Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik
.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków ograniczających Decyzje dopuszczalne Decyzje optymalna Zadanie programowania liniowego T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.. Wprowadzenie Słowa kluczowe (c.d.) Metoda geometryczna Metoda simpleks Zmienne bilansujące Postać bazowa Zmienne bazowe Zmienne niebazowe Kryterium optymalności Kryterium wejścia Kryterium wyjścia Zmienna sztuczna Analiza wrażliwości T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
.. Wprowadzenie Słowa kluczowe (c.d.) Zadanie prymalne Zadanie dualne Prymalna metoda simpleks Dualna metoda simpleks Parametryczne programowan Wektor funkcji celu zależny od parametru Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
.. Metoda geometryczna... Model matematyczny (/) Przykład. Zadanie programowania produkcji Środki produkcji S S S 3 Produkty Zasoby P P Zyski 3 4 4 8 6 Należy zaplanować produkcję zakładu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
.. Metoda geometryczna... Model matematyczny (/) Składowe modelu Zmienne decyzyjne x - planowany rozmiar produkcji produktu P, x - planowany rozmiar produkcji produktu P. Funkcja celu f(x,x ) Warunki ograniczające = x + 3x max x + x 4 x + x 8 4x 6 x, x, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
.. Metoda geometryczna... Zbiór rozwiązań dopuszczalnych (/6) Pierwszy warunek ograniczający x + x 4 x + x < 4 x (,7) x + x > 4 x + x = 4 (,) (7,) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
.. Metoda geometryczna... Zbiór rozwiązań dopuszczalnych (/6) Drugi warunek ograniczający x + x 8 x x + x < 8 (,4) x + x = 8 x + x > 8 (,) (8,) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8
.. Metoda geometryczna... Zbiór rozwiązań dopuszczalnych (3/6) Trzeci warunek ograniczający 4x 6 4x < 6 4x = 6 4x > 6 (,) (4,) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9
.. Metoda geometryczna... Zbiór rozwiązań dopuszczalnych (4/6) Warunki nieujemności x x x (,) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.. Metoda geometryczna... Zbiór rozwiązań dopuszczalnych (5/6) Warunki nieujemności (c.d.) x x x (,) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.. Metoda geometryczna... Zbiór rozwiązań dopuszczalnych (6/6) Część wspólna x D A E B F O C G H x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.. Metoda geometryczna..3. Warstwice funkcji celu (/) Rozwiązanie optymalne x x + 3x = 6 A O x + 3x = 8 B (4, ) C x + 3x = 4 x + 3x = x Rozwiązanie optymalne: x = 4 planujemy wytworzenie 4 jednostek produktu P x = planujemy wytworzenie jednostek produktu P f(4,) = 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
.. Metoda geometryczna..4. Gradient funkcji celu (/) Rozwiązanie optymalne f x = f x = 3 x A B (4, ) x + 3x = 4 O C x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
.3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (/7) Zmienne bilansujące Środek S x + x 4 x + x + x 3 = 4 x 3 = 4 x x x 3 - niewykorzystana ilość środka S T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
.3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (/7) Zmienne bilansujące (c.d.) Środek S x + x 8 x + x + x 4 = 8 x 4 = 8 x x x 4 - niewykorzystana ilość środka S T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
.3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (3/7) Zmienne bilansujące (c.d.) Środek S 3 4x 6 4x + x 5 = 6 x 5 = 6 4x x 5 - niewykorzystana ilość środka S 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
.3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (4/7) Postać standardowa f(x, x, x 3, x 4, x 5 ) = x + 3x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8
.3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (5/7) Postać macierzowa c c - wektor funkcji celu, A - macierz współczynników, b - wektor warunków ograniczających, x - wektor zmiennych. f(x, x, x 3, x 4, x 5 ) = x + 3x max = [ x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5, 3 ] A = 4 4 b = 8 6 cx max Ax = b x x x x = x3 x4 x 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9
.3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (6/7) Postać bazowa A = x x 4 x 3 x 4 x 5 x 3, x 4, x 5 - zmienne bazowe x, x - zmienne niebazowe x + 3x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5 Bazowe rozwiązanie dopuszczalne x =, x =, x 3 = 4, x 4 = 8, x 5 = 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.3. Metoda simpleks.3.. Postać bazowa (7/7) Tablica simpleksowa cx max Ax = b x cx max Baza c B x 3 x 4 3 x x x 3 x 4 x 5 b 4 8 x 5 4 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (/7) Jeden krok algorytmu metody simpleks Należy: stwierdzić, czy rozpatrywane rozwiązanie bazowe jest optymalne, czy też nie, w przypadku, gdy nie jest optymalne, wyznaczyć nową bazę sąsiednią, przekształcić za pomocą przekształceń elementarnych macierz warunków ograniczających do postaci bazowej względem bazy sąsiedniej, jeżeli rozpatrywane rozwiązanie jest optymalne, zakończyć postępowanie. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (/7) Pierwszy warunek ograniczający x : x + x + x 3 = 4 Ponieważ x = oraz x =, mamy: stąd + x 3 = 4 x 3 = Każdej dodanej jednostce zmiennej x odpowiada spadek wartości zmiennej bazowej x 3 i zmianę tą opisuje wartość współczynnika a =. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
.3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (3/7) Drugi warunek ograniczający x : x + x + x 4 = 8 Ponieważ x = oraz x =, mamy: stąd + x 4 = 8 x 4 = 7 Każdej dodanej jednostce zmiennej x odpowiada spadek wartości zmiennej bazowej x 4 i zmianę tą opisuje wartość współczynnika a =. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
