Rozdzał 3 Podstawowe twerdzena 3.1 Istnene rozwazań lokalnych Rozpocznjmy od odpowedz na ogólne pytane: jake warunk mus spełnać równane różnczkowe zwyczajne, aby stnało jego rozwązane kedy rozwązane to jest jednoznaczne? Rozpatrywać będzemy równane ẋ = ft, x w przestrzen wektorowej. Przypomnjmy, że x = xt R m, a f jest funkcją dzałającą z podzboru R m+1 do R m. 3.1 TWIERDZENIE. Pcarda-Lndelöfa Nech funkcja ft, x: R m+1 R m będze cagła w zborze Q = {t, x: t t a, x x b}. Zakładamy ponadto, że sup t,x Q ft, x = M oraz f spełna w zborze Q warunek Lpschtza względem zmennej x ft, x 1 ft, x 2 L x 1 x 2, dla pewnej stałej L. Wtedy zagadnene Cauchy ego ẋ = ft, x, xt = x, 3.1 ma jednoznaczne rozwazane na przedzale t t α, α < mna, b M, 1 L. Dowód. Rozważmy podzbór przestrzen metrycznej funkcj cągłych E = {xt: xt = x, xt x b, t t α}. E jako domknęty podzbór przestrzen funkcj cągłych jest przestrzeną metryczną zupełną. W przestrzen E rozważamy odwzorowane F xt = x + 33 t f s, xs ds.
34 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA Jeśl stneje punkt stały tego odwzorowana xt = x + t f s, xs ds, 3.2 to spełna on równane 3.1. Z cągłośc funkcj f własnośc całk wynka bowem, że funkcja xt dana równanem 3.2 jest funkcją klasy C 1. Po zróżnczkowanu 3.2 otrzymujemy równane 3.1 spełnene warunku początkowego wynka z defncj całk. Wystarczy węc wykazać, że odwzorowane F ma punkt stały w przestrzen E. W tym celu pokażemy najperw, że F odwzorowuje przestrzeń E w sebe. Poneważ węc sup F xt x = sup t t α t t α sup t t α f s, xs ds t t sup s [t,t] F xt x b, f s, xs ds Mα b, czyl F odwzorowuje przestrzeń E w sebe. Pokażemy teraz, że F jest odwzorowanem zwężającym. W wynku prostego rachunku dostajemy sup F x 1 t F x 2 t sup t t α t t α sup t t α sup L t t α Lα sup t t α t f s, x1 s f s, x 2 s ds t L x 1 s x 2 s ds t sup s t α x 1 t x 2 t, x 1 s x 2 s ds czyl dla αl < 1 odwzorowane F jest zwężające. Z twerdzena Banacha o punkce stałym wynka, że F ma punkt stały będący grancą cągu x n+1 t = F x n t, gdze x t = x jest to jedyny punkt stały odwzorowana F w E. Dowodz to stnena jednoznacznośc rozwązana zagadnena 3.1. Istnene rozwązań można udowodnć przy neco słabszych założenach. Trac sę jednak wtedy własność jednoznacznośc rozwązana. 3.2 TWIERDZENIE. Peano Nech funkcja ft, x : R m+1 R m będze cagła w zborze Q = {t, x: t [t, t + a], x x b}. Zakładamy także, że sup t,x Q ft, x = M. Wtedy zagadnene Cauchy ego ẋ = ft, x, xt = x 3.3
3.1. ISTNIENIE ROZWIAZAŃ LOKALNYCH 35 ma rozwazane na przedzale [t, t + α], gdze α = mna, b M. Dowód. W dowodze wykorzystamy metodę łamanych Eulera. W tym celu przedzał [t, t + α] dzelmy na n 1 mnejszych przedzałów o końcach t 1 t = t 1 < t 1 1 < < t 1 n 1 = t + α oraz konstruujemy funkcję kawałkam lnową przyblżającą rozwązane równana 3.3 łamaną Eulera ϕ 1 t = x, ϕ 1 t = ϕ 1 t 1 + f t 1, ϕ 1 t 1 t t 1, dla t t 1, t 1 +1 ]. 3.4 Jak łatwo zauważyć, funkcja ta powstaje przez połączene odcnkam punktów 1 t, ϕ 1 t 1. Funkcja ϕ 1 t jest perwszym przyblżenem rozwązana zagadnena 3.3. Funkcję ϕ k będącą k-tym przyblżenem, otrzymujemy dzeląc przedzał [t, t + α] na n k częśc t = t k < t k 1 < < t k n k = t + α defnując ϕ k analogczne do ϕ 1, jako funkcję kawałkam lnową przechodzącą przez punkty t k, ϕ k t k. Funkcje ϕ k mają następujące własnośc: 1 są cągłe na przedzale [t, t +α] różnczkowalne wszędze poza punktam t k. Wynka to z faktu, że ϕ k są funkcjam kawałkam lnowym. 