Wykład 5 Elektostatyka Obecne wadome są cztey fundamentalne oddzaływana: slne, elektomagnetyczne, słabe gawtacyjne. Slne słabe oddzaływana odgywają decydującą ole w budowe jąde atomowych cząstek elementanych. Oddzaływane gawtacyjne jest odpowedzalne za budowę galaktyk, układów planetanych czyl układów cał o dużych masach. Oddzaływane elektomagnetyczne jest jednym z najważnejszych w fzyce pozwala wyjaśnć ne tylko zjawska elektyczne magnetyczne ale też sły zespalające mateę na pozome atomów, cząsteczek. Poznawane zjawsk elektomagnetycznych zacznemy od elektostatyk. Elektostatyka zajmuje sę badanem właścwośc wzajemnego oddzaływana neuchomych ładunków. Fundamentalne właścwośc ładunków Elektyczne oddzaływana zachodzą mędzy cząstkam, któe posadają tak zwany ładunek elektyczny. Z dośwadczeń wynka, że ładunk mogą być dwóch óżnych znaków. Ładunk dodatne powstają np. na szkle potatym kawałkem skó natomast ładunk ujemne powstają na busztyne potatym kawałkem wełny. W odóżnenu od sły oddzaływana gawtacyjnego, któa zawsze jest słą pzycągana, elektostatyczna sła oddzaływana dwóch ładunków może być lub słą pzycągana lub słą odpychana: cała nosące ładunk jednomenne odpychają sę natomast cała nosące ładunk óżnomenne pzycągają sę. Z dośwadczeń wynkają tzy fundamentalne właścwośc ładunku elektycznego:. Ładunek elektyczny może pzybeać jedyne watośc będące - co do modułu -welokotnoścą ładunku elektonu: q = n e, (5.) gdze n jest ujemną lub dodatną lczbą całkowtą, a e jest ładunkem elektonu. W układze SI jednostką ładunku jest kulomb (C ). Watość ładunku elektonu w układze SI wynos 9 e =.6 C. Właścwość (5.), czyl dysketność ładunku elektycznego nos nazwę kwantyzacj ładunku. Mówm że ładunek elektyczny jest welkoścą skwantowaną. 85
. Całkowty ładunek elektyczny układu odosobnonego, tzn. suma algebaczna ładunków ujemnych dodatnch układu, jest welkoścą nwaantną (nezmennczą). Właścwość ta nazywa sę pawem zachowana ładunku elektycznego. Ładunk jednomenne odpychają sę a ładunk óżnomenne pzycągają sę. Watość ładunku elektycznego ne zależy od tego czy ładunek jest uchom czy neuchomy. Mówmy węc, że ładunek elektyczny jest welkoścą elatywstyczne nezmennczą. Pole elektyczne. Natężene ln pola elektycznego. Pawo Coulomba. Jedynym sposobem wykyca zmezena ładunków elektycznych jest badane oddzaływana zachodzącego mędzy całam naładowanym. Istnene w pzestzen pola elektomagnetycznego możemy wykyć obsewując zachowane małego (punktowego) ładunku elektycznego - ładunku póbnego. Z dośwadczeń wynka, że jeżel w pzestzen stneje pole elektyczne, to na mały póbny ładunek q dzała sła wpost popocjonalna do q F( x, = q E( x,. (5.) Wekto E ( x, jest funkcją współzędnych x, z punktu w któym znajduje sę ładunek póbny q ne zależy od q. Dla dugego małego póbnego ładunku / q, umeszczonego w tym samym punkce o współzędnych x, z na ładunek / q będze dzałała sła / / F ( x, = q E( x,. (5.) Zgodne z dugą zasadą Newtona pod wpływem sły (5.) póbny ładunek będze pouszać sę z pzyspeszenem, a zatem z obsewacj tego, że ładunek póbny umeszczony w 86
