ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym"

Transkrypt

1

2 S t r o n a ZBIÓR ZADAŃ Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym Każdy uczeń, który kończy szkołę ponadgimnazjalną i chce przystąpić do matury, zobowiązany jest do zdawania egzaminu z matematyki na poziomie podstawowym. Spora część maturzystów ma problem z osiągnięciem progu zdawalności - 0%. Założeniem autorów tej pracy jest pomoc nauczycielom oraz uczniom w osiągnięciu tego celu. Zbiór ten jest efektem pracy nauczycieli szkół ponadgimnazjalnych w ramach warsztatów organizowanych przez Samorządowy Ośrodek Doradztwa Metodycznego i Doskonalenia Nauczycieli w Kielcach pod kierunkiem doradcy metodycznego Piotra Leszczyńskiego. Zawiera on typowe zadania z kilku działów matematyki, które często pojawiają się w arkuszach egzaminacyjnych. Zdecydowana większość ćwiczeń tu umieszczonych pomoże nauczycielom w doborze zadań, w których uczniowie będą musieli używać nieskomplikowanych, dobrze znanych obiektów matematycznych oraz dobierać modele matematyczne do prostych sytuacji. Nauczyciele matematyki mają często problem ze znalezieniem zbiorów zadań, w których jest wystarczająca liczba zadań łatwych, pozwalających wyćwiczyć podstawowe umiejętności matematyczne u uczniów z problemami w nauce. Autorzy: Borowiec Katarzyna, Dobosz Beata, Hinc Zofia, Janaszek Agnieszka, Kowalczyk Jadwiga, Leszczyńska Beata, Leszczyński Piotr, Lipska Agnieszka, Lisowska Agnieszka, Macedońska Ludmiła, Mochocka Dorota, Paź Jolanta, Pielas Lidia, Polańska Dorota, Siciarska Kamila, Skucińska Elżbieta, Świąder Dorota, Wołcerz Marta.

3 S t r o n a Spis treści I. POTĘGI I PIERWIASTKI... Odpowiedzi (I)... 7 II. LOGARYTMY I PROCENTY... 9 Odpowiedzi (II)... 0 III. PROCENTY... Odpowiedzi (III)... IV. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE... Odpowiedzi (IV)... V. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI... 5 Odpowiedzi (V)... 9 VI. FUNKCJE... 0 Odpowiedzi (VI)... 5 VII. FUNKCJA LINIOWA... 7 Odpowiedzi (VII)... VIII. FUNKCJA KWADRATOWA... 4 Odpowiedzi (VIII)... 6 IX. CIĄGI LICZBOWE... 7 Odpowiedzi (IX)... 8 X. CIĄG ARYTMETYCZNY... 9 Odpowiedzi (X)... 4 XI. CIĄG GEOMETRYCZNY... 4 Odpowiedzi (XI)... 4 XII. CIĄG ARYTMETYCZNY I GEOMETRYCZNY Odpowiedzi (XII) XIII. GEOMETRIA ANALITYCZNA Odpowiedzi (XIII)... 48

4 S t r o n a I. POTĘGI I PIERWIASTKI Zadanie. Oblicz: a) 6 5 b) 5 8 : 5 40 c) ( ) : ( 8 7 ) d) 7 ( 9 ) e) f) ( )70 ( 4 )70 g) 9 h) 4 4 i) ( 7 ) ( 7 ) j) ( 5 )7 ( 5 )5 k) 4 6 ( 4 )6 l) ( 7 )4 ( 7 ) m) ( )6 : ( )4 : n) 5 : ( 5 )4 5 o) 4 [( 4 ) : 4 0 ] p) [( ) ] 4 q) 8 4 Zadanie. Oblicz: a) b) c) d) 7 5 7:7 e) f) 5 ( ) Zadanie. Oblicz: a) 7 5 b) c) ( ) 4 d) e) 8 ( )7 f) g) (6 ) h) (4 ) i) 8 9 j) k) l) (5 ) 4 5 (5 4) m) ( 7 ) n) 4 4 ( ) 7 r) s) ( ) o) ( ) 4 p) ( ) 5 t) Zadanie 4. Oblicz: a) e) f) i) j) b) c) g) d) h)

5 4 S t r o n a Zadanie 5. Oblicz: a) 06 ( ) 0 7 b) c) d) e) g) h) k) l) n) o) f) i) m) Zadanie 6. Zapisz w postaci potęgi o podstawie naturalnej: a) ( ) b) (4 : 4 ) c) 5 4 : 5 05 d) (69 ) 4 : 7 e) 8 : 64 f) (5 ) 6 g) 0 : ( 8 4 ) h) 5 (56 5 ) i) (0,5) 4 : 8 8 j) ( 9 ) 7 6 k) ( 4 ) : 4 l) 7 : 8 5 m) 8 4 n) ( 7 ) 5 8 o) 5 (5 4 ) 0,5 04 ( ) p) ( 4 ) 4 8 (7 ) 6 q) (5 4 r) (5 ) 4 5 4) s) t) u) w) 49 7 z) + + x) Zadanie 7. Oblicz: a) 9 b) 8 c) 6 4 d) 8 e) 5 f) 6 4 g) 6,5 h) 6 4 i) 44 j) 49 k) ( 7 ) l) (0,5) m) 9,5 n) 65 4 o) 0,006 0,5

6 5 S t r o n a Zadanie 8. Oblicz: a) b) 64 6 d) ( 9 4) : ( ) 4 e) (64 ) 8 c) f) + 4 Zadanie 9. Zapisz w postaci potęgi o podstawie naturalnej: a) b) c) 6 : ( ) d) 6 5 e) ( 4) 4 6 f) 4 4 g) 5 j) 6 5 h) ( ) 8 i) 8 5 k) 0,5 6 l) 4 4 m) 6 4 p) 5 n) 9 q) o) 4 5 Zadanie 0. Uzasadnij, że liczba x jest podzielna przez liczbę m: a) x = ; m =, b) x = ; m = 57, c) x = ; m =, d) x = ; m = 7, e) x = ; m = 9, f) x = ; m =, g) x = ; m = 9, h) x = ; m = 5, i) x = ; m =, Zadanie. Uzasadnij, że liczba x jest liczbą naturalną: a) x = b) x = c) d) x = e) x = f)

7 6 S t r o n a Zadanie. a) Przedstaw sumę w postaci potęgi liczby. b) Wykaż, że liczba jest parzysta. c) Wykaż, że liczba jest nieparzysta. d) Uzasadnij, że liczba 8 6 Zadanie. Oblicz: 4 jest o 5 mniejsza od pola kwadratu o boku. a) 6 b) 8 d) 5 e) c) f) g) h) i) ( ) j) ( 5) ( + 5) k) ( + ) ( ) l) 4 8 m) n) o) Zadanie 4. Uzasadnij, że + = +. Zadanie 5. Wykonaj działania i przedstaw w najprostszej postaci: a) ( 5 ) b) (4 4 ) c) ( ) + 4 d) e) ( 4 )(4 + ) f) g) ( 5 ) ( + 5 ) h) ( 7 50) i) Zadanie 6. Usuń niewymierność z mianownika: a) d) f) d) 6 i) l) 5 b) + 7 g) 5 6 c) e) 6 5 j) + h) k) Zadanie 7. Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku długości + 6.

8 7 S t r o n a Odpowiedzi (I). a) b) 5 c) d) 7 e) 4 f) g) 8 h) 4 i) j) 4 5 k) l) 7 m) 8 n) 5 o) 04 p) 4 q). a) 6 b) 6 c) 7. d) 7 e) 65 f) 4 9 a) 8 g) 69 b) 7 h) 6 i) 9 c) 8 d) 5 e) j) 4 04 k) 7 l) f) m) n) o) 8 p) r) 64 s) t) 6 4. a) 9 b) 5 c) 6 8 d) 6 9 e) 49 f) g) 5 h) 5 i) 5 6 j) 5. a) 0000 b) 5 c) 7 d) 4 e) 5 f) 7 g) 9 n) 5 o) 7 6. h) 5 i) k) l) 8 m) a) 4 b) 4 7 c) 5 9 d) 7 e) 8 5 f) 0 6 g) h) 5 4 i) 6 j) k) 4 l) 99 m) n) o) 5 p) 7 q) 5 7 r) 0 s) 5 t) 6 u) 0 w) 7 7 z) x) 5 7. a) b) c) d) 4 e) 5 f) 8 g) 64 h) 8 i) j) 4 k) 9 l) 8 m) 7 n) 5 o) 5 8. a) 4 b) 8 c) d) e) 64 f) 6

9 8 S t r o n a 9. a) 5 5 b) 9 c) d) e) 8 5 f) g) h) i) 8 j) k) 5 l) m) n) 5 9 o) 5 8 p) 5 4 q) 5 8. a) b) 4 c) 0 d) 9 e) 4 f) 0 g) 0 h) i) j) k) 79 l) m) n) 0 7 o) a) b) 0 c) 0 6 d) 6 e) 47 f) 6 g) h) 8 i) 6 7. P = 5 +6.

