ublkacja opacowaa podcas ealacj pojektu la Rowoju oltechk ęstochowskej współfasowaego pe Uę Euopejską w amach Euopejskego Fudusu Społecego. Jacek blsk MEHNIK Mateał pomocce do wkładu edmot podstawow w amach keuku Mechatoka studa stacjoae żeske. Semest II. Isttut Mechak ostaw Kostukcj Mas LITEHNIK ZĘSTHWSK
odstawowe pojęca pawa mechak Mechaka klasca waa także ewtoowską jest auką opsującą agadea dałaa sł wąae tm poblem ówowag uchu cał matealch. Jakkolwek hstoę mechak twol już stoteles (384-3 p.. e.) chmedes (87- p.. e.), to dopeo Newto a pełome XVII XVIII weku sfomułował jej podstawowe pawa. awa te ważoe w modfkowaej postac pe d lembeta, Lagage a Hamltoa są adal aktuale w odeseu do cał matealch pousającch sę pędkoścam mejsm od pędkośc śwatła. Mmo poach ogaceń mechak wąach teoą wględośc Estea teo kwatów lacka, staow oa podstawę auk żeskch. odstawowm pojęcam mechak, któe e są jedoace defowale są: - pesteń - cas - masa - sła. awa Newtoa. Jeżel sła wpadkowa dałająca a pukt mateal jest ówa eu, to pukt te poostaje w spocku (jeśl bł w spocku ped płożeem sł) lub pousa sę e stałą pędkoścą wdłuż l postej (jeśl pocątkowo bł w uchu).. Jeżel sła wpadkowa dałająca a pukt mateal o mase m e jest ówa eu, to pukt te będe sę pousał pspeseem popocjoalm do watośc tej sł gode jej wotem keukem F a m 3. Sł wajemego oddałwaa męd całam ajdującm sę w kotakce mają tę samą watość, lę dałaa pecw wot. odał mechak klascej. Statka. W amach statk bada sę agadea ówowag układów sł dałającch a cała poostające w spocku.. Kematka. W kematce opsuje sę uch cał be uwględaa sł wwołującch te uch. 3. Damka. Damka dotc uchu cał powstającego a skutek dałaa okeśloego układu sł. W mechace cała mateale są apoksmowae modelam dealm takm jak pukt mateal lub cało doskoale stwe. ukt mateal to cało o komo małch omaach; w takce jego uchu pomja sę ma położea wwołae pe obót. ało doskoale stwe to cało stałe, któego dwa dowole pukt e meają wajemej odległośc pod wpłwem płożoego obcążea.
STTYK Elemet achuku wektoowego Welkośc wstępujące w aukach fkalch to welkośc skalae (skalaowe) lub welkośc wektoowe. Welkośc skalaowe są okeślae pe podae ch watośc. Welkośc wektoowe okeśla sę pe podae ch watośc, keuku wotu. Dodatkowo w ppadku wektoów eswobodch ależ podać ch pukt acepea. Rut wektoa a postą a α a l Rutem wektoa a a postą l jest wekto a leżąc a tej postej o module a a cosα Suma dwóch wektoów b c a Sumą dwóch wektoów a b jest wekto c wchodąc puktu płożea leżąc a pekątej ówoległoboku c a + b Moduł wektoa c jest ów długośc pekątej ówoległoboku. awo pemeośc dodawaa wektoów a + b b + a 3
dejmowae wektoów b c a b c a b a + ( b ) dejmowae wektoów polega a dodawau wektoa pecwego. Wektoem pecwm do wektoa b jest wekto b o tm samm keuku, module pecwm woce. Suma wektoa wektoa pecwego jest ówa eu, stąd take dwa wekto osą awę dwójka eowa. c a b a + b ( ) Możee wektoa pe lcbę możeu wektoa pe lcbę dodatą keuek wot wektoa poostają e meoe, atomast mae ulega jego moduł. b a k > 0 b k a Składowe wektoa w pawoskętm katejańskm układe współędch W układe współędch postokątch wekto może bć ołożo a t składowe o keukach os układu współędch. 4
a γ α β a a a a a + a + a a a + a + a osus keukowe wektoa a a cos α, cos β, a a a a cos γ a Wekto jedostkow (weso) Wesoem (wektoem jedostkowm) daego wektoa a awam wekto o module ówm jedośc mającm keuek wot god modułem ówm wektoa a. a a Weso os układu współędch, są oacae odpowedo, j, k. Iloc skala dwóch wektoów Ilocem skalam dwóch wektoów jest skala o watośc locu możoch wektoów cosusa kąta awatego męd tm wektoam a b a b cosα 5
Ważając możoe wekto pe sum geometce ch składowch, loc skala będe ów a b ( a + a j a k ) ( b b j b k ) + + a b + ab + ab + Iloc wektoow dwóch wektoów Ilocem wektoowm dwóch wektoów ekoleach jest wekto postopadł do płasc utwooej pe możoe wekto module ówm locow modułów tch wektoów pe sus kąta awatego męd tm wektoam gde: c a b, c a b sα c π α b a Zwot wektoa w ppadku pawoskętego układu współędch ustala eguła tech palców pawej dło. Wkostując własośc wacka loc wektoow dwóch wektoów waża sę astępująco: ( a b a b ) + j( a b a b ) + k ( a b a b ) a b a a a b b b j k c + jc + kc c + c + c c Sła jako wekto low odstawowm pojęcem wektoowm w mechace jest sła. W tekstach dukowach wekto sł oaca sę dużm lteam keską u gó ( F, G,,...), bądź dukem wtłuscom (F, G,,...). Zaps te jest stosowa w dalsej cęśc wkładu. 6
Sła jest waem maą wajemego oddałwaa cał a sebe, p cm sł mogą bć wweae bepośedo w wku kotaktu cał, bądź mogą bć wweae a odległość. Sł ewęte to sł dałające a pukt mateale daego układu wwołae dałaem ego układu, sł wewęte to sł oddałwaa męd puktam matealm układu. Sł ce to sł, któe dążą do wpowadea cała w uch; sł bee ważają dałae węów. Wę W statce olę węów pełą podpo. Rodaje podstawowch podpó podao w tabelach. odpo o ach keukach eakcj R odpoa gładka R 7
odpoa pegubowa pesuwa R R R ęgo R R Neważke pęt pegubowe odpo o each keukach eakcj T R odpace sostke T R 8
R (R ) R odpoa pegubowa pesuwa (układ płask składowe eakcj; układ peste 3 składowe eakcj) Utwedea M - pesuwe R (w układe pestem ależ dodać dugą składową eakcj dugą składową wektoa mometu) - stwe (w układe pestem ależ dodać 9
R M tecą składową eakcj dwe składowe wektoa mometu) R Momet sł wględem puktu postej Momet sł wględem puktu Momet sł wględem puktu jest wektoem otmam w wku możea wektoowego pomea wektoa (amea) sł M Ramę jest wektoem popowadom od puktu do pocątku sł, a moduł wektoa M jest ów podwojoemu polu powech tójkąta B: M sϕ Moduł wektoa mometu moża pedstawać jako loc sł amea popowadoego od puktu pod kątem postm do l dałaa sł: M h Na podstawe podaego suku łatwo spawdć, że h s (80 - ϕ) s ϕ 0
ϕ M h B Umescając wekto sł amea w peste wględem układu współędch katejańskch o pocątku w pukce apsując je jako sum geometce utów a ose tego układu, ch loc wektoow pjme postać M ( + j + k ) ( + j + k ) k j ( ) ( ) ( ) + + k j ( ) ( ) ( ) + + k j M M M k j + + M + M + M Momet sł wględem pocątku układu współędch (puktu ) jest węc sumą mometów wględem os,. Z tego wpowadea wka defcja mometu sł wględem postej.