.3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (4/7) Trzeci warunek ograniczający x : 4x + x 5 = 6 Ponieważ x = oraz x =, mamy: stąd 4 + x 5 = 6 x 5 = Każdej dodanej jednostce zmiennej x odpowiada spadek wartości zmiennej bazowej x 5 i zmianę tą opisuje wartość współczynnika a 3 = 4. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
.3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (5/7) Zmiany wartości funkcji celu Wzrost wartości funkcji celu c = Spadek wartości funkcji celu związany z obniżeniem dotychczasowych wartości przez zmienne bazowe zmienna x 3 : c 3 a = = zmienna x 4 : c 4 a = = zmienna x 5 : c 5 a 3 = 4 = czyli z = + + 4 = Zmiana netto: c z = = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
.3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (6/7) Wskaźniki optymalności cx max Baza c B 3 x x x 3 x 4 x 5 x 3 4 x 4 x 5 4 c j z j 3 b 8 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
.3. Metoda simpleks.3.. Badanie optymalności rozwiązania (7/7) Kryterium optymalności Jeżeli w zadaniu maksymalizacji wartości wszystkich wskaźników optymalności są niedodatnie, wtedy rozpatrywane rozwiązanie jest optymalne. Jeżeli choć jeden ze wskaźników optymalności jest dodatni, wtedy istnieje możliwość poprawy tego rozwiązania. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8
.3. Metoda simpleks.3.3. Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy (/) Kryterium wejścia Wybieramy największą wartość wskaźnika optymalności. Odpowiadającą mu zmienną wprowadzamy do nowej bazy. Jeżeli największej wartości wskaźnika optymalności odpowiada więcej niż jedna zmienna, do nowej bazy wprowadzamy zmienną o najniższym numerze. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9
.3. Metoda simpleks.3.4. Wybór zmiennej opuszczającej bazę (/5) Pierwszy warunek ograniczający Do nowej bazy wprowadzamy zmienną x x + x + x 3 = 4 Zmienna x jako niebazowa jest równa, czyli: x + x 3 = 4 Kiedy zmienna x 3 przyjmuje wartość? x = 4, czyli x = 7 (b : a = 7) Największa dopuszczalna wartość zmiennej x warunku ograniczającego jest równa 7. dla pierwszego T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
.3. Metoda simpleks.3.4. Wybór zmiennej opuszczającej bazę (/5) Drugi warunek ograniczający Do nowej bazy wprowadzamy zmienną x x + x + x 4 = 8 Zmienna x jako niebazowa jest równa, czyli: x + x 4 = 8 Kiedy zmienna x 4 przyjmuje wartość? x = 8, czyli x = 4 (b : a = 4) Największa dopuszczalna wartość zmiennej x dla drugiego warunku ograniczającego jest równa 4. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
.3. Metoda simpleks.3.4. Wybór zmiennej opuszczającej bazę (3/5) Trzeci warunek ograniczający Do nowej bazy wprowadzamy zmienną x 4x + x + x 5 = 6 Zmienna x jako niebazowa jest równa, czyli: x + x 5 = 6 Kiedy zmienna x 5 przyjmuje wartość? Ponieważ współczynnik przy x jest równy zmiennej x 5 nie można wyprowadzić z bazy przez wprowadzenie do bazy zmiennej x. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
.3. Metoda simpleks.3.4. Wybór zmiennej opuszczającej bazę (4/5) Kryterium wyjścia Obliczamy ilorazy kolejnych wyrazów wolnych przez odpowiadające im elementy kolumny wchodzącej do bazy dla tych elementów kolumny wprowadzanej do bazy, które są dodatnie. Bazę opuszcza zmienna, dla której odpowiadający iloraz jest najmniejszy. Jeżeli minimum jest przyjmowane więcej niż jeden raz, wtedy jako zmienną opuszczającą bazę wybieramy zmienną o najniższym numerze. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 33
.3. Metoda simpleks.3.4. Wybór zmiennej opuszczającej bazę (5/5) Zastosowanie kryterium wyjścia cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b b/a x 3 4 7 x 4 8 4 x 5 4 6 - c j z j 3 Z bazy usuwamy zmienną x 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 34
.3. Metoda simpleks.3.5. Przejście do rozwiązania bazowego sąsiedniego (/) Przekształcenia elementarne.. Podzielenie obydwu stron dowolnie wybranego warunku ograniczającego przez dowolną liczbę różną od zera. Dodanie stronami do dowolnie wybranego warunku ograniczającego pomnożonego przez dowolną liczbę różną od zera innego warunku pomnożonego przez dowolną liczbę różną od zera. Przekształcenia elementarne stosujemy dla warunków ograniczających w postaci równości. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 35
.3. Metoda simpleks.3.5. Przejście do rozwiązania bazowego sąsiedniego (/) Tablice simpleksowe cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 4 8 x 5 4 6 c j z j 3 cx max 3 Baza Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 3 x 5 c j z j,5,5 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 36 b 4 b 6 4 6
.3. Metoda simpleks.3.6. Kolejne iteracje (/) Iteracja cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b b/a x 3 6 6 x 3,5,5 4 8 x 5 4 6 4 c j z j,5,5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 37
.3. Metoda simpleks.3.6. Kolejne iteracje (/) Iteracja 3 cx max 3 b Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 3 x c j z j,5,5,5,5,5,5 Ponieważ wszystkie wskaźniki optymalności są niedodatnie, zgodnie z kryterium optymalności rozwiązanie: 4 4 jest optymalne. x = 4, x =, x 3 =, x 4 =, x 5 = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 38
.3. Metoda simpleks.3.7. Interpretacja geometryczna (/) Kolejne iteracje x D A P E B F O P C G H x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 39
.3. Metoda simpleks.3.8. Macierz odwrotna do postaci bazowej (/) Tablice simpleksowe w pierwszej i drugiej iteracji x B = A B - b Pierwsza iteracja Baza x x x 3 x 4 x 5 b x 3 4 Druga iteracja 3 x 4 x 5 4 Baza x 3 x x 5 x x x 3 x 4 x 5 -,5,5 4 8 6 b 6 4 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
