10 czerwiec aweber/zadania/gal2017gw/ przestrzeni liniowej. Oznaczenie V/W.

Transkrypt

1 10 czerwiec 018 GAL z, konspekt wyk ladów: Endomorfizmy aweber/zadania/gal017gw/ Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej. 1 Przestrzenie ilorazowe, wektory w lasne Przestrzenie ilorazowe [Kostrikin I..6] 1.1 Niech W V para podprzestrzeni. Definiujemy relacje równoważności w V: α β jeśli α β W. Zbiór klas abstrakcji ma strukture przestrzeni liniowej. Oznaczenie V/W. 1. Odwzorowanie π : V V/W jest liniowe, jest epimorfizmem, ker(π) = W. 1.3 W lasność uniwersalna ilorazu: dla każdego przekszta lcenia liniowego φ : V Z takiego, że φ W = 0 istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie φ takie,że φ = φ π: W ι 0 V 0 Innymi s lowy: wszystkie przekszta lcenia z V zeruja ce sie na W jednoznacznie faktoryzuja sie przez π φ V/W V/W. W lasność jednoznacznej faktoryzacji definiuje V/W z dok ladnościa do izomorfizmu. 1.4 W lasność uniwersalna determinuje iloraz z dok ladnościa do izomorfizmu. Jeśli odwzorowanie p : V Q spe lnia warunek: p ι = 0 oraz dla każdego przekszta lcenia liniowego φ : V Z takiego, że φ W = 0 istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie φ takie,że φ = φ π: W ι to Q V/W oraz ten izomorfizm jest zgodny z przekszta lceniami p : V Q i π : V V/W. 0 V 0 p φ Z!φ Q Z!φ 1.5 Gdy U, W V, to (U + W )/W U/(U W ). 1.6 Niech φ : V Z be dzie przekszta lceniem liniowym. Istnieje naturalne przekszta lcenie φ : V/ker(φ) Z takie, że φ = φ π. Ponadto φ zadaje izomorfizm V/ker(φ) im(φ). 1

2 1.7 Wniosek: Jeśli V = W U to V/W U. φ 1 φ 1.8 Push-out P odwzorowań V 1 W V definiujemy poprzez w lasność uniwersalna W V 1 V φ 1 ψ 1 Z φ π 1 ψ!ψ π P Dla każdej pary przekszta lceń ψ 1 : V 1 Z, ψ : V Z takiej, że ψ 1 φ 1 = ψ φ istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie ψ : P Z takie, że ψ 1 = ψπ 1 i ψ = ψπ. 1.9 Definicja push-outu ma sens w dowolnej kategorii (choć nie zawsze musi istnieć) W kategorii przestrzeni wektorowych P = (V 1 V )/U, gdzie U = {(φ 1 (w), φ (w)) w W } Gdy V = 0, to P = V 1 /im(φ 1 ). 1.1 Ćwiczenie: Niech U W V beda przestrzeniami liniowymi. Wykazać, że (V/U)/(W/U) V/W Ćwiczenie: Niech A R bedzie zbiorem domknie tym oraz niech C(A) oznacza zbiór funkcji cia g lych na A. Wtedy C(A) C(R)/I(A), gdzie I(A) = {f C(R) x A, f(x) = 0} Jeśli V jest skończonego wymiaru, to dim(v/w ) = dim(v ) dim(w ). Kowymiar definiujemy jako codim V (W ) = dim(v/w ). Kowymiar może być skończony, nawet gdy dim V = Endomorfizmy, wektory i przestrzenie w lasne Patrz czyli [Kos roz ] (gdzie endomorfizmy nazywane sa operatorami liniowymu [Tor VI]).1 Endomorfizmy End(V ) = L(V, V ). Operacja,,+ oraz zadaje strukture pierścienia (nieprzemiennego) z jedynka. Dodatkowo mamy mnożenie przez skalar z cia la bazowego. Taka struktura nazywa sie algebra nad cia lem K.. End(V ) nazywana jest także algebra operatorów liniowych w przestrzeni V. Gdy dim V = n to End(V ) jest izomorficzna z algebra macierzy M n n (K)..3 Dla endomorfizmu φ End(V ) oraz wielomianu f K[x] definiujemny f(φ) End(V ). Podobnie dla macierzy kwadratowej A M n n (K) definiujemy f(a). Mamy f(a)g(a) = (fg)(a) = g(a)f(a).

