy Zadanie 6. Po dwóch obniżkach, za każdym razem o 5%, cena płaszcza jest równa 0 zł. Oblicz ile kosztował płaszcz przed obniżkami. Zadanie 7. 44% pewnej liczby wynosi 74. Oblicz tę liczbę. Zadanie 8. Towar wraz z % podatkiem VAT kosztuje 460 zł. Oblicz cenę towaru bez podatku VAT. Zadanie 9. W klasie jest 0 osób, w tym dziewcząt. Jaki procent klasy stanowią chłopcy? Zadanie 0. Płaszcz kosztował 0 zł. Jego cenę obniżono o 0%, a następnie podwyższono o 0%. Jaka jest obecnie cena płaszcza? Zadanie. 5% słuchaczy na uniwersytecie uczy się tylko języka francuskiego, 5% tylko języka niemieckiego, a pozostałe 60 osób uczy się tylko języka angielskiego. Ile osób liczy grupa języka francuskiego? Zadanie. Cenę pewnego towaru obniżono dwukrotnie po 5%. O ile procent obniżono cenę? Zadanie. Cenę sukienki podwyższono o 0%, a następnie obniżono o 0%. O ile procent zmieniono cenę sukienki? Zadanie 4. Cena sukienki po 0% podwyżce wynosi zł. Jaka była pierwotna cena sukienki? Zadanie 5. Cena brutto pewnego towaru wynosi 07,50 zł (podatek VAT wynosi %). Oblicz cenę netto. Odpowiedzi (III). 0%. 0 zł. 4 zł 4. 5, zł 5. 96% 6. 44,9 zł zł 9. 60% 0. 8,60 zł. 5. 7,75%. 4% 4. 0 zł 5 50 zł

13 S t r o n a IV. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Zadanie. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci: a) ( x) b) (x + ) c) ( x ) d) ( x) e) (x + 5) f) ( x + 4) g) 5 (x ) h) 6 (x ) i) ( x) j) ( x)(x + ) k) (5 x)(5 + x) l) (x )(x + ) Zadanie. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci: a) (5x ) (x 5) b) (4 x)(x + 4) (x ) c) ( x + 4) (x ) d) (x + y + ) e) ( y 4 ) + (4 y + ) f) ( x + ) ( x 5) ( x + 5) Zadanie. Wykonaj działania: a) ( )( + ) b) ( 5 ) c) (5 5) d) ( + ) e) ( 4)( + ) f) ( 6 )( ) g) ( + ) h) ( + ) i) ( ) ( )( + ) Zadanie 4. Oblicz wartość wyrażenia: a) x x dla x = b) x x dla x = c) x x dla x = d) x x 4 dla x = e) x + 5x dla x = f) x + 5x dla x = g) x x + 5 dla x = h) x x + 5 dla x = i) x 5 x 4 + x dla x = j) x 5 x 4 + x dla x = k) (x )(x + ) (x ) dla x = l) ( + 4x)( 4x) (x + ) dla x = m) (5x + ) (x ) dla x = n) x +x+ (x )(x+) 4 dla x =

14 S t r o n a Zadanie 5. Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x oraz każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność: a) 5x + y 0xy b) 4x xy + y 0 c) 4x 6x > 9 d) x(x 8y) 8y e) x + 4xy + 5y (y ) f) 5y + x 4xy + 4y 4 g) x + 5y 0xy + 6x Zadanie 6. Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej x oraz każdej liczby rzeczywistej dodatniej y prawdziwa jest nierówność: a) 5x y 0 y x b) 9x 4y y x c) x y + y 4x d) 4x + 5y > 4x 5y Odpowiedzi (IV). a) x 6x + 9 b) x + x + c) 4x + x + 7 d) 4x x + 9 e) x 0x 50 f) x + 8x + g) x + x + 4 h) 4x + x i) 8x + x j) 4x k) 9x 5 l) x. a) 4x 4 b) x + 6x + 5 c) 5x x + 7 d) x + 4y + 4xy + x + 4y + e) y + 6 y f) x + 9. a) 6 b) 6 5 c) d) e) + f) 6 4 g) 7 h) 7 + i) 6 6

15 4 S t r o n a 4. a) 8 b) c) d) 0 e) 6 f) g) 5 0 h) i) j) 8 k) l) m) n) 5. Wskazówki a) (5x y) 0 b) (x y) + y 0 c) (x 4) + > 0 d) (x 4y) 0 e) (x + y) + (y ) 0 f) (y x) + (y ) 0 g) (x ) + (x 5y) 0 6. Wskazówki a) (5x y) 0 b) (x y) 0 c) (x y) 0 d) (x 5y) + > 0

16 5 S t r o n a V. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Zadanie. Sprawdź, które z podanych liczb należą do zbioru rozwiązań nierówności: a) 5x 0 ; ; 0; ; 5 5 b) 4x < 0 7; ; 5 Zadanie. Sprawdź, czy dana liczba x 0 spełnia równanie: a) x x = 0 x 0 = b) x 4 5x + 4 = 0 x 0 = c) x+ = 0 x 0 = Zadanie. Sprawdź, która z liczb: a = ; b = ; c = + ; d = 5 należy do zbioru rozwiązań nierówności: a) x 5 x+ b) 5 6 x x 8 x 6 Zadanie 4. Sprawdź, czy dana liczba należy do zbioru rozwiązań nierówności: a) (x ) 4(x ) + x 0 = b) (x ) (x ) 0 x 0 = c) x 5 7 x 0 = Zadanie 5. Sprawdź, które z podanych obok równania liczb są jego pierwiastkami: a) x = 5x ; 0; 5; 5 b) x 6x + = ; ; c) (x + ) = ( + 4 x) ; ; 0 4 d) x (x + ) = x 8 9; ; ; 7

17 6 S t r o n a Zadanie 6. Rozwiąż nierówności: a) x > b) x < x+ x 6 c) x 6 < x 4 + d) 4 < 5x 9 e) x < f) 4 (x ) > (x + ) g) 9(x + ) < (x )(x + ) h) (x 5) > x(x 5) i) x +x 4x+ < x j) x + < 4x 6 4 Zadanie 7. Rozwiąż równania: a) (x ) (x + ) = x + 4 b) (4x ) = c) ( x) = x(x ) Zadanie 8. Rozwiąż nierówności: a) x( + x) 0 b) x x > c) x + 5 > 0 d) 5x(x + ) > x 4 e) x(x 4) < 0 f) x 5x + > 0 g) x < 4 h) x x 6 i) 8 > x j) (x )(4 x) > 0 l) x 0x (x 5)(x + ) m) (x ) > x(5x 6) n) 7 (x ) > 8 o) (x ) 4x + 4 Zadanie 9. Rozwiąż równania: a) x = 5 b) x = 64 c) x = 0 d) x + 7 = 0

