Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Podobne dokumenty
Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

Analiza Matematyczna MAEW101

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

ANALIZA MATEMATYCZNA

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Równania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

1. Równania i nierówności liniowe

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x

Równania różniczkowe zwyczajne

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

1 Układy równań liniowych

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Całka podwójna po prostokącie

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

1 Relacje i odwzorowania

Funkcje dwóch zmiennych

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

Indukcja matematyczna

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

Analiza Matematyczna MAEW101

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Funkcje dwóch zmiennych

1 x + 1 dxdy, gdzie obszar D jest ograniczo-

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Matematyka II Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

1 Równania różniczkowe zwyczajne

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Opis przedmiotu: Matematyka II

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu

x y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.

WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk

22 Pochodna funkcji definicja

x y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA

Wykresy i własności funkcji

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU

Transkrypt:

Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ) + x 2 + y 2, f(x, y) = e xy ln(x 2 y). 2. Naszkicować wykresy funkcji f(x, y) = 9 x 2 y 2, f(x, y) = x 2 2x + y 2 + 4y, f(x, y) = 3 + 2 x 2 + y 2, f(x, y) = 9 x 2 y 2, (e) f(x, y) = 9 x 2 y 2, (f) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ), (g) f(x, y) = y 2. 3. Obliczyć pochodne cząstkowe -ego rzędu funkcji f(x, y) = x 3 + 4x 2 y y 5, f(x, y) = arc tg x y, f(x, y) = x x 2 y 2, f(x, y) = x 2 e xy z. 4. Obliczyć pochodną cząstkową -ego i 2-ego rzędu funkcji f(x, y) = x 5 + 4x 3 2xy 4 + y 6, f(x, y) = x y, f(x, y) = x ln(x 3 + y 2 ). 5. Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej, do wykresu funkcji f(x, y) = 3 y 2x, w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = (4,, f(4, )), f(x, y) = y+ln x x xy, w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = (, 6, f(, 6)), f(x, y) = y arc tg x, w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = ( 3, 2, z 0 ). 6. Wyznaczyć ekstrema lokalne podanych funkcji: f(x, y) = x 2 + y 2 + y 3, f(x, y) = x 2 y 3 + 2xy, f(x, y) = 3x 3 + 3x 2 y y 3 5, f(x, y) = 2 ln2 x + y 2 ln xy, (e) f(x, y) = x 2 ( + y) 3 + y 2, (f) f(x, y) = e x 2 (x + y 2 ). 7. Wyznaczyć ekstremum warunkowe funkcji: f(x, y) = x 2 + y 2, przy warunku xy =, f(x, y) = x 2 2xy, przy warunku x y 2 = 0.

8. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji na podanym zbiorze domkniętym, ograniczonym : f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 6x 2y + 3, - trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (4, 0), (4, 4), f(x, y) = x + 2y, = {(x, y) : x 2 + y 2 }. 9. W trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (3, 0), (0, 8) znaleźć punkt dla którego suma kwadratów odległości od wierzchołków jest najmniejsza. 0. Koszt budowy m 2 podłogi magazynu wynosi 40 zł, sufitu 60 zł, a ścian 20 zł. Przy jakich wymiarach prostopadłościennego magazynu o pojemności 4300 m 3 koszt budowy będzie najmniejszy?. Obliczyć całkę podwójną x dxdy, gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi y = 4 x 2, y = 2 x, xy dxdy, gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi y = x 4, y = 8x, x 2 y dxdy, gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi y = 2, y = x, y = x, e x y dxdy, gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi y =, x = 0, y = x. 2. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach: 0 2 2 0 2 0 8 0 x 2 dx f(x, y) dy, x 3 dx x x 2 f(x, y) dy, 0 dx f(x, y) dy, x 2 dx 3 x x f(x, y) dy. 2

3. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całkę podwójną: x dxdy, gdzie jest obszarem zadanym warunkami: 4 x 2 + y 2 9, x 0; xy dxdy, gdzie jest obszarem zadanym warunkami: x 2 + y 2 4, x 0, y 0; y x 2 + y 2 gdzie = {(x, y) : x 2 + y 2 7, y 0}. dxdy, 4. Zamienić całkę podwójną na całki iterowane we współrzędnych biegunowych xy 2 dxdy, : x 2 2x + y 2 0 ; x x 2 + y 2 dxdy, : x 2 + 2x + y 2 2y 0. 5. Obliczyć objętość brył ograniczonych powierzchniami: z = x 2 + y 2 9, z = 9 x 2 y 2, x 2 + y 2 + z 2 = 4, x 2 + y 2 2x = 0, z = e x 2 +y 2 e 2, z = 4 x 2 y 2. 6. Obliczyć pole części powierzchni z = x 2 + y 2, znajdującej się pomiędzy płaszczyznami z =, z = 4. 7. Obliczyc całki niewłaściwe a) dx, 4 b) e 0 e x x x ln 2 x dx. 8. Korzystając z kryterium porównawczego uzasadnić zbieżnośc, bądź rozbieżność całki niewłaściwej. 3 a) x dx, x3 +x b) x+ x 2 + dx. 9. Obliczyć sumy szeregów geometrycznych. 3 + 9 + 27 +..., 3

20. Obliczyć sumy szeregów n=0 7 4 n, 25 25 + 5..., n=0 3 2n+ 0 n. 2. Obliczyć sumę szeregu n= n= n 3 n, n3 n. a n b n, n= gdzie (a n ) jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie a i różnicy r, (b n ) zaś ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie b i ilorazie q, ( < q <, q 0). 22. Wykorzystując wynik poprzedniego zadania obliczyć sumę szeregu n=0 2n + 2 4 n. 23. Korzystając z odpowiednich kryteriów rozstrzygnąć czy zbieżne są szeregi (e) (f) n= n= n= 7 n 8, n + n 2, n n + n n5 + n 2, n=3 n 90 e n, 000 n, n! n= n= n 2n (2n)!, 4

(g) (h) n=2 n ln n, ( ) n 2 + n. n= 24. Wyznaczyć rozwiązania ogólne równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych yy + 4t = 0, y = 2ty 2, ( t 2 )y = 2y, 2 ty = y 2, 25. Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych y ln t y = 0 z zadanym warunkiem początkowym y(e) = π. 26. Wyznaczyć rozwiązania ogólne równań różniczkowych liniowych y + 2y = e t, y + y = sin t, ty = 2y + t 3 cos t, y + 2ty = e t2. 27. Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego liniowego ty + y = t +, z zadanym warunkiem początkowym y() = 0. 28. Sprawdzić, że funkcje y (t) = t oraz y 2 (t) = ln t tworzą układ fundamentalny rozwiązań równania t 2 ( ln t)y + ty y = 0 na przedziale (0, e). Znaleźć rozwiązanie tego równania spełniające warunki y() = 2, y () =. 29. Znaleźć rozwiązania ogólne liniowych równań różniczkowych, rzędu drugiego o stałych współczynnikach 6y 5y + y = 0, y 4y + 4y = 0, y 2y + 5y = 0, y 4y = 0. 5

30. Znaleźć rozwiązania liniowych równań różniczkowych, rzędu drugiego o stałych współczynnikach z zadanym warunkiem początkowym y + y 6y = 0, y(0) =, y (0) = 0, y + 9y = 0, y( π 3 ) =, y ( π 3 ) =, y 2y + y = 0, y() = 2, y () = 3. 3. Stosując metodę uzmienniania stałych rozwiązać następujące równania różniczkowe (e) (f) (g) y + y = sin 2 t, y 6y + 5y = 4e 6t, y + 4y + 4y = e 2t ln t, y y = et + e t, y + 2y = y = t 2 t, y 4y + 3y = (t 2)e 3t, y + 9y = cos 3t. 6