pzestzen zaczyna pouszać sę z pzyspeszenem wpost popocjonalnym do q, wnoskujem że w pzestzen stneje pole elektyczne. Pole elektyczne dzałające na neuchomy ładunek będzemy nazywały polem elektostatycznym. Ze wzou (5.) wdać, że pole elektostatyczne albo posto pole elektyczne w każdym punkce pzestzen jest okeślone pzez wekto E ( x,. Wekto E ( x, nazywa sę wektoem natężena pola elektycznego zgodne z (5.) natężene pola elektycznego jest ówne sle dzałającej na ładunek póbny q (umeszczony w danym punkce pzestzen) podzeloną pzez ten ładunek. F( x, E( x, =. (5.4) q Jeżel ładunek q jest dodatn, to keunek E jest tak sam jak F. W 785 oku Coulomb udowodnł dośwadczalne, że sła z któej ładunek q dzała na ładunek q wynos F q q =, (5.5) k e gdze jest odległość mędzy ładunkam q q ; e jest jednostkowym wektoem skeowanym od pewszego ładunku ku dugemu ładunkow. Stała k we wzoze (5.5) zależy wyłączne od stosowanego układu jednostek. W układze SI k = 9 = 9 Nm 4πε / C. (5.6) W tym wzoze współczynnk ε = 8.854 - C / Nm nos nazwę pzenkalnośc elektycznej póżn. Psząc ównane (5.5) zakładam że ładunk są punktam matealnym. Podkeślmy ówneż, że ozważając ładunk neuchome pomjamy stnene sł magnetycznych. Sły magnetyczne mędzy ładunkam powstają pzy uchu ładunków będą omawane dalej. Ze wzou (5.5) wynka, że sła z któej ładunek q dzała na ładunek q wynos F q q =, (5.7) k e = F 87
e = e jest jednostkowym wektoem skeowanym od dugego ładunku ku pewszemu Tu ładunkow. Jak pownno być, wzó (5.7) po postu wyaża tzecą zasadę Newtona. Umeścmy ładunek q q w początku układu odnesena. Wtedy oznaczając q q p boąc pod uwagę, że w keunku dowolnego wektoa jednostkowy wekto jest ówny: e =, wzó (5.5) możemy zapsać w postac F q = q p k e, (5.8) Ze wzou (5.8) wdzm że ładunek q jest źódłem pola elektycznego o natężenu F q E( x, = = k. (5.9) q p Poglądowym sposobom gafcznego pzedstawena pola elektycznego jest ysowane ln natężena pola. Ln natężena pola elektycznego ysujemy w następujący sposób: ) styczna do ln pola w dowolnym punkce okeśla zwot natężena pola, któy pokywa sę ze stzałką ln pola; ) lne pola wykeśla sę tak, aby lczba ln na jednostkę powezchn pzekoju była popocjonalna do welkośc E. Ln natężena pola elektycznego wytwozonego pzez dodatn ładunek są pzedstawone na ysunku nżej. Ln natężena pola elektycznego ładunku naładowanego dodatne. 88
Zasada supepozycj Z dośwadczeń wynka, że sła dzałająca na póbny ładunek q p, umeszczony w dowolnym punkce ( x, z ) układu ładunków q, q,, qn jest wektoową sumą sł pzyłożonych do nego ze stony każdego z ładunków q : F( x, = n = F ( x, = q p k n = q, (5.) gdze jest wektoem łączącym -ty ładunek układu z punktem ( x, z ). Wzó (5.) wyaża ważną w elektostatyce zasadę supepozycj sł. Ze wzou (5.) wynka, że natężene pola elektycznego wytwazanego w dowolnym punkce ( x, z ) ładunkam q, q,, q n jest ówne E( x, = n = E ( x, = k n = q, (5.) Jeżel ozkład ładunku jest cągł pole wytwozone pzez cało