2 są wspólne ogranczone na przedzale [t, t + α], mamy bowem oszacowane ϕ k t x + Mα, które wynka z defncj funkcj ϕ k. 3 są jednakowo cągłe, bo jeśl t, t t k, t k +1 ], to z defncj funkcj ϕ kt dostajemy oszacowane ϕ k t ϕ k t M t t. Oszacowane to jest nezależne od k. Jak łatwo zauważyć, można je rozszerzyć z zachowanem tej samej stałej M na przypadek, gdy t t k, t k +1 ] a t t k j, t k j+1 ]. Z własnośc tych wynka, że cąg ϕ k spełna założena twerdzena Arzel-Ascolego. Istneje zatem podcąg ϕ kj t jednostajne zbeżny do funkcj ϕt na przedzale [t, t + α]. Wystarczy teraz udowodnć, że ϕt jest rozwązanem zagadnena 3.3. Poneważ wszystke funkcje ϕ k t spełnały warunek ϕ k t = x, węc także ϕt spełna warunek początkowy. Należy pokazać, że funkcja ϕt spełna także równane różnczkowe, czyl ϕt + h ϕt lm = f t, ϕt dla t t, t + α. 3.5 h h
36 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA Aby udowodnć to przejśce granczne, dokonajmy następującego oszacowana wyberamy h mnejsze od pewnego h, tak aby odpowedne funkcje były dobrze określone ϕt + h ϕt f t, ϕt = h f t, ϕ kj t f t, ϕt + ϕt + h ϕ k j t + h ϕt ϕ k j t + h h ϕ kj t + h ϕ kj t f t, ϕ kj t h f t, ϕ kj t f t, ϕt ϕt + h ϕ + kj t + h h + ϕt ϕ kj t h + ϕ kj t + h ϕ kj t f t, ϕ kj t. h 3.6 Ustalmy ε >. Drug trzec wyraz po prawej strone nerównośc 3.6 szacujemy z jednostajnej zbeżnośc cągu ϕ kj. Jeśl weźmemy k j dostateczne duże, to sup ϕ kj t ϕt < εh t 4. 3.7 Z oszacowana 3.7 oraz jednostajnej cągłośc funkcj ft, x w domknętym otoczenu punktu t, ϕ kj t wynka oszacowane perwszego wyrazu nerównośc 3.6 ft, ϕ kj t ft, ϕt < ε 4. Aby oszacować ostatn składnk nerównośc 3.6, załóżmy, że t t k j, t k j +1 ] oraz t + h t k j n, t k j ]. Wtedy n+1 ϕ kj t + h ϕ kj t hf t, ϕ kj t = f t k j, ϕ kj t k j t k j +1 t + + f t k j n, ϕ kj t k j n t + h t k j n hf t, ϕkj t = = f t k j, ϕ kj t k j f t, ϕ kj t k t j +1 t + + f t k j n, ϕ kj t k j n f t, ϕ kj t k t + h t j n. Zauważmy ponadto, że jeśl h jest dostateczne małe, to f t + θh, ϕ kj t + θh f t, ϕ kj t < ε 4 dla θ [, 1]. 3.8 Z oszacowana tego wynka, że ϕ kj t + h ϕ kj t hf t, ϕ kj t < εh 4,
3.1. ISTNIENIE ROZWIAZAŃ LOKALNYCH 37 czyl ϕ kj t + h ϕ kj t f t, ϕ kj t < ε h 4. 3.9 Łącząc te oszacowana wdzmy, że dla każdego ε każdego h mnejszego od pewnego h następujące oszacowane jest prawdzwe dla każdego t t, t + α ϕt + h ϕt h Jest to dowód przejśca grancznego 3.5. f t, ϕt < ε. 3.1 Jak pokazuje ponższy przykład, założene warunku Lpschtza jest stotne dla uzyskana jednoznacznośc rozwązana. Bez tego założena może stneć wele rozwązań tego samego zagadnena początkowego. 3.3 Przykład. Rozważmy równane ẋ = x 1 3. Równane to spełna warunk tw. 3.2, ale ne spełna założeń tw. 3.1. Dokładnej: założena tw. 3.1 są spełnone wszędze poza prostą x = ne są spełnone na tej prostej. W efekce przez każdy punkty t, przechodzą trzy krzywe całkowe patrz rys. 3.1: ϕ 1 t =, ϕ 2 t = 2 3 t t 3/2, ϕ 3 t = 2 3 t t 3/2. Rysunek 3.1: Różne rozwązana równana z przykładu 3.3