.3. Metoda simpleks.3.8. Macierz odwrotna do postaci bazowej (/) Rozwiązanie bazowe w drugiej iteracji = A B =,5 A B T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4 = =,5 A A B B = = 6 4 6 6 8 4,5 x B
.3. Metoda simpleks.3.9. Pierwsza dopuszczalna postać bazowa (/5) Przykład. W rozpatrywanym w przykładzie. zadaniu programowania produkcji łączny rozmiar produkcji ma być nie mniejszy niż 3 jednostki Model matematyczny: Funkcja celu Warunki ograniczające f(x,x ) = x + 3x x + x 4 x + x 8 4x 6 x + x 3 x, x, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
.3. Metoda simpleks.3.9. Pierwsza dopuszczalna postać bazowa (/5) Metoda geometryczna x A W B O W C x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 43
.3. Metoda simpleks.3.9. Pierwsza dopuszczalna postać bazowa (3/5) Zmienne bilansujące f(x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 ) = x + 3x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x + x x 6 = 3 x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, Rozwiązanie bazowe: x =, x =, x 3 = 4, x 4 = 8, x 5 =6, x 6 = 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 44
.3. Metoda simpleks.3.9. Pierwsza dopuszczalna postać bazowa (4/5) Zmienna sztuczna f(x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ) = x + 3x 3x 7 max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x + x x 6 + x 7 = 3 x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 45
.3. Metoda simpleks.3.9. Pierwsza dopuszczalna postać bazowa (5/5) Tablice simpleksowe Pierwsza tablica simpleksowa cx max 3 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 3 x 4 x 5 4 x 7 3 c j z j 3 33 3 Ostatnia tablica simpleksowa cx max 3 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 3,5 x 6,5,5 x,5 x 3,5,5 c j z j,5,5 33 b 4 8 6 3 9 b 3 4 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 46
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Zadanie sprzeczne (/4) Przykład.3 W rozpatrywanym w przykładzie.. zadaniu programowania produkcji łączny rozmiar produkcji ma być nie mniejszy niż 8 jednostek. Model matematyczny: Funkcja celu Warunki ograniczające f(x,x ) = x + 3x max x + x 4 x + x 8 4x 6 x + x 8 x, x, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 47
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Zadanie sprzeczne (/4) Metoda geometryczna x x + x = 4 4x = 6 O x + x = 8 x + x = 8 x Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest pusty T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 48
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Zadanie sprzeczne (3/4) Pierwsza dopuszczalna postać bazowa Funkcja celu: f(x, x ) = x + 3x 3x 7 max Warunki ograniczające: x + x + x 3 = 4 x + x +x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x + x x 6 + x 7 = 8 x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 49
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Zadanie sprzeczne (4/4) Tablice simpleksowe Pierwsza tablica simpleksowa cx max 3 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 3 x 4 x 5 4 x 7 3 c j z j 3 33 3 Ostatnia tablica simpleksowa cx max 3 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 3,5 x 3,5,5 x,5 x 7 3,5,5 c j z j 5,5 37,65 3 b 4 8 6 8 4 b 4 586 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Alternatywne rozwiązania optymalne (/4) Przykład.4 W rozpatrywanym przykładzie. zadaniu programowania produkcji zysk jednostkowy dla produktu P zwiększa się z 3 do 4 jednostek. Model matematyczny: Funkcja celu f(x,x ) = x + 4x max Warunki ograniczające x + x 4 x + x 8 4x 6 x, x, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Alternatywne rozwiązania optymalne (/4) Metoda geometryczna x A B x + 4x = 6 O C x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Alternatywne rozwiązania optymalne (3/4) Pierwsza dopuszczalna postać bazowa Funkcja celu: Warunki ograniczające: Pierwsza tablica simpleksowa: f(x,x ) = x + 4x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x +x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 cx max 4 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 4 x 5 4 c z 4 b 4 8 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 53
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.. Alternatywne rozwiązania optymalne (4/4) Tablice simpleksowe Ostatnia tablica simpleksowa cx max 4 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b b/a x 3 6 6 x 4,5,5 4 8 x 5 4 6 4 c j z j 6 Rozwiązanie alternatywne cx max Baza c B x 3 x 4 x 4 x x x 3 x 4 x 5,5,5,5,5 c j z j 6 b 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 54
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (/) Przykład.5 W rozpatrywanym w przykładzie. zadaniu programowania produkcji występują jedynie ograniczenia dotycząceśrodka S 3. Całkowity rozmiar produkcji nie może być mniejszy niż 3 jednostki. Model matematyczny: Funkcja celu Warunki ograniczające f(x,x ) = x + 3x max 4x 6 x + x 3 x, x, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 55
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (/) Metoda geometryczna x W max x + 3x = O W D x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 56
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (3/) Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Funkcja celu: f(x, x, x 3, x 4, x 5 ) = x + 3x max Warunki ograniczające: 4x + x 3 = 6 x + x x 4 = 3 x, x, x 3, x 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 57
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (4/) Pierwsza tablica simpleksowa cx max Baza c B x 3 x 3 3 x x x 3 x 4 c z 3 b 6 3 9 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 58
