Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1

Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2

Liczby zespolone Każdą liczbę zespoloną różną od zera można przedstawić w postaci z z (cos isin ) z e Definicja Przedstawienie liczby zespolonej i z z e nazywamy postacią wykładniczą i ALGEBRA 3

ALGEBRA 4 Przykład Korzystając z postaci wykładniczej obliczyć z jeżeli 2 4 3 3 1 i i z i e i 4 2 1 i e i 6 2 3 3 4 sin 3 4 cos 4 4 2 2 3 4 2 4 3 3 3 i e e e e e z i i i i i 2 0,1,, 3 2 3 4 sin 3 2 3 4 cos k k i k z k 9 4 sin 9 4 cos 0 i z 9 10 sin 9 10 cos 1 i z 9 16 sin 9 16 cos 2 i z Liczby zespolone

Liczby zespolone Podstawiając we wzorze Eulera otrzymujemy równość: i e 1 0, nazywaną tożsamością Eulera Tożsamość Eulera bywa nazywana najpiękniejszym wzorem matematycznym ponieważ: wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie, łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych: liczbę 0, liczbę 1, liczbę π, liczbę e, jednostkę urojoną i każda ze stałych jest użyta są dokładnie raz, wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest zerem. ALGEBRA 5

Liczby zespolone ALGEBRA 6

Liczby zespolone CIEKAWOSTKA Zbiór Mandelbrota ALGEBRA 7

Zbiór Mandelbrota ALGEBRA 8

Zbiór Mandelbrota Zbiór Mandelbrota - podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg jest jednym ze sławniejszych fraktali. Nazwa tego obiektu została wprowadzona dla uhonorowania jego odkrywcy, matematyka Benoit Mandelbrota. ALGEBRA 14

Zbiór Mandelbrota Konstrukcja Zbiór Mandelbrota M wyznaczają te punkty równaniem rekurencyjnym: dla których ciąg opisany nie dąży do nieskończoności: Można wykazać, że jest to równoważne z warunkiem: Podsumowując: ALGEBRA 15

Zbiór Mandelbrota Za pomocą komputera można wykreślić przybliżone obrazy zbioru Mandelbrota (obrazy takie przedstawiają zamieszczone rysunki). Aby uzyskać taki obraz dla każdego punktu p oblicza się pewną liczbę początkowych wyrazów ciągu z n. Przyjmuje się, że punkt należy do zbioru jeżeli dla wszystkich (w szczególności dla ostatniego) wyrazów tego podciągu spełniony jest warunek z n < 2. Jest to tym samym obraz przybliżony (okazuje się jednak, że efekt przybliżenia jest widoczny tylko w dużych powiększeniach). Zbiór Mandelbrota jest podzbiorem każdego przybliżenia. Dla każdego z punktów nie należących do zbioru można określić liczbę m: Jest to liczba początkowych wyrazów ciągu z n, które spełniają powyższy warunek. Wykorzystuje się ją do barwienia punktów nie należących do zbioru Mandelbrota przyporządkowując każdej z wartości m pewien kolor. ALGEBRA 16

Benoit B. Mandelbrot, (1924-2010) wybitny i nowatorski matematyk pochodzący z Polski. Był on twórcą tzw. geometrii fraktalnej, opisującej nieregularne kształty występujące w przyrodzie, takie jak linia brzegowa, zbocza górskie, i systemy komórkowe. Fraktale w najogólniejszym znaczeniu to interpretacja graficzna równań i ciągów uchodzących poprzednio za całkowicie abstrakcyjne i nie mające odniesień do rzeczywistości. Jak wykazał Mandelbrot, powinny one być przedmiotem badań i mają zastosowania w wielu dziedzinach praktycznych. Jedną z nich była m.in. grafika komputerowa. Benoit Mandelbrot urodził się w Warszawie 20 listopada 1924 roku w rodzinie litewskich Żydów. W 1936 roku wyemigrował z rodzicami do Francji, gdzie studiował w Ecole Polytechnique w Paryżu. Po wojnie wyjechał do USA. Pracował w centrum badawczym im. Watsona w Nowym Jorku, wykładał na Uniwersytecie Harvarda, w Massachusetts Institute of Technology, a od 1987 roku był profesorem na Uniwersytecie Yale. - Jeśli mówimy o wpływie w matematyce i jej zastosowaniach w naukach ścisłych, Mandelbrot był jedną z najważniejszych postaci ostatnich 50 lat - powiedział o zmarłym profesor matematyki z Uniwersytetu w Bremie, Heinz-Otto Peitgen, cytowany w artykule wspomnieniowym w niedzielnym "New York Timesie". ALGEBRA 17

Macierze ALGEBRA 18

Macierze Definicja Macierzą rzeczywistą wymiaru mn, gdzie m,n N nazywamy tablicę prostokątną m n liczb rzeczywistych ustawionych w m wierszach i n kolumnach: a11 A ai 1 am1 a a a 1 j ij mj j ta kolumna a1 n a in a mn i ty wiersz Element stojący na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny oznaczamy przez a ij. Macierz A o elementach a ij zapisywana jest jako [a ij ] lub [a ij ] mxn. ALGEBRA 19