10 9 S t r o n a II. LOGARYTMY I PROCENTY Zadanie. Oblicz: a) log 7 b) log c) log 5 5 d) log 5 65 e) log 4 f) log g) log 8 h) log i) log 64 j) log (log 4 6) k) log (log 8) l) log (log 0) Zadanie. Oblicz: a) log 9 d) log 5 5 b) log 7 e) log 8 c) log 4 64 f) log g) log 0,0 h) log 5 0,04 i) log 0, 0 Zadanie. Oblicz: a) log b) log 64 4 c) log 5 5 d) log 5 5 e) log 64 f) log 7 9 g) log 9 7 h) log 5 i) log 64 5 j) log 5 log 4 k) log + log 6 l) log log Zadanie 4. Oblicz: a) log log 7 b) log 8 + log 4 c) log 0 + log 5 d) log 5 + log 0, e) log 00 + log 5 f) log log 5 g) log 5 00 log 5 4 h) log 5 50 log 5 i) log 48 log j) log 4 60 log 4 5 k) log 5 0 log 5 6 l) log 6 log 7 6 m) log + log 6 6 n) log 8 log 4 64 o) log 7 log 8 p) 4 log 7 5 log 8 q) log 7 r) log 4 8 Zadanie 5. Oblicz: a) log 8 + log 4 b) log 6 + log 6 4 c) log 5 log 5 d) log 6 log 9 e) log + log 5 f) log 5 + log 4 log 5 g) log 7 log 6 + log 6 h) log 5 + log 4 log 5 i) log log 7 log 8 log 6

11 0 S t r o n a j) log (log 40 + log 5) k) log 5 9 : log 5 l) log 8 log 6 6 m) log n) ( )log 5 o) 8 log p) +log 5 q) 5 log 5 r) 7 log 7 65 Odpowiedzi (II). a) b) 5 c) 4 d) 4 e) 4 f) g) 4 h) i) 8 j) k) l) 0. a) b) c) d) e) f) 5 g) h) i). a) b) c) d) e) 5 6 f) g) h) i) 5 6 j) k) l) 4. a) b) 5 c) d) e) f) g) h) i) 4 j) k) l) m) n) 6 o) 0 p) q) r) 5. a) 4 b) c) 0 d) e) f) g) 5 h) 4 i) j) k) l) m) n) 5 o) 7 p) 0 q) 65 4 r) 5 49

12 S t r o n a III. PROCENTY Zadanie. Cenę towaru 00 zł obniżono o pewien procent. Jego cena po obniżce wynosi 840 zł. O ile procent obniżono cenę towaru? Zadanie. Kuba zapłacił 8,90 zł za bilet z 7% zniżką. Jaka jest cena biletu bez obniżki? Zadanie. Do ceny napoju doliczono % podatek VAT w wysokości 0,9 zł. Jaka jest cena netto napoju? Zadanie 4. Towar z % podatkiem VAT kosztował 50 zł. Ile kosztuje ten towar po wzroście podatku do %? Zadanie 5. o 40%? O ile procent wzrośnie pole trójkąta równobocznego, którego bok zwiększymy Zadanie 6. Po dwóch obniżkach, za każdym razem o 5%, cena płaszcza jest równa 0 zł. Oblicz ile kosztował płaszcz przed obniżkami. Zadanie 7. 44% pewnej liczby wynosi 74. Oblicz tę liczbę. Zadanie 8. Towar wraz z % podatkiem VAT kosztuje 460 zł. Oblicz cenę towaru bez podatku VAT. Zadanie 9. W klasie jest 0 osób, w tym dziewcząt. Jaki procent klasy stanowią chłopcy? Zadanie 0. Płaszcz kosztował 0 zł. Jego cenę obniżono o 0%, a następnie podwyższono o 0%. Jaka jest obecnie cena płaszcza? Zadanie. 5% słuchaczy na uniwersytecie uczy się tylko języka francuskiego, 5% tylko języka niemieckiego, a pozostałe 60 osób uczy się tylko języka angielskiego. Ile osób liczy grupa języka francuskiego? Zadanie. Cenę pewnego towaru obniżono dwukrotnie po 5%. O ile procent obniżono cenę? Zadanie. Cenę sukienki podwyższono o 0%, a następnie obniżono o 0%. O ile procent zmieniono cenę sukienki? Zadanie 4. Cena sukienki po 0% podwyżce wynosi zł. Jaka była pierwotna cena sukienki? Zadanie 5. Cena brutto pewnego towaru wynosi 07,50 zł (podatek VAT wynosi %). Oblicz cenę netto. Odpowiedzi (III). 0%. 0 zł. 4 zł 4. 5, zł 5. 96% 6. 44,9 zł zł 9. 60% 0. 8,60 zł. 5. 7,75%. 4% 4. 0 zł 5 50 zł

13 S t r o n a IV. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Zadanie. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci: a) ( x) b) (x + ) c) ( x ) d) ( x) e) (x + 5) f) ( x + 4) g) 5 (x ) h) 6 (x ) i) ( x) j) ( x)(x + ) k) (5 x)(5 + x) l) (x )(x + ) Zadanie. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci: a) (5x ) (x 5) b) (4 x)(x + 4) (x ) c) ( x + 4) (x ) d) (x + y + ) e) ( y 4 ) + (4 y + ) f) ( x + ) ( x 5) ( x + 5) Zadanie. Wykonaj działania: a) ( )( + ) b) ( 5 ) c) (5 5) d) ( + ) e) ( 4)( + ) f) ( 6 )( ) g) ( + ) h) ( + ) i) ( ) ( )( + ) Zadanie 4. Oblicz wartość wyrażenia: a) x x dla x = b) x x dla x = c) x x dla x = d) x x 4 dla x = e) x + 5x dla x = f) x + 5x dla x = g) x x + 5 dla x = h) x x + 5 dla x = i) x 5 x 4 + x dla x = j) x 5 x 4 + x dla x = k) (x )(x + ) (x ) dla x = l) ( + 4x)( 4x) (x + ) dla x = m) (5x + ) (x ) dla x = n) x +x+ (x )(x+) 4 dla x =

14 S t r o n a Zadanie 5. Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x oraz każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność: a) 5x + y 0xy b) 4x xy + y 0 c) 4x 6x > 9 d) x(x 8y) 8y e) x + 4xy + 5y (y ) f) 5y + x 4xy + 4y 4 g) x + 5y 0xy + 6x Zadanie 6. Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej x oraz każdej liczby rzeczywistej dodatniej y prawdziwa jest nierówność: a) 5x y 0 y x b) 9x 4y y x c) x y + y 4x d) 4x + 5y > 4x 5y Odpowiedzi (IV). a) x 6x + 9 b) x + x + c) 4x + x + 7 d) 4x x + 9 e) x 0x 50 f) x + 8x + g) x + x + 4 h) 4x + x i) 8x + x j) 4x k) 9x 5 l) x. a) 4x 4 b) x + 6x + 5 c) 5x x + 7 d) x + 4y + 4xy + x + 4y + e) y + 6 y f) x + 9. a) 6 b) 6 5 c) d) e) + f) 6 4 g) 7 h) 7 + i) 6 6

15 4 S t r o n a 4. a) 8 b) c) d) 0 e) 6 f) g) 5 0 h) i) j) 8 k) l) m) n) 5. Wskazówki a) (5x y) 0 b) (x y) + y 0 c) (x 4) + > 0 d) (x 4y) 0 e) (x + y) + (y ) 0 f) (y x) + (y ) 0 g) (x ) + (x 5y) 0 6. Wskazówki a) (5x y) 0 b) (x y) 0 c) (x y) 0 d) (x 5y) + > 0