naładowane możemy oblczyć dzeląc cało na neskończene małe kawałk o ładunku dq. Taktując każdy tak ładunek jako ładunek punktowy oblczamy wytwozone pzez nego pole dq de = k, (5.) gdze jest odległoścą ładunku dq od punktu ( x, z ). Wypadkowe pole w punkce ( x, z ) znajdujemy całkując wkłady od wszystkch elementów cała naładowanego E( x, = de = k dq. (5.) Pzy wylczenu całk we wzoze (5.), w zależnośc od geomet naładowanego cała, wpowadzamy pojęce gęstośc ładunku. Pzy cągłym ozkładze ładunków wzdłuż ln mówmy o gęstośc lnowej ładunków elektycznych λ, ównej q dq λ = lm =, (5.4) l l dl 89
gdze q oznacza całkowty ładunek ozłożony wzdłuż odcnka ln o długośc Jeżel ozważamy naładowany kawałek powezchn, to posługujemy sę pojęcem gęstośc powezchnowej ładunków σ, ównej l. q σ = lm, (5.5) S S gdze q jest całkowtym ładunkem elementu powezchn S. W pzypadku cągłego ozkładu ładunków w pewnej objętośc wpowadzamy gęstość objętoścową ładunków ρ, któa jest ówna q ρ = lm, (5.6) V V gdze q oznacza całkowty ładunek elementu objętośc V. Jako pzykład oblczena pola elektycznego w pzypadku cągłego ozkładu ładunku ozważmy pole naładowanego peścena o pomenu R całkowty ładunek któego wynos Q. Znajdzemy pole elektyczne na os peścena w odległośc x od śodka. P de x R x α de Składowa pola wzdłuż os x wytwazane pzez element dl peścena jest ówne x = de cosα = de. de x Wpowadzając lnową gęstoścą ładunku λ = Q πr ze wzou (5.) mamy 9
λ dl d E = k. A węc d λdl x = k. E x Stąd kλx kλx E = Ex = dl = ( R) = π ( x kx Q + R ). Zwóćmy uwagę, że w śodku peścena (x = ) E =, a dla x >> R pole take samo jak pole ładunku punktowego w tej odległośc. Stumeń pola elektycznego E kq / x jest Rozważmy zamknętą powezchne, coś w odzaju balonu o dowolnym kształce, w pzestzen gdy stneje pole elektyczne. Podzelmy całą powezchne na tak małe kawałk S, że na każdym z tych kawałków powezchnę możemy uważać za płaską, a wekto natężene pola elektycznego powezchn wektoem powezchn S S E jest pawe stałe. Pzedstawmy pole takej małej elementanej = S n, gdze n jest jednostkowym wektoem nomalnym do skeowanym na zewnątz. Iloczyn skalany E S ) nazywamy stumenem pola elektycznego Φ pzez element powezchn S : ( 9
Φ = E S. Stumeń pola elektycznego pzez całą powezchne otzymujemy sumując stumen pzez wszystke elementy powezchn Φ = Φ = E S. (5.7) Zmnejszając ozmay zwększając lczbę elementów ównanu (5.7) do całk powezchnowej Φ = lm Φ = lm E S = S pzechodzmy w gance w po E ds. (5.8) powezchn Jako pzykład oblczmy stumeń pola elektycznego ładunku punktowego q pzez dowolną powezchne zamknętą S, obejmującą ten ładunek. Stumeń pola elektycznego d Φ pzez element ds tej powezchn wynos q dφ = E ds = E ds cosα = k ( ds cosα). Welkość ( ds cosα) jest polem zutu elementu ds na płaszczyznę postopadłą do wektoa. Z dokładnoścą do neskończene małych welkośc można uważać, że ( ds cosα) ówna sę polu powezchn ds, któą wyznacza stożek na powezchn kul o pomenu. A zatem 9
