GAL, konspekt wyk ladów: Tensory

GAL, konspekt wyk ladów: Tensory 15.6.2018 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. [Kos roz. 6]. Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej. 1 Iloczyn tensorowy 1.1 Zewne trzna suma prosta S = V W (zbiór równy produktowi kartezjańskiemu z dzia laniami po wspó lrze dnych) może być zdefiniowana przez diagram (przypomnienie) S i V i W V! φ W φ V U φ W 1.2 [Kos roz.6 5 Tw.3] Dla przestrzeni liniowych V i W rozważamy wszystkie odwzorowania 2- liniowe φ : V W U. Istnieje przestrzeń T wraz z odwzotowaniem 2-liniowym τ : V W T o tej w lasności, że każde przekszta lcenie φ faktoryzuje sie jednoznacznie przez τ τ T V W φ! φ U 1.3 Przestrzeń V wraz z odwzorowaniem τ : V W T jest jedyna z dok ladnościa do izomorfizmu. Oznaczana przez V W. Ma w lasność: dla każdej przestrzeni wektorowej U mamy L 2-liniowe (V W, U) = L(V W, U). 1.4 Konstrukcja efektywna V W za pomoca baz w V i W. Wymiar dim(v W ) = dim(v ) dim(w ). 1.5 Inna konstukcja: Definiujemy (ogromna ) przestrzeń o bazie e v,w indeksowana parami (v, w) V W. Jej elementami sa formalne kombinacje n a vi,w i e vi,w i, gdzie a vi,w i K. Dzielimy te przestrzeń przez podprzestrzeń rozpie ta przez a e v,w e av,w dla a K a e v,w e v,aw dla a K e v1,w + e v2,w e v1 +v 2,w dla v 1, v 2 V, w W i=1 e v,w1 + e v,w2 e v,w1 +w 2 dla v V, w 1, w 2 W 1

Elementami przestrzeni ilorazowej V W sa kombinacje liniowe n v i w i := i=1 n [e vi,w i ] i=1 gdzie v i V, w i W. Wyrażenia te przekszta lcamy wed lug regu l: (a v) w = v (a w) = a(v w) dla a K (v 1 + v 2 ) w = v 1 w + v 2 w oraz v (w 1 + w 2 ) = v w 1 + v w 2 1.6 Ćw Odwzorowanie τ : V W V W ma w lasność τ(v, w) = τ(av, a 1 w) dla a 0, τ(v, 0) = 0 = τ(0, w). Po pozieleniu przez relacje wynikaja ce z powyższych równości relacje, przekszta lcenie W V/ W jest różnowartościowe. 1.7 Elementy τ(v, w) = v w sa nazywane tensorami prostymi. Tensory proste rozpinaja V W. 1.8 Niech dim V = dim W = 2. Tensorów prostych w V W w bazie α 1 β 1, α 1 β 2, α 2 β 1, α 2 β 2 sk lada sie z czwórek postaci (a 1 b 1, a 1 b 2, a 2 b 1, a 2 b 2 ). Te lelemnty leża na kwadryce zadaniej równaniem x 1 x 4 x 2 x 3 = 0. Gdy V i W maja wie kszy wymiar, jedno równanie nie wystarzy. Udowodnić, że zbiór tensorów prostych można opisać uk ladem równań kwadratowych. 1.9 Ćwiczenie: Jeśli wektory v 1, v 2,..., v k sa liniowo niezależne, oraz v i w i = 0 to w 1 = w 2 = = w k. 1.10 Macierz zamiany bazy w V przy zamianach baz w V i W jeśli {α k, {α i = k ak i α k bazy V, {β l, {β j = l bl j β l bazy W, to α i β j = k,l ak i bl j α k β l, w konwencji Einsteina α i β j = a k i bl j α k β l. 1.11 Jeśli T = i,j T i,j α i β j = i,j T i,j α i β j, to T i,j = k,l T k,l a i k bj l. 2

