Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie wartości z odcinka [, 1] x 1 + + x n n (b) przyjmuje wszystkie wartości z odcinka [, 1] na każdym przedziale (a, b) [, 1] (c) nie jest ciągła w żadnym punkcie odcinka [, 1] Zadanie 2. Udowodnij, że jeśli zbiory U i R są otwarte i gęste, to i=1u i jest gęste. Zadanie 3. (a) Niech f n : R R będzie ciągiem funkcji ciągłych zbiegających punktowo do pewnej funkcji f. Pokaż, że zbiór punktów ciągłości f jest niepusty (w rzeczywistości jest gęstym zbiorem typu G δ ). Wskazówka: dla dowolnego k rozpatrz zbiory A N,k {x : m,n N f n (x) f m (x) 1 } i pokaż, że któryś ze zbiorów A 3k N,k zawiera przedział otwarty I k. Indukcyjnie skonstruuj ciąg zagnieżdżonych przedziałów domkniętych J k takich, że f jest ciągła na zbiorze k J k. (b) Pokaż, że jeśli f : R R jest funkcją różniczkowalną, to f ma przynajmniej jeden punkt ciągłości. Zadanie 4. Podaj przykład funkcji, która spełnia własność Darboux, ale nie jest pochodną żadnej funkcji różniczkowalnej f : R R. Zadanie 5. Udowodnij nierówności: (a) ln(1 + x) x 1 + x, x (b) sin x 2 π x + x π 3 (π2 4x 2 ), x [, π/2] (wskazówka: pokaż, że f(x) = sin x 2 π x x π 3 (π 2 4x 2 ) jest wklęsła na [, π/4], a f wypukła na [π/4, π/2]) 1
Zadanie 6. Pokaż, że każde z równań sin(cos x) = x, cos(sin x) = x ma dokładnie jedno rozwiązanie na przedziale [, π/2]. Zadanie 7. Niech f, g, h : [a, b] R będą ciągłe i różniczkowalne na (a, b). Niech f(x) g(x) h(x) F (x) = det f(a) g(a) h(a) f(b) g(b) h(b) Udowodnij, że istnieje x wartości średniej. (a, b) takie, że F (x ) =. Wywnioskuj stąd twierdzenie o Zadanie 8. Pokaż, że funkcja wypukła f : R R może mieć jedynie przeliczalnie wiele punktów nieróżniczkowalności. Zadanie 9. Niech n 1. Przypuśćmy, że f : R R jest ograniczona klasy C n oraz że f (n) jest lipschitzowska. Pokaż, że pochodne f, f,..., f (n) są ograniczone. Zadanie 1. Przypuśćmy, że f jest różniczkowalna na [, 1] oraz f() = f(1) =. Przypuśćmy, że f istnieje na (, 1) i f (x) A. Udowodnij, że f (x) A 2. Zadanie 11. Niech f : (, ) R będzie dwukrotnie różniczkowalna. Załóżmy, że f (x) 1 dla wszystkich x >. Udowodnij, że jeśli lim x f(x) =, to również lim x f (x) =. Zadanie 12. Udowodnij nierówności dla x > : 1. e x > n k= x k k! 2. x x2 + x3 x4 2 3 4 x2 < ln(1 + x) < x + x3 2 3 3. 1 + 1 2 x 1 8 x2 < 1 + x < 1 + 1 2 x 1 8 x2 + 1 16 x3 Zadanie 13. Niech f : (a, b) R będzie dwukrotnie różniczkowalna, której druga pochodna jest ciągła. Dla c (a, b) udowodnić, że: f(c + h) 2f(c) + f(c h) lim h h 2 = f (c) Czy powyższa granica może istnieć, jeśli f nie ma drugiej pochodnej w punkcie c? Zadanie 14. Oblicz granicę: lim x ( sin x x ) 1/x 2 Zadanie 15. Podaj przykład funkcji f : R [, ] klasy C takiej, że f() = oraz dla dowolnej α (, 1) mamy: f (x) lim x f(x) = α 2
