Fizka I (mechanika), ćwiczenia, seria 1 Układ współrzędnch na płaszczźnie. Zadanie 1 Odcinek o stałej długości porusza się tak, że jego punkt końcowe A i B ślizgają się po osiach odpowiednio x i pewnego prostokątnego układu współrzędnch. Jaki tor zakreśla punkt M dzieląc odcinek AB w stosunku a:b? jaki kształt ma tor dla a=b? Wektor, współrzędne, operacje na wektorach Wielkości wstępujące w przrodzie możem podzielić na: skalarne, to jest takie wielkości, które potrafim opisać prz pomoc jednej liczb (skalara), np. masa, cz temperatura. wektorowe, czli wielkości, które charakterzujem podając ich wartość oraz kierunek (np. prędkość, pęd, siła). Historcznie pojęcie wektora wwodzi się z przemieszczenia. Opisując przemieszczenie jakiegoś obiektu, nie wstarcz podać wielkość tego przemieszczenia (np. 1 m) lecz również jego kierunek - Ilustracja pojęcia przemieszczenia. Przemieszenie obiektu z punktu A do punktu B można opisać za pomocą wektora, któr graficznie smbolizuje się strzałką. np. obiekt przemieścił się o 1 m. w kierunku północno-zachodnim. Na rsunku 1 zaprezentowane są dwa punkt A i B. Przemieszczenie obiektu z punktu A do punktu B można wrazić smbolicznie prz pomoc strzałki, której początek umieszczon jest w punkcie A, zaś grot w punkcie B. Kierunek wskazwan przez strzałkę określa kierunek przemieszczenia się obiektu, zaś długość strzałki wraża wielkość przesunięcia. Wielkości, które zachowują się jak opisane powżej przemieszczenie, nazwam wektorami. Graficznie wektor przedstawiane są za pomocą strzałki, pisząc je natomiast możem użć pogrubionej czcionki, np. a lub też rsować strzałkę nad litera smbolizującą wielkość wektorową, np: interesuje nas tlko wartość (długość) wektora, którą oznacza się w następując sposób: a, a lub.. Często Równość wektorów. Na rsunku obok zaprezentowano trz wektor. Wszstkie wektor mają tę samą długość, kierunek i zwrot, ilustrują zatem to samo przemieszczenie. Z powższego rsunku wnika również, że równoległe przesunięcie wektorów nie zmienia zawartej w nich informacji. B A B B A A
Pojęcie wektora i drogi. Chociaż pojęcie wektora wwodzi się z opisu przemieszczenia obiektu, droga przebta przez obiekt oraz jego przemieszczenie mogą bć zupełnie inne co zilustrowano na rsunku obok. Ciało poruszając się z punkt A do punktu B może poruszać się pod drodze zaznaczonej kolorem czerwonm lub niebieskim. Obdwie drogi są różne, chociaż odpowiadają takiemu samemu przemieszeniu. Mnożenie wektorów przez skalar. A B W wniku mnożenia wektora przez liczbę λ powstaje wektor o tm samm kierunku i λ raz większej długości:. Zwrot wektora zależ od znaku skalara. Dodawanie wektorów. Wektorów nie można dodawać w sposób algebraiczn. Na rsunku poniżej zaprezentowano przemieszczenie obiektu z punktu A do punktu B (wrażone przez wektor ) oraz dalsze przemieszczenie tego obiektu z punktu B do punktu C (opisane wektorem. Wpadkowm przemieszczeniem jest przesunięcie się obiektu z punktu A do C. Możem zauważć, że: A B C Zadanie 2. Metodą trójkąta oraz metodą równoległoboku dodaj do siebie wektor zaprezentowane na poniższch rsunkach: Odejmowanie wektorów. Odejmowanie wektorów można zdefiniować wprowadzając pojecie wektora przeciwnego. Wektor przeciwn do wektora to wektor o tm samm kierunku i długości, ale o przeciwn zwrocie.