18 7 S t r o n a e) x(x + )(x 7) = 0 f) (x 7)(x + ) = 0 g) x(x 5x + 6) = 0 h) x (x )(4 x) = 0 i) x(x 4 + )(x 6) = 0 j) (x 5)(x + 4x) = 0 k) (x 8)(x 5 + ) = 0 Zadanie 0. Rozwiąż równania: a) x+6 x 9 = 0 c) x+ x 5 = 7 x b) = x+4 x+ d) = x 5 e) (x 6)(x ) (x+4)(x ) g) x +4x+ x+ = 0 f) x 5x 4x 8 = h) x 8x 9 x+ = = x 9 Zadanie. Oblicz sumę pierwiastków równania: a) x(x + )(4 5x) = 0 b) (x 5)(x + ) = 0 c) (x 64)(x + 4) = 0 d) x(x 5) = 0 e) (5x + 5)(x )(x + 8) = 0 f) (x + 4)(x )(5x + ) = 0 g) (5 x ) (x ) (x + 4 ) = 0 Zadanie. Wyznacz liczbę rozwiązań rzeczywistych równania: a) (x + )(x + 4) = 0 b) (x 9)(x + ) = 0 c) x(x + 7)(x 0)(x + 4) = 0 d) (4x 9)(x + ) = 0 e) (x + 5)(x ) = 0 f) (x 5)(x + ) = 0 Zadanie. Podaj najmniejszą liczbę będącą rozwiązaniem równania: a) x (x + )(x ) = 0 b) x(x 6) = 0 Zadanie 4. Wyznacz największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność x + < 0. 5

19 8 S t r o n a Zadanie 5. Na rysunku przedstawiono graficzną ilustrację układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y. Wskaż ten układ: a) b) c) x + y = 6 A. { x y = 4 y = x + A. { x + y = 7 y = x A. { y = x + y = y = x + 7 B. { x y = 4 B. { y = 4x y = x B. { y = 0 x + y = 5 C. { x y = x + y = D. { x y = 4 y = x + 7 C. { y = x y = x D. { y = x + 7 y = x + C. { y = x + 4 y = x + D. { y = Zadanie 6. Wyznacz a i b, gdy rozwiązaniem układu równań jest para liczb x i y: ax y = a) { ax + by = 7 ; {x = y = ax y = 6 b) { b ay = 0 ; = {x y = Zadanie 7. Zapisz układ równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y mając przedstawioną graficzną ilustrację układu: a) b) c) d)

20 9 S t r o n a Odpowiedzi (V). a) x = ; x = b) x = 5 5. a) TAK b) NIE c) TAK. a) x ; d b) x 4; d 4 4. a) TAK b) NIE c) TAK 5. a) x = 0, x = 5 b) x = c) x = 4 d) x = 6. a) x ( ; ) b) x R c) x d) x (; 4 e) x ( ; 5) f) x ( ; 0) g) x ( ; 5 9 ) h) x ( ; 5) i) x ( ; 7 5 ) j) x 7. a) x {, } b) x {0, } c) x {, 4} 8. a) x ; 0 b) x ( ; ) (; + ) c) x R d) x ( ; ) ( ; + ) e) x (0; 4) f) x ( ; 5 ) ( 5+ ; + ) g) x R h) x ( ; ; + ) i) x ( 9; 9) j) x ( 4 ; ) l) x ( ; 5; + ) m) x ( ; ) n) x (0; ) o) x ( ; ; + ) 9. a) x = 5 b) x = 4 c) x = d) x = e) x {, 0, 7} f) x {, } g) x {0,, } h) x {0,, 4 } i) x {0, 6, 6} j) x { 5, 5, 0, 4} k) x {, } 0. a) x b) x c) x = 6 d) x = 7 8 e) x {, 4} f) x = 5 g) x = h) x R { }. a) 7 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 6 f) 5 g) 5 4. a) 0 b) c) 4 d) e) f). a) b) a) A b) B c) B 6. a) a =, b = b) a =, b = y = x + 7. a) { y = x + y = b) { x y = x + c) { y = x + 4 y = x + d) { y = 4 x + y = x +

21 0 S t r o n a VI. FUNKCJE Zadanie. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x), Odczytaj z wykresu a) dziedzinę funkcji, b) zbiór wartości funkcji c) miejsca zerowe funkcji, d) maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca, e) maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca, f) maksymalny przedział, w którym funkcja jest stała, g) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, h) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, i) argument, dla którego wartość funkcji wynosi, j) wartość funkcji dla argumentu, k) naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(x + ), l) naszkicuj wykres funkcji h(x) = f(x), Zadanie. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).

22 S t r o n a Naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(x ), a) podaj dziedzinę funkcji g, b) podaj miejsca zerowe funkcji g, c) określ maksymalne przedziały, w których funkcja g jest rosnąca, d) określ maksymalne przedziały, w których funkcja g jest malejąca, e) określ maksymalne przedziały, w których funkcja g jest stała, f) podaj argumenty, dla których funkcja g przyjmuje wartość. Zadanie. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Odczytaj z wykresu a) dziedzinę funkcji, b) zbiór wartości funkcji c) miejsca zerowe funkcji, d) maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca, e) maksymalne przedziały, w których funkcja jest malejąca, f) maksymalne przedziały, w których funkcja jest stała, g) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, h) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, i) argumenty, dla których wartość funkcji wynosi, j) wartość funkcji dla argumentu, k) f( ) f(0) + f(4) l) zbiór wartości funkcji g(x) = f(x)

23 S t r o n a Zadanie 4. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). a) Wyznacz dziedzinę funkcji: g (x) = f( x), g (x) = f(x + ) g (x) = f(x) 4 b) Wyznacz zbiór wartości funkcji: h (x) = f(x), h (x) = f(x ) h (x) = f(x) + c) Wyznacz miejsca zerowe funkcji: m (x) = f( x), m (x) = f(x + ) m (x) = f(x) + Zadanie 5. Poniżej przedstawione są wykresy funkcji y = f(x).

