Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności. 2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. 3. Niech S k := inf{t : N t = k} będzie momentem k-tego skoku w procesie Poissona. Wykaż, że odstępy między skokami T 1 = S 1, T 2 = S 2 S 1, T 3 = S 3 S 2,... są zmiennymi niezależnymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym. 4. Udowodnij, że lim t N t t = λ p.n. 5. Niech N (1) t i N (2) t będą niezależnymi procesami Poissona. Wykaż, że N (1) jest procesem Poissona N (2) t 6. Udowodnij, że lim t W t t = 0 p.n. 7. Udowodnij, że następujące procesy też są procesami Wienera a) X t = W t (odbicie) b) Y t = c 1/2 W ct, c > 0 (przeskalowanie czasu) c) Z t = tw 1/t dla t > 0 oraz Z 0 = 0 (inwersja czasu) d) U t = W T +t W T, T 0 e) V t = W t dla t T, V t = 2W T W t dla t > T, gdzie T 0. t + 8. Niech π n = {t (n) 0, t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) 0 < t (n) 1 <... < t (n) k n = b będzie ciągiem podziałów odcinka [a, b] oraz π n = max k t (n) k t (n) k 1 oznacza średnicę π n. Udowodnij, że S n = k n k=1 W t (n) k W (n) t 2 b a, n w L 2 (Ω, F, P ), k 1 jeśli π n 0 oraz S n b a p.n., jeśli n π n <. 9. Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera mają nieskończone wahanie na każdym przedziale. 10. Znajdź rozkład wektora losowego (W t1, W t2,..., W tn ) dla 0 < t 1 < t 2 <... < t n. 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 2 1. Udowodnij, że jeśli zbiór A B(R T ) to istnieje zbiór przeliczalny T 0 T taki, że jeśli x, y R T oraz x(t) = y(t) dla t T 0 to x A y A. 2. Niech T = [a, b] a < t 0 < b, wykaż, że następujące zbiory nie należą do B(R T ). A 1 = {x R T : sup t [a,b] x t 1}; A 2 = {x R T : t x t ciągłe na [a,b] }; A 3 = {x R T : lim t t0 x t = 0}: A 4 = {x R T : t x t ciągłe w t 0 }. Wykaż mierzalność tych zbiorów przy założeniu ciągłości (prawostronnej ciągłości) trajektorii tzn. wykaż, że wszystkie te zbiory po przecięciu z C(T ) (RC(T ) odp.) należą do B(R T ) C(T ) (B(R T ) RC(T ) odp.). 3. Wykaż, że jeśli µ i ν są miarami probabilistycznymi odpowiednio na R n i R n+1 takimi, że µ(a 1 A 2... A n ) = ν(a 1 A 2... A n R) dla dowolnych zbiorów A i B(R), i = 1, 2,..., n, to µ(a) = ν(a R) dla dowolnego A B(R n ). 4. Wykaż, że istnieje proces spełniający warunki (W0)-(W2) definicji procesu Wienera. 5. Wykaż, że istnieje proces (X t ) t 0 o przyrostach niezależnych, startujący z 0 taki, że X t X s ma rozkład Cauchy ego z parametrem t s (proces taki nazywamy procesem Cauchy ego, bądź procesem 1-stabilnym). 6. Niech f = n i=1 a ii [ti 1,t i), gdzie 0 t 0 < t 1 <... < t n będzie funkcją kawałkami stałą. Przyporządkujmy takiej funkcji zmienną I(f) = n i=1 a i(w ti W ti 1). Udowodnij, że a) I(f) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N (0, σ f 2), gdzie σ2 f = f 2 (x)dx 0 b) zmienne I(f 1 ), I(f 2 ) dla f 1, f 2 postaci jak wyżej mają łączny rozkład gaussowski oraz Cov(I(f 1 ), I(f 2 )) = 0 f(x)g(x)dx c) Przekształcenie I rozszerza się do izometrii z L 2 ([0, )) w L 2 (Ω) i własności a) b) zachodzą dla f, f 1, f 2 L 2 ([0, )) d) Przekształcenie I z punktu c) po przeskalowaniu przez odpowiednią stałą jest izometrycznym włożeniem L 2 ([0, )) w L p (Ω) dla dowolnego 1 p <. Tak zdefiniowane I(f) nazywa się całką Wienera-Paleya i się często oznacza I(f) = 0 f(s)dw s. 2