Zadanie 3. Metodą trójkąta oraz metodą równoległoboku odejmij od siebie wektor z zadania 2. Wektor jednostkow. Prz opisie wektora wgodnie jest wprowadzić pojęcie wektora jednostkowego (wersora), to jest wektora o określonm kierunku i długości równej 1. Na rsunku obok zaprezentowano wektor o długości równej 1 i kierunku równoległm do wektora r. Układ współrzędnch kartezjańskich. Wektor najczęściej wiążem z pewnmi układami współrzędnch. Poniżej pokazano wektor w kartezjańskim układzie współrzędnch, utworzonm przez dwie prostopadłe do siebie osie. W fizce stosuje się również inne układu współrzędnch (np. biegunowe, walcowe, sferczne). Zastosowanie odpowiedniego układu współrzędnch może uprościć opis rozpatrwanego zagadnienia. Ilustracja do pojęcia wektora i wektora jednostkowego (wersora). Płaski układ współrzędnch kartezjańskich tworzą dwie prostopadłe osie. Współrzędne wektora A r można obliczć zgodnie ze wzorem: Z kolei mając współrzędne wektora, można określić jego długość i kierunek (rozumian tutaj jako kąt pomiędz wektorem a osią X): Rozkład wektora na wektor składowe. W danm układzie współrzędnch wektor można rozłożć na składowe, czli rzut wektora na osie układu współrzędnch, co bardzo często upraszcza dalsze rozwiązwanie danego problemu. Operacje na składowch wektora można bowiem wkonwać jak na skalarach. Na rsunku poniżej przedstawiono dwuwmiarow układ kartezjański, w którm wprowadzono dwa wersor równoległe do osi układu oraz rozłożono wektor na dwie składowe: oraz. i
Rozkład wektora na składowe w płaskim układzie współrzędnch kartezjańskich. Zapis wektora w tm układzie współrzędnch jest następując: lub Mając wektor wrażone za pomocą współrzędnch, dodawanie ich można zrealizować w następująco: Jeśli: to: i lub Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa w płaskim układzie współrzędnch kartezjańskich długość wektora wraża się przez: Zadanie 4. Na rsunku obok zaprezentowano dwa wektor. Rozłóż te wektor na składowe. Znajdź kąt jakie tworzą z osią X. Wznacz długość tch wektorów. Dodaj wektor do siebie metodą algebraiczną i graficzną. Zadanie 5. Z plaż wrusza łódź wiosłowo pod katem φ=3 względem brzegu. Zaraz po odbiciu od brzegu łódź wpłnęła w gęstą mgłę i przestala bć widoczna. Kied ponownie ukazała się obserwatorom, pomiar wkazał, iż znajduje się w odległości d = 4km od miejsca wpłnięcia i kontnuowała rejs zgodnie z obranm kursem. Policz w jakiej odległości od brzegu znajdowała się łódka, gd wpłnęła z mgł oraz jak daleko znajdowała się w kierunku X od miejsca wpłnięcia. Oznaczenie osi wskazuje jej kierunek dodatni. Sporządź rsunki. Zadanie 6. Łódź z poprzedniego zadania, po przebciu odległości 4 km, zmieniła kurs na φ=6 względem brzegu (osi X). Kursem tm płnęła przez kolejne 2 km, po czm zatrzmała się. Oblicz w jakiej odległości od miejsca rozpoczęcia rejsu zatrzmała się łódź. Sporządź rsunki. Iloczn skalarn wektorów. Iloczn skalarn wektorów oznaczam jako następująco: i jest zdefiniowan