24 S t r o n a Naszkicuj wykresy funkcji: a) g (x) = f(x) + b) g (x) = f(x) c) g (x) = f(x + ) d) g 4 (x) = f(x ) e) g 5 (x) = f( x) f) g 6 (x) = f(x + ) W każdym przypadku zapisz dziedzinę oraz zbiór wartości funkcji. Zadanie 6. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym przedziale: a) 7; 6 b) ; c) ; d) ; 6 Zadanie 7. Oblicz wartość funkcji f dla podanych obok argumentów. a) f(x) = 4, {,, x } b) f(x) = x4, {,, } x 8 + c) f(x) = x 5 x x, {,, } d) f(x) = x x+ x, {,, } Zadanie 8. Wyznacz miejsca zerowe funkcji f. a) f(x) = x + 5 d) f(x) = x x b) f(x) = x + 4 c) f(x) = x + 8 e) f(x) = x 4 x g) f(x) = x + h) f(x) = x +x 4 x x +6x 7 f) f(x) = x 49 (x )(x 7) i) f(x) = x 4x+4 x 6 Zadanie 9. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej dwucyfrowej sumę kwadratów cyfr tej liczby. Wówczas: A. f(5) = 49 B. f(5) = 9 C. f(5) = D. f(5) = Zadanie 0. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej dodatniej liczbę jej naturalnych dzielników. Wówczas: A. f(4) = 4 B. f(4) = 7 C. f(4) = 8 D. f(4) = 9

25 4 S t r o n a Zadanie. Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x 6. Wówczas wartość funkcji f dla argumentu x = jest równa: x A. B. C. D. 9 Zadanie. Wykres funkcji f(x) = x przesunięto wzdłuż osi OX o jednostki w kierunku ujemnym i otrzymano wykres funkcji g. Wzór funkcji g można zapisać w postaci: A. g(x) = x+ B. g(x) = x C. g(x) = x D. g(x) = x + Zadanie. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej dodatniej nie większej od 9 liczbę do niej przeciwną powiększoną o. a) Podaj wzór funkcji. b) Podaj zbiór wartości funkcji. c) Podaj miejsca zerowe funkcji. Zadanie 4. Funkcja f określona jest wzorem f(x) = Oblicz: a) f( ) b) f( ) x x 4 + dla każdej liczby rzeczywistej x. Zadanie 5. Dana jest funkcja: a) f(x) = x b) f(x) = x+ c) f(x) = (x ) d) f(x) = x x Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz wartość tej funkcji dla argumentu 5. Zadanie 6. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej dwucyfrowej cyfrę jedności jej kwadratu. Podaj zbiór wartości tej funkcji.

26 5 S t r o n a Odpowiedzi (VI). a) ( ; b) ; c) d) ( ; e) 0; f) ; 0 g) ( ; ) h) (; i) j) k) l). a) ( 4; 6 b) {, 5} c) ( 4; oraz ; 0 d) ; oraz 4; 6 e) ; oraz ; 4 f) x = 6. a) ( 5; 6 b) ; 4) c),, 6 d) ; 4 e) ( 5; 4, ; 0, 4; 6 f) 4;, 0; g) x ( 5; ) (; 6) h) x ( ; ) i) x 4; j) k) 9 l) 5 ; ) 4. a) D g = 6; 8 D g = ; D g = 8; 6 b) ZW h = ; ZW h = ; ZW h = ; 6 c) m : x = 4, x = 7 m : x = 9, x = 6 m : x = 6 5. Rys.. D g = ; 5), ZW g = (; 4 D g = ; 5), ZW g = ( ; 0 D g = 4; 4), ZW g = (0; D g4 = 0; 8), ZW g4 = (0; D g5 = ( 5;, ZW g5 = ( ; 0 D g6 = 4; 4), ZW g6 = 5; ) Rys.. D g = ( 4; 4, ZW g = ( ; 4 D g = ( 4; 4, ZW g = ( 5; 0 D g = ( 5;, ZW g = ( ; D g4 = ( ; 7, ZW g4 = ( ; D g5 = 4; 4), ZW g5 = ( 5; 0 D g6 = ( 5;, ZW g6 = 5; 0) Rys.. D g = ( ; 4, ZW g = ; 4 D g = ( ; 4, ZW g = ; 0 D g = ( 4;, ZW g = 0; D g4 = (0; 7, ZW g4 = 0; D g5 = 4; ), ZW g5 = ; 0 D g6 = ( 4;, ZW g6 = 5; Rys.4. D g = ( ; 4), ZW g = ; 4) D g = ( ; 4), ZW g = 5; 0) D g = ( 4; ), ZW g = ; ) D g4 = (0; 7), ZW g4 = ; ) D g5 = ( 4; ), ZW g5 = 5; 0) D g6 = ( 4; ), ZW g6 = ( 5; 0

27 6 S t r o n a 6. a) y MIN = 4, y MAX = 6 b) y MIN =, y MAX = c) y MIN =, y MAX = d) y MIN = 0, y MAX = 6 7. a) f() =, f ( ) = 7 f( ) = 4 7 b) f() = f( ) = f( ) = 4 7 c) f( ) = f( ) = 0 f( ) = 5 4 d) f( ) = 5 f( ) = f( ) = 8. a) x = 5 b) x = c) x = d) x = e) x = f) x = 7 g) x = 4 h) x = 4 i) x φ 9. B 0. C. A. A. a) f(x) = x +, gdzie x {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b) ZW f = { 6, 5, 4,,,, 0,, } c) x 0 = 4. a) b) 5. a) D f = ;+ ), f(5) = b) D f = R\{ }, f(5) = 4 c) D f = R, f(5) = 9 d) D f = R\{}, f(5) = 5 6. ZW f = {0,, 4, 5, 6, 9}