Zadanie 16. Niech f n f i g n g. Czy jest prawdą, że f n g n fg? Zadanie 17. Zbadaj zbieżność jednostajną na przedziale [, 1] ciągów f n (x) i g n (x), gdzie f n (x) = x n (1 x) i g n (x) = nx n (1 x). Zadanie 18. Zbadaj zbieżność jednostajną na R ciągu funkcji f n (x) = 2n 1 + x 2n oraz f n (x) = n sin n x cos x. Zadanie 19. Czy dla każdej ciągłej f : R R istnieje ciąg wielomianów P n jednostajnie do f? zbieżny Zadanie 2. Niech: ( ) f n (x) = e x 1 + x + x2 2! + + xn n! Zbadaj przebieg zmienności f n. Czy ciag f n jest zbieżny jednostajnie na R? Czy jest zbieżny jednostajnie na [, 1]? Zadanie 21. Niech P n : R R będzie ciągiem wielomianów zbieżnym jednostajnie do funkcji P. Udowodnij, że P jest wielomianem. Zadanie 22. Rozważmy ciąg wielomianów P n ustalonego stopnia k. Niech: P n (x) = a n,k x k + + a n, Udowodnij, że następujące warunki są równoważne: (a) Ciąg P n jest jednostajnie zbieżny na dowolnym zwartym zbiorze K R (b) Istnieją liczby rzeczywiste x,..., x k takie, że ciągi (P n (x l )) n 1 są zbieżne dla l =, 1,..., k (c) Ciągi (a n,l ) n 1 są zbieżne dla l =, 1..., k. Zadanie 23. Zbadaj zbieżność jednostajną na R ciągu funkcji f n (x) = 2n 1 + x 2n oraz f n (x) = n sin n x cos x. Zadanie 24. Niech: Czy ciag f n jest zbieżny jednostajnie na R? ( ) f n (x) = e x 1 + x + x2 2! + + xn n! Zadanie 25. Zbadaj zbieżność jednostajną szeregu: sin nx n na przedziałach [, 2π] oraz [ε, 2π ε] dla ε (, π). 3
Zadanie 26. Zbadaj zbieżność punktową i jednostajną szeregów: (a) (b) (c) 1 1 + x n, x 1 n 2 x 2 e n2 x, sin 2 (2π n 2 + x 2 ) n= Zadanie 27. Przypuśćmy, że szereg n= a n x n jest zbieżny jednostajnie na pewnym zbiorze otwartym do funkcji stale równej zero. Pokaż, że dla każdego n mamy a n =. Zadanie 28. Przypuśćmy, że szereg n= a n jest zbieżny. Znajdź: lim a n x n x 1 n= Czy szereg n= a n x n musi być zbieżny jednostajnie na [, 1]? Zadanie 29. Niech p (x) = oraz: p n+1 (x) := p n (x) + (x p n (x) 2 )/2 Pokaż, że q n (x) := p n (x 2 ) zbiegają jednostajnie na [ 1, 1] do funkcji x. Zadanie 3. Przypuśćmy, że szereg potęgowy n= a n x n ma promień zbieżności R (, ). Oblicz promień zbieżności szeregów: (a) n= 2 n a n x n (b) n= a 2 nx n (c) n= n n n! a nx n Zadanie 31. Udowodnij, że szereg: zadaje funkcję klasy C 1. f(x) = 1 n 2 + x 2 4
Zadanie 32. Pokaż, że funkcja ζ Riemanna: jest klasy C ((1, )). ζ(x) = Zadanie 33. Przypuśćmy, że szereg n= a n jest zbieżny. Znajdź: 1 n x lim a n x n x 1 n= Czy szereg n= a n x n musi być zbieżny jednostajnie na [, 1]? Zadanie 34. Rozpatrzmy szereg a n. Niech S N oznacza jego N-tą sumą częściową. Powiemy, że szereg jest sumowalny metodą Cesaro, jeśli istnieje skończona granica: S 1 + + S N S = lim N N Łatwo się przekonać, że jeśli szereg jest zbieżny, to jest też sumowalny metodą Cesaro, ale niekoniecznie na odwrót (np. szereg o wyrazach a n = ( 1) n ). Pokaż, że jeśli szereg jest sumowalny metodą Cesaro i ma sumę Cesaro S, to także: lim a n z n = S z 1 (wyrażenie lim z 1 a n z n nazywamy sumą w sensie Abela) Wskazówka: niech s n = S 1 + + S n. Pokaż, że s n z n = (1 x) 2 a n z n oraz skorzystaj z tożsamości: S = (1 x) 2 n= (n + 1)x n S Zadanie 35. Pokaż, że szereg ( 1) n n jest sumowalny w sensie Abela, ale nie w sensie Cesaro. Zadanie 36. Wyznacz sumę w sensie Cesaro i w sensie Abela szeregu: sin(nx) Zadanie 37. Znajdź punkty różniczkowalności szeregów określonych dla x R: (a) e nx2 n 2 5
(b) e n x n 2 Zadanie 38. Załóżmy, że f : R R spełnia warunek f(x) = f(x + 1/n) dla każdego x R i naturalnego n 1. Załóżmy, że f nie jest funkcją stałą. Czy f może posiadać funkcję pierwotną? Zadanie 39. Oblicz całki nieoznaczone (wszędzie a, b, c R): (a) x(x+1)...(x+n) (b) ln x (c) e x sin x (d) sin x (e) x n e x (f) (x+a)(x+b) (g) tg x (h) x (x 2 +a 2 ) n (i) 1 x 2 (j) 1 + x2 (wskazówka: sinh x) (k) ax2 + bx + c (l) (1 + x 2 ) 3/2 (m) ax 2 +bx+c. Zadanie 4. Dla ciągłej, ściśle rosnącej funkcji f : [a, b] R udowodnij tożsamość: b a f(x)dx + f(b) f(a) Zadanie 41. Udowodnij dla m, n 1 tożsamość: f 1 (y)dy = bf(b) af(a) m 1 xn = n 1 x m 6
Zadanie 42. Znajdź: gdzie A = {f C([, 1]) : Wskazówka: 1 = 1+x 2 1+x 2. inf (1 + x 2 )f(x) 2 dx f A f(x)dx = 1}, i znajdź funkcję, dla której infimum jest osiągane. Zadanie 43. Niech φ : R R będzie funkcją ciągłą wypukłą, a f ciągłą na [a, b]. Udowodnij nierówność Jensena: ( 1 ) b φ f(x)dx 1 b φ(f(x))dx b a a b a a Wywnioskuj Wskazówka: dla funkcji wypukłej w dowolnym punkcie t istnieje prosta podpierająca at + b spełniająca: φ(t) at + b, φ(t ) = at + b Zadanie 44. Przypuśćmy, że f jest ciągła na [, 1] i f(x) 1. Pokaż, że: ( ) 2 1 f 2 (x)dx 1 f(x) Zadanie 45. Niech f : [ 1, 1] R będzie ciągła. (a) Przypuśćmy, że dla dowolnego n mamy: Pokaż, że f. 1 f(x)x n = (b) Przypuśćmy, że dla dowolnego n mamy: 1 f(x)x 2n = Czy wynika stąd, że f jest funkcją nieparzystą? Zadanie 46. Niech f : [, 1] [, 1] będzie ciągła i niemalejąca. Pokaż nierówność: f(x)dx 2 xf(x)dx Zadanie 47. Oblicz: x n ln n x Udowodnij równość: x x = n n 7
Zadanie 48. Oblicz całkę: I n = x n e (1 i)x dx Pokaż, że dla dowolnego p mamy I 4p+3 R i korzystając z tej obserwacji znajdź niezerową ciągłą funkcję f : R R taką, że dla dowolnego n : x n f(x) = Zadanie 49. Pokaż, że całka: jest rozbieżna. sin x x Zadanie 5. Udowodnij wzór: sin x x = π 2 Wskazówka: korzystając ze wzoru: ( ) n sin((2n + 1)x) = sin x 1 + 2 cos 2kx k=1 pokaż, że: Niech I n = π/2 π/2 sin(2n + 1)x sin x sin((2n+1)x). Wykorzystaj wzór: x π 2 I n = π/2 do całkowania przez części i pokazania, że I n π 2. = π 2 ( 1 sin x 1 ) sin((2n + 1)x)dx x Zadanie 51. Przypuśćmy, że π = p. Rozpatrzmy funkcję: q f(x) = 1 n! xn (a bx) n (a) Pokaż całkując przez części, że: π (b) Niech: F (x) = n f(x) sin x = ( 1) j (f (2j) () + f (2j) (π)) j= n ( 1) j f (2j) (x) j= Pokaż, że F () = F (π) oraz że F () jest liczbą całkowitą. 8
(c) Rozpatrując n wynioskuj, że π jest liczbą niewymierną. Zadanie 52. Przypuśćmy, że π = p. Rozpatrzmy funkcję: q (a) Pokaż całkując przez części, że: (b) Niech: f(x) = 1 n! xn (a bx) n π n f(x) sin x = ( 1) j (f (2j) () + f (2j) (π)) j= n F (x) = ( 1) j f (2j) (x) j= Pokaż, że F () = F (π) oraz że F () jest liczbą całkowitą. (c) Rozpatrując n wynioskuj, że π jest liczbą niewymierną. Zadanie 53. (Wzór Stirlinga) Niech a n := n! ( ) e n. n (a) Rozpatrując an a n 1 udowodnij równość: ln a n = n 1 k=1 ( ( 1 k ln 1 + 1 )) + 1 k (b) Biorąc wiodący wyraz z rozwinięcia ( 1 k ln ( 1 + 1 k )) w szereg pokaż, że: ln a n = 1 2 (ln n + c n) gdzie c n γ i szereg k=1 b k jest zbieżny. (c) Rozpatrując α n = an n udowodnij wzór Stirlinga: n 1 k=1 n! 2πn (n/e) n 1 b k + 1 Wskazówka: jeśli α n C, to także α2 n α 2n Zadanie 54. Niech: oraz: I n := π/2 cos 2n tdt = J n := C. Skorzystaj ze wzoru Wallisa. π/2 π/2 9 sin 2n tdt = t 2 cos 2n tdt (2n)! 4 n (n!) π 2 2
(a) Całkując przez części pokaż tożsamość: i co za tym idzie: dla A n = 4n (n!) 2 (2n)!. n(2n 1)J n 1 2n 2 J n = A n 1 J n 1 A n J n = (b) Sumując otrzymany wzór stronami pokaż, że: 1 n = π2 2 6 (2n)! 4 n (n!) π 2 2 π 4n 2 (wskazówka: oszacuj A n J n korzystając z nierówności x < π sin x.) 2 Zadanie 55. Oblicz granicę: lim n n (1 x) n e nx dx Zadanie 56. Niech f : R R będzie ciągła i 2π-okresowa. Udowodnij: f(1) + + f(n) lim n n = 1 2π f(x)dx 2π Wskazówka: pokaż najpierw tezę dla f k (t) = e 2πikt, k Z. Zadanie 57. Niech f : [a, b] R będzie ciągła. Założmy, że dla dowolnego n =, 1..., N zachodzi: b x n f(x)dx = Pokaż, że f ma conajmniej N + 1 miejsc zerowych na przedziale [a, b]. Zadanie 58. Niech f : R R będzie ciągłą i 2π-okresowa. Udowodnij: f(1) + + f(n) lim n n a = 1 2π f(x)dx 2π Wskazówka: pokaż najpierw tezę dla f k (t) = e 2πikt, k Z. Zadanie 59. W trakcie liczenia granicy: sprowadziliśmy wyrażenie do postaci: g = lim n (1 x) n e nx dx n lim n e n n n n n y n e y dy Korzystając z podstawienia y = n + nt pokaż, że g = π 2. 1
Zadanie 6. Niech: oraz: I n := π/2 cos 2n tdt = J n := (a) Całkując przez części pokaż tożsamość: i co za tym idzie: dla A n = 4n (n!) 2 (2n)!. π/2 π/2 sin 2n tdt = t 2 cos 2n tdt n(2n 1)J n 1 2n 2 J n = A n 1 J n 1 A n J n = (b) Sumując otrzymany wzór stronami pokaż, że: 1 n = π2 2 6 (2n)! 4 n (n!) π 2 2 (2n)! 4 n (n!) π 2 2 π 4n 2 (wskazówka: oszacuj A n J n korzystając z nierówności x < π sin x.) 2 Zadanie 61. Oblicz całkę: Wskazówka: rozwinięcie w szereg. ln(1 x) dx x Zadanie 62. Dla 1 < p < i funkcji ciągłej f : [a, b] R określamy: N p (f) = ( 1 ) b 1/p f(x) p dx b a a Pokaż, że jeśli p 1 < p 2, to N p1 (f) N p2 (f) oraz lim n N p (f) = sup x [a,b] f(x). Zadanie 63. Przypuśćmy, że f : R R jest monotoniczna i istnieje f(x)dx. Pokaż, że: Oblicz: lim f(nh) = f(x)dx h + lim h + h 1 + h 2 n 2 W poniższych zadaniach S 1 = {z C : z = 1}. 11
Zadanie 64. (a) Homomorfizmem f : Z S 1 nazywamy funkcję spełniającą f(m + n) = f(m) f(n) dla każdych m, n Z. Udowodnij, że każdy homomorfizm f : Z S 1 jest postaci f(n) = z n dla pewnego z S 1. (b) Homomorfizmem f : Z n S 1 nazywamy funkcję spełniającą f(a + b) = f(a) f(b) dla każdych a, b Z n. Znajdź wszystkie homomorfizmy f : Z n S 1. (wskazówka: odwzorowanie ilorazowe Z Z n ) (c) Udowodnij, że każdą funkcję f : Z n R można jednoznacznie zapisać jako kombinację liniową o rzeczywistych współczynnikach homomorfizmów znalezionych w podpunkcie (b). Zadanie 65. (a) Udowodnij, że każda funkcja ciągła f : R S 1 spełniająca f(x + y) = f(x)f(y) dla wszystkich x, y R jest postaci f(x) = e 2πixt dla pewnego t R. (b) Ciągłym homomorfizmem f : S 1 S 1 nazywamy ciągłą funkcję spełniającą f(x y) = f(x) f(y) dla każdych x, y S 1. Udowodnij, że każdy ciągły homomorfizm f : S 1 S 1 jest postaci f(z) = z n dla pewnego n Z. (wskazówka: złożyć f z φ : R S 1, φ(x) = e 2πix ) Zadanie 66. Rozpatrujemy X = i=1 Z 2 := {(x 1, x 2,... ), x i Z 2 } z naturalnym dodawaniem po współrzędnych. Dla x, y X określamy metrykę: d(x, y) = i=1 x i y i 2 i Funkcję f : X C nazwiemy ciągłą, jeśli dla każdego ε > istnieje δ > taka, że d(x, y) < δ implikuje f(x) f(y) < ε. (a) Opisz, jak wyglądają funkcje ciągłe na X przyjmujące wartości ze zbioru { 1, 1}. (b) Znajdź wszystkie ciągłe homomorfizmy φ : X S 1, gdzie homomorfizmem φ nazywamy odwzorowanie spełniajace φ(x + y) = φ(x)φ(y). (c) Znajdź wszystkie homomorfizmy φ : i=1z 2 S 1 ( i=1z 2 jest sumą prostą jak na GALu, tj. przestrzeń ciągów o wartościach w Z 2 mających tylko skończenie wiele niezerowych elementów) Zadanie 67. Niech [n] = {1,..., n}. Dla S [n] i (x 1, x 2,..., x n ) { 1, 1} n określamy w S (x) = i S x i oraz w = 1. (a) Określamy iloczyn skalarny wzorem: f, g = 1 2 n x { 1,1} n f(x)g(x) Udowodnij, że funkcje w S, w T dla S T są ortonormalne względem tego iloczynu skalarnego. 12
(b) Udowodnij, że każdą funkcję f : { 1, 1} n R można jednoznacznie zapisać w postaci: f(x) = S [n] a S w s (x) dla pewnych rzeczywistych współczynników a S, które nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji f. W jaki sposób wyznaczyć a S? (c) Udowodnij tzw. tożsamość Parsevala: 1 2 n x { 1,1} n f(x) 2 = (d) Pokaż, że jeśli f : { 1, 1} n { 1, 1} spełniaja: S >1 a 2 S = a 2 S S [n] to f(x) = ±1, f(x) = x i lub f(x) = x i dla pewnego i = 1,..., n. Pokaż, że nie jest to prawdą, jeśli wymagamy jedynie S >2 a 2 S =. (e) Niech: (D i f)(x) = 1 2 (f(x(x i=1) ) f(x (x i= 1) )) Pokaż, że D i działa jak różniczkowanie po x i, tzn.: (D i f)(x) = i S a S w S\{i} (x) Zadanie 68. Pokaż, że jeśli f jest lipschitzowska, to współczynniki Fouriera f spełniają dla pewnej stałej C > : f(n) C n Jakie oszacowanie potrafisz wyprowadzić, jeśli f C k? Zadanie 69. Niech [n] = {1,..., n}. Dla S [n] i (x 1, x 2,..., x n ) { 1, 1} n określamy w S (x) = i S x i oraz w = 1. (a) Określamy iloczyn skalarny wzorem: f, g = 1 2 n x { 1,1} n f(x)g(x) Udowodnij, że funkcje w S, w T dla S T są ortonormalne względem tego iloczynu skalarnego. 13
(b) Udowodnij, że każdą funkcję f : { 1, 1} n R można jednoznacznie zapisać w postaci: f(x) = a S w s (x) S [n] dla pewnych rzeczywistych współczynników a S, które nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji f. W jaki sposób wyznaczyć a S? (c) Udowodnij tożsamość Parsevala: 1 2 n x { 1,1} n f(x) 2 = a 2 S S [n] (d) Niech: (D i f)(x) := 1 2 (f(x(x i=1) ) f(x (x i= 1) )) Jak zinterpretować probabilistycznie wielkość: Inf i (f) := ((D i f)(x)) 2 x { 1,1} n gdy f jest funkcją o wartościach ±1? (e) Pokaż, że D i działa jak różniczkowanie po x i, tzn.: (D i f)(x) = i S a S w S\{i} (x) Wyraź za pomocą współczynników Fouriera sumę: (f) Udowodnij tzw. nierówność Poincare: gdzie: Dla jakich f mamy równość? n Inf(f) = Inf i (f) i=1 Var(f) Inf(f) Var(f) = S a 2 S (g) Pokaż, że jeśli f : { 1, 1} n { 1, 1} spełniaja: a 2 S = S >1 to f(x) = ±1, f(x) = x i lub f(x) = x i dla pewnego i = 1,..., n. Pokaż, że nie jest to prawdą, jeśli wymagamy jedynie S >2 a 2 S =. 14
Zadanie 7. Niech f : [ π, π] R będzie ciągła. Pokaż, że jeśli n Z a n < +, to szereg n Z a n e inx jest zbieżny jednostajnie do f. Wskazówka: pokaż najpierw, że szereg jest zbieżny jednostajnie do pewnej funkcji ciągłej g i rozpatrując f g 2 u dowodnij, że g = f. Zadanie 71. Pokaż, że jeśli f jest hoelderowska z wykładnikiem α (, 1), to szereg Fouriera f zbiega do f jednostajnie. Wskazówka: jądro Dirichleta + lemat Riemanna-Lebesgue a. Zadanie 72. Przypuśćmy, że ciąg b n zbiega nierosnąco do zera. Pokaż, że szereg b n sin(nx) zbiega jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy nb n. Wskazówki: 1. Zbieżność jednostajna na [δ, 2π δ] jest natychmiastowa (z jakiego kryterium?). Użyj sumowania przez części. 2. W celu dowodu nb n rozpatrz S 2n (x n ) S n (x n ) dla odpowiednio małego x n. Zadanie 73. Pokaż, że jeśli f jest hoelderowska z wykładnikiem α (, 1), to szereg Fouriera f zbiega do f jednostajnie. Wskazówka: jądro Dirichleta + lemat Riemanna-Lebesgue a. Zadanie 74. Niech a/π / Q. Niech T a będzie operatorem przesunięcia, tj. T a f(x) = f(x+a). Pokaż, że jeśli dla całkowalnej 2π-okresowej funkcji f : [ π, π] R zachodzi T a f = f prawie wszędzie, to f jest stała prawie wszędzie. Zadanie 75. Niech: 1, t [, 1/2)] ψ(t) := 1, t [1/2, 1), w.p.p. Dla n 1, k < max{2 n 1, 1} określamy ψ n,k (t) := 2 (n 1)/2 ψ(2 n 1 t k) oraz ψ, (t) = 1. Zbiór funkcji {ψ n,k } n,k nazywa się układem Haara. (a) Wykaż, że ψ n,k stanowią układ ortonormalny, tzn. R ψ n,k(t) 2 dt = 1 oraz: R ψ n,k (t)ψ n,k (t)dt = δ nn δ kk (b) Wykaż, że układ Haara jest gęsty w L 2 ([, 1]), tj. dla dowolnej funkcji f L 2 ([, 1]) i dowolnego ε > istnieje skończona kombinacja liniowa ψ funkcji z układu Haara taka, że f ψ L 2 < ε. (c) Dla funkcji f L 2 określamy: max{2 n n 1,1} s n f(x) := f, ψ i,j ψ i,j (x) i= j= Niech: K n (x, t) := n i= max{2 n 1,1} j= ψ i,j (t)ψ i,j (x) 15
Pokaż, że: s n f(x) = f(t)k n (x, t)dt oraz że jeśli f jest ciągła, to s n f zbiegają do f jednostajnie wraz z n. Wskazówka: K n (x, t) ma łatwą do opisania postać na kwadracie jednostkowym. Zadanie 76. Niech f : [ π, π] R będzie klasy C 1. Wykaż, że: sup f(x) s n f(x) = o ( n 1/2) x R Wskazówka: użyj współczynników Fouriera f oraz nierówności Schwarza. 16