M B M γ γ ' B' ϕ ' ' Momet sł wględem postej Na podstawe suku momet sł wględem postej (os) moża defować jako momet utu tej sł ( ) a płascę postopadłą do tej postej wględem puktu pebca tej postej tą postopadłą płascą, cl 0 k k M M ( ) Moduł tego wektoa moża węc wać astępująco: j k 0 M M Ο cosγ aa sł aą sł awam układ dwóch sł ówoległch o ówch modułach pecwch wotach. Suma pa sł jest ówa eu, ale sł te e ówoważą sę gdż e dałają wdłuż jedej postej. aa sł jest elemetam układem, któ e może bć astąpo jedą słą, poeważ e ma wpadkowej.
aa sł jest ówoważa wektoow mometu M, któego keuek jest postopadł do płasc wacoej pe le dałaa sł pa. Zwot wektoa mometu wka eguł śub pawoskętej. M - Momet pa sł wględem begua ϕ h ałożeu, że, -, momet pa sł wględem begua jest ów: M + - ( - ) 3
Ławo auważć, że amę - e ależ od położea puktu. Stąd wka wosek, że momet pa sł ależ jede od watośc tch sł ch wajemej odległośc. Na podstawe suku moduł wektoa mometu pa sł jest ów M s Ο ϕ h Momet pa sł jest wektoem swobodm, poeważ e ależ od puktu a płascźe, wględem któego jest oblca. aę sł moża węc peosć w płascźe jej dałaa. Redukcja dowolego pesteego układu sł Redukcja układu sł polega a astąpeu go m postsm, któego skutek dałaa a cało mateale jest detc tm jak wka dałaa układu eedukowaego. Redukcja sł do puktu 4
Zadae polega a peeseu sł dałającej w pukce do puktu be ma efektu oddałwaa tej sł a cało mateale. - W tm celu w pukce pkładam dwójkę eową łożoą sł. Wekto amea waca położee puktu wględem puktu. Sła płożoa w pukce sła - acepoa w pukce twoą paę sł o momece M : M M Wosek: esuęcu sł jedego puktu do dugego towas dodae mometu sł ależego od puktu końcowego pesuęca. Wekto mometu ma keuek postopadł do płasc odpowedej pa. 5
Redukcja układu sł do puktu M M β M M Każda sła układu sł jest pesuwaa do puktu, któ jest śodkem edukcj. esuęcu sł towas dodae odpowedego wektoa mometu M, któ ma keuek postopadł do wektoa sł (M ). o geometcm dodau wsstkch wektoów sł otmuje sę głów wekto sł: Geometca suma wektoów mometów daje wekto główego mometu: M M Redukcja układu sł umożlwa węc astąpee go dwoma wektoam: główm wektoem sł wektoem główego mometu M. W ogólm ppadku oba wekto mają le dałaa achloe pod dowolm kątem aacom a suku jako β. Nemek układu sł. Głów wekto sł jest emekem, poeważ e ależ o od położea śodka edukcj (puktu ). Wekto główego mometu e jest emekem jego welkość jest detemowaa położeem śodka edukcj.. Iloc skala główego wektoa sł wektoa główego mometu M cost M cosβ altc wauek ówowag dowolego pesteego układu sł Dowol peste układ sł edukuje sę do wektoa główego mometu główego M M Rówowaga takego układu sł możlwa jest tlko wted tlko wted gd suma geometca wsstkch sł jest ówa eu oa gd suma geometca mometów od wsstkch sł wględem puktu jest ówa eu 0 M M 0 6
7 Wedąc, że 0 + + k j 0 + + M M M k j M M powżse ówaa mogą bć spełoe tlko wted, gd 0 0 0 0 M 0 M 0 M Seść powżsch ówań two aaltc wauek ówowag dowolego pesteego układu sł, któ ma astępujące bmee: este dowol układ sł jest w ówowade gd sum utów tch sł a ose układu współędch oa sum mometów tch sł wględem os układu współędch są ówe eu Metod aaltce w statce układów płaskch Z płaskm układem sł mam do cea gd le dałaa wsstkch sł układu leżą w jedej płascźe. W tm ppadku wekto głów sł ajduje sę także w płascźe układu, a wekto główego mometu M jest postopadł do tej płasc. M
8 Wekto głów ma węc dwe składowe w utach a ose układu współędch, a wekto główego mometu ma jedą składową. Wektoow wauek ówowag płaskego układu sł powad do ówań 0 + j 0 M k M M, któe będą spełoe gd 0 0 0 Ο M łask dowol układ sł jest w ówowade gd sum utów wsstkch sł a os układu współędch oa momet od wsstkch sł wględem puktu są ówe eu. lteatwe wauk ówowag kładu płaskego dowolego: a) 0 0 Α M 0 Β M, p cm pukt B e mogą leżeć a postej postopadłej do os. b) 0 Α M 0 Β M, 0 M p cm pukt, B e mogą leżeć a jedej postej.