Macierze Uwagi W definicji macierzy przyporządkowujemy parze (i,j) (miejscu na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny) liczbę a ij, zatem macierz jest wartością funkcji odwzorowującej iloczyn kartezjański (1,..., m) (1,..., n) w zbiór liczb rzeczywistych R ( i, j) ( 1,..., m) ( 1,..., n), ( i, j) a ij. Jeżeli a ij są liczbami zespolonymi, to otrzymujemy macierz zespoloną. ALGEBRA 20

Macierze Definicja Macierz kwadratowa stopnia n jest to macierz o wymiarze n n. Liczbę wierszy n równą liczbie kolumn n nazywamy stopniem macierzy. a a an 11 21 1 a 22 a a a 1n 2n nn Elementy macierzy mające ten sam numer wiersza i kolumny tworzą główną przekątną macierzy. ALGEBRA 21

ALGEBRA 22 Macierz diagonalna stopnia n jest to macierz kwadratowa stopnia n, w której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe 0. a nn a a 0 0 0 0 0 22 11 Macierz jednostkowa stopnia n jest to macierz diagonalna, której przekątna składa się z samych jedynek. Oznaczamy ją I n lub I. 1 0 0 1 0 0 0 1 Macierze

Macierze Wektor kolumnowy jest to macierz o wymiarze m1. Wektor wierszowy jest to macierz o wymiarze 1n. Macierzą trójkątną dolną (dolnotrójkątną) nazywamy macierz kwadratową, w której elementy leżące nad górną przekątną są równe 0. Macierzą trójkątną górną (górnotrójkątną) nazywamy macierz kwadratową, w której elementy leżące pod górną przekątną są równe 0. Macierz zerowa oznaczona 0 lub 0 mxn jest macierzą wymiaru m n składającą się z samych zer. ALGEBRA 23

Macierze Przykłady Wektor kolumnowy wymiaru 3: Wektor wierszowy wymiaru 4: [2, -4, 7, 3]. Macierz o wymiarze 23: Macierz dolnotrójkątna stopnia 2: ALGEBRA 24

Macierze Definicja Macierze A i B nazywamy równymi, co zapisujemy A = B, jeżeli mają ten sam wymiar m n i jeżeli a ij = b ij dla i = 1,..., m oraz j = 1,...,n. Przykład Obliczyć dla jakich wartości x i y macierze A i B są równe. ALGEBRA 25

Macierze Definicja Sumą macierzy A = [ a ij ] i B = [ b ij ] wymiaru m n, nazywamy macierz C = [ c ij ] wymiaru m n taką, że (oznaczenie C = A + B) Przykład c ij = a ij + b ij, 1 i m, 1 j n. ALGEBRA 26

Macierze Definicja Różnicą macierzy A = [ a ij ] i B = [ b ij ] wymiaru m n, nazywamy macierz C = [ c ij ] wymiaru m n taką, że (oznaczenie C = A - B) Przykład c ij = a ij - b ij, 1 i m, 1 j n. ALGEBRA 27

Macierze Zadanie Jaką wartość musi mieć x, żeby podana niżej macierz była macierzą trójkątną dolną? ALGEBRA 28

Macierze Definicja Dla macierzy A =[ a ij ] i liczby rzeczywistej c c A =[ c a ij ]. Mnożąc macierz A przez liczbę c, mnożymy każdy wyraz macierzy przez c. Przykład ALGEBRA 29

Macierze Niech A = [ a ij ] będzie macierzą wymiaru m p oraz B = [ b jk ] macierzą wymiaru p n. Definicja Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C= [ c ij ] wymiaru m n o wyrazach: c ij a i1 b 1 j a i2 b 2 j a ip b pj gdzie 1 i m, 1 j n, tzn.: A B c ij mn p k1 a ik b kj mn ALGEBRA 30

Macierze Praktyczny sposób mnożenia macierzy Wybieramy i - ty wiersz macierzy A tzn. ( a i1, a i2,..., a ip ) oraz j - tą kolumnę macierzy B tzn. ( b 1j, b 2j,..., b pj ). Mnożymy kolejno odpowiednie wyrazy wybranego wiersza i wybranej kolumny przez siebie i otrzymane iloczyny dodajemy, otrzymując wyraz c ij macierzy C. Wyraz c ij macierzy C jest więc iloczynem skalarnym i - tego wiersza macierzy A oraz j - tej kolumny macierzy B. ALGEBRA 31

Macierze Uwagi! Mnożenie macierzy w ogólnym przypadku nie jest przemienne. Dwie macierze można pomnożyć tylko wtedy gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. Przykład Obliczyć iloczyny macierzy: A B i B A. 2 1 1 1 A B 3 2 2 3 AB BA ALGEBRA 32

Macierze Przykłady = ALGEBRA 33

Macierze Zadanie Obliczyć iloczyn macierzy: ALGEBRA 34