3 .4 Wektory w lasne, wartości w lasne, przestrzeń w lasne V λ = {α V φ(α) = λφ} = ker(φ λid V )..5 Zbiór wartości w lasnych przekszta lcenia φ nazywamy spektrum. Oznaczamy spec(φ). 1.6 Przyk lad M(φ) = 1, wartości w lasne λ = 1 i λ = 5, wektory w lasne dla λ = 1: 1 ( 1, 1, 0), ( 1, 0, 1), dla λ = 5: (1, 1, 1)..7 Niech B be dzie baza V, A = M(φ) B B. Nate puja ce warunki sa równoważne: λ jest wartościa, macierz A λi jest osobliwa. det(a λ I) = 0..8 Metoda szukania warto?ci w?asnych i wektor? w?asnych: 1. rozwia zujemy równanie charakterystyczne det(m(φ) λ I) = 0. rozwia zujemy uk lad liniowy jednorodny (φ λ Id)(α) = 0..9 Wielomian W φ (λ) = det(m(φ) λ I) nazywamy wielomianem charakterystycznym lub równaniem charakterystycznym endomorfizmu φ..10 Gdy dim(v ) =, to W φ (λ) = λ tr(m(φ)λ + det(m(φ)), gdzie dla macierzy A = {a ij } 1 i,j n ślad tr(a) = n i=1 a ii. Ogólniej, W φ (λ) = ( 1) n λ n + ( 1) n 1 tr(m(φ))λ n ??? + det(m(φ))..11 Przyk lad φ(x, y) = (x + y, y), tu dim V 1 = 1 < krotność λ = 1 w W φ (λ) = (t 1). ( ) cos(θ) sin(θ).1 Przyk lad φ(x, y) = (cos(θ)x + sin(θ)y, sin(θ)x + cos(θ)y), A =, sin(θ) cos(θ) Jako endomorfizm R nie ma wartości w lasnych, ale gdy rozpatrujemy jako endomorfizm C, to sa dwie wartości w lasne: spec(φ C ) = {e iθ, e iθ }..13 Jeśli φ C End(C n ) jest rozszerzeniem do liczb zepolonych endomorfizmu φ End(R n ), oraz λ jest wartościa w lasna z wektorem α, to λ jest wartościa z wektorem w lasnym ᾱ..14 Przyk lad: wyprowadzenie wzoru na liczby Fibonacciego. F 0 = 0, F 1 = 1, F n+1 = F n 1 + F n. Jeśli przyja ć φ End(R ), φ(x, y) = (y, x + y), to φ(f n 1, F n ) = (F n, F n+1 ). Zatem (F n, F n+1 ) = φ n (F 0, F 1 ) = φ n (0, 1). 3