Układ płaske beże łożoe Układ sł płask beż (śodkow) to tak układ, w któm wektoów sł leżącch w jedej płascźe pecają sę w jedm pukce. Wauek aaltc ówowag takego układu jest astępując: 0 0 Układ płask łożo two klka lub klkaaśce cał matealch połącoch e sobą węam. Rowąae układu łożoego polega a odeleu poscególch cał apsau wauków ówowag dla każdej bł osoba. ożej apeetowa układ jest łożo dwóch cał matealch: płt belk. łta wspata jest w pukce a podpoe pegubowej stałej, atomast w pukce D opea sę o belkę. Belka jest amocowaa a podpoe pegubowej w pukce B jest opata o płaske stwe podłoże w pukce. Zając mas belk płt, kąt achlea belk do poomu oa wma geometce obu elemetów moża, po odeleu obu cał, wacć eakcje we wsstkch wskaach puktach apsując seść ówań wkającch wauku ówowag dla układu płaskego dowolego. B α D Katowce płaske Katowca jest układem łożom eważkch stwch pętów połącoch e sobą pegubam obcążam słam skupom w ektóch pegubach. 9
3 B Waukem statcej wacalośc katowc jest b lcba pętów p spełała wauek gde w jest lcbą węłów. p w - 3 W podam pkłade mam 7 pętów 5 węłów, cl jest to katowca statce wacala. Rowąae katowc polega a oblceu eakcj podpó, a astępe oblceu sł wdłużch w poscególch pętach. altcm metodam owąwaa katowc są metoda Rttea metoda ówoważea sł w węłach. Tace. Rówowaga sł uwględeem sł taca Tace ewęte jest jawskem fcm, jake wstępuje a powechach kotaktu cał matealch. Natua sł taca, pecwdałającch uchow wględemu stkającch sę cał, e jest jesce poaa do końca, ale wkają oe chopowatośc powech jawska adhej. Roóżam dwa tp taca - tace suche wae tacem oulomba badaca jawska taca - tace płe wstępujące męd wastwam płu pousającego sę óżm pędkoścam. Jeśl do bł stojącej a płaskej powech płożm poomą słę, to bła będe poostawała w spocku dopók watość tej sł e pekoc maksmalej watośc sł taca T. 0
G T N Relację męd poomą watoścą bewględą sł a modułem sł taca T moża obaować a wkese. T Rówowaga statca Ruch bł T m T k Wost watośc sł cej powoduje popocjoal wost sł taca aż do osągęca watośc maksmalej T m, pocm bła opoca ślgae sę wględem podłoża. Wted sła taca maleje do watośc T k sł taca ketcego, jaką utmuje eależe od wostu sł poomej wostu pędkośc uchu. Badaa ekspemetale wskaują, że sła taca statcego jest ówa Tm µ sn atomast słę taca ketcego okeśla wó Tk µ k N gde: N to sła acsku, a µ s µ k to współck taca statcego ketcego.
Sła taca, a także współck taca, e ależą od welkośc powech kotaktu męd całam, ależą atomast od odaju mateału jakego wkoae są cała. Tabela watośc współcków taca Rodaj mateałów cał w kotakce Współck taca statcego kematc. guma/beto 0.9 0.75 skło/skło 0.94 0.4 metal/metal 0.4-0.6 0.3-0.5 metal/kameń 0.3-0.7 0.4-0.6 lód/lód 0. 0.03 teflo/teflo 0.04 0.04 ało a ów pochłej Na cało o cężae G ajdujące sę a ów pochłej achloej do poomu pod kątem α dałają także sła acsku N oa sła taca T. T α G α N Bła będe w ówowade statcej jeśl sum utów tch sł a ose układu współędch będą ówe eu: 0 T G sα 0 0 N G cosα 0 eosąc składowe sł cężkośc a pawą stoę deląc oba ówaa pe sebe otmuje sę: T tgα N Na podstawe pawa taca wadomo, że T µ N, cl
µ tg α Stąd moża auważć, że cało ajdujące sę a ów pochłej będe w spocku jeśl kąt achlea ów α będe mejs lub ów kątow taca ρ, co moża apsać 0 α ρ Zwęksee kąta achlea ów poad watość kąta taca spowoduje suęce bł, co jest możlwe do aobsewowaa a dode postego ekspemetu. este układ sł ówoległch. Śodek cężkośc este układ sł ówoległch twoą sł o ówoległch keukach dałaa. Wpadkową takego układu ajdujem sumując wsstke sł składowe, atomast pukt płożea wpadkowej jest waca a podstawe ówań,, gde: to moduł -tej sł składowej;,, to współęde puktu acepea -tej sł składowej. ukt, pe któ pechod wpadkowa układu sł ówoległch jest awa śodkem sł ówoległch. 3
Metod wacaa śodków cężkośc fgu płaskch bł pestech. Twedee Gulda odstawowm układem sł ówoległch jest układ sł cężkośc. G G Śodek sł ówoległch w odeseu do sł cężkośc jest awa śodkem cężkośc. o podeleu całej bł a elemetach objętośc o am cężae każdego elemetów, położee śodka cężkośc jest wacoe pe astępujące współęde: 4
G G, G G, G G gde: G G jest cężaem całej bł, a,, to współęde położea -tej objętośc o cężae elemetam G. Gd cało mateale ostae podeloe a eskońcee wele elemetów dg o wmaach cężae blskch eu, to położee śodka cężkośc ważają astępujące wo: dg G, G dg G, G G dg G W jedoodm polu cężkośc cęża jest locem mas m pspesea emskego g, moża węc apsać, że Stąd: G mg, dg g dm dm m, m dm m, m m dm m cl: W jedoodm polu cężkośc śodek mas pokwa sę e śodkem cężkośc Dla cał jedoodch ch masa właścwa (gęstość) jak óweż cęża właścw to welkośc stałe. o podstaweu: m ρv dm ρ dv, gde ρ to gęstość mateału bł, dv to objętość jej eskońcee małego elemetu, a V to objętość całkowta, otmuje sę wo a śodek mas (cężkośc) bł pesteej w postac dv V, V dv V, V V dv V W ppadku cała, któe jest powechą jedoodą o stałej gubośc f, cl jego masa jest ówomee ołożoa a całej powech, pawdwe są astępujące elacje: 5