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (5/) Zadanie minimalizacji x W min x + 3x = 6 O W D x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 59
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (6/) Przykład.6 Zużycie środka S 3 nie może przekraczać 6 jednostek, łączna wielkość produkcji nie może być mniejsza od 3 jednostek. Koszty jednostkowe, związane z wytwarzanie zarówno produktu P, jak i P wynoszą. Znaleźć plan produkcji, minimalizujący koszty. x + x min 4x 6 x + x 3 x, x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (7/) Metoda geometryczna x W O W x W i W - Alternatywne bazowe rozwiązania optymalne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (8/) Postać bazowa i tablica simpleksowa x + x min 4x + x 3 6 x + x x 4 3 x, x W cx max Baza c B x 3 x x x x 3 x 4 4 b 6 3 c z 6 Wprowadzając do bazy x otrzymamy W T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (9/) Przykład.7 x x x max x x x x, x O W x Nieograniczona krawędź optymalna T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 63
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.3. Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych (/) Postać bazowa i tablica simpleksowa f(x, x, x 3, x 4 ) = x x max x x x 3 = x x 4 = x, x, x 3, x 4 Dodając drugie równanie do pierwszego otrzymujemy: f(x, x, x 3, x 4 ) = x x max x x 3 x 4 = 4 x x 4 = x, x, x 3, x 4 cx max Baza c B x x x x x 3 x 4 c z b 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 64
.4. Przegląd szczególnych przypadków.4.4. Reguły postępowania w metodzie simpleks (/) Algorytm. Uzyskanie pierwszego rozwiązania bazowego.. Ocena optymalności rozwiązania. 3. Badanie niesprzeczności zadania. 4. Identyfikacja rozwiązań alternatywnych. 5. Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy. 6. Badanie nieograniczoności funkcji celu i istnienia krawędzi sprawnej. 7. Wybór zmiennej usuwanej z bazy. 8. Sprowadzenie warunków ograniczających do postaci bazowej względem nowej bazy. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 65
.5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki funkcji celu (/4) Przykład.8 W rozpatrywanym w przykładzie. zadaniu programowania produkcji zysk z wytworzenia jednostki P wynosi c. Model matematyczny: Funkcja celu: c x + 3x max Warunki ograniczające: x + x 4 x + x 8 4x 6 x, x, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 66
.5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki funkcji celu (/4) Ostatnia tablica simpleksowa cx max c 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3,5 x 3,5,5 x c,5 4 c z,5,5c +,375 4c +6,5c +,375 czyli c,5 x A B O C x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 67
.5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki funkcji celu (3/4) Przykład.9 W rozpatrywanym w przykładzie. zadaniu programowania produkcji zysk z wytworzenia jednostki P wynosi c. Ostatnia tablica simpleksowa cx max c Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3,5 x c,5,5 x,5 c z,5c,5c,5 b 4 8 + 3c,5c i,5c,5 c [, 4] T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 68
.5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki funkcji celu (4/4) Przykład. Łączna analiza wrażliwości dla produktów P i P. cx max c c Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3,5 x c,5,5 x c,5 4 c z,5c,5c,5c 8 + 3c,5c,5c,5c P c (4, 8) P 3 (, 4) c = c P (, 5, 3) c, i c c O P (, ) c T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 69
.5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki wektora wyrazów wolnych (/4) Przykład. Po znalezieniu rozwiązania optymalnego zadania z przykładu. okazało się, że dostępna ilość jednego ze środków uległa zmianie. W jakim przedziale powinna się znajdować ta wartość, by znaleziona uprzednio baza optymalna generowała rozwiązanie dopuszczalne? cx max 3 b Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 3 x,5,5,5,5 c j z j,5,5 4 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
.5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki wektora wyrazów wolnych (/4) Środek S b A B b = = 8 6 A B,5,5,5,5 x B = A B b,5 b b =,5,5 8,5 6 b 8 4, czylib. Wymagana ilość środka S jest z przedziału [, ) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
.5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki wektora wyrazów wolnych (3/4) Środek S stąd A B b = 4 = b 6 A B b,5 = 4 b,5b,5,5,5 x B = A B b,5 4,5,5 b,5 6 4, czylib, czylib 4 4 b. Wymagana ilość środka S jest z przedziału [4, ]. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
.5. Analiza wrażliwości.5.. Współczynniki wektora wyrazów wolnych (4/4) Środek S3 stąd A B = 4 b = 8 b 3 A B b,5 =,5b 4,5b,5,5,5 4 8,5b 3 3 3, czylib,5, czyli b, czylib 3 3 3 3 x B = A B b,5 4,5 8,5 b 3 4 b3 4 Wymagana ilość środka S3 jest z przedziału [, 4]. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 73
.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (/) Przykład. Środki produkcji Produkty Zasoby P P S 4 S S 3 4 Zyski 3 Zminimalizować wartość posiadanych zasobów środków, przy czym wartość środków potrzebnych na wytworzenie jednostki każdego z produktów jest nie mniejsza od zysku jednostkowego dla tego produktu. 8 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 74
.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (/) Model matematyczny Zmienne decyzyjne Funkcja celu Warunki ograniczające y - cena środka S y - cena środka S y 3 - cena środka S 3 4y + 8y + 6y 3 min y + y + 4y 3 y + y 3 y, y, y 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 75
.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (3/) Związki między zadaniem prymalnym i dualnym x + 3x max 4y + 8y + 6y 3 min x + x 4 x + x 8 4x 6 x, x cx max Ax b x y + y + 4y 3 y + y 3 y, y, y 3 4 x c = x b A y x 6 4 [, 3] = = 8 = = yb min ya c y [ ] y, y, y 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 76