16 5 S t r o n a V. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Zadanie. Sprawdź, które z podanych liczb należą do zbioru rozwiązań nierówności: a) 5x 0 ; ; 0; ; 5 5 b) 4x < 0 7; ; 5 Zadanie. Sprawdź, czy dana liczba x 0 spełnia równanie: a) x x = 0 x 0 = b) x 4 5x + 4 = 0 x 0 = c) x+ = 0 x 0 = Zadanie. Sprawdź, która z liczb: a = ; b = ; c = + ; d = 5 należy do zbioru rozwiązań nierówności: a) x 5 x+ b) 5 6 x x 8 x 6 Zadanie 4. Sprawdź, czy dana liczba należy do zbioru rozwiązań nierówności: a) (x ) 4(x ) + x 0 = b) (x ) (x ) 0 x 0 = c) x 5 7 x 0 = Zadanie 5. Sprawdź, które z podanych obok równania liczb są jego pierwiastkami: a) x = 5x ; 0; 5; 5 b) x 6x + = ; ; c) (x + ) = ( + 4 x) ; ; 0 4 d) x (x + ) = x 8 9; ; ; 7

17 6 S t r o n a Zadanie 6. Rozwiąż nierówności: a) x > b) x < x+ x 6 c) x 6 < x 4 + d) 4 < 5x 9 e) x < f) 4 (x ) > (x + ) g) 9(x + ) < (x )(x + ) h) (x 5) > x(x 5) i) x +x 4x+ < x j) x + < 4x 6 4 Zadanie 7. Rozwiąż równania: a) (x ) (x + ) = x + 4 b) (4x ) = c) ( x) = x(x ) Zadanie 8. Rozwiąż nierówności: a) x( + x) 0 b) x x > c) x + 5 > 0 d) 5x(x + ) > x 4 e) x(x 4) < 0 f) x 5x + > 0 g) x < 4 h) x x 6 i) 8 > x j) (x )(4 x) > 0 l) x 0x (x 5)(x + ) m) (x ) > x(5x 6) n) 7 (x ) > 8 o) (x ) 4x + 4 Zadanie 9. Rozwiąż równania: a) x = 5 b) x = 64 c) x = 0 d) x + 7 = 0

18 7 S t r o n a e) x(x + )(x 7) = 0 f) (x 7)(x + ) = 0 g) x(x 5x + 6) = 0 h) x (x )(4 x) = 0 i) x(x 4 + )(x 6) = 0 j) (x 5)(x + 4x) = 0 k) (x 8)(x 5 + ) = 0 Zadanie 0. Rozwiąż równania: a) x+6 x 9 = 0 c) x+ x 5 = 7 x b) = x+4 x+ d) = x 5 e) (x 6)(x ) (x+4)(x ) g) x +4x+ x+ = 0 f) x 5x 4x 8 = h) x 8x 9 x+ = = x 9 Zadanie. Oblicz sumę pierwiastków równania: a) x(x + )(4 5x) = 0 b) (x 5)(x + ) = 0 c) (x 64)(x + 4) = 0 d) x(x 5) = 0 e) (5x + 5)(x )(x + 8) = 0 f) (x + 4)(x )(5x + ) = 0 g) (5 x ) (x ) (x + 4 ) = 0 Zadanie. Wyznacz liczbę rozwiązań rzeczywistych równania: a) (x + )(x + 4) = 0 b) (x 9)(x + ) = 0 c) x(x + 7)(x 0)(x + 4) = 0 d) (4x 9)(x + ) = 0 e) (x + 5)(x ) = 0 f) (x 5)(x + ) = 0 Zadanie. Podaj najmniejszą liczbę będącą rozwiązaniem równania: a) x (x + )(x ) = 0 b) x(x 6) = 0 Zadanie 4. Wyznacz największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność x + < 0. 5

19 8 S t r o n a Zadanie 5. Na rysunku przedstawiono graficzną ilustrację układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y. Wskaż ten układ: a) b) c) x + y = 6 A. { x y = 4 y = x + A. { x + y = 7 y = x A. { y = x + y = y = x + 7 B. { x y = 4 B. { y = 4x y = x B. { y = 0 x + y = 5 C. { x y = x + y = D. { x y = 4 y = x + 7 C. { y = x y = x D. { y = x + 7 y = x + C. { y = x + 4 y = x + D. { y = Zadanie 6. Wyznacz a i b, gdy rozwiązaniem układu równań jest para liczb x i y: ax y = a) { ax + by = 7 ; {x = y = ax y = 6 b) { b ay = 0 ; = {x y = Zadanie 7. Zapisz układ równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y mając przedstawioną graficzną ilustrację układu: a) b) c) d)

20 9 S t r o n a Odpowiedzi (V). a) x = ; x = b) x = 5 5. a) TAK b) NIE c) TAK. a) x ; d b) x 4; d 4 4. a) TAK b) NIE c) TAK 5. a) x = 0, x = 5 b) x = c) x = 4 d) x = 6. a) x ( ; ) b) x R c) x d) x (; 4 e) x ( ; 5) f) x ( ; 0) g) x ( ; 5 9 ) h) x ( ; 5) i) x ( ; 7 5 ) j) x 7. a) x {, } b) x {0, } c) x {, 4} 8. a) x ; 0 b) x ( ; ) (; + ) c) x R d) x ( ; ) ( ; + ) e) x (0; 4) f) x ( ; 5 ) ( 5+ ; + ) g) x R h) x ( ; ; + ) i) x ( 9; 9) j) x ( 4 ; ) l) x ( ; 5; + ) m) x ( ; ) n) x (0; ) o) x ( ; ; + ) 9. a) x = 5 b) x = 4 c) x = d) x = e) x {, 0, 7} f) x {, } g) x {0,, } h) x {0,, 4 } i) x {0, 6, 6} j) x { 5, 5, 0, 4} k) x {, } 0. a) x b) x c) x = 6 d) x = 7 8 e) x {, 4} f) x = 5 g) x = h) x R { }. a) 7 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 6 f) 5 g) 5 4. a) 0 b) c) 4 d) e) f). a) b) a) A b) B c) B 6. a) a =, b = b) a =, b = y = x + 7. a) { y = x + y = b) { x y = x + c) { y = x + 4 y = x + d) { y = 4 x + y = x +

21 0 S t r o n a VI. FUNKCJE Zadanie. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x), Odczytaj z wykresu a) dziedzinę funkcji, b) zbiór wartości funkcji c) miejsca zerowe funkcji, d) maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca, e) maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca, f) maksymalny przedział, w którym funkcja jest stała, g) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, h) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, i) argument, dla którego wartość funkcji wynosi, j) wartość funkcji dla argumentu, k) naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(x + ), l) naszkicuj wykres funkcji h(x) = f(x), Zadanie. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).

22 S t r o n a Naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(x ), a) podaj dziedzinę funkcji g, b) podaj miejsca zerowe funkcji g, c) określ maksymalne przedziały, w których funkcja g jest rosnąca, d) określ maksymalne przedziały, w których funkcja g jest malejąca, e) określ maksymalne przedziały, w których funkcja g jest stała, f) podaj argumenty, dla których funkcja g przyjmuje wartość. Zadanie. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Odczytaj z wykresu a) dziedzinę funkcji, b) zbiór wartości funkcji c) miejsca zerowe funkcji, d) maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca, e) maksymalne przedziały, w których funkcja jest malejąca, f) maksymalne przedziały, w których funkcja jest stała, g) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, h) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, i) argumenty, dla których wartość funkcji wynosi, j) wartość funkcji dla argumentu, k) f( ) f(0) + f(4) l) zbiór wartości funkcji g(x) = f(x)

23 S t r o n a Zadanie 4. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). a) Wyznacz dziedzinę funkcji: g (x) = f( x), g (x) = f(x + ) g (x) = f(x) 4 b) Wyznacz zbiór wartości funkcji: h (x) = f(x), h (x) = f(x ) h (x) = f(x) + c) Wyznacz miejsca zerowe funkcji: m (x) = f( x), m (x) = f(x + ) m (x) = f(x) + Zadanie 5. Poniżej przedstawione są wykresy funkcji y = f(x).