28 7 S t r o n a VII. FUNKCJA LINIOWA Zadanie. Dla jakiej wartości m miejscem zerowym funkcji f(x) = (4 m)x + 8 jest liczba? Zadanie. Podaj miejsce zerowe funkcji y = (x + ) 6. Zadanie. Dla jakiego a do wykresu funkcji y = 4x + a należy punkt ( ; )? Zadanie 4. Dla jakiego m proste o równaniach y = (m )x + 7 i y = (6 + m)x są równoległe? Zadanie 5. Oblicz współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach: 4x + y = i y = x +. Zadanie 6. Oblicz miejsce zerowe funkcji liniowej f(x) = (x + ). Zadanie 7. Dana jest funkcja f(x) = x +. Oblicz: f( ) f(). Zadanie 8. Znajdź wzór funkcji liniowej f o której wiadomo, że f() =, f() =. Zadanie 9. Dana jest funkcja opisana wzorem y = ( m)x + m, gdzie x R: a) dla jakich m funkcja jest malejąca? b) dla jakich m wykres funkcji przecina oś OY poniżej osi OX? Zadanie 0. Dana jest funkcja liniowa określona wzorem f(x) = x + 7. Napisz wzór funkcji, której wykres jest: a) równoległy do wykresu podanej funkcji i przechodzi przez punkt M = ( ; ); b) prostopadły do wykresu podanej funkcji i przechodzi przez punkt M = ( ; ). Zadanie. Dana jest funkcja y = 4x + : a) wyznacz punkty przecięcia się wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych; b) wyznacz wartość funkcji dla x = ;

29 8 S t r o n a c) wyznacz zbiór wszystkich argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości nie większe niż 5. Zadanie. Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x) = x +. Napisz wzór funkcji g, której wykres powstaje w wyniku przekształcenia wykresu funkcji f przez: a) symetrię osiową względem osi OX; b) symetrię osiową względem osi OY. Zadanie. Napisz wzór funkcji liniowej, gdy y = 5x + b i miejsce zerowe x 0 =. Zadanie 4. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt A = ( ; ) i jest prostopadły do wykresu funkcji y = x. Zadanie 5. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji y = x 4 i przechodzi przez punkt A = (6; ). Zadanie 6. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji f(x) = x + i przechodzi przez punkt P = (4; ). Zadanie 7. Napisz wzór funkcji liniowej, wiedząc że do jej wykresu należą punkty A i B takie, że: a) A = ( 4; ), B = (0; ) b) A = ( ; 8), B = (4; 8) Zadanie 8. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres tworzy z osią OX kąt α = 50 i jej miejscem zerowym jest liczba. Zadanie 9. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przecina oś OY w punkcie (0; 8) oraz przyjmuje wartości dodatnie dla x <. Zadanie 0. Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji liniowej. Odczytaj z rysunku odpowiednie dane i napisz wzór tej funkcji.

30 9 S t r o n a Zadanie. Wyznacz wzór funkcji liniowej, o której wiadomo, że f( ) = 4 oraz do wykresu funkcji należy punkt P = (; ). Zadanie. Dana jest funkcja f(x) = 4x + 7. Oblicz f ( ) f(). Zadanie. Określ monotoniczność funkcji f: a) f(x) = (π,4)x + b) f(x) = ( )x 4 Zadanie 4. Wyznacz m, dla którego podana f jest malejąca: a) f(x) = ( m 4) x + 7 b) f(x) = (m 9)x Zadanie 5. Wyznacz współczynnik b, jeżeli: a) miejscem zerowym funkcji f(x) = x + b jest b) wykres funkcji f(x) = 4x + b przechodzi przez punkt P = ( ; ) c) funkcja f(x) = x + b ma takie samo miejsce zerowe jak funkcja g(x) = x + Zadanie 6. Wyznacz miejsce zerowe funkcji: a) f(x) = x 8 b) f(x) = 7 + 5x

31 0 S t r o n a c) f(x) = x + d) f(x) = 5 x e) f(x) = x + f) f(x = x + g) f(x) = (x 4) 8 Zadanie 7. Dla jakich m funkcja: a) f(x) = ( m)x + jest rosnąca? b) f(x) = ( m)x + jest malejąca? c) f(x) = (,0 + 0,m)x + jest stała? Zadanie 8. Znajdź wzór funkcji liniowej f, której współczynnik kierunkowy a =, a jej wykres przechodzi przez punkt P = (; 5). Zadanie 9. Dla jakiego m liczba jest miejscem zerowym funkcji f(x) = x + m. Zadanie 0. Funkcje f(x) = x + oraz g(x) = x + b mają takie samo miejsce zerowe. Wyznacz współczynnik b funkcji g. Zadanie. Do wykresu funkcji liniowej f(x) = x + 5 należą punkty A = (a; ) oraz B = ( ; b). Oblicz brakujące współrzędne punktów A i B. Zadanie. Funkcja liniowa przecina oś OY w punkcie (0; ) i jest nachylona do osi OX pod kątem 45. Napisz wzór tej funkcji. ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. Funkcja liniowa f(x) = (m 9)x + m jest rosnąca dla: A. m {, } B. m ( ; ) C. m ( ; ) (; + ) D. m R Zadanie 4. Do wykresu funkcji liniowej f(x) = ax należy punkt A = ( 4; ). Liczba a wynosi: A. a = B. a = 5 C. a = D. a =

32 S t r o n a Zadanie 5. Wskaż wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji y = x : 5 A. y = x B. y = x + 6 C. y = 5x + D. y = 5x 5 5 Zadanie 6. Wskaż wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji y = x + : A. y = x + 6 B. y = 8 x C. y = 8 x + D. y = 8 x Zadanie 7. Liczba 4 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (4 m)x + 8. Wynika stąd, że: A. m = 4 B. m = 4 C. m = D. m = Zadanie 8. Dana jest funkcja liniowa f(x) = x + 6. Miejscem zerowym tej funkcji jest: 8 A. 5 B C D. 5 Zadanie 9. Dana jest funkcja liniowa f(x) = x +. Wskaż zdanie prawdziwe: 6 A. Funkcja jest malejąca. B. Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (; 0). C. Miejscem zerowym funkcji jest liczba 0. 7 D. Miejscem zerowym jest punkt ( 0 ; 0). 7 Zadanie 40. Wykres funkcji liniowej y = x + przecina oś OX w punkcie o współrzędnych: A. (0; ) B. ( ; 0) C. ( ; 0) D. (0; ) Zadanie 4. Na podstawie wykresu podaj wzór funkcji liniowej:

33 S t r o n a A. f(x) = x + C. f(x) = x B. f(x) = x + D. f(x) = x Zadanie 4. Wykres funkcji liniowej f(x) = ax + b nie przechodzi przez I ćwiartkę układu współrzędnych. Stąd wynika, że: A. a < 0 i b < 0 B. a < 0 i b > 0 C. a > 0 i b > 0 D. a > 0 i b < 0 Zadanie 4. Punkt ( ; ) należy do wykresu funkcji y = x + b. Wtedy jej współczynnik b jest równy: A. b = B. b = 6 C. b = 0 D. b = 4 Zadanie 44. Wskaż wzór funkcji liniowej, wiedząc że punkty A = ( 4; 0) i B = (0; ) należą do jej wykresu: A. y = x + B. y = x + C. y = x 4 D. y = x 4 Odpowiedzi (VII). m = 8.. a = 0 4. m = 9 5. (0; ) f(x) = x + 5 9a) m (; + ) 9b) m ( ; ) 0a) y = x + 5 0b) y = x + 5 a) (0; ), ( ; 0) b) 8 + c) x ; + ) a) y = x 4 b) y = x +. y = 5x 5 4. y = x y = x 6. y = x + 7a) y = 5 4 x 7b) y = 8 8. y = x + 9. y = 4x 8 0. y = x +. y = x +. 0 a) a > 0; funkcja rosnąca b) a < 0; funkcja malejąca 4a) m ( 4; + ) 4b) m ( ; ) 5a) b = 5b) b = 0 5c) b = 6. a) x = 8 b) x = 7 5 c) x = d) x = 6

34 S t r o n a e) x = 9 6 f) x = g) x = 4( + ) 7a) m < 7 b) m < 7c) m = 5, 8. y = x 7 9. m = 8 0. b = 4. a = 4, b = 7. y = x + Zadania zamknięte. C 4. D 5. B 6. C 7. C 8. D 9. C 40. B 4. B 4. A 4. A 44. A

35 4 S t r o n a VIII. FUNKCJA KWADRATOWA Zadanie. Dana jest funkcja kwadratowa: y = x x + : a) podaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej i iloczynowej; b) podaj równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem funkcji; c) podaj największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale ; ; d) narysuj wykres tej funkcji. Zadanie. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej y = x 4x + c jest przedział 5;+ ). Oblicz wartość współczynnika c. Zadanie. Przedział ( ; jest maksymalnym zbiorem, w którym funkcja y = x + bx jest malejąca. Wyznacz najmniejszą wartość tej funkcji. Zadanie 4. Podaj najmniejszą wartość funkcji y = x + x. Zadanie 5. Funkcja kwadratowa f(x) = x + bx + c ma dwa miejsca zerowe i. Oblicz wartość współczynników b i c. Zadanie 6. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f(x) = 4x 4x +, a) wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli; b) wyznacz zbiór wartości funkcji; c) oblicz miejsca zerowe; d) wyznacz równanie osi symetrii wykresu; e) podaj wzór funkcji w postaci iloczynowej; f) podaj przedział, w którym funkcja jest rosnąca (malejąca); g) podaj najmniejszą wartość funkcji ; h) oblicz wartość f( ); i) rozwiąż równanie f(x) =. Zadanie 7. Dany jest wzór funkcji f(x) = (x + 5) : a) wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli; b) podaj zbiór wartości funkcji; c) podaj maksymalne przedziały monotoniczności funkcji; d) podaj równanie osi symetrii wykresu; e) zapisz wzór funkcji w postaci ogólnej; f) podaj współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY;

36 5 S t r o n a g) wyznacz miejsca zerowe funkcji ; h) podaj największą (najmniejszą) wartość funkcji. Zadanie 8. Wyznacz wartość współczynnika b, aby funkcja f(x) = x + bx była malejąca w przedziale ( ; i rosnąca w przedziale ; + ) Zadanie 9. Dana jest funkcja f(x) = x + 4x + c. Wyznacz wartości c, dla których funkcja przyjmuje tylko wartości ujemne. Zadanie 0. Dana jest funkcja f(x) = x + bx + c. Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby: i. Wyznacz b i c. Zadanie. Osią symetrii wykresu y = ax + 0x + jest prosta o równaniu x =. Wyznacz a. Zadanie. Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = x + x + 8. a) Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f. b) Podaj równanie osi symetrii wykresu funkcji. c) Podaj przedziały monotoniczności funkcji. d) Podaj zbiór wartości funkcji. e) Oblicz miejsca zerowe funkcji. f) Podaj współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY. g) Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej. h) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale ;. i) Oblicz wartość największą i najmniejszą funkcji w przedziale ;. j) Podaj wzór funkcji f w postaci kanonicznej. k) Podaj wzór funkcji f w postaci iloczynowej. Zadanie. Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, wiedząc że funkcja ta przyjmuje wartość największą równą, jest malejąca tylko w przedziale ; + ) i jednym z jej miejsc zerowych jest x =. Zadanie 4. Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = x + bx + c jest parabola, która przecina oś OX w punktach A = ( 4; 0), B = (; 0). Wyznacz współczynniki b oraz c.

37 6 S t r o n a Zadanie 5. Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = x + 6x + 0. a) Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f. b) Podaj współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY. c) Oblicz miejsca zerowe funkcji (o ile istnieją). d) Zapisz postać kanoniczną i iloczynową (o ile istnieje). e) Naszkicuj wykres funkcji. f) Podaj równanie osi symetrii paraboli. g) Podaj najmniejszą wartość funkcji w przedziale 5;. Odpowiedzi (VIII). a) y = (x + ) + 5 b) x =. c = 7. y MIN = p. kanoniczna; y = (x )(x + ) p. iloczynowa c) y MAX = 5, y MIN = 8 4. y MIN = 5. b = 6, c = 9 6. a) W = ( ; 0) b) 0; + ) c) x = d) x = e) f(x) = 4 (x ) f) f : ; + ); f : ( ; g) y MIN = 0 h) f( ) = 5 i) {0; } 7. a) W = ( 5; 0) b) ZW f = ( ; 0 c) f : ( ; 5 ; f 5; + ) d) x = 5 e) y = x 0x 50 f) P = (0; 50) g) x = 5 h) y MAX = 0; y MIN nie istnieje 8. b = 4 9. c < 4 0. b =, c =. a =,5. a) W = (; 9) b) x = c) f : ( ; ; f ; + ) d) ZW f = ( ; 9 e) x =, x = 4 f) P = (0; 8) h) y MAX = f() = 8; y MIN = f() = 5 i) y MAX = f() = 9; y MIN = f( ) = 0 j) f(x) = (x ) + 9 k) f(x) = (x + )(x 4). y = (x ) + 4. b = 4, c = 6 5. a) W = ( ; ) b) (0; 0) c) brak d) f(x) = (x + ) + postać kanoniczna, iloczynowa nie istnieje f) x = g) y MIN =