V f S, dv f ds gde: S to całkowte pole powech, a ds to powecha elemetaa. Śodek mas takej powech ważają wo: ds S, S ds S, S S ds S Dla płaskej płt leżącej a płascźe współęda śodka mas 0. Nektóe cała take jak l, dut, cęga mogą bć uważae dostatecą dokładoścą a le jedoode o stałm polu powech pekoju. bjętośc całkowta elemetaa takego cała są ówe V l, dv dl gde l to długość całkowta l, dl to długość elemetaa. Śodek mas l elemetaej okeślają wo: dl l, l dl l, l l dl l Śodk mas cał łożoch wacau położea śodka mas cał łożoch del sę je a cała podstawowe, któch położea śodków mas są ae, a astępe wkostuje sę odpowede fomuł defujące momet statce poscególch cał podstawowch. Jeśl p. fguę płaską moża podelć a okeśloą lcbę fgu postch takch jak postokąt, tójkąt, koła, półkola tp., to współęde śodka mas fgu łożoej są astępujące: gde: S S S, S S to pole powech całej fgu łożoej fgu podstawowch, S - pole powech -tej fgu,, współęde śodka mas -tej fgu. Sum loców S S S są defowae jako momet statce fgu składowch wględem os odpowedo. Mometam statcm wględem tch 6
samch os są także loc S S ; ówość odpowedch mometów statcch umożlwa wpowadee podach woów a położee śodka mas fgu łożoej. Twedea Gulda-appusa ) ole powech obotowej S, jaka powstaje w wku obotu płaskej jedoodej l o długośc l dookoła os ajdującej sę w płascźe l, jest ówe locow długośc tej l pomożoej pe długość obwodu okęgu jak opsuje śodek cężkośc tej l. l S π l, l długość l ) bjętość bł obotowej V, jaka powstaje w wku obotu jedoodej fgu płaskej o polu powech dookoła os ajdującej sę w płascźe fgu, jest ówa locow pola powech tej fgu pomożoej pe długość obwodu okęgu jak opsuje śodek cężkośc tej fgu. V π, pole powech fgu 7
KINEMTYK Kematka puktu Ruch cała to jawsko pebegające w okeślom case polegające a mae położea tego cała w peste wględem układu odesea. W mechace pesteń cas to pojęca podstawowe, p cm cas jest eależ od układu odesea jest tak sam dla wsstkch puktów peste. Ruch cała matealego jest uważa a a jeśl jest możlw do okeślea opsaa uch dowolego puktu ależącego do tego cała. ps uchu we współędch katejańskch. To puktu k ołożee dowolego puktu w peste okeślają t współęde układu. W takce uchu puktu współęde te ulegają mae w case, cl są fukcjam casu t: (t) (t) (t) Rówaa te osą awę ówań uchu puktu. ukt pousając sę w peste opsuje kwą k, któa jest mejscem geometcm jego położeń. Rówaa uchu osą także awę paametcch ówań tou puktu, gde paametem jest cas. Jeśl ówań tch ostae wugowa cas, to otmuje sę ówae tou puktu w postac f(,, ) 0 Rówae to obauje kwą k, po któej pousa sę pukt. Wektoowe ówae uchu puktu matealego ołożee puktu w peste może bć okeślae a pomocą pomea-wektoa. Jeśl pukt pousa sę, to wekto mea w case swą watość, keuek wot. Stąd jest wektoowm ówaem uchu puktu. (t) 8
o wpowadeu apsu p użcu wesoów poscególch os układu współędch, j, k otmuje sę (t) (t) + j (t) + k (t) ps uchu we współędch kwolowch (sfecch) ψ φ k ołożee puktu w układe sfecm jest okeślae pe podae długośc pomea wodącego, kąta dwuśceego φ męd płascą a płascą oa kąta ψ achlea pomea do płasc. Wsstke te welkośc są fukcjam casu są powąae e współędm układu katejańskego w astępując sposób: (t) (t) cosψ(t) cosφ(t) (t) (t) cosψ(t) sφ(t) (t) (t) sψ(t) Ruch puktu ważo a pomocą współędej łukowej s k Zakładając, że to pousającego sę puktu jest a może bć obaowa jako kwa k, to położee puktu a toe moża jedoace okeślć pe podae współędej s meoej wdłuż tou od daego puktu odesea. Współęda s o długośc ówej długośc łuku jest dogą puktu. W takce uchu puktu współęda ta jest fukcją casu s s(t) Zależość ta jest awaa ówaem dog lub ówaem uchu puktu a toe. ędkość puktu 9
ędkość jako pochoda pomea wektoa ukt pousając sę po toe w chwl casu t alał sę w położeu wacom pe pomeń wekto (t), a astępe po case t w położeu okeślom pe wekto (t+ t). (t) (t+ t) Zmaę położea puktu moża także wać pe wekto, któ jest ów (t+ t) - (t) ędkość śeda puktu jest wektoem defowam astępująco: V ś t Keuek wot wektoa pędkośc śedej V ś jest tak sam jak wektoa, poeważ post casu jest welkoścą skalaą o watośc węksej od ea. ędkość chwlową (pędkość) puktu defujem jako gacę loau óżcowego ( t + t) ( t) d V lm t lm t 0 t t 0, cl jest to pochoda pomea wektoa wględem casu. (τ) V (t) V ś (t+ t) ędkość chwlowa V ma keuek stcej (τ) do tou uchu puktu, poeważ p mejsau postu casu t keuek wektoa waca pe ego keuek wektoa V ś blża sę do keuku stcej do tou w pukce. Wacae pędkośc puktu p opse uchu a pomocą współędej łukowej 30
W chwl casu t pukt alał sę w położeu okeślom współędą łukową s(t) ówą pebtej pe ego dode. o upłwe casu t jego doga posła o watość s, tak że w chwl casu t + t całkowta długość pebtej dog to s + s. s(t) t s t+ t Wekto pędkośc śedej V ś śedej jest to wekto, któ ma keuek wdłuż cęcw, wot god keukem uchu, a watość V ś ' t ędkość śeda jest loaem dog do casu, w jakm ta doga ostała pebta. s t s(t) (τ) t V s t+ t V ś Zmejsae postu casu t tm samm dog s powoduje, że keuek wektoa pędkośc śedej V ś blża sę p t 0 do keuku stcej to tou w pukce. Wekto V o keuku stcej (τ) os awę pędkośc chwlowej (pędkośc) puktu. Watość wektoa V jest defowaa w astępując sposób: V s s( t + t) s( t) ds( t) lm t 0 lm t 0 s& ( t) t t Watość bewględa (moduł) wektoa pędkośc jest ów pewsej pochodej dog wględem casu. W aukach fkalch pochodą wględem casu oaca sę cęsto kopką sowaą ad smbolem fukcj, któa ma bć poddaa opeacj óżckowaa. spesee puktu matealego 3