.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (4/) Związki między zadaniem prymalnym i dualnym (c.d.).. 3. 4. 5. Każdemu warunkowi ograniczającemu jednego z problemów odpowiada zmienna decyzyjna drugiego. Zmienną tę nazwiemy zmienną komplementarną do danego warunku ograniczającego. Każdej nieujemnej zmiennej decyzyjnej jednego z problemów odpowiada warunek ograniczający drugiego. Warunek ten nazwiemy warunkiem komplementarnym do danej zmiennej decyzyjnej. Wektor współczynników funkcji celu w jednym zadaniu staje się wektorem wyrazów wolnych w drugim i odwrotnie, wektor wyrazów wolnych w jednym zadaniu jest wektorem współczynników funkcji celu w drugim z nich. Kierunki optymalizacji dla zadań: prymalnego i dualnego są przeciwne. O ile zadanie prymalne jest zadaniem maksymalizacji, to w zadaniu dualnym funkcję celu minimalizujemy. Zwroty nierówności w warunkach ograniczających zadania prymalnego są przeciwne do zwrotów nierówności warunków ograniczających zadania dualnego. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 77
.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (5/) Twierdzenia o dualności Twierdzenie Jeżeli x i y są dowolnymi rozwiązaniami dopuszczalnymi odpowiednio zadania prymalnego i dualnego, to wartości funkcji celu w tych zadaniach spełniają związek: cx yb Twierdzenie (o o komplementarności) Jeżeli x i y są rozwiązaniami optymalnymi odpowiednio zadania prymalnego i dualnego, wówczas zachodzą związki: y(b Ax) = (ya c)x = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 78
.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (6/) Twierdzenia o dualności (c.d.) Twierdzenie 3 Dla rozwiązań optymalnych x, y odpowiednio zadania prymalnego i dualnego zachodzi związek: cx = yb Twierdzenie 4 Optymalne rozwiązanie zadania dualnego otrzymujemy ze wzoru: y = c B A - B gdzie A - B - macierz odwrotna do macierzy bazowej A B dla rozwiązania optymalnego zadania prymalnego, c B - wektor współczynników funkcji celu zadania prymalnego stojących przy zmiennych bazowych w bazie A B. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 79
[ ] = 3 4 6 8 4 x x y, y, y y(b Ax) 4 x x =.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (7/) Zastosowanie twierdzenia o komplementarności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8 y (4 x x ) = y ( 8 x x ) = y 3 (6 4x ) = [ ] = 3 4 6 8 4 x x x x x y, y, y ( ) ( ) ( ) 4 6 8 4 3 = + + = x y x x y x x y =
[ ] [ ] = 3 3 4 x x y, y, y (ya c)x =.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (8/) Zastosowanie twierdzenia o komplementarności (c.d.) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8 (y + y 4y 3 )x = (y + y 3)x = [ ] + + + = 3 3 4 x x y y y y y ( ) ( ) 3 4 3 = + + + + = x y y x y y y =
.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (9/) Przykład.3 Dane jest rozwiązanie optymalne zadania prymalnego x =4, x =. Znaleźć rozwiązanie optymalne zadania dualnego. Warunki ograniczające zadania prymalnego 4 + < 4 4 + = 8 4 4 = 6 y = Warunki ograniczające zadania dualnego y + y + 4y 3 = y + y = 3 y + 4y 3 = y = 3 y =, y =.5, y 3 =.5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8
.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Zadanie dualne i jego własności (/) Przykład.4 Zadanie prymalne Zadanie dualne 3x + x + 4x 3 max x x + 3x 3 5 x x + 3x 3 8 x x + x 3 = 5 x, x, x 3 dowolne 5y + 8y + 5y 3 min y + y y 3 3 y y y 3 3y + 3y + y 3 = 4 y, y, y 3 dowolne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 83
.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Ceny dualne i analiza wrażliwości w kształtowaniu optymalnych planów produkcji (/) Przykład.5 Zaistniały możliwości zwiększenia dostępności jednego ze środków produkcji: S, S lub S 3. Która z nich jest najkorzystniejsza przy założeniu, że będziemy wytwarzać zarówno produkt P, jak i P? Dla rozwiązania bazowego o zmiennych bazowych x, x i x 3 zwiększenie limitu środka S nie wpływa na wielkość zysku. Maksymalne możliwe, wynikające z analizy wrażliwości zwiększenie limitu środka S lub S 3 pozwoli na zwiększenie zysku odpowiednio o 3 jednostki lub jednostkę. Korzystniejsze jest zwiększenie limitu środka S do poziomu jednostek. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 84
.6. Dualizm w programowaniu liniowym.6.. Ceny dualne i analiza wrażliwości w kształtowaniu optymalnych planów produkcji (/) Przykład.6 Mamy c = 4. Zaistniała ponownie możliwość zwiększenia dostępności jednego ze środków produkcji S, S lub S 3. Którą z nich wybrać, jeżeli chcemy wytwarzać zarówno produkt P, jak i P? y =,5 4,5,5 =,5 [ ] [ ] Jedynie zwiększenie limituśrodka S pozwala na zwiększenie zysku. Maksymalne zwiększenie wykorzystaniaśrodka S pozwala na uzyskanie zysku na poziomie 6 + 4 = jednostek. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 85
.7. Dualna metoda simpleks Przykład.7 4y + 8y + 6y 3 min y + y + 4y 3 y + y 3 y, y, y 3 cx min Baza c B y 4 y 5 4y + 8y + 6y 3 min y y 4y 3 + y 4 = y y + y 5 = 3 y, y, y 3, y 4, y 5 4y + 8y + 6y 3 min y + y + 4y 3 y 4 = y + y y 5 = 3 y, y, y 3, y 4, y 5 4 8 6 y y y 3 y 4 y 5 4 c z 4 8 6 b 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 86
.7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (/8) Kryterium dopuszczalności Jeżeli wartości wszystkich wyrazów wolnych są nieujemne, wtedy rozpatrywane rozwiązanie jest dopuszczalne. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 87