4 Przekszta lcenie φ ma wartości w lasne: λ + = 1+ 5, wektor w lasny α + = (1, 1+ 5 ), λ = 1 5, wektor w lasny α = (1, 1 5 ). Oraz (0, 1) = 1 5 (α + α ). Sta d (F n, F n+1 ) = 1 5 (( 1+ 5 ) n α + ( 1 5 ) n α ). Biora c pierwsza wspó lrze dna dostajemy ogólnie znany wzór na liczby Fibonacciego. Przestrzenie nieskończenie wymiarowe:.15 Przyk lad: jakie sa wektory w lasne przekszta lcenia φ : C (R) C (R), φ(f) = f? (Odp: spec(φ) = R, V λ = lin{e λx }.).16 Przyk lad: Funkcje g ladkie i periodyczne o okresie π utożsamiamy z funkcjami na okre gu C (S 1 ). Jakie sa wektory w lasne przekszta lcenia φ : C (S 1 ) C (S 1 ), φ(f) = f? (Odp spec(φ) = { k k N}, V k = lin{cos(kx), sin(kx)}.).17 Ćwiczenie z analizy: Niech V = C (R), d n n n! a) φ(f) = ( (t 1)f (t) ). Sprawdzić, że wielomian Legendra Pn = 1 ( dt (t 1) n) jest wektorem n d w lasnym z wartościa n(n + 1). (Symbol n dt oznacza operacja n brania n-tej pochodnej.) b) φ(f) = t f (1 t )f. Sprawdzić, że wielomian Czebyszewa T n jest wektorem w lasnym z wartościa n. (Wielomian Czebyszewa spe lnia cos(nx) = T n (cos(x)).) 3 Przestrzenie niezmiennicze, Tw Cayleya-Hamiltona 3.1 Wielomian charakterystyczny W φ (λ) = det(m(φ λ Id)) nie zależy od wyboru bazy. 3. Jeśli wektory α i dla i = 1,..., k sa w lasne dla różnych wartości w lasnych, to sa liniowo niezależne. 3.3 Mówimy, że endomorphizm φ End(V ) jest diagonalizowalny, jeśli w pewnej bazie V macierz φ jest diagonalna. 3.4 Jeśli W φ (t) rozk lada sie na różne czynniki liniowe, to isnieje baza z lożona z wektorów w lasnych. W tej bazie M(φ) jest diagonalna. 3.5 Kryterium diagonalizowalności: φ jest diagoanalizowalny wtedy i tylko wtedy gdy: 1) W φ (t) rozk lada sie na czynniki linowe w K ) krotność λ w W φ jest równa dim(v λ ) 3.6 Mówimy, że podprzestrzeń U V jest niezmiennicza, gdy φ(u) U. 3.7 Przekszta lcenie φ zadaje φ U : U U, i φ : V/U V/U. 3.8 Jeśli istnieje podprzestrzeń niezmiennicza wymiaru k, istnieje baza α 1, α,..., α n przestrzeni V taka, że α 1, α,..., α k jest baza U. Wtedy [α k+1 ], [α k+ ],..., [α n ] jest baza V/U. Przekszta lcenie φ w ( ) A C tej bazie ma macierz blokowa gżnotrójka tna, gdzie A jest macierza 0 B φ U, a B jest macierza φ. 4

5 3.9 Wniosek: jeśli U jest niezmiennicza, to W φ = W φ U W φ Jeśli istnieje cia g podprzestrzeni niezmienniczych 0 = V 0 V 1 V V n = V dim(v k ) = k,?to w pewnej bazie φ ma macierz gżnotrójka tna z wartościami w lasnymi na przeka tnej Lemat: dany kwadrat przemienny φ V V f f V ψ V czyli fφ = ψf. Jeśli U V jest ψ-niezmiennicza, tp f 1 (U) jest φ-niezmiennicza. 3.1 Jeśli cia lo jest algebraicznie domknie te, to istnieje conajmniej jedna wartość w lasna i wektor w lasny Niech φ be dzie endomorfizmem zdefiniowanym nad cia lem K. Jeśli wielomian charakterystyczny ma pierwiastki w ciele K, istnieje cia g podprzestrzeni liniowych niezmienniczych (filtracja) 0 = V 0 V 1 V V n = V takich, że dim V i = i. (Zatem M(φ) jest górnotrójka tna w pewnej bazie.) Dowód indukcyjny korzystaja cy z naste puja cy oczywisty lematu Stosujemy lemat do ψ = φ End(V/lin{α}), f = π : V V/lin{α}, gdzie α jest dowolnym wektorem w lasnym. Uwaga: Zwykle powyższe twierdzenie dowodzi sie przy za lożeniu, że cia lo jest algebraicznie domknie te. Aby wykazać twierdzenie jedynie przy za lożeniu, że W φ rozk lada sie. W indukcji korzystamy z tego, że również że W φ rozk lada sie na czynniki linowe Twierdzenie Cayleya-Hamiltona: W φ (φ) = 0. W dowodzie korzystamy z tego, że każde cia lo jest zawarte w ciele algebraicznie domknie tym. Istnieje filtracja niezmiennicza V i. W odpowiedniej bazie macierz φ jest górno trójka tna, z wyrazami λ i na przeka tnej. Wtedy (φ λ i Id)(V i ) V i 1. Sta d W φ (φ)(v ) = = (φ λ 1 Id)(φ λ Id)... (φ λ n Id)(V n ) (φ λ 1 Id)(φ λ Id)... (φ λ n 1 Id)(V n 1 )... (φ λ 1 Id)(V 1 ) V 0 = {0} 4 Przestrzenie pierwiastkowe 4.1 Mówimy, że macierze kwadratowe A i B sa podobne (A B) jeśli istnieje macierz odwracalna C taka, że CAC 1 = B. To jest relacja równoważności. Dla wygody jeśli dana macierz rozmiaru n n to przekszta lcenia K n K n zadane przez macierz A też oznaczam A. W szczególności mamy wielomian charakterystyczny W A (x) = det(a xi). 5