38 7 S t r o n a IX. CIĄGI LICZBOWE ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. Dany jest ciąg (a n ) określony wzorem a n = 4+n n+ dla n. Wtedy a a 5 wynosi A. 4 B. 7 4 C. 4 D. Zadanie. Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a n ) jest równa 0. Wyraz trzeci tego ciągu jest równy A. 5 B. 0 C. 5 D. Zadanie. Wzór ogólny ciągu (a n ), w którym a = 8, a 4 = 6 może być równy A. a n = n + 4 B. a n = 4n + 4 C. a n = 4n D. a n = 4n Zadanie 4. Liczba ujemnych wyrazów ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym a n = n 4n jest równa A. 5 B. C. D. Zadanie 5. Dany jest ciąg (a n ) określony wzorem a n = ( )n +. Piąty wyraz tego ciągu jest równy A. 9 8 B. 5 C. 9 8 n + D. 5 Zadanie 6. Suma wszystkich ujemnych wyrazów ciągu (a n ) określonego wzorem a n = n 9 jest równa A. 5 B. C. D. 7 Zadanie 7. Dany jest ciąg określony wzorem a n = n +. Wtedy 5 A. a 5 = 5 B. a = 5 C. a 0 = 5 D. a = 5 ZADANIA OTWARTE Zadanie 8. Dany jest ciąg (a n ) określony wzorem a n = n n + 8 dla n. Które wyrazy ciągu są ujemne? Zadanie 9. Dany jest ciąg a n = ( ) n ( n). Oblicz: a, a, a, a 4, a 0. Zadanie 0. Który wyraz ciągu a n = n 5 jest równy 4? Zadanie. Dany jest ciąg (a n ) określony wzorem a n = 4n. Czy wyrazem ciągu może być liczba 6? Jeśli tak, to podaj który to wyraz.

39 8 S t r o n a Zadanie. Ciąg (a n ) jest określony wzorem a n = ( ) n, dla n. Wyznacz sumę dziesięciu początkowych jego wyrazów. Odpowiedzi (IX) Zadania zamknięte. A. B. C 4. D 5. C 6. C 7. B Zadania otwarte 8. a 5, a 6 9. a =, a = 0, a =, a 4 =, a 0 = 8 0. a = 4. TAK, a 5. S 0 = 68

40 9 S t r o n a X. CIĄG ARYTMETYCZNY Zadanie. Zbadaj, czy ciąg (a n ) określony wzorem a n = n arytmetycznym. 5n dla n jest ciągiem Zadanie. Wykaż, że ciąg (a n ) jest arytmetyczny: Wskazówka a) a n = n + 5 b) a n = n 4 c) a n = +n 5 d) a n = (n ) n Wyznacz różnicę a n+ a n Zadanie. W ciągu arytmetycznym (a n ), określonym dla n, dane są: a 6 = 6, a 0 = 8. Oblicz a 8 oraz S 0. Zadanie 4. W ciągu arytmetycznym (a n ), określonym dla n, a 5 + a 6 + a 7 = 0. Oblicz a 6. Zadanie 5. W ciągu arytmetycznym (a n ), określonym n, dane są: a = i a 7 =. Oblicz a. Zadanie 6. Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ), określonym n, w którym a = 4 i a 6 =. Wyznacz różnicę ciągu. Zadanie 7. Oblicz x, gdy kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a n ) są liczby: a), x, + 4 b), x + 4, x + 0 Zadanie 8. Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ), określonym n, w którym a =, a =. Wyznacz różnicę r i wzór ogólny tego ciągu. Zadanie 9. Dane są trzy początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego (a n ): a = x, a = x +, a 9 = 8x + 6. Wyznacz a oraz różnicę r tego ciągu. Zadanie 0. W ciągu arytmetycznym (a n ), określonym n : S 6 = 5, S =. Oblicz a 5. Zadanie. Dane są trzy początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego: x, x, x +. Oblicz: x, różnicę tego ciągu r oraz S 0.

41 40 S t r o n a Zadanie. Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego, w którym trzy pierwsze wyrazy są równe 7, x, 5x 4. Zadanie. Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (6,, 0, ). Zadanie 4. Liczby: x, 4x +, 5 są odpowiednio pierwszym, szóstym i ósmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wyznacz x oraz różnicę tego ciągu. Zadanie 5. W ciągu arytmetycznym (a n ), określonym n, S 9 = 50 i S =. Oblicz a. Zadanie 6. W ciągu arytmetycznym (a n ), określonym n, a + a 7 = 50. Oblicz a 5 + a 5. Zadanie 7. Wyznacz wzór na ogólny ciągu arytmetycznego (a n ), w którym a = 8 i a 0 = 6. Zadanie 8. Oblicz sumę wszystkich ujemnych wyrazów ciągu arytmetycznego (a n ), określonego wzorem: a) a n = 5n 40 b) a n = n 0 Zadanie 9. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę. Zadanie 0. Oblicz a 00 ciągu arytmetycznego, w którym a 4 = i a 7 = 7. Zadanie. Oblicz a, gdy a 8 = 5 i r =. Zadanie. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 54, a a = 9. Wyznacz r. Zadanie. Dane są trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego: x +, x, 6x 4. Wyznacz x. Zadanie 4. Wyznacz x w ciągu arytmetycznym wiedząc, że kolejnymi wyrazami tego ciągu są liczby:, 8x + 9, 64x + 4 dla x 0. x Zadanie 5. W ciągu arytmetycznym a = x, a = x i a 8 = 7. Wyznacz x.

