Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia Zestaw. Modelowanie zadań programowania liniowego. Zadania dotyczące zagadnienia planowania produkcji Zadanie.. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Producent odzieży powinien określić, ile kurtek i płaszczy należy wyprodukować tak, aby zysk osiągnięty z ich sprzedaży był maksymalny. Do produkcji wykorzystywany jest jeden rodzaj tkaniny. Producent posiada 50 m 2 tej tkaniny. Zgodnie z zamówieniami należy wyprodukować co najmniej 20 kurtek i co najwyżej 0 płaszczy. Do produkcji jednej kurtki i jednego płaszcza potrzeba odpowiednio 2, 5 m 2 i 4 m 2 tkaniny. Przy sprzedaży jednej kurtki producent osiąga zysk 60 zł, płaszcza 50 zł. Zadanie.2. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Wytwórca mebli powinien określić, ile stołów, krzeseł, biurek i szaf powinien wyprodukować tak, aby zysk osiągnięty z ich sprzedaży był maksymalny. Do produkcji wykorzystywane są dwa typy desek. Wytwórca posiada 500 m desek I typu i 000 m desek II typu oraz dysponuje kapitałem 860 godzin roboczych na wykonanie zaplanowanej produkcji. Ze złożonych zamówień wynika, że należy wyprodukować co najmniej 40 stołów, 30 krzeseł, 30 biurek i nie więcej niż 0 szaf. Do produkcji każdego stołu, krzesła, biurka i szafy potrzeba odpowiednio 5,, 9, 2 m desek I typu i 2, 3, 4, m desek II typu. Na wykonanie stołu potrzeba 3 godzin pracy, krzesła - 2 godzin, biurka - 5 godzin, szafy - 0 godzin. Ze sprzedaży jednego stołu, krzesła, biurka i szafy wytwórca osiąga zysk odpowiednio 50, 20, 60 i 40 zł. Zadanie.3. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Podać wektor c określający funkcjonał kosztu orza macierz A i wektor b występujące w opisie ograniczeń. Producent farb musi określić, ile litrów farby białej, zielonej, niebieskiej i czerwonej powinien wyprodukować tak, aby zysk osiągnięty z ich sprzedaży był maksymalny. Do produkcji wykorzystywane są trzy surowce: A, B i C. Producent posiada 230 litrów surowca A, 200 litrów surowca B i 70 litrów surowca C oraz dysponuje kapitałem 60 godzin roboczych na wykonanie zaplanowanej produkcji. Ze złożonych zamówień wynika, że należy wyprodukować co najmniej 25 litrów farby białej, co najmniej 35 litrów farby zielonej, co najwyżej 205 litrów farby niebieskiej i nie mniej niż 75 litrów farby czerwonej. Ilość poszczególnych surowców potrzebnych do wyprodukowania litra każdej farby przedstawione są w następującej tabeli (w litrach) biała zielona niebieska czerwona A 0,30 0,60 0,35 0,5 B 0,25 0,20 0,45 0,55 B 0,45 0,20 0,20 0,30 Ponadto wyprodukowanie litra każdej farby wymaga 5 minut pracy. Zysk ze sprzedaży litra farby białej wynosi 7 zł, zielonej - 6 zł, niebieskiej - 7 zł i czerwonej - 5 zł.
Modelowanie zadań programowania liniowego. Zadania dotyczące zagadnienia transportowego Zadanie.4. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Pewien wytwórca posiada centrale zbytu w Lublinie, Łodzi i Szczecinie. Centrale te posiadają odpowiednio 40, 20 i 40 jednostek produktu. Punkty sprzedaży zamówiły następujące ilości produktu: Białystok - 25, Cieszyn - 0, Kraków - 20, Sopot - 30, Warszawa - 5. Koszt transportu jednostki (w zł.) z każdej centrali zbytu do dowlnego punktu sprzedaży podaje następująca tabela: Białystok Cieszyn Kraków Sopot Warszawa Lublin 55 30 40 50 40 Łódź 35 30 00 45 60 Szczecin 40 60 95 35 30 Należy rak zaplanować dystrybucję produktu, by koszt transportu był minimalny. Zadanie.5. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Dyrektor pewnego przedsiębiorstwa powinien obsadzić trzy stanowiska, które wymagają różnych kwalifikacji i praktyki zawodowej, przy czym ma do dyspozycji trzech konkretnych pracowników. Ze względu na różne ich kwalifikacje, czas praktyki i zdobyte doświadczenie wartość (dla przedsiębiorstwa) każdego z tych pracowników zależy od stanowiska, na którym jest on zatrudniony. Poniższa tabela zawiera oceny wartości poszczególnych pracowników zatrudnionych na poszczególnych stanowiskach Stanowisko I Stanowisko II Stanowisko III Pracownik A 5 4 7 Pracownik B 6 7 3 Pracownik C 8 2 Należy rak rozmieścić pracowników na rozważanych stanowiskach, by całkowita ich wartość dla przedsiębiorstwa była maksymalna. Zadania dotyczące zagadnienia diety Zadanie.6. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Zadaniem dietetyka jest opracowanie składu porannej owsianki tak, aby zawierała ona niezbędne dzienne zapotrzebowanie organizmu na określone składniki odżywcze i jednocześnie była możliwie najtańszą. Dietetyk ma do dyspozycji płatki Corn Flakes i Nesquik. Śniadanie powinno zawierać co najmniej mg witaminy B, 2 mg żelaza i mieć wartość energetyczną równą 360 kcal. 00 g płatków Corn Flakes zawiera, 2 mg witaminy B, 2 mg żelaza i ma wartość energetyczną równą 368 kcal, natomiast 00 g płatków Nesquik zawiera, 5 mg witaminy B, 0 mg żelaza i ma wartość energetyczną równą 390 kcal. Ponadto 00 g płatków Corn Flakes kosztuje 32 gr, a 00 g płatków Nesquik - 36 gr. Zadanie.7. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Hodowca krowy karmi zwierzę produktami pochodzącymi z gospodarstwa rolnego. Jednak ze względu na konieczność zapewnienia w diecie odpowiednich ilości pewnych składników odżywczych (nazwijmy je A, B, C) hodowca musi zakupić raz w roku trzy dodatkowe produkty (nazwijmy je I, II, III), 2
Modelowanie zadań programowania liniowego. które zawierają te składniki. kg produktu I zawiera 63 g składnika A i 9 g składnika B, kg produktu II zawiera 4 g składnika B i 28 g składnika C, zaś kg produktu III zawiera 50 g składnika A i 5 g składnika C. Minimalne zapotrzebowanie zwierzęcia na poszczególne składniki wynosi: 870 g składnika A, 200 g składnika B, 450 g składnika C. Każdy z produktów zawiera jednak pewne ilości szkodliwych środków konserwujących. I tak, kg produktu I zawiera 7 g tych środków, produktu II - g, produktu III - 9 g. Roczne spożycie tych środków nie powinno być większe niż 50 g. Przyjmijmy na koniec, że kg produktu I kosztuje 35 zł, produktu II - 29 zł, produktu III - 9 zł. Celem hodowcy jest ustalenie ilości kupowanych produktów I, II, III tak, aby zapewnić zwierzęciu odpowiednią dietę i jednocześnie ponieść możliwie najmniejsze koszty. Formalny zapis zadań programowania liniowego Zadanie.8. Zapisać zadanie.4 w postaci podstawowego zadania programowania liniowego. Zadanie.9. Zapisać zadanie.2 w postaci kanonicznego zadania programowania liniowego. Zadanie.0. Zapisać zadanie.6 w postaci kanonicznego zadania programowania liniowego. Zadanie.. Zapisać zadanie ogólne w postaci zadania kanonicznego. Zadanie.2. Zapisać zadanie ogólne J(u) = u + 2u 2 + 3u 3 min. u U = {u = (u, u 2, u 3 ) R 3 ; u 0, 0u + 20u 2 + 30u 3, 00u + 200u 2 + 300u 3 2, u 2 + u 3 2 + u 4 3 = 0} J(u) = 3u + 5u 2 + 7u 3 + 9u 4 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 2 0, u 4 0, u + 2u 2 + 3u 3 + 4u 4, 2u + 23u 3, 32u 2 8, w postaci zadania kanonicznego. u + u 2 2 + u 3 3 + u 4 4 = 2, u + u 4 4 = 2} 3
2 Geometryczne rozwiązywanie zadań programowania liniowego. Zestaw 2. Geometryczne rozwiązywanie zadań programowania liniowego. Zadanie 2.. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: J(u) = u + 2u 2 min. u U = {u = (u, u 2 ) R 2 ; u 0, 2u u 2 2, u 2 u 2, 2 u + u 2 2, u 3} Zadanie 2.2. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: J(u) = 2u + u 2 min. u U = {u = (u, u 2 ) R 2 ; u 0, u u 2, u + u 2, u + 2u 2 0, 2u u 2 5} Zadanie 2.3. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: J(u) = 2u u 2 min. u U = {u = (u, u 2 ) R 2 ; u 0, 2 u + u 2 2, 2 u u 2 } Zadanie 2.4. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: J(u) = u + u 2 min. u U = {u = (u, u 2 ) R 2 ; u 0, 2 u + u 2 2, 3 u + u 2 = } Zadanie 2.5. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie W pewnym zakładzie wytwarzane są produkty A i B. Do produkcji każdego z nich wykorzystywana jest praca trzech maszyn: M, M2, M3. Maszyna M może być wykorzystana przez 24000 s, M2-40000 s, M3-27000 s. Poniższa tabela podaje czas pracy każdej maszyny potrzebny do wyprodukowania jednostki każdego produktu: 4