6 4. Niezmienniki klasy równoważności podobieństwa. Jeśli A B to: det(a) = det(b) tr(a) = tr(b) wielomian charakterystyczny przekszta lcenia W A = W B spektrum spec(a) = spec(b) wymiary przestrzeni w lasnych dim(ker(a λid)) = dim(ker(b λid)) dim(ker((a λid) k )) = dim(ker((b λid) k )) 4.3 Jeśli A i B sa diagonalizowalne to spec(a) = spec(b) A B 4.4 Później z twierdzenia Jordana (patrz niżej) latwo wynika (przy za lożeniu, że cia lo jest algebraicznie domknie te) ( ) k N λ K dim(ker((a λid) k )) = dim(ker((b λid) k )) A B 4.5 Przestrzeń pierwiastkowa: V (λ) = {v V n N : (φ λ Id) n (v) = 0}. (Inna nazwa: uogólniona przestrzeń w lasna.) 4.6 Oznaczenie: zbór wartości w lasnych endomorfizmu φ nazywamy spektrum i oznaczamy spec(φ). 4.7 Lemat o wielomianach: dane wielomiany g 1,..., g m K[x]. Istnieja wielomiany h 1,..., h m K[x] takie, że g i h i = NW D(g 1,..., g m ). (Dowód indukcyjny ze wzgle du na m. Dla m = algoryrm Euklidesa.) 4.8 Dowód 4.10 z lematu o wielomianach, jak w [Kos roz II 4.3]. 4.9 Za lóżmy, że φ : V V spe lnia pewna tożsamość wielomianowa f(φ) = 0 (gdy dim(v ) < to np. f = W φ ). Wielomian minimalny µ φ jest wielomianem o najmniejszym stopniu spe lniaja cym µ φ (φ) = 0. Każdy inny wielomian maja cy te w lasność jest podzielny przez µ φ. Naogó l µ φ W φ, choć w µ φ musi wysta pić każdy czynnik liniowy z W φ Twierdzeinie o rozk ladzie na przestrzenie pierwiastkowe. Jeśli dim(v ) < i W φ (t) rozk lada sie na czynniki liniowe w K (np. K jest algebraicznie domknie te), to V = λ Spec(φ) 4.11 Rozk lad V = λ Spec(φ) V (λ) można udowodnić także gdy dim V = oraz φ spe lnia tożsamość V (λ). wielomianowa f(φ) = 0 dla pewnego wielomianu rozk ladaja cego sie na czynniki liniowe. 4.1 Udowodniliśmy, że V rozk lada sie na przestrzenie pierwiaskowe. Zatem możemy przyja ć, że φ := φ spe lnia równanie (φ λ V(λi ) iid) n = 0. Naste pnie zaste puja c φ przez φ λ i id możemy za lożyć, że φ n = 0. 6

7 4.13 Def: ψ End(V ) jest nilpotentny jeśli ψ n = 0 dla pewnego n. Jeśli przestrzeń jest skończonego wymiaru, to ten warunek jest równoważny: V = V (0). Na naste pnym wyk ladzie be dziemy rozk ladać przestrzeń V na podprzestrzenie,,cykliczne. Celem jest: Twierdzenie o postaci kanonicznej Jordana Dla każdego endomorfizmu przestrzeni skończonego wymiaru nad cia lem algebraicznie domknie tym istnieje baza, w której macierz przekszta lcenia jest klatkowo-diagonalna z klatkami postaci [Kos roz II 4.] J J J k J k λ λ J l = λ λ 5 Koniec dowodu tw Jordana i efektywne metody 5.1 Za lóżmy, że ψ nilpotentny. Niech m najwie sze, takie, że ψ m (α) 0. Wtedy wektory sa liniowo niezależne. ψ m (α), ψ m 1 (α),..., ψ(α), α 5. Def: V jest cykliczna (ze wzgle du na ψ), jeśli istnieje wektor α V, taki, że V jest rozpie ta przez {ψ i (α) i 0}. Mówimy, że α generuje V. 5.3 Za lóżmy, że ψ nilpotentny, V cykliczna, generowana przez α. Niech m najwie sze, takie, że ψ m (α) 0. Wtedy wektory ψ m (α), ψ m 1 (α),..., ψ(α), α sa baza V. Macierz ψ tej w bazie jest postaci Jordana z jedna klatka o wartości w lasnej λ = Podsumowanie: Pokazaliśmy, że V rozk lada sie na przestrzenie pierwiastkowe. Na V (λ) przekszta lcenie ψ = φ λid jest nilpotentne. W naste pnym kroku udowodnimy,?że V (λ) rozk lada sie na sume prosta przestrzeni cyklicznych. 7