1.12 W dalszej cze ści przez przekszta lcenie, izomorfizm, itp. naturalny rozumiemy niezależny od wyboru bazy. Pe lne znaczenie s lowa naturalny można wyrazić używaja c poje ć kategorii (patrz naturalna transformacja funktorów). 1.13 Dla przestrzeni liniowych V, W, Z mamy naste puja ce naturalne izomorfizmy {0 V {0, K V V, V W W V, (V W ) Z V (W Z), (V W ) Z (V Z) (V Z). (W ostatnim wzorze nie ma konieczności pisania nawiasów po prawej stronie. Piszemy V Z V Z). 2 Tensory c.d 2.1 Dla przestrzeni liniowych W, Z zbiór przekszta lceń liniowych L(W, Z) ma strukture przestrzeni liniowej. W lasność iloczynu tensorowego: istnieje naturalne przekszta lcenie, L(V, L(W, Z)) L(V W, Z), które jest izomorfizmem. Jest ono zadane tak: dane α : V L(W, Z), definiujemy przekszta lcenie 2-liniowe β : V W Z, β(v, w) := α(v)(w). Teraz β zadaje β : V W Z. 2.2 Istnieje naturalne przekszta lcenie V W L(V, W ), które jest izomorfizmem, jeśli dim V <. Jeśli dim V =, to obraz sk lada sie z endomorfizmów, których obraz jest skńczonego wymiaru. 2.3 Jeśli dim V < i dim W < to V W (V W ). Dow. przekszta lcenie z V W wystarczy zadać na V W : V W (V W ) = L(V W, K) = L 2-liniowe (V W, K). Wystarczy na tensorach prostych f g ( ) (v, w) f(v)g(w). 2.4 Operacja kompleksyfikacji przestrzeni wektorowej nad R: V C := C R V oznacza iloczyn tensorowy C (jako przestrzeni liniowej nad R) z V. V C = {1 v + i w v, w V. Takie tensory można mnożyć przez liczby zespolone. 2.5 Mamy (V C ) R V V dla przestrzeni rzeczywistej V. 3

2.6 Gdy V jest przestrzenia zespolona, to (V R ) C V V, gdzie V jako zbiór jest równe V, ale ma zmienione mnożenie przez skalary zespolone: z v := zv. (Ćwiczenie.) Klasyczne tensory typu (p, q) 2.7 Tensory typu p-kowariantne q-kontrawariantne to funkcje p + q-liniowe V V {{ V V V {{ V K p q czyli elementy ( V V V {{ p ) V V {{ V q W skrócie T q p(v ) = (V ) p V q. 2.8 Tensor typu (1,0) funkcjona l (0,1) wektor (1,1) endomorfizm (2,0) forma 2-liniowa (2,1) np mnożenie w algebrze (0,0) skalar V V {{ V V V {{ V p q 2.9 Dana baza {α k przestrzeni V. Niech {α k baza sprze żona przestrzeni V, oraz dany tensor T typu (p, q). Jego wspó lrzednymi w bazie α i 1... α ip α j1... α jq 2.10 Regu ly transformacji: jeśli α i = k ak i α k niech α j = l bj l α l. T j 1,...,j q i 1,...,i p = T (α i1... α ip α j 1... α jq ). sa liczby (Macierz (b i k ) = (ak i ) 1, nie trzeba transponować, bo transpozycja jest zawarta w notacji.) T j 1,...,j q i 1,...,i p = b i 1 i1... b i p i p T j 1,...,j q i a j 1 i,j 1,...,i p j... a j q 1 j. q 2.11 Co to za tensor T j i = δ j i? 2.12 Który z naste puja cych tensorów jest tensorem prostym? a) T i,j = i + j, b) T i,j = i j 2.13 Mnożenie tensorów: S typu (p, q), T typu (p, q ), to S T typu (p + p, q + q ). 4