Wekto pędkośc puktu matealego pousającego sę po toe kwolowm mea swój keuek, a jeżel uch puktu jest uchem mem, to mae ulega także moduł wektoa pędkośc. jmuje sę, że w chwl casu t pędkość puktu waża wekto V 0, a po upłwe casu t, cl w chwl t + t pędkość jest ważoa pe wekto V. t V V t+ t Różca wektoów V - V 0 V okeśla post pędkośc w case t. Stosuek postu wektoa pędkośc do casu, w jakm te post astąpł awam pspeseem śedm puktu a ś : V a ś t V V t+ t V V a ś a V ś Wekto pspesea śedego ma keuek wot wektoa V. speseem chwlowm (pspeseem) puktu awam wekto okeśla jako gacę loau óżcowego V dv a lm t 0 t oeważ wekto pędkośc jest defowa jako d V, to wekto pspesea może bć także ważo jako duga pochoda pomea wektoa wględem casu dv d a 3
Wekto pspesea jest węc pewsą pochodą wektoa pędkośc lub dugą pochodą pomea wektoa wględem casu. Wekto pspesea może bć ważo w postac sum jego utów a ose postokątego układu współędch: a a + a + a a + ja + ka Kostając defcj pspesea okładając a składowe wekto pędkośc położea moża apsać także, że lub dv dv dv dv a + j + k d d d d a + j + k Stąd moduł składowch wektoa pspesea moża pedstawć astępująco: a dv d d, a Długość wektoa pspesea jest ówa dv dv d, a a a + a + a spesee omale stce W aale uchu wekto pspesea jest waża cęsto pope składową stcą omalą do tou dv a at + a etat + ea gde: a t, a to pspesea odpowedo stce omale, e t to weso stcej (τ) do tou, e to weso omalej () do tou. 33
() (τ) e t V e ρ S Na suku aacoo pomeń kw tou ρ, któ jest położo a omalej (), któego długość waca położee śodka kw tou - puktu S. łasca utwooa pe weso stc e t omal do tou e to płasca ścśle stca, stąd wekto pspesea leż w płascźe ścśle stcej. () (τ) a t V a a ρ S Watośc bewględe wektoów pspeseń stcego omalego oblca sę a podstawe woów dv a t, a V ρ Ze woów tch wka, że watość pspesea omalego jest awse węksa od ea, atomast watość pspesea stcego może bć aówo węksa jak mejsa od ea, poeważ ależ oa od ma watośc bewględej pędkośc w case. Zwot wektoa pspesea stcego może bć węc god lub pecw do wotu wektoa pędkośc. Moduł wektoa pspesea oblcć moża a podstawe wou a a t + a 34
W ppadku uchu odbwającego sę e stałą pędkoścą pspesee stce jest ówe eu, a uch tak awam jedostajm. spesee omale jest ówe eu tlko w ppadku uchu postolowego. Ruch puktu matealego po okęgu Ropatuje sę uch puktu po okęgu o pomeu odbwając sę od położea pocątkowego 0. a t ϕ a V s 0 Współęda s o długośc ówej długośc łuku 0 jest dogą puktu. Doga kątowa (ϕ) cl kąt jak atocł pukt jest powąaa dogą s (ważaą w mee łukowej) wąkem s ( t) ϕ( t) [m] Watość bewględa pędkośc lowej V jest węc ówa ds dϕ m V ω s gde dϕ ad ω s to pędkość kątowa (pochoda dog kątowej wględem casu). spesee stce jest pochodą pędkośc lowej (locu pędkośc kątowej pomea), stąd moża apsać, że 35
gde dv d(ω ) dω a t ε, dω d ϕ ad ε s jest pspeseem kątowm okeślającm maę pędkośc kątowej w case. spesee omale w uchu po okęgu waża sę w fukcj pędkośc kątowej pe podstawee: V ( ω ) a spesee całkowte jest wektoem o watośc t ω 4 ( ε ) + ( ω ) ε + ω a a + a ędkość kątowa pspesee kątowe to welkośc wektoowe. Każd tch wektoów ma keuek postopadł do płasc okęgu, po jakm pousa sę pukt. Ich wot dla pawoskętego układu współędch jest ustala a pomocą eguł śub pawoskętej. W ppadku uchu opóźoego, gd watość pędkośc kątowej maleje w fukcj casu, wot wektoa pspesea kątowego ε jest pecw do wotu wektoa pędkośc kątowej ω (wot wektoa pspesea stcego a t będe pe aalogę pecw do wotu wektoa pędkośc lowej V). dω < 0 ω ω ε a t V Ruch łożo puktu pswa uch puktu opatwao wględem euchomego układu współędch. Ruch atuale cał to uch łożoe, poeważ achodą oe wględem ch cał, któe także są w uchu. Np. uch pasażeów w jadącm pocągu jest uchem łożom, poeważ pasażeowe pemescają sę wględem wagou, a te wchodąc w skład pocągu, pemesca sę aem m wględem mjaego słupa takcjego. Z kole cał układ, 36
łące e słupem wąam podłożem, ajduje sę w uchu obotowm jak Zema wkouje wględem swej os obotu. Ruch cał są węc ucham welokote łożom co e jest jedoace tm, że wsstke uch składowe musą bć bae pod uwagę p opswau koketego jawska. Ruch jedch cał wględem ch, któe są także w uchu awam ucham wględm. Ruch uosea to uch uchomego układu współędch wąaego dam całem wględem układu euchomego. Ruch bewględ puktu lub bł to uch wględem euchomego układu współędch. Składae pędkośc w uchu łożom Jeśl pukt ajduje sę w uchu składającm sę dwóch uchów, to jego pędkość bewględa V o keuku stcm do tou bewględego będe wpadkową pędkośc wględej V w, któa jest stca do tou wględego k w pędkośc uosea V u, któa jest stca do tou uosea k u V V w + V u V w k u k V u V k w Składae pspeseń w uchu łożom. spesee oolsa spesee bewględe a w uchu łożom puktu jest ówe sume geometcej pspesea w uchu wględm a w, pspesea w uchu uosea a u pspesea oolsa a a a w + a u + a Jeśl uch wględ uosea są ucham mem kwolowm, to każde pspeseń tch uchów ma składową omalą stcą wted a a w + a wt + a u + a ut + a 37