8 5.4 Lemat: Za lóżmy, że ψ nilpotentny na V oraz W V podprzestrzeń cykliczna maksymalnego wymiaru. Wtedy istnieje wektor w lasny β V \ W. Dow: Rozpatrzeć ψ : V/W V/W i tam wybrać wektor w lasny, wzia ć jego przeciwobraz w V i poprawić tak by by l wektorem w lasnym. 5.5 Lemat: Za lóżmy, że ψ nilpotentny na V oraz W podprzestrzeń cykliczna maksymalnego wymiaru. Wtedy istnieje niezmiennicze dope lnienie do sumy prostej V = W U. Dow. Indukcja po dim(v ): dzielimy V przez lin(β). 5.6 Ćwiczenie: wzór na wielomian minimalny µ φ = (x λ) r(λ), λ Spec(φ) gdzie r(λ) jest rozmiarem maksymalnej klatki Jordana z wartościa λ. 5.7 Przyk lad: M(φ) = dla wartości w lasnej 1 rozmiaru Jedna klatka dla wartości w lasnej 4 rozmiaru 1 i jedna Efektywne znajdowanie bazy Jordana i jednoznaczności rozk ladu 5.8 Szukanie bazy Jordana: dla λ Spec(φ). Rozważamy cia g podprzestrzeni V = im(ψ 0 ) im(ψ 1 ) im(ψ ) im(ψ r(λ) 1 ) im(ψ p ) = im(ψ p+1 ) = im(ψ p+ ) =... Wnioskujemy, że p = r(λ) jest rozmiarem najwie kszej klatki, im(ψ p ) = V (µ), ker(ψ p ) = V (λ), V = im(ψ p ) ker(ψ p ). µ λ Konstruujemy,, lańcuszki biora c za α (i) p α (i) 1 α (i) α (i) p 1 α(i) p 0 baze ker(ψ) im(ψ p 1 ). Dobieramy wektory α (i) p j ker(ψj ) im(ψ p j ) biora c przeciwobrazy α (i) p j+1. Jeśli na którymś etapie uk lad wektorów {α(i) p j } nie rozpina im(ψp j ) ker(ψ j ) to uzupe lniamy go do bazy tej przestrzeni. 5.9 Inna metoda znajdowana bazy Jordana: badamy cia g 0 = ker(ψ 0 ) ker(ψ 1 ) ker(ψ 0 ) ker(ψ p ) = ker(ψ p+1 ). Jeśli wiemy, że w postaci Jordana jest d = d(p, λ) klatek rozmiaru p, to wybieramy d wektorów liniowo niezależnych w α (i) 1 ker(ψ p ) jeśli ten wybór jest dostatecznie przypadowy, to uk lad wektorów α (i) j = ψ j 1 (α (i) 1 ) (i = 1,... d, j = 1,... p) be dzie liniowo niezależny. Uk lad ten należy dope lniać indukcyjnie do uk ladu liniowo niezależnego wybieraja c wektory z ker(ψ k ) dla k = p 1, p,..., 1. 8