38 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA 3.4 Przykład. Metoda łamanych Eulera może być także prostą metodą znajdowana przyblżonych rozwązań równań różnczkowych. Jeśl przyjmemy, że poszczególne chwle czasowe są jednakowo odległe, tzn. t, t 1 = t + t, t 2 = t 1 + t = t + 2 t,..., t = t + t, to otrzymamy równane różncowe x +1 = x + ft, x t, 3.11 które można służyć do oblczana przyblżonego rozwązana. Weźmy jako przykład równane ẋ = x. Odpowadające mu równane różncowe 3.11 można łatwo rozwązać. Ma ono bowem postać Stąd x +1 = x + x t = 1 + tx. 3.12 x = 1 + t x. 3.13 Rozwązanem równana różnczkowego ẋ = x jest funkcja xt = x e t. Jeśl przyjmemy t = T oraz take, że t = T, to zauważymy, że 1 + t = 1 + t = 1 + T, co jest dobrym przyblżenem e T dla dużych. 3.2 Przedłużalność rozwazań Jeśl ϕt jest rozwązanem lokalnym na pewnym przedzale [t, t + α], to przyjmując t 1 = t + α ϕt 1 za nowy warunek początkowy, można rozwązać rozważane równane na przedzale [t 1, t 1 + α 1 ] td. Analogczne możemy konstruować przedłużena w lewo, tj. na przedzał [t α, t ] td. Powstaje pytane, jak daleko można to postępowane kontynuować, czyl jak może być maksymalny przedzał stnena rozwązana. 3.5 DEFINICJA. Rozwazane ϕt określone na przedzale J R nazywa sę rozwazanem wysyconym, jeśl ne stneje przedłużene tego rozwazana na przedzał J 1 tak, że J jest jego podzborem właścwym. Przedzał J nazywa sę wtedy maksymalnym przedzałem stnena rozwazana ϕt. Zajmemy sę teraz zachowanem rozwązana wysyconego ϕt na brzegu maksymalnego przedzału stnena rozwązana. Rozpocznjmy od udowodnena pomocnczego lematu. 3.6 LEMAT. Nech ϕt będze rozwazanem równana ẋ = ft, x 3.14
3.2. PRZEDŁUŻALNOŚĆ ROZWIAZAŃ 39 w przedzale a, a +, takm że t, ϕt Q dla każdego t a, a +, gdze Q jest zborem otwartym w R m+1. Jeśl funkcja ft, x jest cagła ogranczona na Q, to stneja grance ϕa + ϕa +. Jeśl funkcja ft, x jest cagła w punkce a, ϕa + lub a +, ϕa +, to rozwazane ϕt może być przedłużone na przedzał [a, a + lub a, a + ]. Dowód. Funkcja ϕt spełna całkową wersję równana 3.14 ϕt = ϕt + f s, ϕs ds 3.15 t dla a < t t < a +. Poneważ ft, x jest ogranczona na zborze Q, węc mamy oszacowane ϕt 2 ϕt 1 2 t 1 f s, ϕs ds Mt 2 t 1, t 1, t 2 a, a +, t 1 t 2, gdze M = sup t,x Q ft, x. Jeśl t 1, t 2 a +, to ϕt 2 ϕt 1. Wynka stąd stnene grancy ϕa + dowód dla grancy ϕa + jest podobny. Jeśl funkcja ft, x jest cągła aż do punktu a +, ϕa +, to ϕa + jest zdefnowana wzorem patrz 3.15 ϕa + = ϕt + a+ t f s, ϕs ds. Analogczne dowodz sę przedłużalnośc na przedzał [a, a +. 3.7 TWIERDZENIE. Nech ft, x będze funkcja cagł a w zborze otwartym Q R m+1 nech ϕt będze rozwazanem równana 3.14 w pewnym przedzale [t, t + α], takm że t, ϕt Q dla każdego t [t, t + α]. Jeśl ft, x jest cagła na Q, to funkcja ϕt może być przedłużona, jako rozwazane równana 3.14, do rozwazana wysyconego z maksymalnym przedzałem stnena rozwa- zana ω, ω +. Jeśl cag punktów {t n } jest zbeżny do jednego z krańców przedzału ω, ω +, to cag {t n, ϕt n } jest zbeżny do brzegu zboru Q, jeśl zbór Q jest ogranczony. Jeśl zbór Q jest neogranczony, to cag punktów t n, ϕt n może być neogranczony dla t n ω + lub t n ω. Dowód. Nech U V V Q, gdze U jest zborem zwartym a V jest zborem otwartym ogranczonym. Jeśl t, x U, to rozwązane ϕt zaczynające sę w punkce t, x można przedłużyć na przedzał [t, t 1 ], tak że t 1, ϕt 1 U. Wynka to z tw. 3.2 z a = b = dstv, Q M = sup t,x V ft, x. Z twerdzena tego wynka, że rozwązane ϕt stneje na przedzale [t, t + α], gdze α zależy tylko od a, b M czyl od zboru V. Jeśl t +α, ϕt +α U, to przyjmując ten punkt za nową wartość początkową, przedłużamy rozwązane na