42 4 S t r o n a Zadanie 6. W ciągu arytmetycznym S 50 = 6, S 49 =. Oblicz a 50. Zadanie 7. W ciągu arytmetycznym S 0 = 0, S 9 =. Oblicz a. Zadanie 8. W ciągu arytmetycznym S n = n(n+). Wyznacz a 5. Zadanie 9. Wyznacz sumę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym a n = 6 n. Zadanie 0. Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów a i a 5 ciągu a n = n. Zadanie. Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ) określony dla n, w którym a 9 = i r =. Wyznacz: a) a, a 0 b) S 0 c) wzór ogólny ciągu Zadanie. Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ) określony dla n, w którym a = 7, a 9 = 5. Wyznacz: a) a i r b) a c) S 5 d) różnicę a 5 a. Zadanie. Dany jest ciąg arytmetyczny o wyrazie ogólnym a n = n. Oblicz sumę wszystkich ujemnych wyrazów tego ciągu. Odpowiedzi (X). a 8 = 5, S 0 = a 6 = 0 5. a = 6 6. r = 7a) x = + 7b) x = lub x = 8. r =, a n = n 9. a =, r = 5 0. a 5 = 4. x = 4, r =, S 0 = 75. r = 7. S 0 = 450

43 4 S t r o n a 4. x = 4, r = 5. a = a n = n + 8a) 40 8b) a = 6. r = 9. x = 4. x = lub x = x = 6. a 50 = 4 7. a = 6 8. a 5 = 5 9. S = x = 4 a) a = 48, a 0 = 0 b) S 0 = 580 c) a n = n + 50 a) a =, r = b) a = 9 c) S 5 = 45 d) 8. S = 6 XI. CIĄG GEOMETRYCZNY Zadanie. Zbadaj, czy ciąg (a n ) jest ciągiem geometrycznym. a) a n = n b) a n = n c) a n = n + Zadanie. Wykaż, że ciąg (a n ) jest geometryczny: a) a n = ( )n b) a n = ( )n+ c) a n = n d) a n = ( ) n e) a n = 4 n f) a n = 5 n+ Wskazówka Wyznacz iloraz a n+ a n. 5 Zadanie. Dany jest ciąg geometryczny (a n ) Oblicz a oraz iloraz q. a) a = 6, a 4 =, b) a =, a 5 = 9, c) a = i a 4 = Zadanie 4. W ciągu geometrycznym a 5 a 6 a 7 = 7. Oblicz a 6. Zadanie 5. Wykaż, że podane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. a),,, b) 5, 5 +, Zadanie 6. Dany jest ciąg geometryczny (a n ), w którym a = i a 4 = + 4. Uzasadnij, że iloraz q tego ciągu jest liczbą całkowitą.

44 4 S t r o n a Zadanie 7. Oblicz x, jeśli podane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (a n ): a), 6, x, b) 4, x, 6, c), x, 7, d) x, x 4, 6, e) x, x, 5, f) 4, x + 5, 9, g) 8 x, x, x + 6, h) x, x +, 4x +, Zadanie 8. Dane są wyrazy ciągu geometrycznego: a = 6, a 4 = 48. Wyznacz wzór ogólny ciągu. Zadanie 9. W ciągu geometrycznym (a n ) a = 6, S = 4. Oblicz S 4. Zadanie 0. Między 9 i 8 geometryczny. wstaw pięć takich liczb, aby wraz z danymi tworzyły ciąg Odpowiedzi (XI) a) nie b) nie c) nie a) a = 4, q = b) { a = q = lub { a = q = c) {a = q = 4 lub {a = q = 4 4. a 6 = 6. q = 7a) x = 8 7b) x = 8 lub x = 8 7c) x = lub x = 6 7d) x = 4 7e) x = 8 lub x = 7f) = lub x = 7g) x = 8 lub x = 6 7h) x = 8. a n = n 9. S 4 = (,,, 9, 7 ) lub (,,, 9, 7 )

45 44 S t r o n a XII. CIĄG ARYTMETYCZNY I GEOMETRYCZNY Zadanie. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a n ) dla n taki, że a 6 =. Wyrazy a, a 7 i a 49 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a n ). Zadanie. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a n ) dla n taki, że a 7 = 0. Wyrazy a, a 5 i a są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a n ). Zadanie. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a n ) dla n taki, że a = 7. Wyrazy a, a i a 6 są odpowiednio pierwszym, trzecim i piątym wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a n ). Zadanie 4. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a n ) dla n taki, że a = 5. Wyrazy a, a 4 i a 6 są odpowiednio pierwszym, trzecim i piątym wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu (a n ). Zadanie 5. Spośród liczb (, 9, x, x + y) trzy pierwsze tworzą ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie ciąg geometryczny. Wyznacz x oraz y. Zadanie 6. Dany jest ciąg czterech liczb (x + 0, 7, y, ) Wyznacz x oraz y wiedząc, że trzy pierwsze wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie ciąg geometryczny. Odpowiedzi (XII). a n = n ) a n = n 4 ) a n = n x = , 0, 5, 0, 5 5. { y = 0 x = 5 6. { y = 9 lub {x = 5 y = 9 XIII. GEOMETRIA ANALITYCZNA Zadanie. Wyznacz równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt A: a) k: y = x, A = (, ), b) k: x y + 5 = 0, A = (, 4), c) k: y = x +, A = ( 8, ). d) k: x y + 8 = 0, A = (0, ). e) k: y = x + 4, A = (0, ).

46 45 S t r o n a Zadanie. Wyznacz równanie prostej l prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt P: a) k: y = x, P = (, ), b) k: y = x +, P = (, 5), c) k: y x + 4 = 0, P = (, 6). d) k: 8x + 4y 6 = 0, P = (, 5). e) k: y = x + 4, P = (0, ). Zadanie. Wyznacz m, dla którego proste k i l są równoległe: a) k: y = x, l: y = (m 4)x +, b) k: y = (m + )x +, l: y = m x m +. Zadanie 4. Dla jakiej wartości parametru m proste y = (m 4)x + 6m oraz y = (m + 4)x są równoległe? Zadanie 5. Dla jakich wartości parametru m proste y = ( 4m+ ) x 7 i y = (4m )x + m + są równoległe? Zadanie 6. Dla jakich wartości parametru m proste o równaniach y = (m + 6)x 0 oraz y = ( m 4)x + są równoległe? Zadanie 7. Wyznacz m, dla którego proste k i l są prostopadłe: a) k: y = (m + )x m, l: y = (m + )x, b) k: y = (m m)x + 5, l: y = x + m. Zadanie 8. Dla jakiej wartości parametru m proste y = (m )x + oraz y = (m + )x + m 7 są prostopadłe? Zadanie 9. Dla jakich wartości parametru m proste o równaniach y = (m )x + m oraz y = (m + )x są prostopadłe? Zadanie 0. Wyznacz współrzędne środka S odcinka AB, jeśli: a) A = (0, ), B = (4, 0) b) A = (, ), B = (4, 0), c) A = (, ), B = (0, ). Zadanie. W odcinku AB dany jest punkt A = (, ) oraz środek odcinka S = (, ). Oblicz współrzędne punktu B.