.7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (/8) Kryterium wyjścia Ze wszystkich wyrazów wolnych wybieramy najmniejszy. Odpowiadająca mu zmienna jest zmienną opuszczającą bazę. Jeżeli jest więcej niż jedna najmniejsza wartość, wtedy wybieramy zmienną o najniższym numerze. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 88
.7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (3/8) Kryterium wejścia Obliczamy ilorazy wartości wskaźników optymalności przez odpowiadające im elementy wiersza dla zmiennej opuszczającej bazę ((c j z j ) : a ij ) dla tych elementów rozpatrywanego wiersza, które są ujemne. Do bazy wchodzi ta zmienna, dla której wartość bezwzględna odpowiadającego jej ilorazu jest najmniejsza. Jeżeli jest więcej niż jedna najmniejsza wartość tego ilorazu, wtedy wybieramy zmienną o najniższym numerze. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 89
.7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (4/8) Iteracja cx min Baza c B y 4 4 8 6 y y y 3 y 4 y 5 y 4 y 5 3 Kryterium wyjścia y 5 Kryterium wejścia c z 4 8 6 b dla zmiennej y 4 : ( ) = 7 dla zmiennej y 8 : ( ) = 4 min T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9
.7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (5/8) Iteracja cx min 4 8 6 Baza c B y 3 y y y 3 y 4 y 5 y 4 4,5,5 y 8,5,5 c z 6 6 4 Kryterium wyjścia y 4 Kryterium wejścia dla zmiennej y 6 : ( ) = 6 b dla zmiennej y 3 6 : ( 4) = 4 min dla zmiennej y 5 4 : (,5) = 8 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9
.7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (6/8) Iteracja 3 cx min y 3 6 y 8 4 8 6 Baza c B y y y 3 y 4 y 5,5,5,5 b,5,5 c z 4 4 Rozwiązanie optymalne y = y =,5 y 3 =,5 y 4 = y 5 = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9
.7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (7/8) Zmienne komplementarne ZP - zadanie prymalne ZD - zadanie dualne x + 3x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x Pary zmiennych komplementarnych x y 4 x y 5 4y + 8y + 6y 3 min y y 4y 3 + y 4 = y y + y 5 = 3 y, y, y 3 y x 3 y x 4 y 3 x 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 93
.7. Dualna metoda simpleks.7.. Przebieg obliczeń (8/8) Zmienne komplementarne (c.d.) Zadanie prymalne Zadanie dualne cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3,5 x 3,5,5 x,5 4 c j z j,5,5 4 cx min Baza c B y 3 6 y 8 4 8 6 y y y 3 y 4 y 5,5,5,5 b,5,5 c j z j 4 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 94
.7. Dualna metoda simpleks.7.. Pierwsza optymalna postać bazowa (/5) Przykład.8 x + 3x max x + x 4 x + x 8 4x 6 x, x x + 3x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5 cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 4 x 5 4 c j z j 3 b 4 8 6 Sztuczne ograniczenie x + x 6 x + x + x 6 = 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 95
.7. Dualna metoda simpleks.7.. Pierwsza optymalna postać bazowa (/5) Sztuczne ograniczenie cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 b x 3 4 x 4 8 x 5 4 6 x 6 6 c j z j 3 cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 b x 3 386 x 4 39 x 5 4 6 x 3 6 c j z j 3 48 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 96
.7. Dualna metoda simpleks.7.. Pierwsza optymalna postać bazowa (3/5) Iteracja cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 b x 3 386 x 4 39 x 5 4 6 x 3 6 c j z j 3 48 Kryterium wyjścia x 4 Kryterium wejścia dla zmiennej x ( ) : ( ) = min dla zmiennej x 6 ( 3) : ( ) = 3 / T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 97
.7. Dualna metoda simpleks.7.. Pierwsza optymalna postać bazowa (4/5) Iteracja cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 b x 3 386 x 39 x 5 4 8 75 x 3 59 c j z j 68 Kryterium wyjścia x 5 Kryterium wejścia dla zmiennej x 6 ( ) : ( 8) =,5 min T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 98
.7. Dualna metoda simpleks.7.. Pierwsza optymalna postać bazowa (5/5) Iteracja 3 cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 b x 3,5 x,5 4 x 6,5,3 594 x 3,5,3 c j z j,5,3 4 Ponieważ zmienna bilansująca x 6 sztucznego ograniczenia jest zmienną bazową, otrzymane rozwiązanie jest optymalne. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 99
.7. Dualna metoda simpleks.7.3. Zadanie sprzeczne (/) Przykład.9 W rozpatrywanym w przykładzie. zadaniu programowania produkcji łączny rozmiar produkcji nie może być mniejszy niż 8 jednostek. Model matematyczny: Funkcja celu f(x,x ) = x + 3x max Warunki ograniczające x + x 4 x + x 8 4x 6 x + x 8 x, x, Sztuczne ograniczenie x + x 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.7. Dualna metoda simpleks.7.3. Zadanie sprzeczne (/) Tablice simpleksowe Pierwsza tablica simpleksowa cx max 3 b Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 3 386 x 4 39 x 5 4 6 x 6 59 x 3 6 c j z j 3 48 Ostatnia tablica simpleksowa cx max 3 b Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 3,5 x,5 4 x 7,5,3 594 x 6,5,3 x 3,5,3 c j z j,5,3 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.7. Dualna metoda simpleks.7.4. Nieograniczona funkcja celu (/) Przykład. x + 3x max 4x 6 x + x 3 x, x x + 3x max 4x + x 3 = 6 x x + x 4 = 3 x + x + x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5 cx max Baza x 3 x 3 x 4 c j z j c B x 4 4 3 x x 3 x 4 x 5 3 b 6 63 6 489 W bazie dopuszczalnej nie ma zmiennej x 5 dlatego funkcja celu jest nieograniczona. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.7. Dualna metoda simpleks.7.5. Reguły postępowania w dualnej metodzie simpleks (/) Algorytm. Uzyskanie pierwszego rozwiązania bazowego.. Badanie dopuszczalności rozwiązania. 3. Badanie nieograniczoności funkcji celu. 4. Identyfikacja rozwiązań alternatywnych. 5. Wybór zmiennej usuwanej z bazy. 6. Badanie niesprzeczności zadania. 7. Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy. 8. Sprowadzenie warunków ograniczających do postaci bazowej względem nowej bazy. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