4 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA przedzał [t, t +2α] td. Poneważ zbór U jest zwarty, węc po skończonej lczbe kroków otrzymamy przedłużene na przedzał [t, t 1 ], gdze t 1, ϕt 1 U. Zbudujmy teraz pokryce zboru Q cągem wstępującym zborów Q n otwartych, ogranczonych oraz takch że Q n Q n+1. Z poprzednej częśc dowodu wynka, że stneje cąg {t } cąg wskaźnków {n }, take że t, ϕt Q n t, ϕt Q n 1. Cąg {t } jest monotonczny, ma węc grancę. Jeśl grancą tą jest +, to kończy to dowód. Załóżmy węc, że cąg t jest ogranczony z góry. Wtedy stneje skończona granca ω + = lm t. Jeśl cąg t, ϕt jest neogranczony, to daje to część tezy twerdzena. Jeśl cąg t, ϕt jest ogranczony, to zawarty jest on w pewnym zborze zwartym U. Na zborze U funkcja f jest ogranczona można zastosować lemat 3.6. Z lematu tego wynka, że funkcja ϕt ma grancę ϕω +. Punkt ω +, ϕω + jest punktem brzegowym zboru Q. Gdyby był to punkt wewnętrzny, to na podstawe lematu 3.6 ω +, ϕω + byłoby punktem należącym do pewnego Q k, Q k Q. Można byłoby węc przedłużyć ϕt na przedzał wększy nż [t, ω +, co przeczyłoby maksymalnośc ω +. Podobne można postąpć z przedłużenem w lewo do punktu ω. 3.3 Zależność rozwazana od danych poczatkowych parametrów W tym podrozdzale zbadamy zależność rozwązane od danych początkowych oraz dodatkowych parametrów. Zależność od parametrów oznacza, że prawa strona równana zależy od trzech zmennych f = ft, x, λ, gdze t jest zmenną nezależną, x zmenną zależną, a λ jest dodatkowym parametrem. Oznacza to rozważane zagadnena początkowego ẋ = ft, x, λ, xt = x. 3.16 Jeśl xt jest rozwązanem zagadnena 3.16, to chcąc badać zależność tego rozwązana od warunków początkowych t, x parametru λ, będzemy traktowal to rozwązane jako funkcję wszystkch tych zmennych, tj. xt = ϕt, t, x, λ. Okazuje sę, że tę ogólną sytuację można znaczne uproścć. Dokonując zamany zmennych t t t, x x x, możemy zagadnene początkowe 3.16 sprowadzć do postac ẋ = ft t, x x, λ, x =. 3.17
3.3. ZALEŻNOŚĆ ROZWIAZANIA OD DANYCH 41 W tym zapse t x są dodatkowym parametram funkcj f. Oznacza to, że zależność od warunków początkowych można sprowadzć do zależnośc prawej strony równana od parametru. Możlwa jest także operacja odwrotna. Możemy potraktować λ jako zmenną zależną, uzupełnając zagadnene 3.16 równanem λ =, z warunkem początkowym λt = λ, gdze λ jest ustaloną wartoścą parametru λ wybraną dowolne. Przyjmując y = x λ otrzymujemy zagadnene początkowe g = ẏ = gt, y, yt = y, f, sprowadzające zależność od parametru do zależnośc od warunku początkowego. W dalszej częśc tego podrozdzału rozpatrując zależność od warunku początkowego będzemy zakładal, że t jest ustalone a zmena sę tylko x, czyl wartość rozwązana w chwl początkowej. To ogranczene służy jedyne uproszczenu zapsu ne jest stotne. Gładkość rozwązana względem chwl początkowej t jest bowem taka sama jak gładkość rozwązana względem t, co wynka natychmast z zamany zmennych t t t. Rozważana o zależnośc rozwązana od danych początkowych parametrów poprzedzmy dwoma twerdzenam dotyczącym funkcj welu zmennych. Mmo że twerdzena te należą do kursu analzy, przytaczamy je tutaj w sformułowanu, które będze wygodne do bezpośrednego zastosowana w dowodach tego podrozdzału. Dowody tych twerdzeń lub twerdzeń podobnych są podawane na wykładze Analzy II. 3.8 TWIERDZENIE. Twerdzene o skończonych przyrostach Na zwartym odcnku [a, b] R dane sa dwe funkcje f : [a, b] R n oraz g : [a, b] R. Zakładamy, że funkcje f g sa różnczkowalne w każdym punkce odcnka a, b oraz spełnone jest szacowane ft ġt, dla t a, b. Wtedy fb fa gb ga.