gdzie: to kąt pomiędz wektorami. Jeśli znam współrzędne wektora w płaskim układzie kartezjańskim: i iloczn skalarn możem policzć w następując: Iloczn skalarn jest przemienn: = Jeśli zapiszem iloczn skalarn w następującej postaci: to możem zauważć, iż jest długością rzutu wektora na wektor. Jeśli wektor są równoległe, iloczn skalarn osiąga maksmalną wartość, Jeśli wektor są prostopadłe, iloczn skalarn jest równ : W płaskim układzie kartezjańskim iloczn skalarn wnosi : Zadanie 7. Dane są dwa wektor: ciebie sposobami.. Oblicz ich iloczn skarlan dwoma poznanmi przez Trójwmiarow układ współrzędnch kartezjańskich. W przestrzeni trójwmiarowej przjęto konwencję stosowania różnch układów współrzędnch, międz innmi kartezjańskiego, pokazanego na rsunku obok. Wektor są w nich wrażone za pomocą trzech liczb, (współrzędnch) określającch stosunek długości rzutów wektora na odpowiednie osie do długości wersorów osi: r r A = a a a B = b b b lub Analogicznie, suma: ( ), ( ) x z i x z cz tez iloczn skalarn: Iloczn wektorow. Iloczn wektorow wektorów i oznaczam w następując sposób: Wnikiem mnożenia wektorowego dwóch wektorów jest wektor, którego: długość jest równa:, gdzie jest mniejszm z kątów pomiędz wektorami i, kierunek jest zawsze prostopadł do płaszczzn wznaczonej przez wektor i, zwrot określon jest tak, ab układ tworzon przez wektor, i bł układem prawoskrętnm. Innm sposobem znalezienia ilocznu wektorowego jest obliczenie wznacznika: r r r ex e ez r r r r r C = A B = a a a = a b b a e + b a a b e + a b b x x b b z z r ( z z ) x ( x z x z ) ( x b x a ) e z
Zadanie 8. Wektor o długości 6 jednostek i wektor o długości 1 jednostek tworzą kąt 3. Wznacz iloczn wektorow: zwrot wektora Zadanie 9. na rsunku. Pokaż, że zachodzi równość:. Zaznacz kierunek i o ϕ = 3 A r Prędkość ciała w ruchu jednowmiarowm. Dla opisu ruchu ciała musim podać zbiór wielkości, które pozwalają na jednoznaczne określenie położenie tegoż ciała względem wbranego przez nas punktu środka układu odniesienia, w dowolnej chwili czasu. Tm zbiorem wielkości jest wektor, któr często podajem we współrzędnch kartezjańskich:. Rozpatrzm ruch postępow wzdłuż pewnej linii prostej. Do opisu takiego ruchu wstarcz nam tlko jedna współrzędna wektora. Niech tą współrzędną będzie. W takim prostm zagadnieniu układ współrzędnch redukuje się oczwiście do jednej osi liczbowej. Załóżm, że obiekt poruszał się ruchem jednostajnm: x ( = vt + x, gdzie v jest pewnm parametrem, a x oznacza położenie ciała w chwili rozpoczęcia ruchu (w czasie t = t = ). Przebieg położenia względem czasu zaprezentowano na rsunku obok. Wielkość v nazwana jest prędkością obiektu, czli drogą jaką przebł on w jakimś czasie: W przpadku ruchu jednostajnego: prędkość ciała jest stała i równa współcznnikowi kierunkowemu funkcji liniowej obrazującej zależność międz przebtą drogą a czasem. W ogólnm przpadku prędkość nie jest stała. Dokładnej jej określenie wmaga, b odcinki czasu bł jak najmniejsze: lim x( + ) x( ) v clwil = Tak zdefiniowaną prędkość nazwam chwilową. Jest to jest prędkość np. pokazwana w samochodzie przez prędkościomierz. x Prędkość określoną wzorem: v średnia = nazwam prędkością średnią (możem wwołać taką funkcję np. w prędkościomierzu rowerowm). W przpadku ruchu jednostajnego obie definicje są tożsame. Zadanie 1. Samochód przebwa połowę drogi z prędkością chwilową v 1 = 4 m/s i drugą połowę drogi z prędkością chwilową v 2 = 6 m/s. Wznacz średnią prędkość na całej drodze. Sporzadź wkres droga - czas.