24 S t r o n a Naszkicuj wykresy funkcji: a) g (x) = f(x) + b) g (x) = f(x) c) g (x) = f(x + ) d) g 4 (x) = f(x ) e) g 5 (x) = f( x) f) g 6 (x) = f(x + ) W każdym przypadku zapisz dziedzinę oraz zbiór wartości funkcji. Zadanie 6. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym przedziale: a) 7; 6 b) ; c) ; d) ; 6 Zadanie 7. Oblicz wartość funkcji f dla podanych obok argumentów. a) f(x) = 4, {,, x } b) f(x) = x4, {,, } x 8 + c) f(x) = x 5 x x, {,, } d) f(x) = x x+ x, {,, } Zadanie 8. Wyznacz miejsca zerowe funkcji f. a) f(x) = x + 5 d) f(x) = x x b) f(x) = x + 4 c) f(x) = x + 8 e) f(x) = x 4 x g) f(x) = x + h) f(x) = x +x 4 x x +6x 7 f) f(x) = x 49 (x )(x 7) i) f(x) = x 4x+4 x 6 Zadanie 9. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej dwucyfrowej sumę kwadratów cyfr tej liczby. Wówczas: A. f(5) = 49 B. f(5) = 9 C. f(5) = D. f(5) = Zadanie 0. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej dodatniej liczbę jej naturalnych dzielników. Wówczas: A. f(4) = 4 B. f(4) = 7 C. f(4) = 8 D. f(4) = 9

25 4 S t r o n a Zadanie. Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x 6. Wówczas wartość funkcji f dla argumentu x = jest równa: x A. B. C. D. 9 Zadanie. Wykres funkcji f(x) = x przesunięto wzdłuż osi OX o jednostki w kierunku ujemnym i otrzymano wykres funkcji g. Wzór funkcji g można zapisać w postaci: A. g(x) = x+ B. g(x) = x C. g(x) = x D. g(x) = x + Zadanie. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej dodatniej nie większej od 9 liczbę do niej przeciwną powiększoną o. a) Podaj wzór funkcji. b) Podaj zbiór wartości funkcji. c) Podaj miejsca zerowe funkcji. Zadanie 4. Funkcja f określona jest wzorem f(x) = Oblicz: a) f( ) b) f( ) x x 4 + dla każdej liczby rzeczywistej x. Zadanie 5. Dana jest funkcja: a) f(x) = x b) f(x) = x+ c) f(x) = (x ) d) f(x) = x x Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz wartość tej funkcji dla argumentu 5. Zadanie 6. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej dwucyfrowej cyfrę jedności jej kwadratu. Podaj zbiór wartości tej funkcji.

26 5 S t r o n a Odpowiedzi (VI). a) ( ; b) ; c) d) ( ; e) 0; f) ; 0 g) ( ; ) h) (; i) j) k) l). a) ( 4; 6 b) {, 5} c) ( 4; oraz ; 0 d) ; oraz 4; 6 e) ; oraz ; 4 f) x = 6. a) ( 5; 6 b) ; 4) c),, 6 d) ; 4 e) ( 5; 4, ; 0, 4; 6 f) 4;, 0; g) x ( 5; ) (; 6) h) x ( ; ) i) x 4; j) k) 9 l) 5 ; ) 4. a) D g = 6; 8 D g = ; D g = 8; 6 b) ZW h = ; ZW h = ; ZW h = ; 6 c) m : x = 4, x = 7 m : x = 9, x = 6 m : x = 6 5. Rys.. D g = ; 5), ZW g = (; 4 D g = ; 5), ZW g = ( ; 0 D g = 4; 4), ZW g = (0; D g4 = 0; 8), ZW g4 = (0; D g5 = ( 5;, ZW g5 = ( ; 0 D g6 = 4; 4), ZW g6 = 5; ) Rys.. D g = ( 4; 4, ZW g = ( ; 4 D g = ( 4; 4, ZW g = ( 5; 0 D g = ( 5;, ZW g = ( ; D g4 = ( ; 7, ZW g4 = ( ; D g5 = 4; 4), ZW g5 = ( 5; 0 D g6 = ( 5;, ZW g6 = 5; 0) Rys.. D g = ( ; 4, ZW g = ; 4 D g = ( ; 4, ZW g = ; 0 D g = ( 4;, ZW g = 0; D g4 = (0; 7, ZW g4 = 0; D g5 = 4; ), ZW g5 = ; 0 D g6 = ( 4;, ZW g6 = 5; Rys.4. D g = ( ; 4), ZW g = ; 4) D g = ( ; 4), ZW g = 5; 0) D g = ( 4; ), ZW g = ; ) D g4 = (0; 7), ZW g4 = ; ) D g5 = ( 4; ), ZW g5 = 5; 0) D g6 = ( 4; ), ZW g6 = ( 5; 0

27 6 S t r o n a 6. a) y MIN = 4, y MAX = 6 b) y MIN =, y MAX = c) y MIN =, y MAX = d) y MIN = 0, y MAX = 6 7. a) f() =, f ( ) = 7 f( ) = 4 7 b) f() = f( ) = f( ) = 4 7 c) f( ) = f( ) = 0 f( ) = 5 4 d) f( ) = 5 f( ) = f( ) = 8. a) x = 5 b) x = c) x = d) x = e) x = f) x = 7 g) x = 4 h) x = 4 i) x φ 9. B 0. C. A. A. a) f(x) = x +, gdzie x {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b) ZW f = { 6, 5, 4,,,, 0,, } c) x 0 = 4. a) b) 5. a) D f = ;+ ), f(5) = b) D f = R\{ }, f(5) = 4 c) D f = R, f(5) = 9 d) D f = R\{}, f(5) = 5 6. ZW f = {0,, 4, 5, 6, 9}

28 7 S t r o n a VII. FUNKCJA LINIOWA Zadanie. Dla jakiej wartości m miejscem zerowym funkcji f(x) = (4 m)x + 8 jest liczba? Zadanie. Podaj miejsce zerowe funkcji y = (x + ) 6. Zadanie. Dla jakiego a do wykresu funkcji y = 4x + a należy punkt ( ; )? Zadanie 4. Dla jakiego m proste o równaniach y = (m )x + 7 i y = (6 + m)x są równoległe? Zadanie 5. Oblicz współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach: 4x + y = i y = x +. Zadanie 6. Oblicz miejsce zerowe funkcji liniowej f(x) = (x + ). Zadanie 7. Dana jest funkcja f(x) = x +. Oblicz: f( ) f(). Zadanie 8. Znajdź wzór funkcji liniowej f o której wiadomo, że f() =, f() =. Zadanie 9. Dana jest funkcja opisana wzorem y = ( m)x + m, gdzie x R: a) dla jakich m funkcja jest malejąca? b) dla jakich m wykres funkcji przecina oś OY poniżej osi OX? Zadanie 0. Dana jest funkcja liniowa określona wzorem f(x) = x + 7. Napisz wzór funkcji, której wykres jest: a) równoległy do wykresu podanej funkcji i przechodzi przez punkt M = ( ; ); b) prostopadły do wykresu podanej funkcji i przechodzi przez punkt M = ( ; ). Zadanie. Dana jest funkcja y = 4x + : a) wyznacz punkty przecięcia się wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych; b) wyznacz wartość funkcji dla x = ;

29 8 S t r o n a c) wyznacz zbiór wszystkich argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości nie większe niż 5. Zadanie. Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x) = x +. Napisz wzór funkcji g, której wykres powstaje w wyniku przekształcenia wykresu funkcji f przez: a) symetrię osiową względem osi OX; b) symetrię osiową względem osi OY. Zadanie. Napisz wzór funkcji liniowej, gdy y = 5x + b i miejsce zerowe x 0 =. Zadanie 4. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt A = ( ; ) i jest prostopadły do wykresu funkcji y = x. Zadanie 5. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji y = x 4 i przechodzi przez punkt A = (6; ). Zadanie 6. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji f(x) = x + i przechodzi przez punkt P = (4; ). Zadanie 7. Napisz wzór funkcji liniowej, wiedząc że do jej wykresu należą punkty A i B takie, że: a) A = ( 4; ), B = (0; ) b) A = ( ; 8), B = (4; 8) Zadanie 8. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres tworzy z osią OX kąt α = 50 i jej miejscem zerowym jest liczba. Zadanie 9. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przecina oś OY w punkcie (0; 8) oraz przyjmuje wartości dodatnie dla x <. Zadanie 0. Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji liniowej. Odczytaj z rysunku odpowiednie dane i napisz wzór tej funkcji.