Zadania z Procesów Stochastycznych 3 1. Proces X jest modyfikacją procesu Wienera. Które z następujących własności są spełnione dla procesu X: a) niezależność przyrostów, b) stacjonarność przyrostów, c) ciągłość trajektorii, d) lim t X t t e) lim t X t t = 0 p.n. = 0 według prawdopodobieństwa. 2. Rozpatrzmy następujące 3 własności procesów a) ciągłość trajektorii b) stochastyczną ciągłość (tzn. X t P Xs gdy t s) c) ciągłość wg p-tego momentu (tzn. E X t X s p 0 gdy t s). Jakie implikacje zachodzą między powyższymi własnościami? 3. Wykaż, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera są lokalnie hölderowskie z dowolnym wykładnikiem γ < 1/2. 4. Wykaż, że trajektorie procesu Wienera z prawdopodobieństwem 1 nie są jednostajnie ciągłe na [0, ) 5. Scentrowany proces gaussowski nazywamy ułamkowym ruchem Browna, jeśli E X t X s 2 = t s 2α (można wykazać, że taki proces istnieje dla 0 < α < 1). Udowodnij, że ułamkowy ruch Browna ma ciągłą modyfikację. Co można powiedzieć o hölderowskości jej trajektorii? 6. Pokaż, że jeśli X λ Poiss(λ) i λ 1 to dla dowolnego p > 0, E X λ p C p λ, gdzie C p = E X 1 p <. Wywnioskuj stąd, że w Twierdzeniu o ciągłej modyfikacji założenie β > 0 jest istotne. 7. Wykaż, że trajektorie procesu Wienera z prawdopodobieństwem 1 przecinają zero dowolnie daleko. 3
Zadania z Procesów Stochastycznych 4 1. Policz funkcję kowariancji mostu Browna W t tw 1. 2. Wykaż za pomocą funkcji kowariancji, że procesy z zadania 7 z 1 serii są procesami Wienera. 3. Wykaż, że proces gaussowski ma przyrosty niezależne wtedy i tylko wtedy gdy jego funkcja kowariancji spełnia K(t, u) = K(s, u) dla t, s u (czyli K(t, s) = ϕ(t s) dla pewnej funkcji ϕ). 4. Mówimy, że proces stochastyczny X = (X t ) jest stacjonarny jeśli dla dowolnego h proces X ma ten sam rozkład co X (h) := (X t+h ). Wykaż, że scentrowany proces gaussowski jest stacjonarny wtedy i tylko wtedy gdy K(t + h, s + h) = K(t, s) dla wszystkich t, s, h (czyli K(t, s) = ϕ( t s ) dla pewnej funkcji ϕ). 5. Wykaż, że proces Ornsteina-Uhlenbecka G t = e t W e 2t jest procesem stacjonarnym. 6. Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z dystrybuantą F. Niech Y (n) t = #{i: X i t} F (t), n = 1, 2,.... n Wykaż, że skończenie wymiarowe rozkłady procesów ny (n) zbiegają przy n do rozkładu pewnego procesu gaussowskiego Z, wyznacz funkcję wartości średniej i kowariancję Z. 4
Zadania z Procesów Stochastycznych 5 W poniższych zadaniach przyjmujemy, że (F t ) t T jest ustaloną filtracją, zaś τ zmienną losową o wartościach w T { }. 1. Dla T = {1, 2,...} wykaż, że τ jest momentem zatrzymania wtedy i tylko wtedy gdy {τ = n} F n dla n T. 2. Niech T = {1, 2,...}, Γ 1, Γ 2,... będą borelowskimi podzbiorami R, a X n ciągiem F n -adaptowalnym. Określamy indukcyjnie dla i = 2, 3,... τ 1 := inf{n: X n Γ 1 } oraz τ i := inf{n > τ i 1 : X n Γ i }. Wykaż, że τ i są momentami zatrzymania. 3. Załóżmy, że T jest przedziałem i określmy F t+ := F s, F t := σ( F s ). s>t s<t a) Wykaż, że filtracja F t+ jest prawostronnie ciągła tzn F t++ = F t+. b) Udowodnij, że jeśli F t = Ft X jest filtracją generowaną przez proces X o lewostronnie ciągłych trajektoriach to F t = F t. c) Niech T = [0, ), A F oraz X t = (t 1) + I A. Znajdź Ft X. d) Dla X jak w punkcie c) określmy τ := inf{t: X t > 0}. Wykaż, że τ nie jest momentem zatrzymania względem Ft X ale jest momentem zatrzymania względem Ft+. X 4. Załóżmy, że T jest przedziałem, wykaż, że a) jeśli τ jest momentem zatrzymania to {τ < t} F t dla wszystkich t b) jeśli {τ < t} F t dla wszystkich t to τ jest momentem zatrzymania względem F t+. 