47 46 S t r o n a Zadanie. Punkt A = ( 4, 5) jest końcem odcinka AB, a punkt P = (0, 4) jego środkiem. Oblicz współrzędne punktu B. Zadanie. Punkt A = (, ) jest końcem odcinka AB o środku S = (, ). Oblicz współrzędne punktu B. Zadanie 4. Punkt S = (0, 0) jest środkiem odcina AB, gdzie A = (, y A ), B = (x B, ) Wyznacz y A i x B. Zadanie 5. Dany jest odcinek AB, w którym A = (x A, ), B = ( 5, y B ) oraz środek S = (, ). Oblicz brakujące współrzędne. Zadanie 6. Dany jest równoległobok ABCD, w którym kolejne wierzchołki mają współrzędne: A = (, ), B = (, ), C = (, ). Wyznacz współrzędne punktu S przecięcia się przekątnych. Zadanie 7. Dany jest równoległobok ABCD, w którym kolejne wierzchołki mają współrzędne: A = (0, 0), B = (4, ), C = (6, 5). Wyznacz współrzędne punktu S przecięcia się przekątnych oraz współrzędne punktu D. Zadanie 8. Punkty A = (, 6) oraz B = ( 8, ) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD, a punkt S = (, 0) jest punktem przecięcia jego przekątnych. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego równoległoboku oraz jego obwód. Zadanie 9. Dane są dwa kolejne wierzchołki A = (, ) i B = (4, 6) kwadratu ABCD. Wyznacz długość przekątnej kwadratu. Zadanie 0. Dane są dwa kolejne wierzchołki A = (0, 8), B = ( 5, ) i kwadratu ABCD. Oblicz pole i obwód tego kwadratu. Zadanie. Dany jest kwadrat ABCD o przekątnej AC, gdzie A = (, ) i C = (6, 8). Wyznacz długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie. Zadanie. Dany jest kwadrat ABCD o boku AB, gdzie A = (0, 0), B = (7, 4). Wyznacz długość promienia r okręgu wpisanego oraz długość promienia R okręgu opisanego na tym kwadracie. Zadanie. W prostokącie ABCD dane są przeciwległe wierzchołki A = (, ) oraz C = (, 4). Wyznacz współrzędne przecięcia się przekątnych tego prostokąta i długość jego przekątnej.

48 47 S t r o n a Zadanie 4. Dane są wierzchołki A = (, 0) oraz B = (, 4) trójkąta równobocznego. Wyznacz wysokość trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Zadanie 5. Dany jest trójkąt równoboczny ABC, gdzie A = (, ), B = (0, 4). Wyznacz długość wysokości h tego trójkąta. Zadanie 6. Dany jest trójkąt równoboczny ABC, gdzie A = (5, ) i B = (, ). Oblicz długość R promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Zadanie 7. Dane są dwa wierzchołki trójkąta równobocznego A = (, ) i B = (, ). Oblicz długość h wysokości tego trójkąta oraz długość promienia r okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zadanie 8. Punkty A = (, ) i B = (0, ) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Oblicz: a) obwód b) pole c) równanie prostej zawierającej bok AB d) promień okręgu wpisanego w trójkąt e) promień okręgu opisanego na trójkącie. Zadanie 9. Punkty A = (, ), C = (, 4) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC = BC. Podstawa AB zawiera się w prostej y =. Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta. Zadanie 0. Dane są proste o równaniach y = x + 4 oraz y = 4 x + b, które przecinają się w punkcie leżącym na osi OY układu współrzędnych. Oblicz wartość współczynnika b oraz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci zawarty jest w osi OX. Zadanie. Oblicz współrzędne punktu A przecięcia prostych o równaniach x y + 4 = 0 i y = x oraz długość odcinka AB jeśli punkt B = (, 8). Zadanie. Dane są wierzchołki trójkąta A = (, ), B = (4, ), C = (, 4). Z wierzchołka C poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok AB w punkcie D. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt D i równoległej do boku BC. Zadanie. A = (, 0), B = (5, ), C = (, ) Oblicz obwód trójkąta ABC oraz sprawdź, czy jest równoramienny. Jeśli tak, wyznacz równanie osi symetrii tego trójkąta. Zadanie 4. Dane są dwie proste y = x oraz y = x + b, które przecinają oś OX w tym samym punkcie. Oblicz wartość współczynnika b oraz pole trójkąta ograniczonego tymi prostymi oraz osią OY.

49 48 S t r o n a Odpowiedzi (XIII). a) y = x + b) y = x 7 c) y = x + d) y = x + e) y = x. a) y = x d) y = x 5 b) y = x + 5 c) y = x + 6 e) y = 7 x +. a) m = 7 b) m = 4. m = 8 5. m = 4 lub m = 4 6. m = 7. a) m = b) m = + lub m = 8. m = lub m = 9. m = lub m = 0. a) S = (, ) b) S = ( 5, ) c) S = (, ). B = (5, 6). B = (4, ). B = (6, ) 4. y A =, x B = 5. x A =, y B = 6. S = (, ) 7. S = (, ), D = (, 4) 8. C = (6, 6), D = (, ), L = d = 7 0. P = 5, L = 0 5. R = 74. r = 65, R = 0. S = (, ), AC = 5 4. h = 5 5, R = 5. h = 6 6. R = 6 7. h =, r = 8. a) L = 5, b) P = 5, c) y = x + d) r =, e) R =, B = (4, ) 0. b = 4, P = 4. A = (5, 4), AB = 6. D = ( 40, ), y = 5 x +. y = 7x, L = b =, P = 5 8