42 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA 3.9 TWIERDZENIE. Nech J R będze odcnkem na prostej ne koneczne ogranczonym a A R n dowolnym podzborem w R n. Jeśl funkcja ψ: J A R k jest cagł a funkcja argumentu t, dla t J, przy ustalonym x A oraz jest cagła po x, dla x A, jednostajne po t J, to ψ jest funkcja cagł a argumentów t, x J A. Jeśl funkcja ψ: J A R k jest funkcja cagł a argumentów t, x J A oraz odcnek J jest zwarty, to ψt, x jest funkcja cagł a argumentu x jednostajne po t J. Po tej powtórce z analzy przejdzemy do zasadnczego tematu, tj. zależnośc rozwązań od warunków początkowych parametrów. Zasadncze twerdzena poprzedzmy klkoma lematam. Ich celem jest wydzelene z dowodów pewnych faktów, które opsują ogólne własnośc rozwązań równań różnczkowych. 3.1 TWIERDZENIE. Lemat Gronwalla Nech na przedzale [, T ] dane będa funkcje rzeczywste at, bt, ut, cagłe na przedzale, T, oraz nech funkcja ut spełna nerówność całkowa ut at + dla bt. Wtedy zachodz oszacowane ut at + bsusds, dla t [, T ], 3.18 asbs exp s bτdτ ds. 3.19 Jeśl dodatkowo funkcja at jest nemalejaca as at dla s t, to otrzymujemy prostsze oszacowane ut at exp bτdτ. 3.2 Dowód. Nech φt = exp bsds. Z prostych rachunków nerównośc 3.18 mamy d dt φt bsusds = btφt ut Całkując tę nerówność w przedzale [, t] dostajemy φt bsusds bsusds atbtφt. asbsφsds. 3.21 Dzeląc te nerówność przez φt oraz dodając do obu stron at dostajemy nerówność 3.19.
3.3. ZALEŻNOŚĆ ROZWIAZANIA OD DANYCH 43 Aby otrzymać nerówność 3.2 wykorzystamy monotonczność funkcj at przy oszacowanu prawej strony 3.21 asbs φs ds at φt at bs exp d ds exp bτdτ s s bτdτ ds = ds = at exp Nerówność 3.21 przyjmuje węc dla nemalejącej funkcj at postać bsusds at exp bsds 1. bsds 1. Po dodanu at do obu stron tej nerównośc dostajemy nerówność 3.2. Prostym wnoskem z powyższego twerdzena jest nerówność, którą będzemy welokrotne wykorzystywać w dalszych dowodach. 3.11 WNIOSEK. Nech funkcja cagła ut spełna nerówność całkowa ut α + βus + γ ds, dla t [, T ], 3.22 gdze α, β γ sa lczbam rzeczywstym przy czym β. Wtedy ut αe βt + γ e βt 1. 3.23 β Udowodnmy teraz lemat, który stanow zasadnczy krok w dowodze cągłej zależnośc rozwązana od warunków początkowych oraz prawej strony równana. 3.12 LEMAT. Rozważmy równane ẋ = ft, x, 3.24 gdze, podobne jak w tw. 3.1, zakładamy, że funkcja ft, x : R m+1 R m jest cagła w zborze Q = {t, x : t t a, x x b}, ogranczona sup t,x Q ft, x = M oraz spełna w Q warunek Lpschtza względem zmennej x ze stała L. Nech ϕ 1 t będze rozwazanem równana 3.24 z warunkem poczatkowym ϕ 1 t = x 1, które stneje na odcnku J [t a, t + a], zawerajacym w swom wnętrzu punkt t, oraz spełnajace warunek t, ϕt Q, dla t J. Nech funkcja ϕ 2 t będze funkcja klasy C 1 na odcnku J, spełna warunk ϕ 2 t = x 2, t, ϕ 2 t Q dla t J, oraz będze blska rozwazanu równana 3.24 w tym sense, że zachodz dla nej oszacowane ϕ 2 t ft, ϕ 2 t ε 3.25
44 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA dla pewnego ε > oraz każdego t J. Wtedy dla każdego t J zachodz oszacowane ϕ 1 t ϕ 2 t x 1 x 2 e Lt t + ε e Lt t 1. 3.26 L Dowód. Dla uproszczena zapsu przyjmujemy t = ne zmnejsza to ogólnośc dowodu, bo warunek tak można otrzymać przez odpowedną transformacje zmennej t. Korzystając z oszacowana 3.25 oraz faktu, że funkcja ϕ 1 t jest rozwązanem równana 3.24 możemy napsać ϕ 1 t ϕ 2 t ε + ft, ϕ 1 t ft, ϕ 2 t. Poneważ funkcja ft, x spełna warunek Lpschtza po zmennej x, ostatną nerówność można przepsać w postac ϕ 1 t ϕ 2 t ε + L ϕ 1 t ϕ 2 t. Nech ϕt = ϕ 1 t ϕ 2 t. Funkcja ta jest klasy C 1 na odcnku J, bo taka jest z założena funkcja ϕ 2 t, a dla funkcj ϕ 1 t wynka to z tw. 3.1. Z twerdzena 3.8 dostajemy wtedy ϕt ϕ ε + L ϕτ dτ. Korzystając z prostego zwązku ϕτ ϕ + ϕτ ϕ dostajemy oszacowane ϕt ϕ ε + L ϕ t + L ϕτ ϕ dτ. Jeśl w ostatnm oszacowanu oznaczymy ut = ϕt ϕ oraz k = ε + L ϕ >, to oszacowane to przyjme postać ut kt + L uτdτ. Jest to nerówność z wnosku 3.11. Z tego wnosku wynka oszacowane ε ϕt ϕ L + ϕ e Lt 1. Z tej ostatnej nerównośc otrzymujemy ϕt ϕ + ϕt ϕ ϕ e Lt + ε L e Lt 1. Korzystając z faktu, że ϕ = ϕ 1 ϕ 2 = x 1 x 2 dostajemy oszacowane z tezy. Przejdzemy teraz do dowodu twerdzene o cągłej zależnośc rozwązana od warunków początkowych parametrów.