30 9 S t r o n a Zadanie. Wyznacz wzór funkcji liniowej, o której wiadomo, że f( ) = 4 oraz do wykresu funkcji należy punkt P = (; ). Zadanie. Dana jest funkcja f(x) = 4x + 7. Oblicz f ( ) f(). Zadanie. Określ monotoniczność funkcji f: a) f(x) = (π,4)x + b) f(x) = ( )x 4 Zadanie 4. Wyznacz m, dla którego podana f jest malejąca: a) f(x) = ( m 4) x + 7 b) f(x) = (m 9)x Zadanie 5. Wyznacz współczynnik b, jeżeli: a) miejscem zerowym funkcji f(x) = x + b jest b) wykres funkcji f(x) = 4x + b przechodzi przez punkt P = ( ; ) c) funkcja f(x) = x + b ma takie samo miejsce zerowe jak funkcja g(x) = x + Zadanie 6. Wyznacz miejsce zerowe funkcji: a) f(x) = x 8 b) f(x) = 7 + 5x

31 0 S t r o n a c) f(x) = x + d) f(x) = 5 x e) f(x) = x + f) f(x = x + g) f(x) = (x 4) 8 Zadanie 7. Dla jakich m funkcja: a) f(x) = ( m)x + jest rosnąca? b) f(x) = ( m)x + jest malejąca? c) f(x) = (,0 + 0,m)x + jest stała? Zadanie 8. Znajdź wzór funkcji liniowej f, której współczynnik kierunkowy a =, a jej wykres przechodzi przez punkt P = (; 5). Zadanie 9. Dla jakiego m liczba jest miejscem zerowym funkcji f(x) = x + m. Zadanie 0. Funkcje f(x) = x + oraz g(x) = x + b mają takie samo miejsce zerowe. Wyznacz współczynnik b funkcji g. Zadanie. Do wykresu funkcji liniowej f(x) = x + 5 należą punkty A = (a; ) oraz B = ( ; b). Oblicz brakujące współrzędne punktów A i B. Zadanie. Funkcja liniowa przecina oś OY w punkcie (0; ) i jest nachylona do osi OX pod kątem 45. Napisz wzór tej funkcji. ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. Funkcja liniowa f(x) = (m 9)x + m jest rosnąca dla: A. m {, } B. m ( ; ) C. m ( ; ) (; + ) D. m R Zadanie 4. Do wykresu funkcji liniowej f(x) = ax należy punkt A = ( 4; ). Liczba a wynosi: A. a = B. a = 5 C. a = D. a =

32 S t r o n a Zadanie 5. Wskaż wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji y = x : 5 A. y = x B. y = x + 6 C. y = 5x + D. y = 5x 5 5 Zadanie 6. Wskaż wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji y = x + : A. y = x + 6 B. y = 8 x C. y = 8 x + D. y = 8 x Zadanie 7. Liczba 4 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (4 m)x + 8. Wynika stąd, że: A. m = 4 B. m = 4 C. m = D. m = Zadanie 8. Dana jest funkcja liniowa f(x) = x + 6. Miejscem zerowym tej funkcji jest: 8 A. 5 B C D. 5 Zadanie 9. Dana jest funkcja liniowa f(x) = x +. Wskaż zdanie prawdziwe: 6 A. Funkcja jest malejąca. B. Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (; 0). C. Miejscem zerowym funkcji jest liczba 0. 7 D. Miejscem zerowym jest punkt ( 0 ; 0). 7 Zadanie 40. Wykres funkcji liniowej y = x + przecina oś OX w punkcie o współrzędnych: A. (0; ) B. ( ; 0) C. ( ; 0) D. (0; ) Zadanie 4. Na podstawie wykresu podaj wzór funkcji liniowej:

33 S t r o n a A. f(x) = x + C. f(x) = x B. f(x) = x + D. f(x) = x Zadanie 4. Wykres funkcji liniowej f(x) = ax + b nie przechodzi przez I ćwiartkę układu współrzędnych. Stąd wynika, że: A. a < 0 i b < 0 B. a < 0 i b > 0 C. a > 0 i b > 0 D. a > 0 i b < 0 Zadanie 4. Punkt ( ; ) należy do wykresu funkcji y = x + b. Wtedy jej współczynnik b jest równy: A. b = B. b = 6 C. b = 0 D. b = 4 Zadanie 44. Wskaż wzór funkcji liniowej, wiedząc że punkty A = ( 4; 0) i B = (0; ) należą do jej wykresu: A. y = x + B. y = x + C. y = x 4 D. y = x 4 Odpowiedzi (VII). m = 8.. a = 0 4. m = 9 5. (0; ) f(x) = x + 5 9a) m (; + ) 9b) m ( ; ) 0a) y = x + 5 0b) y = x + 5 a) (0; ), ( ; 0) b) 8 + c) x ; + ) a) y = x 4 b) y = x +. y = 5x 5 4. y = x y = x 6. y = x + 7a) y = 5 4 x 7b) y = 8 8. y = x + 9. y = 4x 8 0. y = x +. y = x +. 0 a) a > 0; funkcja rosnąca b) a < 0; funkcja malejąca 4a) m ( 4; + ) 4b) m ( ; ) 5a) b = 5b) b = 0 5c) b = 6. a) x = 8 b) x = 7 5 c) x = d) x = 6

34 S t r o n a e) x = 9 6 f) x = g) x = 4( + ) 7a) m < 7 b) m < 7c) m = 5, 8. y = x 7 9. m = 8 0. b = 4. a = 4, b = 7. y = x + Zadania zamknięte. C 4. D 5. B 6. C 7. C 8. D 9. C 40. B 4. B 4. A 4. A 44. A

35 4 S t r o n a VIII. FUNKCJA KWADRATOWA Zadanie. Dana jest funkcja kwadratowa: y = x x + : a) podaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej i iloczynowej; b) podaj równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem funkcji; c) podaj największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale ; ; d) narysuj wykres tej funkcji. Zadanie. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej y = x 4x + c jest przedział 5;+ ). Oblicz wartość współczynnika c. Zadanie. Przedział ( ; jest maksymalnym zbiorem, w którym funkcja y = x + bx jest malejąca. Wyznacz najmniejszą wartość tej funkcji. Zadanie 4. Podaj najmniejszą wartość funkcji y = x + x. Zadanie 5. Funkcja kwadratowa f(x) = x + bx + c ma dwa miejsca zerowe i. Oblicz wartość współczynników b i c. Zadanie 6. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f(x) = 4x 4x +, a) wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli; b) wyznacz zbiór wartości funkcji; c) oblicz miejsca zerowe; d) wyznacz równanie osi symetrii wykresu; e) podaj wzór funkcji w postaci iloczynowej; f) podaj przedział, w którym funkcja jest rosnąca (malejąca); g) podaj najmniejszą wartość funkcji ; h) oblicz wartość f( ); i) rozwiąż równanie f(x) =. Zadanie 7. Dany jest wzór funkcji f(x) = (x + 5) : a) wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli; b) podaj zbiór wartości funkcji; c) podaj maksymalne przedziały monotoniczności funkcji; d) podaj równanie osi symetrii wykresu; e) zapisz wzór funkcji w postaci ogólnej; f) podaj współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY;

36 5 S t r o n a g) wyznacz miejsca zerowe funkcji ; h) podaj największą (najmniejszą) wartość funkcji. Zadanie 8. Wyznacz wartość współczynnika b, aby funkcja f(x) = x + bx była malejąca w przedziale ( ; i rosnąca w przedziale ; + ) Zadanie 9. Dana jest funkcja f(x) = x + 4x + c. Wyznacz wartości c, dla których funkcja przyjmuje tylko wartości ujemne. Zadanie 0. Dana jest funkcja f(x) = x + bx + c. Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby: i. Wyznacz b i c. Zadanie. Osią symetrii wykresu y = ax + 0x + jest prosta o równaniu x =. Wyznacz a. Zadanie. Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = x + x + 8. a) Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f. b) Podaj równanie osi symetrii wykresu funkcji. c) Podaj przedziały monotoniczności funkcji. d) Podaj zbiór wartości funkcji. e) Oblicz miejsca zerowe funkcji. f) Podaj współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY. g) Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej. h) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale ;. i) Oblicz wartość największą i najmniejszą funkcji w przedziale ;. j) Podaj wzór funkcji f w postaci kanonicznej. k) Podaj wzór funkcji f w postaci iloczynowej. Zadanie. Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, wiedząc że funkcja ta przyjmuje wartość największą równą, jest malejąca tylko w przedziale ; + ) i jednym z jej miejsc zerowych jest x =. Zadanie 4. Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = x + bx + c jest parabola, która przecina oś OX w punktach A = ( 4; 0), B = (; 0). Wyznacz współczynniki b oraz c.