.8. Parametryczne programowan Sformułowanie zadania Wektor funkcji celu zależny od parametru (c + ct)x max Ax = b x c(t)x max A(t)x = b(t) x Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru cx max Ax = b + bt x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (/7) Przykład. Sprawdzić w jaki sposób wartość parametru t wpływa na rozwiązanie optymalne zadania: t = ( + 3t)x + (3 t)x max x + x 4 x + x 8 4x 6 x, x x + 3x max x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x, x 3, x 4, x 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (/7) Przebieg obliczeń t = cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 4 x 5 4 c j z j 3 cx max Baza c B x 3 x 3 3 t x + 3t cj z j + 3t x 3 3 t x x 3 x 4,5,5,5 +,5t x 5,5,5,5,5,5,875t b 4 8 6 b 4 4 4 + t,5 +,5t,5,875t Dla,43 t 3 zmiennymi bazowymi są: x 3, x, x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (3/7) Przebieg obliczeń (c.d.) t = 3 cx max Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3 x,5,5,5 x,5 4 c j z j,75 44 cx max Baza c B x 3 x 4 x + 3t c j z j + 3t x 3 t x 3 t x 3 x 4 x 5,5,5,5,5,75t b 6 4 4 8 + t 3 t,5,75t Dla zmiennymi bazowymi są: x 3, x 4, x. t 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (4/7) Przebieg obliczeń (c.d.) t =,43 cx max,57 3,43 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3 x x 3,43,57,5,5,5,5 4 c j z j,57,57 cx max Baza c B x 3 x 3 t x 5 c j z j + 3t x,5 4,5 + 3,5t 3 t x x 3 x 4,5,5 +,5t x 5 b 6 4 6 4t,5 + 3,5t,5 +,5t Dla t,43 zmiennymi bazowymi są x 3, x, x 5. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (5/7) Podział zbioru parametrów na podzbiory I. dla t,43 mamy: x =, x = 4, x 3 = 6, x 4 =, x 5 = 6, ΙΙ. dla t =,43 rozwiązaniami są punkty leżące na odcinku pomiędzy rozwiązaniami I i III. III. dla,43 t 3 mamy: IV. x = 4, x =, x 3 =, x 4 =, x 5 =, dla t = 3 rozwiązaniami są punkty leżące na odcinku pomiędzy rozwiązaniami III a V. V. dla t 3 mamy: x = 4, x =, x 3 = 6, x 4 = 4, x 5 =. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (6/7) Ilustracja geometryczna x t = x t = 3 A max f(x, x ) = x + 3x B A O B C max f(x, x ) = x x O A x C max x t = 5 f(x, x ) = 7x - x B O C x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor funkcji celu zależny od parametru (7/7) Ilustracja geometryczna (c.d.) x t =,43 A O x max t = 4 f(x, x ) = x + x B C x A O max f(x, x ) = x + x B C x I II -,43 III IV 3 V t T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (/) Przykład. Sprawdzić w jaki sposób wartość parametru t wpływa na rozwiązanie optymalne zadania: x + 3x max x + x 4 9t x + x 8 4t 4x 6 + 8t x, x b + b( t) = 4 9t 8 4t 6 + 8t T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (/) Przebieg obliczeń t = x + 3x max Pierwsza tablica simpleksowa cx max Baza x 3 x 4 x 5 c j z j c B x + x + x 3 = 4 x + x + x 4 = 8 4x + x 5 = 6 x, x x 4 3 x 3 x 3 x 4 x 5 b 4 8 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (3/) Przebieg obliczeń (c.d.) t = Ostatnia tablica simpleksowa cx max Baza x 3 x 3 x c j z j c B A B = x 4 3 x A B x 3 =,5 x 4,5,5,5,5,5 x 5,5,5,5,5 b 4 4,5 4 9t 7t b( t) = A B ( b + b( t) ) = =,5,5 8 4t 3t,5 6 + 8t 4 + t T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (4/) Przebieg obliczeń (c.d.) t = cx max Baza c B x 3 x 3 x c j z j x 3 x x 3 7t 3t 4 + t x 4,5,5 x 5,5,5,5,5 b 7t 3t 4 + t 4 5t Dla t,86 zmiennymi bazowymi są: x 3, x, x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (5/) Przebieg obliczeń (c.d.) t =,86 cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3,5 x x 3,5,5,5,43 4,57 c j z j,5,5,57 cx max Baza x 5 x 3 x c j z j c B x 3 x x 3 4,5,5 8 + 8t +,5t 6 5t Dla,86 t, zmiennymi bazowymi są: x 5, x, x x 4 4 x 5 b 8 + 8t +,5t 6 5t 5 8,5t T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (6/) Przebieg obliczeń (c.d.) t =, cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 5 x x 3 4,5 4 5,6,6 c j z j,5 4,8 cx max Baza c B x x 5 x x 4 c j z j 3 4 3 x x 3,5,5 x 4 x 5 b 6 + 8t 7 4,5t 6 + 5t 9-3,5t 6 + 8t 7 4,5t 6 + 5t Dla, t,556 zmiennymi bazowymi są: x 5, x, x 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (7/) Przebieg obliczeń (c.d.) t =,556 i t = cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 5 x 3 4,5 8,444 x 4,778 c j z j,5 Dla t >,556 zadanie sprzeczne cx max 3 Baza c B x x x 3 x 4 x 5 b x 3,5 6 x x 3,5,5,5 8 c j z j,5,5 4 Dla t < - zadanie sprzeczne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (8/) Podział zbioru parametrów na podzbiory I. dla t < zadanie jest sprzeczne. II. III. IV. dla t,86 rozwiązanie jest w postaci: x = 4 + t, x = 3t, x 3 = 7t, x 4 =, x 5 =, dla t =,86 mamy: x = 4,57, x =,43, x 3 =, x 4 =, x 5 =, V. dla t =, mamy: x =, x =,6, x 3 =, x 4 =, x 5 = 5,6, VI. dla,86 t, rozwiązanie jest w postaci: x = 6 5t, x = +,5t, x 3 =, x 4 =, x 5 = 8 + 8t, dla, t,556 rozwiązanie jest w postaci: x =, x = 7 4,5t, x 3 =, x 4 = 6 +5t, x 5 = 6 + 8t, VII. dla t >,556 zadanie jest sprzeczne. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (9/) Ilustracja geometryczna t = () t = x () x + x 4 () x + x 8 (3) (3) 4x 6 (3) x () x + x 3 () O () x O () x (3) () x + x 6 (3) 4x () t =,86 x () x + x () x + x 6 (3) 4x 8 () O x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (/) Ilustracja geometryczna (c.d.) () O x t = () x + x 5 () x + x 4 (3) 4x 4 () (3) x () O x t =, () x + x 3, () x + x 3, (3) 4x 5,6 (3) () x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.8. Parametryczne programowan.8.. Wektor wyrazów wolnych zależny od parametru (/) Ilustracja geometryczna (c.d.) t = () O t =,556 x () x + x,5 () x + I (3) 4x 8 () (3) x I O x () x + x 4 () x + x (3) 4x 3 () II () IV VI (3) x VII - III,86 V,556 t, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