3.3. ZALEŻNOŚĆ ROZWIAZANIA OD DANYCH 45 3.13 TWIERDZENIE. Nech ft, x, λ będze ogranczona cagła dla t, x J A R R m λ G R k, gdze zbory J A G sa otwarte ogranczone. Zakładamy, że t J oraz funkcja f spełna po zmennej x A warunek Lpschtza ze stała L nezależna od t J oraz λ G. Wtedy rozwazane ϕt, x, λ równana 3.16 zależy w sposób cagły od punktu x, λ. Dowód. Na podstawe uwag uczynonych na początku tego podrozdzału zajmemy sę wyłączne zależnoścą rozwązana od danych początkowych. Rozpatrywać węc będzemy równana w postac 3.24. Nech ϕt, u 1 będze rozwązanem równana 3.24 z warunkem początkowym ϕt = u 1, a ϕt, u 2 rozwązanem z warunkem ϕt = u 2. Z lematu 3.12 wynka oszacowane ϕt, u 1 ϕt, u 2 u 1 u 2 e Lt t. Nech K = sup t J e Lt t założylśmy ogranczoność przedzału J, co gwarantuje skończoność stałej K. Wtedy ϕt, u 1 ϕt, u 2 K u 1 u 2, co oznacza, że rozwązane ϕt, u spełna warunek Lpschtza po warunku początkowym u ze stałą nezależną od t J, czyl jest cągłą funkcją warunku początkowego. Pokażemy teraz, że ϕt, u jest funkcja cągłą obu argumentów. Zauważmy, że funkcja ta jest cągła jako funkcja t przy ustalonym u, co wynka z tw. 3.1. Jeśl teraz ustalmy t, to funkcja ϕt, u jest cągłą funkcją u cągłość ta jest jednostajna po t J, co wynka ze spełnana warunku Lpschtza po u ze stałą nezależną od t. Cągłość to parze argumentów t, u wynka teraz z tw. 3.9. Powyższe twerdzene można udowodnć przy neco słabszych założenach. Dowód takego twerdzena wymaga w zasadze powtórzena dowodu twerdzena Peano dla różncy funkcj ϕt, u 1 ϕt, u 2, dlatego przytaczamy je tu bez dowodu. 3.14 TWIERDZENIE. Jeśl funkcja ft, x, λ jest ogranczona cagła w pewnym zborze otwartym Q, a przez każdy punkt t, x, λ Q przechodz dokładne jedna krzywa całkowa ϕt, x, λ równana 3.16, to ϕ zależy w sposób cagły od punktu x, λ. Przejdzemy teraz do dowodu gładkej zależnośc rozwązana od warunków początkowych parametrów. 3.15 TWIERDZENIE. Nech ft, x, λ będze funkcja klasy C 1 swoch argumentów dla t, x Q R m+1 λ G R k, gdze zbory Q G sa otwarte. Wtedy rozwazane ϕt, x, λ zagadnena poczatkowego 3.16 jest klasy C 1 względem
46 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA zmennych t, x, λ w otwartym zborze, na którym jest określone. Jeśl yt jest macerza Jacobego ϕt,x,λ, to spełna ona równane λ dy dt z warunkem poczatkowym ft, x, λ ft, x, λ = y + λ 3.27 yt = ϕt, x, λ λ =. Natomast macerz Jacobego zt = ϕt,x,λ spełna równane z warunkem poczatkowym dz dt ft, x, λ = z 3.28 zt = ϕt, x, λ = I, gdze I jest macerza dentycznoścowa m m. Dowód. Różnczkowalność w sposób cągły względem t wynka z tw. 3.1 ẋ jest funkcją cągłą argumentów t, x, λ, bo jako rozwązane równana jest równe ft, ϕt, x, λ. Podobne jak w tw. 3.13 ogranczymy sę do rozpatrzena zależnośc od danych początkowych udowodnmy, że rozwązane jest klasy C 1 jako funkcja warunku początkowego. Nech ϕt, x będze rozwązanem równana 3.24 z warunkem początkowym ϕt = x, a ϕt, u będze rozwązanem równana 3.24 z warunkem początkowym ϕt = u. Wprowadźmy pomocnczą funkcję wt = ϕt, u ϕt, x zt u x, 3.29 gdze zt jest rozwązanem równana 3.28 z funkcją f nezależną od λ. Nech Bt, u = ft,ϕt,u. Wtedy równane 3.28 można zapsać jako żt Bt, uzt =. Korzystając z defncj funkcj wt oraz równana 3.28 oblczmy lewą stronę powyższej równośc dla funkcj w ẇt Bt, uwt =ft, ϕt, u ft, ϕt, x ft, ϕt, x ϕt, u ϕt, x. Prawa strona równana 3.3 zeruje sę dla u = x a jej pochodna po u wynos ft, ϕt, u ft, ϕt, x. 3.3