q ds dφ = k ( ds cosα ) kq. (5.9) W matematyce stosunek pola powezchn ds, wyznaczonego na powezchn kul o pomenu pzez stożek do kwadatu pomena kul ds d Ω = (5.) nazywa sę kątem byłowym. Kąt byłowy okeśla powezchne ds na powezchn wewnętznej sfe wyśwetlanej lataką znajdującej sę w początku sfey. Kąt byłowy mezymy w steadanach. Jednemu steadanow odpowada pole powezchn ds =. Poneważ całkowte pole powezchn kul wynos 4π, pzeto pełny kąt byłowy odpowadający całej powezchn kul wynos Ω = 4π steadanów. Podstawając (5.) do wzou (5.9) otzymujemy ds Φ = kq d = kq dω. (5.) Całkując to wyażene względem całej powezchn S, tj. względem Ω od do 4 π znajdujemy 4π q q Φ = kq dω = 4π =. (5.) 4π ε ε Otzymalśmy ważny wynk: stumeń pola elektycznego ładunku punktowego q pzez dowolną powezchne zamknętą S, obejmującą ten ładunek ne zależy od kształtu powezchn. Ze wzou (5.) wynka, że całkowta lczba ln pola elektycznego wychodzących (albo wchodzących) od ładunku jest ówna q / ε lne te cągną sę do neskończonośc. Pawo Gaussa Nech zamknęta powezchna obejmuje dwa ładunk q q. Kozystając z zasady supepozycj dla całkowtej lczby ln pola pzecnającej powezchnę zamknętą wokół ładunków q q możemy zapsać 9
Φ = E ds = ( E + E ) d S = E d S + E d S = q + q ε. (5.) Otzymalśm że całkowta lczba ln pola jest ówna całkowtemu ładunkow podzelonemu pzez ε. Podobne można pokazać, że dla dowolnej lczby q, q,, q n ładunków E d S = Q wewn. ε, (5.4) gdze n Q wewn. = q jest całkowtym ładunkem. = Wzó (5.4) wyaża pawo Gaussa: stumeń pola wychodzący z naładowanego cała jest ówny wypadkowemu ładunkow podzelonemu pzez ε. Jeżel Q wewn. jest ujemne stumeń wpływa do cała. W sytuacj gdy na zewnątz zamknętej powezchn są ładunk wypadkowy wewnętzny ładunek Q wewn. =, a zatem lość ln pola wchodząca do zamknętej powezchn ówna sę lośc ln wychodzących. d b a c Gaussa. Rozpatzmy klku pzykładów oblczana pola elektycznego na podstawe pawa.pole elektyczne jednoodne naładowanej kul o pomenu R. 94
E () R Zgodne z kulstą symetą zadana w dowolnym punkce sfey o pomenu wekto natężena pola elektycznego ma taką samą watość, a keunek pokywa sę z keunkem wektoa. Wtedy kozystając z pawa Gaussa dla pola wewnątz kul na sfeze o pomenu możemy zapsać: E ( 4 ) = 4πk Qwewn. π, gdze A zatem Q wewn 4π Q 4π = ρ ( ) = ( ) = Q ( / R ). 4π R Q = k. (5.5) R E. Pole elektyczne od neskończonej jednoodne naładowanej płaszczyzny. Ładunek otoczony pzez powezchnę walca jest ówny Q wewn. = σ S, gdze σ jest gęstoścą powezchnową ładunku, a S - powezchną podstawy walca. Kozystając z pawa Gaussa otzymujemy ES σ S =, ε gdze czynnk odpowada dwóm podstawom walca. 95
Ostateczne otzymujemy σ E =. (5.6) ε. Pole elektyczne wewnątz kondensatoa płaskego. I II III Płask kondensato składa sę z dwóch ównoległych płyt. Pole wytwazane pzez płytę "po lewej stone" (ysunek) jest ówne E mn us = σ / ε skeowane ku płyce. Pole wytwazane pzez płytę po pawej stone jest ówne E plus = σ / ε skeowane jest od płyty. 96
Zatem w obszaze I σ σ E = + = I ε ε, w obszaze II σ σ σ E ε = ε II = +, ε w obszaze III σ σ E = + = III ε ε. 97