spesee oolsa a, powodowae uchem obotowm układu uosea, jest ówe podwojoemu locow wektoowemu pędkośc kątowej w uchu uosea ω u pędkośc wględej V w a ω u V w Z defcj locu wektoowego wka, że: ) długość wektoa pspesea oolsa jest ówa a ω sα, p cm α jest u Vw kątem męd wektoam ω u V w, ) pspesee oolsa będe ówe eu jeśl: ω u 0, cl gd uch uosea jest uchem postępowm, V w 0, cl gd pędkość wględa jest w daej chwl ówa eu, ω u Vw, t. gd wekto pędkośc kątowej w uchu uosea pędkośc wględej są do sebe ówoległe. Ruch płask cała stwego Ruch płask cała stwego to uch, w takce któego wsstke pukt tego cała pousają sę w stałej odległośc od płasc keującej. Ruch płask moża spowadć do uchu fgu będącej utem bł a płascę keującą. W wąku tm może bć o taktowa jako łożee uchu postępowego w płascźe keującej uchu obotowego wględem os postopadłej do płasc keującej. V B V V B ω V B ędkość puktu B bł stwej moża tepetować jako sumę geometcą pędkośc puktu (V ) pędkośc puktu B wględem puktu (V B ): V B V + V V + ω B B gde długość wektoa V B jest ówa V B ω B 38
Ruch płask bł jako chwlow uch obotow wględem chwlowego śodka pędkośc Ruch płask moża także oważać jako chwlow uch obotow. Na tej podstawe twed sę, że w każdej chwl casu pędkośc puktów bł są take jakb bła obacała sę wokół pewej os postopadłej do płasc uchu (płasc keującej). ś ta jest chwlową osą obotu, a pukt jej pecęca płascą keującą os awę chwlowego śodka obotu. V B V B S ω V S V B BS V S 0 ukt S to chwlow śodek obotu. ukt te leż w mejscu pecęca postopadłch do wektoów pędkośc wsstkch puktów bł. W wąku tm może o w daej chwl ależeć do fgu będącej utem bł a płascę keującą lub też może ajdować sę poa fguą. Jego pędkość lowa jest ówa eu, a bła wkouje wokół ego uch obotow chwlową pędkoścą ω. ołożee chwlowego śodka obotu jest mee w case, a mejsce geometce jego kolejch położeń two płaską kwą cetodę. Zając pędkość puktu, położee chwlowego śodka obotu bł oa keuek wektoa pędkośc puktu B, watość V B moża oblcć wg schematu: V ω VB ω BS S V B V BS S Wacae pędkośc w uchu płaskm bł Wacć pędkośc puktów, B, D jedoodego kążka stacającego sę swobode be poślgu po ów pochłej jeśl pędkość jego śodka mas jest ówa V. 39
B V D α W ppadku tocea be poślgu, wstępującm p udale taca eowętego męd błą a ówą, pukt D jest chwlowm śodkem obotu. Jego pędkość jest węc ówa eu, a uch kążka moża taktować jako chwlow uch obotow wokół tego puktu chwlową pędkoścą obotową ω. B V V B V V D ω α V D 0 ędkośc lowe puktów, B mają keuk postopadłe do odpowedch odcków łącącch te pukt chwlowm śodkem obotu D. Zwot wektoów pędkośc są detemowae pe keuek obotu kążka. 40
Watość pędkośc puktu B, któ jest położo a śedc BD, jest popocjoala do pędkośc puktu. Itepetacja gafca tej elacj polegała a wkeśleu l kopkowaej męd puktem D a końcem wektoa pędkośc puktu B. Ze wględu a lokalację puktów B w stosuku do puktu D pędkość puktu B mus bć dwa a węksa od pędkośc puktu, cl V B V oeważ pukt są położoe w tej samej odległośc od puktu D (D D), to watośc ch pędkośc musą bć take same. acając pe pomeń kążka łatwo auważć, że Stąd D D gde ostatece V V ω, V ω V V V DYNMIK Damka puktu matealego odstaw mechak klascej sfomułowae pe Newtoa w postac tech paw ogłosoe w 687 oku w pac hlosophae atuals pcpa mathematca dotcą puktu matealego. Ze wględu a to, że każde cało moża taktować jako bó puktów matealch, to pawa Newtoa mogą bć peosoe a bł stwe. awa Newtoa. Jeżel sła wpadkowa dałająca a pukt mateal jest ówa eu, to pukt te poostaje w spocku (jeśl bł w spocku ped płożeem sł) lub pousa sę e stałą pędkoścą wdłuż l postej (jeśl pocątkowo bł w uchu).. Jeżel sła wpadkowa dałająca a pukt mateal o mase m e jest ówa eu, to pukt te będe sę pousał pspeseem popocjoalm do watośc tej sł gode jej wotem keukem F a m 4
3. Sł wajemego oddałwaa męd całam ajdującm sę w kotakce mają tę samą watość, lę dałaa pecw wot. Zasada d lembeta ekstałcając ówae opsujące duge pawo Newtoa moża apsać F ma dalej F ma 0 gde F jest wpadkową układu sł dałającch a pukt mateal, a jest pspeseem puktu matealego. o pjęcu oacea B ma gde B to sła bewładośc lub sła d lembeta, ostatece otmuje sę F + B 0 tmae ówae, któe ma postać ówaa ówowag jak w agadeach statk, staow ops matematc asad d lembeta: W case uchu puktu matealego sł ecwste dałające a te pukt ówoważą sę w każdej chwl odpowedm słam bewładośc. ałkowae ówań óżckowch uchu puktu matealego Wektoowe ówae uchu Newtoa F ma m F po pwołau wou a pspesee puktu d a pjmuje postać astępującą d F m Rówae to jest ówoważe tem ówaom skalam defującm wąk męd składowm sł wpadkowej dałającej a pukt o mase m a składowm pspesea wdłuż os układu odesea 4