3.3. ZALEŻNOŚĆ ROZWIAZANIA OD DANYCH 47 Z welowymarowego wzoru Taylora wynka węc oszacowane gdze ft, ϕt, u ft, ϕt, x ft, ϕt, x ϕt, u ϕt, x m ϕt, u ϕt, x, m = sup α [,1] Wynka stąd oszacowane f t, αϕt, u 1 αϕt, x f t, ϕt, x ẇt Bt, uwt m ϕt, u ϕt, x. Pokażemy teraz, że stała m może być dowolne mała, jeśl u x. W tym celu zauważmy, że funkcja ft,αϕt,u 1 αϕt,x jest cągłą funkcją argumentów t, u, α. Z tw. 3.2 wynka, że funkcja ta dąży do ft,ϕt,x, gdy u x, jednostajne po t J oraz α [, 1]. Dla każdego ε > stneje węc stała η, taka że gdy ϕt, u ϕt, x η, to m ε. Mamy węc oszacowane ẇt Bt, uwt ε ϕt, u ϕt, x, 3.31 które jest prawdzwe dla ϕt, u ϕt, x η. Poneważ z lematu 3.12 wynka, że przy założenach twerdzena rozwązane jest funkcją lpschtzowską warunku początkowego, to stneje stała K, taka że Łącząc te oszacowana dostajemy Zajmemy sę teraz równanem ϕt, u ϕt, x K u x. ẇt Bt, uwt εk u x. 3.32. vt = Bt, uvt. 3.33 Prawa strona tego równana spełna warunek Lpschtza ze stałą β β = sup Bt, u, t J,u A gdze J jest zwartym odcnkem zawerającym w swom wnętrzu t a A = {u : u x η} jest zwartym otoczenem punktu x. Rozwązanem równana 3.33 z warunkem vt = jest oczywśce funkcja vt. Z drugej strony funkcja wt spełna warunek wt =, co wynka z jej defncj oraz obserwacj, że ϕt, u = u, ϕt, x = x a zt = I. Z nerównośc 3.32 wynka, że funkcja wt jest blska rozwązanu równana 3.33 w sense opsanym w lemace
48 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA 3.12. Funkcja ta spełna także założena tego lematu. Rozwązane vt spełna także założena tego lematu. Z nerównośc 3.26 wynka węc oszacowane wt εk u x eβt t 1. β Ułamek po prawej strone ostatnej nerównośc jest jednostajne ogranczony dla każdego t J. Pozwala to ostatną nerówność zapsać w postac czyl wt εk u x, dla u x η, ϕt, u ϕt, x zt u x εk u x. Poneważ oszacowane to jest prawdzwe dla każdego ε >, wynka z nego stnene pochodnej ϕt,u u w punkce u = x oraz dowodz, że jest ona równa zt. Musmy jeszcze pokazać, że ϕt, u jest funkcja klasy C 1 względem pary argumentów t, u. Na początku dowodu zauważylśmy, że pochodna ϕt,u t jest funkcją cągłą argumentów t, u, bo jako rozwązane równana jest równa ft, ϕt, u a f jest z założena cągłą funkcją. W przypadku pochodnej ϕt,u u wykazalśmy, że w punkce u = x jest ona równa rozwązanu zt równana 3.28. W otoczenu punktu x prawa strona tego równana spełna warunek Lpschtza. Z tw. 3.13 wynka węc, że jest ona cągłą funkcją t, u. Wykazalśmy w ten sposób, że obe pochodne cząstkowe funkcj ϕt, u są cągłym funkcjam pary zmennych t, u, czyl funkcja ϕt, u jest klasy C 1 jako funkcja pary argumentów. 3.16 WNIOSEK. Jeśl w założenach tw. 3.15 funkcja ft, x, λ jest klasy C r, gdze r 1, to rozwazane ϕt, x, λ jest też klasy C r. Dowód. Rozumowane jest dentyczne dla każdej zmennej, od której zależy rozwązane. Indukcyjny dowód przeprowadzmy tylko dla zależnośc rozwązana od parametru. Załóżmy, że wnosek jest prawdzwy dla r = s. Pokażemy, że jeśl ft, x, λ jest klasy C s+1, to rozwązane jest też tej klasy. Różnczkujemy równane 3.16 s razy po λ otrzymujemy równane, dla którego spełnone są założena tw. 3.15, czyl jego rozwązane jest klasy C 1. Skoro s-ta pochodna jest klasy C 1, to rozwązane równana 3.16, podobne jak funkcja ft, x, λ, jest różnczkowalne w sposób cągły s + 1 razy. 3.17 Przykład. Dane jest zagadnene Cauchy ego ẋ = µx 2 + 2t, x = µ 1. Należy znaleźć pochodną rozwązana względem parametru µ. µ=