2 Geometryczne rozwiązywanie zadań programowania liniowego. A B M 3 6 M2 8 4 M3 9 3 Zysk ze sprzedaży jednostki produktu A wynosi 9 zł, B - 6 zł. Należy zaplanować produkcję tak, aby zysk ze sprzedaży był maksymalny. Zadanie 2.6. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: J(u) = u 3u 2 2u 4 3u 5 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4, u 5 ) R 5 ; u 0, u + 2u 4 + 3u 5 = 5, 2u + u 3 + u 4 + 5u 5 = 20, u + u 2 + 2u 4 + u 5 = 0} Zadanie 2.7. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: J(u) = u 2u 2 + u 3 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4, u 5 ) R 5 ; u 0, 3u 2u 2 + 2u 3 2u 4 + 3u 5 = 38, u + u 2 + 3u 4 u 5 = 3, u u 2 + u 3 = 4} 5
3 Punkty wierzchołkowe Zestaw 3. Punkty wierzchołkowe Zadanie 3.. Znaleźć, w oparciu o twierdzenie, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u = (u, u 2 ) R 2 ; u 0, 3 u + u 2 = }. Zadanie 3.2. Znaleźć, w oparciu o twierdzenie, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, u + u 2 + 3u 3 + u 4 = 3, u u 2 + u 3 + 2u 4 = }. Zadanie 3.3. Znaleźć, w oparciu o twierdzenie, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, u + u 4 = 0, 2u 2 + u 4 = 3, 3u 3 = 0} i wskazać ich bazy. Zadanie 3.4. Znaleźć, w oparciu o twierdzenie, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u = (u, u 2, u 3 ) R 3 ; u 0, u + 2u 2 + 3u 3 = 4, u + 5u 3 = 0}. Podać bazy znalezionych punktów wierzchołkowych. Zadanie 3.5. Znaleźć, w oparciu o twierdzenie, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u = (u, u 2, u 3 ) R 3 ; u 0, u + u 2 + 2u 3 = 0, u + 3u 3 = 9, u + 2u 2 + 7u 3 = 29}. 6
4 Metoda sympleksowa Zestaw 4. Metoda sympleksowa Zadanie 4.. Rozwiązać metodą sympleksową zadanie: J(u) = u u 2 + u 4 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, 2u 2u 2 + 4u 3 + u 4 = 2, u + u 2 + u 4 = 0} [ startując z punktu wierzchołkowego v = (0, 0,, 0), wiedząc, że jego bazą jest układ kolumn 2 [ ] 4. 0 Zadanie 4.2. Rozwiązać metodą sympleksową zadanie: J(u) = u + 2u 2 + 3u 3 + 4u 4 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, u + u 2 + 3u 3 + u 4 = 3, u u 2 + u 3 + 2u 4 = } startując z punktu wierzchołkowego v = (2,, 0, 0). Zadanie 4.3. Rozwiązać metodą sympleksową zadanie: J(u) = u + 2u 2 + 3u 3 + 4u 4 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, u + u 2 + 3u 3 + u 4 = 3, u u 2 + u 3 + 2u 4 = } 2 ], startując z punktu wierzchołkowego v = (0, 5 3, 0, 4 3 ). Zadanie 4.4. Zapisać zadanie J(u) = u + 2u 2 + 3u 3 + 4u 4 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, u + u 2 + 3u 3 + u 4 3, u u 2 + u 3 + 2u 4 = } w postaci zadania kanonicznego, rozwiązać tak otrzymane zadanie metodą sympleksową, a następnie podać rozwiązanie zadania wyjściowego. Zadanie 4.5. Utworzyć tablicę sympleksową dla zadania J(u) = u u 2 + 2u 4 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, 2u 3u 2 + 4u 3 + u 4 = 3, u + u 2 2u 3 = 0} i punktu wierzchołkowego v = ( 33, 7, 0, 0). 5 5 7
5 Wybór początkowego punktu wierzchołkowego Zestaw 5. Wybór początkowego punktu wierzchołkowego Zadanie 5.. Sprawdzić, korzystając z zadania pomocniczego, czy zbiór U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, u + u 2 + 3u 3 + u 4 = 3, u u 2 + u 3 + 2u 4 = } jest niepusty i jeśli tak - wyznaczyć, przy pomocy metody sympleksowej, punkt wierzchołkowy tego zbioru. Zadanie 5.2. Rozważmy zadanie J(u) = u + 3u 2 5u 3 + u 4 3u 5 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4, u 5 ) R 5 ; u 0, u + u 2 4u 3 + u 4 3u 5 = 3, u 4u 3 + 2u 4 5u 5 = 6}. Utworzyć tablicę sympleksową dla punktu wierzchołkowego v = (0, 0, 0, 3, 0), wiedząc, że współrzędnymi bazowymi tego punktu są współrzędne v i v 4. Czy punkt v jest rozwiązaniem zadania? Odpowiedź uzasadnić. 8