d d F m, m d F, F m gde: F, F, F to długośc składowch wektoa sł F, to długośc składowch wektoa pspesea a. d a d d, a, a tmae ówaa są ówaam óżckowm wcajm dugego ędu opsującm uch puktu matealego. Ich owąae a dode dwukotego całkowaa odpowedm waukam pocątkowm powala a wacee tech fukcj ależch od casu (t), (t), (t) któe staową kematce ówaa uchu puktu. altce owąae óżckowch ówań uchu jest jedak a ogół tude, poeważ składowe sł F, F, F mogą bć ależe od casu t, położea puktu okeślaego współędm,, oa pędkośc puktu V, V, V. Ruch kwolow puktu matealego kład Z wechołka półwalca o pomeu wdłuż jego gładkej pobocc suwa sę pukt mateal. Wedąc, że uch odbwa sę be pędkośc pocątkowej, wacć kąt α, p jakm pukt odewe sę od pobocc oa mejsce jego upadku a podłoże. α b Dae: Sukae: α, b 43
Rowąae elem opsu uchu puktu od wechołka półwalca do mejsca upadku a podłoże ależ wóżć dwe chaaktestce fa uchu: pewsą D gd pukt pousa sę wdłuż pobocc walca dugą DE gd jest wuco pędkoścą V D pousa sę w peste. Te dwe fa uchu óżą sę toem uchu oa układem sł dałającch a pukt. Faa D opse uchu puktu po łuku okęgu ajwgodej jest opatwać te uch w uce a keuk atuale wąae toem, cl a keuek stcej keuek omalej do tou. Do sfomułowaa owąaa p tej fae uchu popouje sę asadę d lembeta. elem owąaa tej fa uchu jest wacee pędkośc V D, cl pędkośc pocątkowej dla uchu po kwej DE. B t D B α a N0 α G a t E b Wdłuż łuku D a pukt mateal dałają dwe sł ce: sła cężkośc G, sła omala N ważająca oddałwae półwalca a pukt oa dwe sł bewładośc: sła bewładośc B t -m a t o woce pecwm do ałożoego wotu wektoa pspesea stcego), sła bewładośc B -m a (o woce pecwm do aego wotu wektoa pspesea omalego). W położeu D okeślom pe kąt α astępuje odewae puktu od pobocc, węc sła omala oddałwaa podłoża pjmuje watość ówą eu (N 0). Boąc pod uwagę wot wektoów sł cch bewładośc moża apsać astępujące ówaa: a keuku stcm do tou 44
a keuku omalm do tou B t G sα 0 B G cosα 0 o podstaweach B t m a t m dv D V, B m a m D, G mg ówaa te owąuje sę astępująco: - dla keuku stcego - dla keuku omalego dv D V D g sα g cosα dv D dα g sα dα oeważ dα VD ω, to VD dvd g sα dα o obustom scałkowau otmuje sę V D g cosα + Stałą całkowaa waca sę wauku pocątkowego: p α 0, V D 0 g Stąd ostatece otmuje sę, że: V D g cosα V D g ( cosα ) oówując oba otmae wo a pędkość V D waca sę watość kąta α, p jakm astąp odewae puktu od pobocc: g ( cosα ) g cosα cos α /3 α ac cos(/3) Zając watość kąta α, pędkość V D 3 g Faa DE Ruch puktu po kwej DE odbwa sę pod dałaem sł cężkośc. Zając pędkość pocątkową tej fa uchu pjmuje sę układ współędch D o wotach os godch 45
e wotem utów wektoa pędkośc a te ose. W tej fae popouje sę sfomułowae owąae a podstawe dugego pawa Newtoa. D α α V D G a a E h D b Rówaa Newtoa dla keuków os są moża apsać w astępującej postac: ma F, ma F gde F, F to składowe -tej sł dałającej a pukt mateal. W oważam ppadku a pukt dała tlko jeda sła o keuku ówoległm do keuku os, w wąku cm ówaa Newtoa pjmą postać: d d m 0, m G Rowąaa tch ówań celem aleea mejsca upadku puktu a podłoże pepowada sę ówolegle wg schematu: d d 0 g d d D gt + D 46
Stałe waca sę wauków pocątkowch, któe dotcą chwl casu t 0, ked pukt ajdując sę w położeu D mał pędkość pocątkową V D. d d 5 t 0, V VD cos α g, V VD s α g, cego 3 3 3 3 wka, że D g, atomast g 3 3 D 5 3 3. statece otmuje sę ówaa składowch pędkośc w postac d d 5 g gt + 3 3 3 3 g Składowa pędkośc wdłuż os jest eależa od casu, składowa pędkośc wdłuż os jest ważaa pe fukcję ależą lowo od casu. o kolejm całkowau otmuje sę + 3 3 gt D3 gt + gt + D4 casu t 0 pukt ajduje sę w położeu D, dla któego (0) (0) 0, cego wka, że stałe D 3 D 4 0 ostatece 5 gt gt gt 3 3 + 3 3 tmae paametce ówaa tou umożlwają okeślee położea puktu wględem pjętego układu współędch dla dowolej chwl casu t. Rówae tou puktu otma sę po defowau meej t a podstawe ówaa pewsego podstaweu do ówaa dugego: 3 3 t g 3 g 3 g + 5 3 3 g 3 3 7 g 6 Rówae tou jest ówaem paabol. Z aal suku wka, że pukt ajde sę a podłożu jeśl współęda pjme watość h D cosα. 3 B aleźć współędą odpowadającą meej ależej h D ależ owąać 3 astępujące ówae kwadatowe: 7 5 + 0 6 3 o oblceu wóżka wbeam jede - dodat pewastek owąaa, któ jest dugą współędą puktu E - mejsca geometcego pecęca kwej tou podłożem. 5 3 + 3 5 47
ewastek te jest ów ( 3 5) 4 7 osukwaa współęda b jest ówa 5 4 3 5 b sα + + 4 3 7 7 3 + 5 5.458 ( ) ( ) awo achowaa meośc pędu Na podstawe dugego pawa damk Newtoa w postac F ma po uwględeu, że pspesee moża wać jako pochodą wektoa pędkośc wględem casu dv a otmuje sę dv m F Masa puktu matealego jest eależa od casu węc może bć włącoa pod ak óżck d( mv ) F Iloc mas wektoa pędkośc jest awa pędem (loścą uchu) puktu oaca pe p. statece otmuje sę dp F Z ówaa tego wka, że pochoda wektoa pędu wględem casu ówa jest sle wpadkowej F dałającej a da pukt. dp Jeżel sła wpadkowa F jest ówa eu, to 0 Stąd pawo achowaa pędu mów: wekto pędu jest stał p cost. Jeżel a pukt mateal poostając w uchu e dała żada sła lub dałając układ sł daje wpadkową ówą eu, to pęd takego układu poostaje emeo Jeżel sła wpadkowa F e jest ówa eu, to po obustom scałkowau ówaa otmuje sę d ( mv ) F 48