3.3. ZALEŻNOŚĆ ROZWIAZANIA OD DANYCH 49 Sprowadzamy problem do równana, w którym zależna od parametru jest tylko prawa strona równana. W tym celu wprowadzamy nową zmenną zależną y = x µ + 1. Rozpatrywane zagadnene Cauchy ego redukuje sę teraz do następującego ẏ = µy 2 + 2µ 2 y + 2t + µ 3 2µ 2 + µ, y =. 3.34 Zgodne z tw. 3.15 dostajemy równane ż = 2µy + 2µ 2 z + y 2 + 4µy + 3µ 2 4µ + 1. Równane to rozwązujemy standardową metodą dla równań lnowych. Najperw znajdujemy rozwązane równana jednorodnego zt = c exp 2µy + 2µ 2 ds, a następne uzmennamy stałą otrzymując korzystamy z warunku początkowego z = Stąd ct = exp s zt = exp 2µy + 2µ 2 ds exp s 2µy + 2µ 2 dτ y 2 + 4µy + 3µ 2 4µ + 1ds. 2µy + 2µ 2 dτ y 2 + 4µy + 3µ 2 4µ + 1ds = exp 2µy + 2µ 2 dτ s y 2 + 4µy + 3µ 2 4µ + 1ds. Zauważmy, że dla µ = równane 3.34 ma rozwązane y = t 2. Wykorzystując to rozwązane dostajemy po przejścu grancznym Poneważ z = y µ = µ 1, węc lm zt = s 4 + 1ds = 1 µ 5 t5 + t. µ = 1 µ= 5 t5 + t + 1.
5 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA 3.4 Twerdzene o prostowanu Twerdzene, które ponżej przedstawamy, jest właścwe prostym wnoskem z tw. 3.15. Jest ono jednak ważne, poneważ daje geometryczny ops lokalnego zachowana krzywych całkowych. Z twerdzena tego wynka, że krzywe całkowe równana różnczkowego są lokalne równoległe względem sebe, tzn. przez odpowedn dyfeomorfzm można je zamenć na rodznę prostych równoległych. Ta własność sprawa, że twerdzene to nazywa sę twerdzenem o lokalnym prostowanu krzywych całkowych pola wektorowego. 3.18 TWIERDZENIE. W zborze otwartym Q R m+1 dane jest równane ẋ = ft, x 3.35 z funkcja f klasy C r, r 1. Nech t, x Q. Istneje wtedy V, t, x V Q oraz dyfeomorfzm klasy C r g: V W, gdze W jest obszarem w R m+1, o tej własnośc, że jeśl s, u 1,..., u m jest lokalnym układem współrzędnych w W, to g przeprowadza równane 3.35 w równane du ds =. Dowód. Nech ϕt, t, p będze rozwązanem równana 3.35 z warunkem początkowym xt = x = p. Naszym celem jest zadane przekształcena, które krzywą całkową ϕt, t, p przekształc na prostą us = p. Odwzorowane to łatwej jest zapsać w forme funkcj odwrotnej utożsamene zmennych t s wynka z faktu, że s opsuje zmanę t wzdłuż krzywej całkowej ϕt, t, p g 1 t, p = t, ϕt, t, p. 3.36 Z wnosku 3.16 wynka, że g jest odwzorowanem klasy C r. Jakoban odwzorowana 3.36 w punkce t, p jest różny od zera, czyl g jest dyfeomorfzmem klasy C r. Pokażemy teraz, że odwzorowane g przeprowadza pole wektorowe [1, ft, x] na pole [1, ]. Wynka to z faktu, że jeśl g przeprowadza krzywe ϕt, t, p na proste us = p, to wektory styczne do jednej rodzny krzywych są przeprowadzane na wektory styczne do drugej rodzny. Możemy węc powedzeć, że dyfeomorfzm g przeprowadza równane 3.35, któremu odpowada pole [1, ft, x], w równane du ds =, któremu odpowada pola wektorowego [1, ].