.9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.. Zagadnienie rozkroju (/3) Przykład.3 Zamówienie - kompletów zbrojeniowych, Długość kłód - 7,4 m, Rozpatrywane sposoby rozkroju: Liczba desek Sposoby rozkroju 3 4 5 6 7 8 Długich (,9 m) Średnich (, m) Krótkich (,5 m) Odpad (w metrach),9 3,,,3 3,7 3, 4,4 W jaki sposób należy rozcinać kłody, by wykonać zamówienie przy minimalnym odpadzie drewna? T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
.9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.. Zagadnienie rozkroju (/3) Model matematyczny Cel Znalezienie takiego sposobu rozkroju, który minimalizuje odpad. Zmienne decyzyjne x liczba kłód pociętych sposobem, x liczba kłód pociętych sposobem, x 3 liczba kłód pociętych sposobem 3, x 4 liczba kłód pociętych sposobem 4, x 5 liczba kłód pociętych sposobem 5, x 6 liczba kłód pociętych sposobem 6, x 7 liczba kłód pociętych sposobem 7, x 8 liczba kłód pociętych sposobem 8, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
.9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.. Zagadnienie rozkroju (3/3) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f(x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 ) =,9x +,x 3 +,x 4 +,3x 5 +,7x 6 +,x 7 +,4x 8 min Warunki ograniczające kłody długie: x + x + x 3 + x 5 = kłody średnie: x + x 4 + x 5 + x 6 + 3x 7 = kłody krótkie: x + 3x + x 3 + x 4 + 3x 6 + 4x 8 = warunki nieujemności: x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 Rozwiązanie optymalne x =, x = 3, x 3 =, x 4 =, x 5 =5, x 6 =, x 7 =, x 8 = Optymalne bazowe rozwiązanie alternatywne: x =, x =, x 3 = 4, x 4 = 3, x 5 =, x 6 =, x 7 =, x 8 = Minimalna wartość funkcji celu = 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
.9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.. Zagadnienie diety (/3) Przykład.4 Składnik A - co najmniej jednostek, Składnik B - co najmniej 8 jednostek, Składnik C - co najmniej 5 jednostek, co najwyżej 7 jednostek. Zawartość składników w paszach: Rodzaj paszy Składniki A B C Cena Pasza 5 8 Pasza 3 Pasza 3 3 3 Pasza 4 5 Paszy dostarczyć nie mniej niż q, Paszy dostarczyć półtora razy więcej niż paszy 3, Nie więcej niż 3 q paszy 3. Jaką ilość pasz zakupić, by zminimalizować koszty wyżywienia sztuki bydła? T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
.9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.. Zagadnienie diety (/3) Model matematyczny Cel Minimalizacja kosztów wyżywienia sztuki bydła rocznie. Zmienne decyzyjne x planowana ilość zakupionej paszy, x planowana ilość zakupionej paszy, x 3 planowana ilość zakupionej paszy 3, x 4 planowana ilość zakupionej paszy 4, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
.9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.. Zagadnienie diety (3/3) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f(x, x, x 3, x 4 ) = 8x + x + 3x 3 + 5x 4 min Warunki ograniczające Składnik A: 5x + x + 3x 3 Składnik B: x + + x 3 + x 4 8 Składnik C: x + 3x + x 3 + x 4 5 x + 3x + x 3 + x 4 7 Pasza : x Pasza i 3: x =,5x 3 Pasza 3: x 3 3 Warunki nieujemności: x, x, x 3, x 4 Rozwiązanie optymalne x =, x = 8,33, x 3 = 3,33, x 4 = 3,33. Optymalna wartość funkcji celu jest równa 3666,67 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8
.9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.3. Parametryczne planowanie produkcji (/4) Przykład.5 Środki P S 3 S S 3 S 3 Zysk + t jednostkowy P 3 + t P 3 5 + t Produkty P 4 P 5 4 3 4 4 3 3 + t 4 + t P 6 5 5 + t P 7 3 + t P 8 3 3 4 + t Zasoby 5 4 35 45 Należy wyznaczyć optymalny plan produkcji oraz maksymalny łączny zysk dla każdej z możliwych wartości t [ 5; 5] T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9
.9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.3. Parametryczne planowanie produkcji (/4) Model matematyczny Cel Wyznaczenie optymalnego planu produkcji maksymalizującego łączny zysk. Zmienne decyzyjne x planowane rozmiary produkcji produktu P, x planowane rozmiary produkcji produktu P, x 3 planowane rozmiary produkcji produktu P 3, x 4 planowane rozmiary produkcji produktu P 4, x 5 planowane rozmiary produkcji produktu P 5, x 6 planowane rozmiary produkcji produktu P 6, x 7 planowane rozmiary produkcji produktu P 7, x 8 planowane rozmiary produkcji produktu P 8, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
.9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.3. Parametryczne planowanie produkcji (3/4) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f(x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, t) = ( + t)x + ( + t)x + ( + t)x 3 + (3 + t)x 4 + (4 + t)x 5 + (5 + t)x 6 + (3 + t)x 7 + ( + t)x 8 min Warunki ograniczające ce Środek S : 3x + x + 5x 3 + 4x 4 + 3x 5 + 5x 6 + x 7 + 3x 8 5 Środek S : x + 3x + x 3 + 4x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + 3x 8 4 Środek S 3 : x + x + x 3 + 4x 4 + 3x 5 + + x 7 + 4x 8 35 Środek S 4 : x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 45 Warunki nieujemności: x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
.9. Przykłady wykorzystania programowania liniowego.9.3. Parametryczne planowanie produkcji (4/4) Rozwiązanie optymalne w zależności od wartości parametru = [-5; -,5] = [-,5: -] 3 = [-;,67] 4 = [,67; 5] Przedział 3 4 x x 78,6 Wartości optymalne Wartość funkcji x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 celu 5 + t 6,7 3 66,7 + 46,7t 3 4,3 75 35,7 675 + 5t 635,7 + 8,6t T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
Pora na relaks T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 33