37 6 S t r o n a Zadanie 5. Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = x + 6x + 0. a) Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f. b) Podaj współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY. c) Oblicz miejsca zerowe funkcji (o ile istnieją). d) Zapisz postać kanoniczną i iloczynową (o ile istnieje). e) Naszkicuj wykres funkcji. f) Podaj równanie osi symetrii paraboli. g) Podaj najmniejszą wartość funkcji w przedziale 5;. Odpowiedzi (VIII). a) y = (x + ) + 5 b) x =. c = 7. y MIN = p. kanoniczna; y = (x )(x + ) p. iloczynowa c) y MAX = 5, y MIN = 8 4. y MIN = 5. b = 6, c = 9 6. a) W = ( ; 0) b) 0; + ) c) x = d) x = e) f(x) = 4 (x ) f) f : ; + ); f : ( ; g) y MIN = 0 h) f( ) = 5 i) {0; } 7. a) W = ( 5; 0) b) ZW f = ( ; 0 c) f : ( ; 5 ; f 5; + ) d) x = 5 e) y = x 0x 50 f) P = (0; 50) g) x = 5 h) y MAX = 0; y MIN nie istnieje 8. b = 4 9. c < 4 0. b =, c =. a =,5. a) W = (; 9) b) x = c) f : ( ; ; f ; + ) d) ZW f = ( ; 9 e) x =, x = 4 f) P = (0; 8) h) y MAX = f() = 8; y MIN = f() = 5 i) y MAX = f() = 9; y MIN = f( ) = 0 j) f(x) = (x ) + 9 k) f(x) = (x + )(x 4). y = (x ) + 4. b = 4, c = 6 5. a) W = ( ; ) b) (0; 0) c) brak d) f(x) = (x + ) + postać kanoniczna, iloczynowa nie istnieje f) x = g) y MIN =

38 7 S t r o n a IX. CIĄGI LICZBOWE ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. Dany jest ciąg (a n ) określony wzorem a n = 4+n n+ dla n. Wtedy a a 5 wynosi A. 4 B. 7 4 C. 4 D. Zadanie. Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a n ) jest równa 0. Wyraz trzeci tego ciągu jest równy A. 5 B. 0 C. 5 D. Zadanie. Wzór ogólny ciągu (a n ), w którym a = 8, a 4 = 6 może być równy A. a n = n + 4 B. a n = 4n + 4 C. a n = 4n D. a n = 4n Zadanie 4. Liczba ujemnych wyrazów ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym a n = n 4n jest równa A. 5 B. C. D. Zadanie 5. Dany jest ciąg (a n ) określony wzorem a n = ( )n +. Piąty wyraz tego ciągu jest równy A. 9 8 B. 5 C. 9 8 n + D. 5 Zadanie 6. Suma wszystkich ujemnych wyrazów ciągu (a n ) określonego wzorem a n = n 9 jest równa A. 5 B. C. D. 7 Zadanie 7. Dany jest ciąg określony wzorem a n = n +. Wtedy 5 A. a 5 = 5 B. a = 5 C. a 0 = 5 D. a = 5 ZADANIA OTWARTE Zadanie 8. Dany jest ciąg (a n ) określony wzorem a n = n n + 8 dla n. Które wyrazy ciągu są ujemne? Zadanie 9. Dany jest ciąg a n = ( ) n ( n). Oblicz: a, a, a, a 4, a 0. Zadanie 0. Który wyraz ciągu a n = n 5 jest równy 4? Zadanie. Dany jest ciąg (a n ) określony wzorem a n = 4n. Czy wyrazem ciągu może być liczba 6? Jeśli tak, to podaj który to wyraz.

39 8 S t r o n a Zadanie. Ciąg (a n ) jest określony wzorem a n = ( ) n, dla n. Wyznacz sumę dziesięciu początkowych jego wyrazów. Odpowiedzi (IX) Zadania zamknięte. A. B. C 4. D 5. C 6. C 7. B Zadania otwarte 8. a 5, a 6 9. a =, a = 0, a =, a 4 =, a 0 = 8 0. a = 4. TAK, a 5. S 0 = 68

40 9 S t r o n a X. CIĄG ARYTMETYCZNY Zadanie. Zbadaj, czy ciąg (a n ) określony wzorem a n = n arytmetycznym. 5n dla n jest ciągiem Zadanie. Wykaż, że ciąg (a n ) jest arytmetyczny: Wskazówka a) a n = n + 5 b) a n = n 4 c) a n = +n 5 d) a n = (n ) n Wyznacz różnicę a n+ a n Zadanie. W ciągu arytmetycznym (a n ), określonym dla n, dane są: a 6 = 6, a 0 = 8. Oblicz a 8 oraz S 0. Zadanie 4. W ciągu arytmetycznym (a n ), określonym dla n, a 5 + a 6 + a 7 = 0. Oblicz a 6. Zadanie 5. W ciągu arytmetycznym (a n ), określonym n, dane są: a = i a 7 =. Oblicz a. Zadanie 6. Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ), określonym n, w którym a = 4 i a 6 =. Wyznacz różnicę ciągu. Zadanie 7. Oblicz x, gdy kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a n ) są liczby: a), x, + 4 b), x + 4, x + 0 Zadanie 8. Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ), określonym n, w którym a =, a =. Wyznacz różnicę r i wzór ogólny tego ciągu. Zadanie 9. Dane są trzy początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego (a n ): a = x, a = x +, a 9 = 8x + 6. Wyznacz a oraz różnicę r tego ciągu. Zadanie 0. W ciągu arytmetycznym (a n ), określonym n : S 6 = 5, S =. Oblicz a 5. Zadanie. Dane są trzy początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego: x, x, x +. Oblicz: x, różnicę tego ciągu r oraz S 0.

41 40 S t r o n a Zadanie. Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego, w którym trzy pierwsze wyrazy są równe 7, x, 5x 4. Zadanie. Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (6,, 0, ). Zadanie 4. Liczby: x, 4x +, 5 są odpowiednio pierwszym, szóstym i ósmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wyznacz x oraz różnicę tego ciągu. Zadanie 5. W ciągu arytmetycznym (a n ), określonym n, S 9 = 50 i S =. Oblicz a. Zadanie 6. W ciągu arytmetycznym (a n ), określonym n, a + a 7 = 50. Oblicz a 5 + a 5. Zadanie 7. Wyznacz wzór na ogólny ciągu arytmetycznego (a n ), w którym a = 8 i a 0 = 6. Zadanie 8. Oblicz sumę wszystkich ujemnych wyrazów ciągu arytmetycznego (a n ), określonego wzorem: a) a n = 5n 40 b) a n = n 0 Zadanie 9. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę. Zadanie 0. Oblicz a 00 ciągu arytmetycznego, w którym a 4 = i a 7 = 7. Zadanie. Oblicz a, gdy a 8 = 5 i r =. Zadanie. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 54, a a = 9. Wyznacz r. Zadanie. Dane są trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego: x +, x, 6x 4. Wyznacz x. Zadanie 4. Wyznacz x w ciągu arytmetycznym wiedząc, że kolejnymi wyrazami tego ciągu są liczby:, 8x + 9, 64x + 4 dla x 0. x Zadanie 5. W ciągu arytmetycznym a = x, a = x i a 8 = 7. Wyznacz x.

42 4 S t r o n a Zadanie 6. W ciągu arytmetycznym S 50 = 6, S 49 =. Oblicz a 50. Zadanie 7. W ciągu arytmetycznym S 0 = 0, S 9 =. Oblicz a. Zadanie 8. W ciągu arytmetycznym S n = n(n+). Wyznacz a 5. Zadanie 9. Wyznacz sumę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym a n = 6 n. Zadanie 0. Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów a i a 5 ciągu a n = n. Zadanie. Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ) określony dla n, w którym a 9 = i r =. Wyznacz: a) a, a 0 b) S 0 c) wzór ogólny ciągu Zadanie. Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ) określony dla n, w którym a = 7, a 9 = 5. Wyznacz: a) a i r b) a c) S 5 d) różnicę a 5 a. Zadanie. Dany jest ciąg arytmetyczny o wyrazie ogólnym a n = n. Oblicz sumę wszystkich ujemnych wyrazów tego ciągu. Odpowiedzi (X). a 8 = 5, S 0 = a 6 = 0 5. a = 6 6. r = 7a) x = + 7b) x = lub x = 8. r =, a n = n 9. a =, r = 5 0. a 5 = 4. x = 4, r =, S 0 = 75. r = 7. S 0 = 450

43 4 S t r o n a 4. x = 4, r = 5. a = a n = n + 8a) 40 8b) a = 6. r = 9. x = 4. x = lub x = x = 6. a 50 = 4 7. a = 6 8. a 5 = 5 9. S = x = 4 a) a = 48, a 0 = 0 b) S 0 = 580 c) a n = n + 50 a) a =, r = b) a = 9 c) S 5 = 45 d) 8. S = 6 XI. CIĄG GEOMETRYCZNY Zadanie. Zbadaj, czy ciąg (a n ) jest ciągiem geometrycznym. a) a n = n b) a n = n c) a n = n + Zadanie. Wykaż, że ciąg (a n ) jest geometryczny: a) a n = ( )n b) a n = ( )n+ c) a n = n d) a n = ( ) n e) a n = 4 n f) a n = 5 n+ Wskazówka Wyznacz iloraz a n+ a n. 5 Zadanie. Dany jest ciąg geometryczny (a n ) Oblicz a oraz iloraz q. a) a = 6, a 4 =, b) a =, a 5 = 9, c) a = i a 4 = Zadanie 4. W ciągu geometrycznym a 5 a 6 a 7 = 7. Oblicz a 6. Zadanie 5. Wykaż, że podane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. a),,, b) 5, 5 +, Zadanie 6. Dany jest ciąg geometryczny (a n ), w którym a = i a 4 = + 4. Uzasadnij, że iloraz q tego ciągu jest liczbą całkowitą.