Zadanie 11. Odległość międz punktami A i B wnosi x = 8 km. Z punktu A w kierunku AB wjeżdża motocklista z prędkością v 1 = 5 km.h. Równocześnie z punktu B wjeżdża w tm samm kierunku samochód z prędkością v 2 = 3 km/h. Kied i w jakiej odległości od punktu A motocklista dogoni samochód? Przedstaw ruch pojazdów na wkresie. Zadanie 12. Rowerzsta jadąc z prędkością v 1 = 15 km/h spotka na swojej drodze pieszego. Po t 1 = 5 min. Od spotkania rowerzsta dojeżdża do biblioteki, w której przebwa t 2 = 1 h i 1 min., po czm z prędkością 15 km/h jedzie spowrotem i po t 3 = 3 min. dogania pieszego. Piesz idzie cał czas ze stałą prędkością v 2. Określić tę prędkość i przedstawić ruch rowerzst i pieszego graficznie. Różniczkowanie funkcji lim x( t + ) x( W matematce obliczanie następującego wrażenia : v( = nazwane jest różniczkowaniem funkcji x(, a wielkośc v( nazwam pochodną funkcji x( po zmiennej t. Prędkość chwilowa jest wiec pochodną drogi po czasie. Często stosuje się inne oznaczenia: dx lim v ( = x' ( = x& ( =. Wielkości dx [ x( t x( ] dt = + oraz lim dt = ( ) nazwane są różniczkami, odpowiednio drogi i czasu. x( + ) x( ) Jak wnika z definicji pochodnej, jest ona granicą ciągu ilorazów różnicowch. Jej interpretacja geometrczna: wartość pochodnej jest współcznnikiem nachlenia stcznej do krzwej dx obrazującej funkcję x( w punkcie t : ( t ) = tgα. dt Jeżeli ruch odbwa się w przestrzeni trójwmiarowej, prędkość chwilowa jest wektorem trójwmiarowm, a każdą z jej współrzędnch obliczam jako pochodną odpowiedniej współrzędnej przestrzennej położenia ciała po czasie: r dx d dz v( = ( vx v vz ) = ( x' ' z' ) = ( x& & z& ) =. dt dt dt Prędkość chwilowa na ogół także jest funkcją czasu, a jej pochodna po czasie nazwana jest dv dv dv przspieszeniem: a r x z ( =. dt dt dt Zadanie 13. Ciało może poruszać się ruchem prostoliniowm, a jego położenie ciała względem początku układu 1 2 współrzędnch opisuje następując wzór: x ( = at. 2 Narsuj zależność drogi od czasu znajdź i narsuj prędkość i przspieszenie ciała w funkcji czasu Zadanie 14. Wznacz pochodne następującch funkcji: a) iloczn u funkcji przez stałą: b) sum funkcji: c) ilocznu funkcji f ( x) = g( x) h( x) d) funkcji potęgowch;,
e) f) wznacz pochodną ilorazu funkcji g) wznacz pochodną funkcji, Zadanie 15. Bomba wulkaniczna wrzucona z krateru A o wsokości A = 3.3 km, pod kątem α = 35 do poziomu, spadła na ziemie w punkcie B u podnóża wulkanu w odległości x B = 9.4 km. a) ile wnosiła wartość prędkości początkowej v bomb? b) jak długo trwał lot bomb? c) jaką maksmalną wsokość względem podstaw wulkanu osiągnęła bomba w czasie lotu? Podać odległość tego maksimum od wulkanu Zadanie 16. Wsokość rakiet lecącej pionowo nad powierzchnią Ziemi w trakcie jej pierwszch kilkudziesięciu 2 3 sekund lotu opisuje wzór h ( = h + At + Bt, gdzie h = 1 m, A = 9.2 m/s 2, B =.1 m/s 3. Znajdź prędkość rakiet w 4 oraz 8 sekundzie lotu. Całki Niejednokrotnie w opisie ruchu dsponujem tlko prędkością, czli funkcją v( opisująca pochodną drogi po czasie. Cz posługując się nią można odtworzć funkcję