V ( mv ) d V mv mv t F t t t F state ówae opsuje pawo meośc pędu o bmeu: ost pędu puktu matealego w skońcom pedale casu jest ów mpulsow sł (popędow sł) dałającej a te pukt w tm samm case Kęt puktu matealego wględem begua. awo achowaa kętu K mv α m Roważa jest pukt mateal o mase m, któ pousa sę pędkoścą V. Kętem (mometem pędu) K puktu matealego wględem begua awam wekto otmwa w wku możea wektoowego wektoa położea puktu pe wekto jego pędu mv K mv Na podstawe defcj locu wektoowego długość wektoa pędu jest ówa K mv sα Ważając wekto mv pope ch składowe stosując defcję wackową locu wektoowego otmuje sę j k K mv K + jk + kk mv gde po owęcu wacka długośc składowch wektoa kętu są ówe K K mv m m K m V mv ( V V ) ( V V ) ( V ) 49
W takce uchu swobodego wekto położea pędkośc puktu ulegają mae w fukcj casu. W wąku tm pochoda wektoa kętu wględem casu mus bć oblcaa jako pochoda locu wektoowego dk ( mv ) d d d ( mv ) mv + V mv + F F M statece pochoda wględem casu wektoa kętu K wględem euchomego begua jest ówa mometow sł wpadkowej F wględem tego begua dk M aca moc F α d +d Roważa sę pukt, któ pemesca sę położea okeśloego pe wekto położea do sąsedego położea okeśloego pe wekto +d. Wekto męd położeam (óżcka d) jest elemetam pemesceem. Jeśl a pukt dała sła F, to paca tej sł odpowadająca pemesceu d jest defowaa jako astępująca welkość skalaa dl F d aca jest węc locem skalam wektoa sł F wektoa pemescea d. Zając kąt α męd wektoam F d, a podstawe defcj locu wektoowego moża apsać, że dl F ds cosα lub dl F d + F d + F d gde: ds jest óżcką dog ( d ds) oa d d+j d +k d aca jako watość skalaa ma swoją watość ak. aca sł p uchu puktu po toe kwolowm ukt pousając sę po toe kwolowm od położea pebwa dogę ważaą w mee łukowej. acę wkowaą pe słę F od położea do położea defujem jako 50
L F d ds d α t F ałożeu, że s s, a podstawe defcj locu skalaego pacę sł F okeślam astępująco s L F cosα ds gde F t jest długoścą składowej wektoa F a keuku stcej. s s s F t ds F t s L s s acę s L F t ds tepetuje sę gafce s jako pole powech pod kwą otmaą pe wkeślee sł F t w fukcj dog s. Jedostką pac jest [J] (dżul) cl paca wkoaa pe słę o watośc [N] a dode [m]. Moc Moc defujem jako pacę wkoaą w okeśloej chwl casu o podstaweu dl F d otmuje sę dl N N dl F d F V Jedostką moc jest [W] (wat) cl [J]/[s]. 5
Eega ketca puktu matealego. awo ówośc eeg ketcej pac Ropatuje sę uch puktu matealego o mase m po toe kwolowm, a któ dała sła F. Doga puktu meoa wdłuż tou od puktu mea sę od watośc s w położeu, ked pukt osągął pędkość V, do watośc s w położeu, gd pukt pousa sę pędkoścą V. V (t) F m F F t a t V Z dugego pawa Newtoa apsaego dla keuku stcego (t) wka, że oeważ pspesee stce jest ówe ma t F t dv a t to możem apsać dalej dv m F t dv ds m ds F t ds o podstaweu, że V obustom pomożeu ówaa pe óżckę dog ds celem odelea mech otmuje sę mv dv F t ds bustoe scałkowae: lewej sto ówaa w gacach od V do watośc V, atomast pawej sto w gacach od s do s powad do ostatece mv V s V s F mv mv t ds L 5
Welkość skalaą mv E k awam eegą ketcą puktu matealego. Jest to połowa locu mas kwadatu pędkośc puktu. Wpowadoe ówae opsuje matematce pawo ówośc eeg ketcej pac, któe bm: ost eeg ketcej puktu matealego w skońcom pedale casu jest ów sume pac jake wkoał w tm case wsstke sł dałające a te pukt otecjale pole sł otecjale (achowawce) pole sł to take pole, że w każdm jego pukce jest okeśloa fukcja V(,, ), któej pochode cąstkowe wględem, są ówe utom sł pola pecwm akam. Fukcja V(,, ) to potecjał achowawcego pola sł lub eega potecjala tego pola. V (,, ) V (,, ) V (,, ) F, F, F Z apsu tego wka, że składowe sł F są fukcjam współędch,. Stąd sł achowawce to take sł, któe ależą tlko od lokalacj ch puktu płożea. Słę F moża apsać jako V V V F F + jf + kf + j + k lub F gad V Eega potecjala. awo achowaa eeg mechacej d Ropatuje sę uch puktu matealego pod dałaem sł cężkośc G po toe od kwolowm od położea o współędej do położea o współędej. G acę sł cężkośc waca sę e wou: ( G d + G d G d) L + 53
Sła G ma składowe o astępującch długoścach: G 0, G -G, G 0, co po podstaweu powad do astępującego ważea a pacę: L G d G ( ) G aca sł cężkośc jest ówa locow tej sł pemescea poowego. aca ta jest dodata gd < 0, cl w ppadku gd cało suwa sę w dół. acę sł cężkośc moża pedstawć jako óżcę: L G - G mg mg aca ta e ależ od dog, a jede od pocątkowej końcowej watośc fukcj mg. Fukcję tę awam eegą potecjalą: E p mgh aca sł cężkośc może bć pedstawoa jako óżca eeg potecjalej okeśloej w położeu pocątkowm końcowm L E p () - E p () awo achowaa eeg mechacej Jeśl pukt mateal pousa sę w achowawcm polu sł, to suma jego eeg ketcej eeg potecjalej waa eegą mechacą jest stała E k () + E p () E k () + E p () Lteatua:. B.Skalmesk: Mechaka, Wdawctwo oltechk ęstochowskej 00 (t. ). J.Msak: Mechaka techca, WN Wasawa 999 (t. I II) 3. J.Noł: Metodka owąwaa adań mechak, WNT Wasawa 00 4. J.Leko: Mechaka ogóla, WN Wasawa 006 (t. ) 5. J.Leko; J. Smelte: Zbó adań mechak ogólej, WN Wasawa 976 (t. ) 6. I.W.Mescesk: Zbó adań mechak. WN Wasawa 969 7. M.Negodńsk, T.Negodńsk: Zbó adań mechak ogólej, WN Wasawa 003 8. T.Negodńsk: Mechaka ogóla, WN Wasawa 006 9. Rsad Buckowsk, dej Baasek: Mechaka ogóla w ujęcu wektoowm tesoowm. Statka, pkład adaa. WNT Wasawa, 006 0. F..Bee, E. Russell Johsto: Vecto Mechacs fo Egees. McGaw-Hll ublshg ompa, 004 54