44 4 S t r o n a Zadanie 7. Oblicz x, jeśli podane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (a n ): a), 6, x, b) 4, x, 6, c), x, 7, d) x, x 4, 6, e) x, x, 5, f) 4, x + 5, 9, g) 8 x, x, x + 6, h) x, x +, 4x +, Zadanie 8. Dane są wyrazy ciągu geometrycznego: a = 6, a 4 = 48. Wyznacz wzór ogólny ciągu. Zadanie 9. W ciągu geometrycznym (a n ) a = 6, S = 4. Oblicz S 4. Zadanie 0. Między 9 i 8 geometryczny. wstaw pięć takich liczb, aby wraz z danymi tworzyły ciąg Odpowiedzi (XI) a) nie b) nie c) nie a) a = 4, q = b) { a = q = lub { a = q = c) {a = q = 4 lub {a = q = 4 4. a 6 = 6. q = 7a) x = 8 7b) x = 8 lub x = 8 7c) x = lub x = 6 7d) x = 4 7e) x = 8 lub x = 7f) = lub x = 7g) x = 8 lub x = 6 7h) x = 8. a n = n 9. S 4 = (,,, 9, 7 ) lub (,,, 9, 7 )

45 44 S t r o n a XII. CIĄG ARYTMETYCZNY I GEOMETRYCZNY Zadanie. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a n ) dla n taki, że a 6 =. Wyrazy a, a 7 i a 49 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a n ). Zadanie. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a n ) dla n taki, że a 7 = 0. Wyrazy a, a 5 i a są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a n ). Zadanie. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a n ) dla n taki, że a = 7. Wyrazy a, a i a 6 są odpowiednio pierwszym, trzecim i piątym wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a n ). Zadanie 4. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a n ) dla n taki, że a = 5. Wyrazy a, a 4 i a 6 są odpowiednio pierwszym, trzecim i piątym wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu (a n ). Zadanie 5. Spośród liczb (, 9, x, x + y) trzy pierwsze tworzą ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie ciąg geometryczny. Wyznacz x oraz y. Zadanie 6. Dany jest ciąg czterech liczb (x + 0, 7, y, ) Wyznacz x oraz y wiedząc, że trzy pierwsze wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie ciąg geometryczny. Odpowiedzi (XII). a n = n ) a n = n 4 ) a n = n x = , 0, 5, 0, 5 5. { y = 0 x = 5 6. { y = 9 lub {x = 5 y = 9 XIII. GEOMETRIA ANALITYCZNA Zadanie. Wyznacz równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt A: a) k: y = x, A = (, ), b) k: x y + 5 = 0, A = (, 4), c) k: y = x +, A = ( 8, ). d) k: x y + 8 = 0, A = (0, ). e) k: y = x + 4, A = (0, ).

46 45 S t r o n a Zadanie. Wyznacz równanie prostej l prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt P: a) k: y = x, P = (, ), b) k: y = x +, P = (, 5), c) k: y x + 4 = 0, P = (, 6). d) k: 8x + 4y 6 = 0, P = (, 5). e) k: y = x + 4, P = (0, ). Zadanie. Wyznacz m, dla którego proste k i l są równoległe: a) k: y = x, l: y = (m 4)x +, b) k: y = (m + )x +, l: y = m x m +. Zadanie 4. Dla jakiej wartości parametru m proste y = (m 4)x + 6m oraz y = (m + 4)x są równoległe? Zadanie 5. Dla jakich wartości parametru m proste y = ( 4m+ ) x 7 i y = (4m )x + m + są równoległe? Zadanie 6. Dla jakich wartości parametru m proste o równaniach y = (m + 6)x 0 oraz y = ( m 4)x + są równoległe? Zadanie 7. Wyznacz m, dla którego proste k i l są prostopadłe: a) k: y = (m + )x m, l: y = (m + )x, b) k: y = (m m)x + 5, l: y = x + m. Zadanie 8. Dla jakiej wartości parametru m proste y = (m )x + oraz y = (m + )x + m 7 są prostopadłe? Zadanie 9. Dla jakich wartości parametru m proste o równaniach y = (m )x + m oraz y = (m + )x są prostopadłe? Zadanie 0. Wyznacz współrzędne środka S odcinka AB, jeśli: a) A = (0, ), B = (4, 0) b) A = (, ), B = (4, 0), c) A = (, ), B = (0, ). Zadanie. W odcinku AB dany jest punkt A = (, ) oraz środek odcinka S = (, ). Oblicz współrzędne punktu B.

47 46 S t r o n a Zadanie. Punkt A = ( 4, 5) jest końcem odcinka AB, a punkt P = (0, 4) jego środkiem. Oblicz współrzędne punktu B. Zadanie. Punkt A = (, ) jest końcem odcinka AB o środku S = (, ). Oblicz współrzędne punktu B. Zadanie 4. Punkt S = (0, 0) jest środkiem odcina AB, gdzie A = (, y A ), B = (x B, ) Wyznacz y A i x B. Zadanie 5. Dany jest odcinek AB, w którym A = (x A, ), B = ( 5, y B ) oraz środek S = (, ). Oblicz brakujące współrzędne. Zadanie 6. Dany jest równoległobok ABCD, w którym kolejne wierzchołki mają współrzędne: A = (, ), B = (, ), C = (, ). Wyznacz współrzędne punktu S przecięcia się przekątnych. Zadanie 7. Dany jest równoległobok ABCD, w którym kolejne wierzchołki mają współrzędne: A = (0, 0), B = (4, ), C = (6, 5). Wyznacz współrzędne punktu S przecięcia się przekątnych oraz współrzędne punktu D. Zadanie 8. Punkty A = (, 6) oraz B = ( 8, ) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD, a punkt S = (, 0) jest punktem przecięcia jego przekątnych. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego równoległoboku oraz jego obwód. Zadanie 9. Dane są dwa kolejne wierzchołki A = (, ) i B = (4, 6) kwadratu ABCD. Wyznacz długość przekątnej kwadratu. Zadanie 0. Dane są dwa kolejne wierzchołki A = (0, 8), B = ( 5, ) i kwadratu ABCD. Oblicz pole i obwód tego kwadratu. Zadanie. Dany jest kwadrat ABCD o przekątnej AC, gdzie A = (, ) i C = (6, 8). Wyznacz długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie. Zadanie. Dany jest kwadrat ABCD o boku AB, gdzie A = (0, 0), B = (7, 4). Wyznacz długość promienia r okręgu wpisanego oraz długość promienia R okręgu opisanego na tym kwadracie. Zadanie. W prostokącie ABCD dane są przeciwległe wierzchołki A = (, ) oraz C = (, 4). Wyznacz współrzędne przecięcia się przekątnych tego prostokąta i długość jego przekątnej.

48 47 S t r o n a Zadanie 4. Dane są wierzchołki A = (, 0) oraz B = (, 4) trójkąta równobocznego. Wyznacz wysokość trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Zadanie 5. Dany jest trójkąt równoboczny ABC, gdzie A = (, ), B = (0, 4). Wyznacz długość wysokości h tego trójkąta. Zadanie 6. Dany jest trójkąt równoboczny ABC, gdzie A = (5, ) i B = (, ). Oblicz długość R promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Zadanie 7. Dane są dwa wierzchołki trójkąta równobocznego A = (, ) i B = (, ). Oblicz długość h wysokości tego trójkąta oraz długość promienia r okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zadanie 8. Punkty A = (, ) i B = (0, ) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Oblicz: a) obwód b) pole c) równanie prostej zawierającej bok AB d) promień okręgu wpisanego w trójkąt e) promień okręgu opisanego na trójkącie. Zadanie 9. Punkty A = (, ), C = (, 4) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC = BC. Podstawa AB zawiera się w prostej y =. Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta. Zadanie 0. Dane są proste o równaniach y = x + 4 oraz y = 4 x + b, które przecinają się w punkcie leżącym na osi OY układu współrzędnych. Oblicz wartość współczynnika b oraz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci zawarty jest w osi OX. Zadanie. Oblicz współrzędne punktu A przecięcia prostych o równaniach x y + 4 = 0 i y = x oraz długość odcinka AB jeśli punkt B = (, 8). Zadanie. Dane są wierzchołki trójkąta A = (, ), B = (4, ), C = (, 4). Z wierzchołka C poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok AB w punkcie D. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt D i równoległej do boku BC. Zadanie. A = (, 0), B = (5, ), C = (, ) Oblicz obwód trójkąta ABC oraz sprawdź, czy jest równoramienny. Jeśli tak, wyznacz równanie osi symetrii tego trójkąta. Zadanie 4. Dane są dwie proste y = x oraz y = x + b, które przecinają oś OX w tym samym punkcie. Oblicz wartość współczynnika b oraz pole trójkąta ograniczonego tymi prostymi oraz osią OY.