5. Niech T = [0, ), a τ będzie momentem zatrzymania, które ze zmiennych τ + 1, τ 2, τ 1 muszą być momentami zatrzymania? 6. Niech T = [0, ), a X t procesem F t -adaptowalnym o ciągłych trajektoriach. Wykaż, że dla A otwartego τ A := inf{t: X t A} jest momentem zatrzymania względem F t+. 7. Wykaż, że jeśli τ i σ są momentami zatrzymania to zdarzenia {τ < σ}, {τ = σ} i {τ σ} należą do F τ, F σ i F τ σ. 8. Wykaż, że jeśli τ jest momentem zatrzymania to proces X t := I [0,τ) (t) jest progresywnie mierzalny. 9. Wykaż, że jeśli σ jest momentem zatrzymania, τ σ oraz τ jest F σ mierzalny to τ jest momentem zatrzymania. 10. Niech X = (X t ) t 0 będzie procesem o niezależnych przyrostach, zaś F t filtracją generowaną przez X. Wykaż, że dla t > s zmienna X t X s jest niezależna od sigma ciała F t, a jeśli X ma prawostronnie ciągłe trajektorie, to również od F t+. 5
Zadania z Procesów Stochastycznych 6 1. Sprawdź, że następujące rodziny są martyngałami a) (N t λt, F N t ) t 0 b) ((N t λt) 2 λt, F N t ) t 0 c) (exp(λw t λ2 t 2 ), F W t ) t 0. W 2. Wykaż, że lim sup t t 0+ = 1 p.n. 2t ln ln(1/t) 3. Niech W t będzie jednowymiarowym procesem Wienera oraz τ a := inf{t > 0: W t = a}, τ a := inf{t > 0: W t = a}. Rozpatrując martyngały W t i Wt 2 t wykaż, że a) τ a < p.n. dla wszystkich a R b) P(τ a < τ b ) = b a+b dla a, b > 0. c) E τ a = a 2 dla a 0. d) Eτ a τ b = ab dla a, b > 0. e) Eτ a = dla wszystkich a 0 4. Niech τ będzie momentem zatrzymania względem F W t. a) Wykaż, że (W τ n, F τ n ) n=1 jest martyngałem. b) Udowodnij, że jeśli Eτ < to E sup n W 2 τ n <. c) Wykaż, że jeśli Eτ < to EW 2 τ = Eτ i EW τ = 0. 5. Rozpatrując martyngały Mt λ = exp(λw t λ 2 t/2) oraz Nt λ = (Mt λ + Mt λ )/2 wykaż, że przy oznaczeniach zadania 3 zachodzi dla wszystkich a, λ 0 a) Ee λτa = e a 2λ b) Ee λ τa = (cosh(a 2λ)) 1. 6. Wykaż, że martyngał M λ t z poprzedniego zadania jest zbieżny p.n. i znajdź jego granicę. Czy jest on zbieżny w L 1? 7. Niech W t = (W 1 t,..., W d t ) będzie d wymiarowym procesem Wienera, a x 0 R d oraz d > 2. a) Wykaż, że W t x 0 2 d jest nieujemnym nadmartyngałem b) Udowodnij, że W t x 0 2 d zbiega przy t do 0 według prawdopodobieństwa i p.n. i wywnioskuj stąd, że lim t W t = p.n. c) Wykaż, że dla prawostronnie ciągłego nadmartyngału (X t ) t a zachodzi λ>0 λp(sup t a X t λ) sup EXt t + EX a d) Wykaż, że P( t>0 W t = x 0 ) = 0. 6
Zadania z Procesów Stochastycznych 7 1. Załóżmy, że przestrzeń stanów E jest przeliczalna. Wykaż, że wówczas a) (X t ) t T jest procesem Markowa wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych t 1 < t 2 <... < t n i k 1,..., k n E takich, że P(X t1 = k 1,..., X tn 1 = k n 1 ) 0 P(X tn = k n X t1 = k 1,..., X tn 1 = k n 1 ) = P(X tn = k n X tn 1 = k n 1 ). b) (X t ) t T jest procesem Markowa z macierzą przejścia P s,t wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych t 1 < t 2 <... < t n i k 1,..., k n E P(X t1 = k 1,..., X tn = k n ) = P(X t1 = k 1 )p t1,t 2 (k 1, k 2 ) p tn 1,t n (k n 1, k n ). 2. Wykaż, że proces Poissona N t jest procesem Markowa i znajdź macierz przejścia. 3. Wykaż, że proces ( 1) Nt jest procesem Markowa i znajdź macierz przejścia. 4. Niech X, Y będą zmiennymi losowymi, zaś G-σ ciałem takim, że X jest G-mierzalne, zaś Y jest niezależne od G. Wykaż, że dla dowolnej funkcji f(x, y) mierzalnej i ograniczonej E(f(X, Y ) G) = ϕ(x) gdzie ϕ(x) = Ef(x, Y ). 5. Korzystając z poprzedniego zadania udowodnij, że jeśli X = (X t ) jest procesem o przyrostach niezależnych to X jest procesem Markowa z funkcją przejścia P s,t (x, Γ) = P(X t X s Γ x). 6. Z poprzedniego zadania wynika w szczególności, że proces Wienera jest procesem Markowa czyli również i proces (W t ) t 0. Znajdź funkcję przejścia dla tego procesu. 7. Załóżmy, że X 1, X 2,... są zmiennymi o jednakowym rozkładzie µ, S k = k n=1 X k, M k = max(x 1,..., X k ). Czy następujące procesy muszą być procesami Markowa, jeśli tak to znaleźć odpowiednie funkcje przejścia a) X 1, X 2,... b) S 0, S 1, S 2,... c) S + 0, S+ 1, S+ 2,... d) M 1, M 2, M 3,... e) S 0, S 0 S 1, S 0 S 1 S 2,... f) (S n, M n ) n=1. 8. Czy procesy ( W t ), (tw t 2) są procesami Markowa? Jeśli tak to znajdź funkcje przejścia. 7
Zadania z Procesów Stochastycznych 8 1. Załóżmy, że przestrzeń stanów E = {1, 2}. Sprawdź równania Chapmana- Kołmogorowa dla macierzy P t = 1 ( ) 3 + 2e 4t 2 2e 4t 5 3 3e 4t 2 + 3e 4t. 2. Czy istnieją takie funkcje a(t), b(t), że ( 1 a(t) 3 3e 2t 7 4 4e 2t b(t) ). jest macierzą przejścia dla pewnego jednorodnego procesu Markowa na dwuelementowej przestrzeni stanów? 3. Załóżmy, że dla s < t, P s,t (x, ) jest rozkładem normalnym o średniej m s,t x i wariancji σ 2 s,t. Jakie warunki muszą spełniać m s,t i σ 2 s,t by istniała rodzina Markowa o funkcji przejścia P s,t? 4. Procesy X t i Y t są procesami Markowa, czy z tego wynika, że proces (X t, Y t ) też jest procesem Markowa? 5. Czy dla każdej funkcji ciągłej f, f(w t ) jest procesem Markowa? 8
Zadania z Procesów Stochastycznych 9 1. Sprawdź, że procesy Wienera i Poissona są procesami fellerowskimi. 2. Znajdź wszystkie rozkłady stacjonarne dla procesu Markowa o macierzy przejścia P t = 1 ( ) 3 + 2e 4t 2 2e 4t 5 3 3e 4t 2 + 3e 4t. 3. Wykaż, że proces Wienera nie ma rozkładu stacjonarnego, ale miara Lebesgue a jest miarą stacjonarną dla tego procesu. 4. Wykaż, że proces Wienera ma mocną własność Markowa względem filtracji F W t. 5. Niech W t będzie procesem Wienera startującym z 0 oraz dla a 0 τ a := inf{t: W t = a}. Wykaż, że a) P(τ a u, W u Γ) = P(τ a u, W u 2a Γ); b) P(τ a u) = 2P(W u a) dla a > 0. c) τ a a 2 τ 1 ; d) τ a+b τ a + τ b dla a, b > 0, gdzie τ b jest niezależną kopią τ b ; e) sτ 1 + t τ 1 ( s + t) 2 τ 1 dla s, t > 0. f) Znajdź rozkład zmiennej sup 0 t u W t. 6. Wykaż, że jeśli τ jest momentem zatrzymania względem filtracji F W t, to proces (W t+τ W τ ) t 0 jest procesem Wienera niezależnym od F τ. 9
Zadania z Procesów Stochastycznych 10 1. Załóżmy, że X t jest rodziną Markowa na dwuelementowej przestrzeni stanów z macierzą przejścia P t = 1 ( ) 3 + 2e 7t 2 2e 7t 5 3 3e 7t 2 + 3e 7t. Znajdź generator A półgrupy generowanej przez X t. 2. Dany jest jednorodny w czasie proces Markowa na przestrzeni { 1, 1} o operatorze infinitezymalnym ( 1 1 1 1 ) Wyznacz P 1 (X 4 = X 2 ). = ( 1 2 1 2 1 2 1 2 ) ( 2 0 0 0 ) ( 1 2 1 2 1 2 1 2 ) 1. 3. Niech A będzie generatorem półgrupy związanej z procesem Wienera. Wykaż, że jeśli f C (2) u (R) to f D A oraz Af = 1 2 f. 4. Udowodnij, że dla d wymiarowego procesu Wienera C u (2) (R d ) D A i Af = 1 2 f dla f C(2) u (R d ). 5. Niech X t = e t W e 2t. Wykaż, że X jest jednorodnym procesem Markowa i znajdź Af dla odpowiednio gładkiej funkcji f. 10