opisującą zależność drogi od czasu (w czasie to t do? Dzielim interesując nas odcinek czasu od t do t na k równch odcinków, każd o długości. Dan, i t odcinek czasu t i można wrazić przez: t i = t + i. Położenie ciała w czasie t można policzć ze wzoru: s( ) + v( ) + v( t1) + v( t2 ) +... + v( tk 1) + v( tk ) gdzie s(t ) oznacza początkowe położenie ciała - w chwili t. Innmi słow: k ) + v( ) i= s( t t k. Obliczenia sa tm bardziej dokładne, im podział jest drobniejsz : s ( t lim + k 1 ) t v( ) i= k t i Powższą operację matematczną nazwam całką Riemanna: + lim k 1 t s( t t ) v( ti ) ) + v( dt k i= Drogę możem więc obliczć jako całkę z prędkości po czasie. Interpretacja geometrczna całki oznaczonej, to pole powierzchni pod krzwą prędkości zawarte miedz rzędnmi od t do t. ds( lim s( t + ) s( Podstawiając tak obliczoną drogę do wzoru na pochodną: = = v( dt stwierdzam, że całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania. df( Funkcja F ( = f ( dt + C, taka, że = f ( jest nazwana funkcją pierwotną dla f( lub jej dt całką nieoznaczoną. Wielkość C jest pewną stałą. Z powższego wnika, że całka oznaczona t2 t1 f ( dt = F( t2 ) F( t1).
Zadanie 17 Wznacz wartości następującch całek: a) b) c) Zadanie 18. Prędkość ciała w ruchu prostoliniowm dana jest zależnością:, gdzie. Oblicz drogę przebtą przez ciało od do 11 s oraz od 3 do 11 sek. Zadanie 19. W chwili t = s ciało zaczna poruszać się ruchem jednostajnm z prędkością v = 5 m/s. Po upłwie 8 s ruch ciała zmienił się na jednostajnie przspieszon z przspieszeniem a = 15 m/s 2. Znaleźć prędkość i położenie ciała w 2 tej sekundzie ruchu. Zadanie 2 Piłce nadano na progu równi prędkość v, której wektor skierowan bł pod katem ϕ do powierzchni równi. Nachlenie równi do poziomu wnosi θ. Wznaczć odległość, mierzoną wzdłuż równi, na jaką przemieści się piłka do momentu zderzenia z równią. Dla jakiego kąta ϕ prz zadanm kącie θ zasięg mierzon wzdłuż równi jest maksmaln? Zadanie 21 Człowiek porusza się na dreznie za stałą prędkością v = 9.1 m/s. Chce przerzucić piłkę przez obręcz umocowaną do pręta prz torach i będącą H = 4.9 m powżej wsokości jego reki, w taki sposób, ab piłka poruszała się z prędkością poziomą w momencie przechodzenia przez obręcz. Rzuca piłkę z prędkością v =1,8 m/s w stosunku do własnego układu odniesienia. (a) Jaka powinna bć składowa pionowa prędkości początkowej piłki? (b) Po jakim czasie piłka przejdzie przez obręcz? (c) W jakiej odległości od obręcz liczonej poziomo, człowiek musi wkonać rzut? (d) Jaki jest kierunek prędkości początkowej piłki w układzie odniesienia człowieka? (e) Jaki jest kierunek prędkości początkowej piłki w układzie obserwatora stojącego prz torach? Zadanie 22. Dwa samochod poruszają się jednm pasem z prędkością v = 6 km/h oraz odstępem d. W chwili t samochód poprzedzając zaczna hamować. Ab uniknąć wpadku, kierowca samochodu jadącego z tłu zaczna hamować, lecz jego reakcja jest opóźniona o = 1s. Przśpieszenie obdwu samochodów w trakcie hamowania wnosi a = 3.2 ms 2. Jaki powinien bć odstęp samochodów d ab nie doszło do stłuczki?