9 5.10 Ilość i typ klatek Jordana nie zależy od wyboru bazy Jordana. Ilość klatek k-wymiarowych z wartościa λ jest równa d(k, λ). Niech ψ = φ λid. Mamy d(l, λ) = dim(ker(ψ k ) dim(ker(ψ k 1 ). l k Sta d d(k, λ) = dim(ker(ψ k ) dim(ker(ψ k 1 ) dim(ker(ψ k+1 ) = r(ψ k+1 ) + r(ψ k 1 ) r(ψ k ). 6 Jednoznaczność postaci Jordana 6.1 Mówimy, że endomorfizm φ jest pó lprosty, jeśli dla każdej niezmienniczej przestrzeni U V istnieje niezmiennicze dope lnienie W V do sumy prostej. 6. Nad cia lem algebraicnie domknie tym φ jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy φ jest pó lprosty. (Ćw.) 6.3 Dla endomorfizmu diagonalizowalnego jeśli (φ λ Id) m (α) = 0 to (φ λ Id)(α) = Endomorfizm diagonalizowalny φ ma w lasność: ker(φ) = ker(φ n ) dla każdego n Ćwiczenie: sprawdzić powyższa w lasność dla pó lprostego φ End(V ). 6.6 (Addytywny rozk lad Jordana-Chevalleya.) Jeśli φ zapisać jako φ = φ d + φ n, gdzie φ d jest pó lprosty, a φ n jest nilpotentny oraz φ n φ d = φ d φ n to sk ladniki sa wyznaczone jednoznacznie. 6.7 Dowodzimy, że ker(φ d λ Id) = V (λ). Z tego wynika, że φ d na V (λ) musi być mnożeniem przez skalar λ. Dow. Niech N be dzie takie, że φ N n = 0 oraz V (λ) = ker((φ λ Id) N ). (a) ker(φ d λ Id) ker((φ λ Id) N ) bo dla α ker(φ d λ Id) (φ λ Id) N = ((φ d λ Id) + φ n ) N (α) = φ N n (α) = 0 (b) ker((φ λ Id) N ) ker(φ d λ Id). Wystarczy pokazać, że dla α ker((φ λ Id) N ) mamy α ker((φ d λ Id) N ). (φ d λ Id) N (α) = N k=0 ( 1)k( ) N k φ k n (φ λ Id) N k (α) = = N 1 k=0 ( 1)k( ) N k φ k n (φ λ Id) N k (α) + N k=n ( 1)k( ) N k φ k n (φ λ Id) N k (α) Ale φ k n = 0 dla k N, wie c powyższa suma jest równa = N 1 k=0 ( 1)k( ) N k φ k n (φ λ Id) N k (α) = Z powyższego lematu wynika jednoznaczność, bo dostaliśmy, że (φ d ) V(λ) = λ Id. Korzystamy z rozk ladu V = λ Spec(φ) V (λ). 6.9 Jak znaleźć φ d nie szukaja c bazy Jordana? Twierdzenie: istnieje wielomian h K[x] taki,że φ d = h(φ). 9

10 6.10 Twierdzenie Chińskie o resztach dla wielomianów. Niech g 1, g,..., g m K[x] be da wielomianami parami wzgle dnie pierwszymi, oraz niech h 1, h,... h m K[x] dowolnymi wielomianami. Wtedy istnieje h K[x] taki że dla k = 1,,..., m mamy h h k mod g k. Dowód dla R = K[x]. Oznaczmy przez K[x]/(f) zbiór reszt z dzielenia przez f. Oczywiście dim(k[x]/(f)) = deg f. Niech g = g 1 g... g m oraz θ : K[x]/(g) K[x]/(g 1 ) K[x]/(g ) K[x]/(g m ) be dzie zadane wzorem h (h mod g 1, h mod g,..., h mod g m ) Sprawdzamy, że θ jest monomorfizmem. Ponieważ dziedzina i przeciwdziedzina maja równe wymiary, wie c θ jest epimorfizmem Konstrukcja H spe lniaja cego h(φ) = φ d : Niech µ φ = m k=1 (λ k t) n k be dzie wielomianem minimalnym (można też wzia ć wielomian charakterystyczny). Niech h k = (λ k t) n k, h k = λ k. Znajdujemy h z tw. chińskiego o resztach. Dla każdego k h(x) = f k (x)(λ k x) n k + λ k W obcie ciu do V (λk ) przekszta lcenie h(φ) jest mnożeniem przez λ k. Zatem h(phi) = φ d. 6.1 Przyk lad: jeśli µ φ = (a t) (b t) to H(t) = 1 (a b) ( t 3 + 3(a + b)t 6abt + ab(a + b)) Wniosek: jeśli W jest φ-niezmennicza, to jest φ d -niezmiennicza i φ n -niezmiennicza. 10