2.14 Zwe żenie tensorów (kontrakcja) ślad tr : End(V ) = V V K zadany przez przekszta lcenie 2-liniowe V V K, (f, v) f(v). We wspó lrze dnych i,j T j i αi α j i T i i K dla wybranych indeksów r q, s p tr r s : T q p(v ) T q 1 p 1 (V ) tr r s(t ) j 1, r...j q i 1, s...,i p = i T j 1, r i...j q i 1, s i...,i p. 2.15 Tensor metryczny to tensor typu (2,0), czyli forma 2-liniowa, która jest iloczynem skalarnym G = g i,j e i e j, zadaje izomorfizm V V, v = i xi e i i,j g i,jx i e j = tr1 1 (g v) ogólniej tesor metryczny pozwala opuszczać wskaźniki T q p(v ) T q 1 p+1 T tr r 1(G T ) operacja podnoszenia wskaźników jest zadana przez zwe żanie z tensorem typu (0,2), T tr 1 s(g 1 T ) gdzie G 1 = i,j gi,j e i e j spe lnia tr 1 1 (G 1 G) = i,j δj i ei e j (macierzowo [g i,j ] = [g i,j ] 1 ). 3 Algebra tensorowa 3.1 Graficzna reprezentacja tensorów: http://en.wikipedia.org/wiki/penrose graphical notation 3.2 Przez T(V ) oznaczamy algebre tensorowa T(V ) = T q (V ) = V q = K V V 2 V 3... q=0 q=0 3.3 W lasność uniwersalna: Dla dowolnej algebry A z 1 nad cia lem K L(V, A) = Mor algebry z 1 (T (V ), A). Algebra symetryczna 3.4 Definiujemy algebre symetryczna S(V ) jako przestrzeń ilorazowa T(V )/. Dzielimy przez podprzestrzeń rozpie ta przez (v 1 v i v i+1 v q ) (v 1 v i+1 v i v q ). 3.5 Jeśli ustalić baze V i nazwać ja x 1, x 2,..., x n, to S(V ) K[x 1, x 2,..., x n ] (pierścień wielomianów). Jeśli V = W, K = to S(V ) utożsamiamy z funkcjami wielomianowymi na W. 5

3.6 Mamy rzutowanie T(V ) S(V ). Jeśli chrakterystyka cia la jes równa zero, to w T(V ) mamy podalgebre (też be dzie oznaczana przez S(V )), która rzutuje sie izomorficznie na S(V ). Sk lada sie ona z tensorów symetrycznych: Grupa permutacji Σ q dzia la na T q (V ) = V q permutuja c wspó lrze dne. Tensor T jest symetryczny jeśli dla każdej permutacji σ(t ) = T, tzn we wspó lrze dnych T i 1,i 2,...,i q = T i σ(1),i σ(2),...,i σ(q) 3.7 Symetryzacja : zak ladamy, że char(k) = 0 i uśredniamy po permutacjach σ Σ q sym : V q S q (V ), sym(t ) = 1 q! σ σ(t ), Mamy sym sym = sym, zatem sym jest rzutowaniem na przestrzeń tensorów symetrycznych. 3.8 Niech e 1, e 2,... e n baza V, wtedy tensory e I = sym(e i1 e i2 e iq ) dla I = {i 1 i 2 i q sa baza S q (V ). 3.9 Ćwiczenie; obliczyć dim Sq (R n ). 3.10 Gdy char K q przekszta lcenie {tensoy symetryczne S q (V ) nie jest izomorfizmem, np dla q = 2, char K = 2 element przestrzeni ilorazowej [v w] nie jest obrazem tensora symetrycznego. 3.11 W lasność uniwersalna: A algebra przemienna, nad cia lem K L(V, A) = Mor algebry przemienne z 1 (S(V ), A). Algebra zewne trzna 3.12 Definiujemy algebre zewne trzna Λ(V ) jako przestrzeń ilorazowa T(V )/. Dzielimy przez podprzestrzeń rozpie ta przez (v 1 v i v i+1 v q ) + (v 1 v i+1 v i v q ). 3.13 Mnożenie jest przemienne z uwzgle dnieniem gradacji (super-przemienne): tzn dla a Λ i V, b Λ j V mamy a b = ( 1) ij b a. 3.14 Ćw: Sformu lować w lasność uniwersalna definiujaca Λ(V ). 3.15 Za lóżmy dla uproszczenia, że chark = 0. Tak jak w przypadku algebry symetrycznej istnieje podalgebra w T(V ) rzutuja ca sie izomorficznie na Λ(V ). Tensor T V q jest antysymetryczny jeśli dla każdej permutacji σ σ(t ) = sgn(σ) T. We wspó lrze dnych: T i 1,i 2,...,i q = sgn(σ) T i σ(1),i σ(2),...,i σ(q). 3.16 Jedynie dla q = 2 mamy V 2 = S 2 (V ) Λ 2 (V ). 6