49 48 S t r o n a Odpowiedzi (XIII). a) y = x + b) y = x 7 c) y = x + d) y = x + e) y = x. a) y = x d) y = x 5 b) y = x + 5 c) y = x + 6 e) y = 7 x +. a) m = 7 b) m = 4. m = 8 5. m = 4 lub m = 4 6. m = 7. a) m = b) m = + lub m = 8. m = lub m = 9. m = lub m = 0. a) S = (, ) b) S = ( 5, ) c) S = (, ). B = (5, 6). B = (4, ). B = (6, ) 4. y A =, x B = 5. x A =, y B = 6. S = (, ) 7. S = (, ), D = (, 4) 8. C = (6, 6), D = (, ), L = d = 7 0. P = 5, L = 0 5. R = 74. r = 65, R = 0. S = (, ), AC = 5 4. h = 5 5, R = 5. h = 6 6. R = 6 7. h =, r = 8. a) L = 5, b) P = 5, c) y = x + d) r =, e) R =, B = (4, ) 0. b = 4, P = 4. A = (5, 4), AB = 6. D = ( 40, ), y = 5 x +. y = 7x, L = b =, P = 5 8

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4 Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y= Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5)

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5) Lista nr 1 LICZBY RZECZYWISTE Zad.1 Udowodnij równość: 5 3 10 27 = 10 3 5 9. Zad.2 Wartość wyrażenia (3 1 3 27 2 3 9 1 ) 3 4 zapisz w postaci pierwiastka z liczby wymiernej. Zad.3 Oblicz wartość wyrażenia:

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A06 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Wartość wyrażenia 1 3 + 1 + 3

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Przygotowanie do poprawki klasa 1li

Przygotowanie do poprawki klasa 1li Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń PESEL Kod ucznia Próbna matura z WSiP Marzec 07 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D) FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej

Bardziej szczegółowo

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log )

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log ) ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr LICZBY RZECZYWISTE Zad. Wskaż liczby wymierne: 4 9 ; 7; 6; π;, 333...; 3, (); 3 5; ( ) 0 ; 7 9 ; 4, 000000...; 3 7 7 3 ; 3 3 3. Zad. Dane są liczby

Bardziej szczegółowo

KURS FUNKCJE. LEKCJA 6 PODSTAWOWA Funkcje zadania maturalne ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS FUNKCJE. LEKCJA 6 PODSTAWOWA Funkcje zadania maturalne ZADANIE DOMOWE.   Strona 1 KURS FUNKCJE LEKCJA 6 PODSTAWOWA Funkcje zadania maturalne ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Dana jest funkcja f przedstawiona

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1 1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb f(42), f(44), f(45), f(48) A. f(42) B. f(44) C. f(45)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 49988 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT) Odległość punktu A =

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

1. Na wycieczkę pojechało 21 osób o średniej wieku 23 lata. Średnia ta wzrośnie do 24 lat, jeśli doliczy się wiek przewodnika. Ile lat ma przewodnik?

1. Na wycieczkę pojechało 21 osób o średniej wieku 23 lata. Średnia ta wzrośnie do 24 lat, jeśli doliczy się wiek przewodnika. Ile lat ma przewodnik? Diagnoza klasa I Zestaw zawiera zadania z wcześniejszych diagnoz. Zadania zaczerpnięto z dostępnych zbiorów zadao różnych wydawnictw oraz arkuszy maturalnych CKE. Zadania otwarte 1. Na wycieczkę pojechało

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 Ekonomik w Zielonej Górze KLASA III fl POZIOM PODSTAWOWY I. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki Poziom podstawowy

Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki Poziom podstawowy Matematyka- Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki. Poziom podstawowy, Maria Płażewska Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki Poziom podstawowy Spis

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2019 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3

ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3 ZADANIE 1 i największa wartość funkcji f (x) = (x )(x + 1) w przedziale 0; 4. ZADANIE Wyznacz wzór funkcji f (x) = x + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa rozwiaza- niami równania

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ X

ARKUSZ X www.galileusz.com.pl ARKUSZ X W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 3 2 jest równa A) 5 2 B) 6 2 C) 6 2 D) 2 Zadanie 2. (0-1 pkt) Kurtka zimowa

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2018 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Miejsce na identyfikację szkoły PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ZGODNY Z WYMOGAMI NA 015 ROK POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 019 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron

Bardziej szczegółowo

1 S t r o n a ZDASZ MATURĘ! Cz.1. Do każdego zadania dodano film z rozwiązaniem

1 S t r o n a ZDASZ MATURĘ! Cz.1. Do każdego zadania dodano film z rozwiązaniem 1 S t r o n a ZDASZ MATURĘ! Cz.1 Do każdego zadania dodano film z rozwiązaniem S t r o n a Autor: ADAM CZYŻ E-book Zdasz maturę! w całości napisał, przygotował i dokonał poprawek: Adam Czyż prywatny korepetytor

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 08 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania 34). Ewentualny brak zgłoś

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Repetytorium z matematyki ćwiczenia Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 018 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 1 sierpnia 018

Bardziej szczegółowo

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 2 MARCA 2019 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Cena towaru bez podatku

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Marzec 2017 we współpracy z 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

1. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: x 5

1. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: x 5 Matematyka Liceum Klasa II Zakres podstawowy Pytania egzaminacyjne 07. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: 5 A. y = B. y = 5 C. y = D. y =.. Dana jest funkcja liniowa f() = + 4. Które

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = + Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji.

Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji. Zadanie 1 Sprowadź do postaci ogólnej funkcję kwadratową Zadanie 2 Wyznacz zbiór wartości funkcji Zadanie 3 Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji Zadanie 4 Wykres funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE PIERWSZEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE PIERWSZEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO PRAWDZIANÓW W KLAIE PIERWZEJ I Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Zad Dane są liczby: i y + Oblicz: a) sumę i y ; b) różnicę i y ; c) iloczyn i y ; d) iloraz i y ( usuń niewymierność

Bardziej szczegółowo

Prace semestralne luty 2011 czerwiec Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu

Prace semestralne luty 2011 czerwiec Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu Prace semestralne luty 2011 czerwiec 2011 Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu Praca semestralna nr 1a Semestr II Funkcje, funkcja liniowa. Zadania na ocenę dopuszczającą:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 155104 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Objętość stożka o

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 1 KWIETNIA 017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma sześciu kolejnych

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda, Marcin Kurczab. Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym

Elżbieta Świda, Marcin Kurczab. Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym Elżbieta Świda, Marcin Kurczab Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadanie (matura maj 009) Ciąg ( 3, + 3, 6 +, ) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich.

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 2018 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16

Bardziej szczegółowo

x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0

x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0 Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8].

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8]. Zadania 1 28 stanowią przykłady spełniające kryteria na ocenę 3. Zadanie 1 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f() określonej dla [-7, 8]. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji

Bardziej szczegółowo

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D. Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 20 sierpnia

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 3 KWIETNIA 016 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 3 7 48 jest równa

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 011 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA. MaturoBranie

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA. MaturoBranie Uzupełnia zdający PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY DATA: 25 stycznia 2017 r. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:00 CZAS PRACY: 170 minut MaturoBranie LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50 Instrukcja

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy M A T E M A T Y K A 14 MARCA Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy M A T E M A T Y K A 14 MARCA Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut Kod ucznia Nazwisko i imię M A T E M A T Y K A 14 MARCA 2018 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron (zadania 1-34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 1 TECHNIKUM

BAZA ZADAŃ KLASA 1 TECHNIKUM LICZBY RZECZYWISTE BAZA ZADAŃ KLASA TECHNIKUM. Znajdź liczbę odwrotną i liczbę przeciwną do liczby jeśli a). Wyznacz NWD(x, y), jeśli: a) x = 780, y = 6 b) x = 0, y = 6 c) x = 700, y = 60 d) x = 96, y

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo