Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ) + x 2 + y 2, f(x, y) = e xy ln(x 2 y). 2. Naszkicować wykresy funkcji f(x, y) = 9 x 2 y 2, f(x, y) = x 2 2x + y 2 + 4y, f(x, y) = 3 + 2 x 2 + y 2, f(x, y) = 9 x 2 y 2, (e) f(x, y) = 9 x 2 y 2, (f) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ), (g) f(x, y) = y 2. 3. Obliczyć pochodne cząstkowe -ego rzędu funkcji f(x, y) = x 3 + 4x 2 y y 5, f(x, y) = arc tg x y, f(x, y) = x x 2 y 2, f(x, y) = x 2 e xy z. 4. Obliczyć pochodną cząstkową -ego i 2-ego rzędu funkcji f(x, y) = x 5 + 4x 3 2xy 4 + y 6, f(x, y) = x y, f(x, y) = x ln(x 3 + y 2 ). 5. Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej, do wykresu funkcji f(x, y) = 3 y 2x, w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = (4,, f(4, )), f(x, y) = y+ln x x xy, w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = (, 6, f(, 6)), f(x, y) = y arc tg x, w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = ( 3, 2, z 0 ). 6. Wyznaczyć ekstrema lokalne podanych funkcji: f(x, y) = x 2 + y 2 + y 3, f(x, y) = x 2 y 3 + 2xy, f(x, y) = 3x 3 + 3x 2 y y 3 5, f(x, y) = 2 ln2 x + y 2 ln xy, (e) f(x, y) = x 2 ( + y) 3 + y 2, (f) f(x, y) = e x 2 (x + y 2 ). 7. Wyznaczyć ekstremum warunkowe funkcji: f(x, y) = x 2 + y 2, przy warunku xy =, f(x, y) = x 2 2xy, przy warunku x y 2 = 0.
8. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji na podanym zbiorze domkniętym, ograniczonym : f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 6x 2y + 3, - trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (4, 0), (4, 4), f(x, y) = x + 2y, = {(x, y) : x 2 + y 2 }. 9. W trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (3, 0), (0, 8) znaleźć punkt dla którego suma kwadratów odległości od wierzchołków jest najmniejsza. 0. Koszt budowy m 2 podłogi magazynu wynosi 40 zł, sufitu 60 zł, a ścian 20 zł. Przy jakich wymiarach prostopadłościennego magazynu o pojemności 4300 m 3 koszt budowy będzie najmniejszy?. Obliczyć całkę podwójną x dxdy, gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi y = 4 x 2, y = 2 x, xy dxdy, gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi y = x 4, y = 8x, x 2 y dxdy, gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi y = 2, y = x, y = x, e x y dxdy, gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi y =, x = 0, y = x. 2. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach: 0 2 2 0 2 0 8 0 x 2 dx f(x, y) dy, x 3 dx x x 2 f(x, y) dy, 0 dx f(x, y) dy, x 2 dx 3 x x f(x, y) dy. 2
3. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całkę podwójną: x dxdy, gdzie jest obszarem zadanym warunkami: 4 x 2 + y 2 9, x 0; xy dxdy, gdzie jest obszarem zadanym warunkami: x 2 + y 2 4, x 0, y 0; y x 2 + y 2 gdzie = {(x, y) : x 2 + y 2 7, y 0}. dxdy, 4. Zamienić całkę podwójną na całki iterowane we współrzędnych biegunowych xy 2 dxdy, : x 2 2x + y 2 0 ; x x 2 + y 2 dxdy, : x 2 + 2x + y 2 2y 0. 5. Obliczyć objętość brył ograniczonych powierzchniami: z = x 2 + y 2 9, z = 9 x 2 y 2, x 2 + y 2 + z 2 = 4, x 2 + y 2 2x = 0, z = e x 2 +y 2 e 2, z = 4 x 2 y 2. 6. Obliczyć pole części powierzchni z = x 2 + y 2, znajdującej się pomiędzy płaszczyznami z =, z = 4. 7. Obliczyc całki niewłaściwe a) dx, 4 b) e 0 e x x x ln 2 x dx. 8. Korzystając z kryterium porównawczego uzasadnić zbieżnośc, bądź rozbieżność całki niewłaściwej. 3 a) x dx, x3 +x b) x+ x 2 + dx. 9. Obliczyć sumy szeregów geometrycznych. 3 + 9 + 27 +..., 3
20. Obliczyć sumy szeregów n=0 7 4 n, 25 25 + 5..., n=0 3 2n+ 0 n. 2. Obliczyć sumę szeregu n= n= n 3 n, n3 n. a n b n, n= gdzie (a n ) jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie a i różnicy r, (b n ) zaś ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie b i ilorazie q, ( < q <, q 0). 22. Wykorzystując wynik poprzedniego zadania obliczyć sumę szeregu n=0 2n + 2 4 n. 23. Korzystając z odpowiednich kryteriów rozstrzygnąć czy zbieżne są szeregi (e) (f) n= n= n= 7 n 8, n + n 2, n n + n n5 + n 2, n=3 n 90 e n, 000 n, n! n= n= n 2n (2n)!, 4
(g) (h) n=2 n ln n, ( ) n 2 + n. n= 24. Wyznaczyć rozwiązania ogólne równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych yy + 4t = 0, y = 2ty 2, ( t 2 )y = 2y, 2 ty = y 2, 25. Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych y ln t y = 0 z zadanym warunkiem początkowym y(e) = π. 26. Wyznaczyć rozwiązania ogólne równań różniczkowych liniowych y + 2y = e t, y + y = sin t, ty = 2y + t 3 cos t, y + 2ty = e t2. 27. Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego liniowego ty + y = t +, z zadanym warunkiem początkowym y() = 0. 28. Sprawdzić, że funkcje y (t) = t oraz y 2 (t) = ln t tworzą układ fundamentalny rozwiązań równania t 2 ( ln t)y + ty y = 0 na przedziale (0, e). Znaleźć rozwiązanie tego równania spełniające warunki y() = 2, y () =. 29. Znaleźć rozwiązania ogólne liniowych równań różniczkowych, rzędu drugiego o stałych współczynnikach 6y 5y + y = 0, y 4y + 4y = 0, y 2y + 5y = 0, y 4y = 0. 5
30. Znaleźć rozwiązania liniowych równań różniczkowych, rzędu drugiego o stałych współczynnikach z zadanym warunkiem początkowym y + y 6y = 0, y(0) =, y (0) = 0, y + 9y = 0, y( π 3 ) =, y ( π 3 ) =, y 2y + y = 0, y() = 2, y () = 3. 3. Stosując metodę uzmienniania stałych rozwiązać następujące równania różniczkowe (e) (f) (g) y + y = sin 2 t, y 6y + 5y = 4e 6t, y + 4y + 4y = e 2t ln t, y y = et + e t, y + 2y = y = t 2 t, y 4y + 3y = (t 2)e 3t, y + 9y = cos 3t. 6