3.17 Operacja antysymetryzacji Mamy A A = A. A : V q Λ q (V ) A(T ) = 1 q! ( 1) sgn(σ) σ(t ). σ Σ q 3.18 Niech e 1, e 2,... e n baza V, wtedy tensory e I = A(e i1 e i2 e iq ) dla I = {i 1 < i 2 <... i q sa baza Λ q (V ). Sta d dim Λ q (V ) = ( ) dim V q. 3.19 Iloczyn zewne trzny: v 1 v 2 v q = A(v 1 v 2 v q ) Λ q (V ) T(V ) Dodatek 3.20 Pote ga zewne trzna przestrzeni sprze żonej Λ p (V ) to p-formy alternuja ce na V. Gdy n = dim(v ) generatorem Λ n (V ) jest wyznacznik (rozumiany jako n-liniowa forma antysymetryczna V n K). 3.21 Niezdegenerowane przekszta lcenie 2-liniowe, : Λ q (V ) Λ q (V ) K poprzez w lożenie do T q q(v ) i zwe żenie wszystkich indeksów. Na bazie e I, e J = 1 q! δj I, 3.22 Żeby pozbyć sie czynnika 1 q! dla form modyfikujemy definicje ej tak, aby to by la baza sprze żona do e I. Traktuja c e J jako tensor typu (q, 0) mamy (e i 1 e i 2 e iq )(e i1, e i2,..., e iq ) = δ J I (Jednak w literaturze zdarzaja sie teź inne konwencje.) 7

4 Algebra zewne trzna (cd) i algebry Clifforda (wyk lad 05.06.2014) 4.1 W lasność uniwersalna: A = A ev A odd algebra przemienna z Z 2 -gradacja, nad cia lem K L(V, A odd ) = Mor algebry super-przemienne (ΛV, A). 4.2 W lasność uniwersalna pote gi zewne trznej: Dla każdego wieloliniowego przekszta lcenia f : V q W, które jest antysymeteryczne istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie liniowe f : Λ q V W takie, że f(v 1, v 2,..., v q ) = f(v 1 v 2 v q ). 4.3 Jeśli n = dim V, to dim Λ n V = 1, niezerowy wektor e 1 e 2 e n. Dla wektorów v 1, v 2,... v n V, v j = a i j e i mamy v 1 v 2 v n = det[a i j ] e 1 e 2 e n. 4.4 Wspó lrze dne wektora v 1 v 2 v k w bazie {e I to maksymalne minory macierzy [v 1, v 2,..., v k ]. 4.5 Ćwiczenie: Wektory v 1, v 2,... v k V sa liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy v 1 v 2 v k 0. 4.6 Tw Cauchy-Bineta: jeśli A M q n (K), B M n q (K) to det(ab) = I det(ai ) det(b I ), gdzie A I i B I sa macierzami q q powsta lymi z A i B poprzez wybór kolumn/wierszy o numerkach ze zbioru I {1, 2,..., n. Algebra Clifforda 4.7 Niech φ be dzie forma kwadratowa na V. Algebre Clifforda Cl(Q) wraz z przekszta lceniem ι : V Cl(Q) definiujemy przez wa sność uniwersalnaa : Niech A be dzie algebra z 1, oraz niech f : V A be dzie przekszta lceniem liniowym spe lniaja cym f(v) 2 = Q(v) 1. Wtedy istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie algebr f : Cl(Q) A takie, że f = f ι. 4.8 Konstrukcja algebry Clifforda: Cl(Q) jest ilorazem algebry tensorowej Cl(Q) = T(V )/ v v Q(v) v V, gdzie dla zbioru A T(V ) przez A rozumiemy podprzestrzeń rozpie ta przez elementy T 1 a T 2, a A (tzn idea l dwustronny). 4.9 Algebry zewne trzne sa przyk ladem algebr Clifforda: wystarczy wzia ć Q = 0. 4.10 Iloczyny e i1 e i2... e iq indeksowane wszystkimi cia gami rosna cymi sa baza algebry Clifforda. Sta d dim Cl(Q) = 2 dim V 4.11 C i H jako algebry Clifforda. 4.12 Niech Cl(k) = Cl(R k, ( forma standardowa)), oraz niech A[n] oznacza algebre macierzy o wspó lczynnikach z A. Mamy Cl(0) = R Cl(1) C Cl(2) H 8

Cl(3) H H Cl(4) H[2] Cl(5) C[4] Cl(6) R[8] Cl(7) R[8] R[8] Cl(8 + k) Cl(k)[16] (Periodyczność Botta) 9