Rówaia różiczkowe Niech F: +, y: Def. Rówaiem różiczkowym zwyczajym rzędu azywamy rówaie postaci F(,y,y,y,, y () ) = (*) Rozwiązaiem rówaia (*) azywamy każdą fukcję y=y() taką, że po wstawieiu do rówaia (*) fukcji y,y,y,, y () otrzymujemy tożsamośd. Zbiór wszystkich rozwiązao rówaia (*) azywamy całką ogólą rówaia. Wykres dowolego rozwiązaia rówaia (*) azywamy krzywą całkową rówaia. Uwaga: Jeśli F: (+)m+ m, y: m to rówaie (*) azywa się układem rówao różiczkowych zwyczajych rzędu postaci F i (,y,y,y,, y () ) =, i =,, m, a rozwiazaie układu ma postad y() = (y (),y (),, y m ()) Wiosek : Jeżeli fukcja F spełia założeia twierdzeia o fukcjach uwikłaych (względem y () ) w otoczeiu puktu (,y( ), y ( ),y ( ),, y () ( )) to rówaie różiczkowe (*) moża rozwikład do postaci y () () = f(,y(),, y (-) ()) Przyjmując ozaczeia y ()=y(), y ()=y (),, y - ()=y (-) () otrzymujemy układ y y y = y y f(, y, y,, y )
Def. Zagadieiem Cauchy ego (problemem początkowym) dla rówaia (*) azywamy układ F, y,, y () = y = y y = y y ( ) = y gdzie y,y,,y Rozwiązaie zagadieia Cauchy ego azywamy całką szczególą rówaia (*) Iterpretacja graficza Niech P(,y ) Elemetem styczym w pukcie P rówaia (*) azywamy odciek o środku w P i współczyiku kierukowym y (,y ) (o ile istieje) Jeżeli y (,y ) ie istieje, ale ( y,y ) =, to elemet styczy w pukcie P rówaia (*) jest rówoległy do osi OY. Zbiór elemetów styczych rówaia (*) w puktach zbioru D R azywamy polem elemetów styczych rówaia (*). Wiosek : Krzywa całkowa rówaia (*) jest krzywą, która w każdym swoim pukcie jest stycza do elemetu styczego rówaia w tym pukcie. Def. Izoklią rówaia (*) azywamy liię łączącą pukty, w których elemety stycze mają te sam współczyik kierukowy.
Przykład Narysuj pole elemetów styczych do rówaia dy d = 4y Wyzaczamy izoklię y = 4m, dla y m dy d = m 4y = m dla = y m = jeżeli y= d = 4y = dy pukt (,) jest puktem osobliwym, ie ma elemetów styczych w tym pukcie. Rozważmy rówaie różiczkowe zwyczaje rzędu pierwszego postaci y ()=f(,y) Def. Jeżeli fukcja f(,y) = postaci różiczek jako M,y N,y, to rówaie różiczkowe y =f(,y) moża przedstawid w M(,y) d + N(,y) dy =
Def. Rówaiem różiczkowym o zmieych rozdzieloych azywamy rówaie różiczkowe rzędu pierwszego postaci y' = f()g(y) Tw. Jeżeli fukcja f jest ciągła w *a,b] i fukcja g jest ciągła w *c,d] oraz g(y) dla y [c,d], to przez każdy pukt prostokąta *a,b][c,d+ przechodzi dokładie jeda krzywa całkowa rówaia y' = f()g(y) Dowód: y = f()g(y), f() = y g(y) Niech G będzie fukcją pierwotą do fukcji g(y) dla y [c,d+, wtedy G (y)= oraz g(y) podstawmy t = y(s) a g y y(s) y y a s g t ds = a dt = G(y())-G(y(a)) = f s ds a a f s ds f s ds,,a, b- y() = G - [ f s ds + G(y a )-,,a, b- a Np.. Rozwiąż rówaie (+y ) + y(+ )y = dy y d + y = + y d + y dy = +
l + y = l + + C l + y = l + + le C y = e C +y = + y C = + C +, C +. Rozwiąż problem Cauchy ego (+e )yy = e, y() = y ydy = e d + e = l + e + C y = l + e + C y= l + e + C oraz = l + e + C C = -l CS: y = l + e + l
Def. Mówimy, że fukcja f(,y) jest jedoroda (stopia ) f(t,ty) = t f(,y), t R Def. Rówaiem różiczkowym jedorodym azywamy rówaie różiczkowe rzędu pierwszego w postaci M(,y)d + N(,y) dy =, gdzie fukcje M(,y) i N(,y) sa fukcjami jedorodymi tego samego stopia. Tw. Jeżeli fukcje M(,y) i N(,y) są jedorode stopia, to przez każdy pukt zbioru D = {(,y): a b M(,y) + yn(,y) } przechodzi dokładie jeda krzywa całkowa y rówaia M(,y)d + N(,y) dy =. Dowód: Niech y = z y=z dy = zd + dz M(,z) d + N(,z)(zd + dz) = M(,z) d + N(,z) zd + N(,z) dz = / : (M(,z)+zN(,z))d + N(,z)dz = d = N,z dz M,z +zn(,z) jest rówaiem o zmieych rozdzieloych Np. Rozwiąż rówaie ( + y + ) d + ydy =, > podstawiamy z = y ( + z + ) d + z(zd + dz) = /: + z + d + z d + zdz = d = zdz z + + z + d = z dz t = z + z ++ z + tdt = zdz
l = = = e C z ++ e C y ++ tdt t +t = l( z + + ) + C Tw. Jeżeli fukcja f jest ciągła to rówaie różiczkowe y = f(a+by+c) ma dokładie jedo rozwiązaie spełiające waruek y( ) = y Dowód: podstawiamy z = a + by + c dz = ad + bdy dy = (dz ad) b dy d = f(a+by+c) (dz ad) = f(z)d b d = dz bf z a jest rówaiem o zmieych rozdzieloych Np. Rozwiąż problem Cauchy ego y = (+y) y( ) = podstawiamy z=+y dy = -d +dz -d +dz = z d dz + z = d arctg(z) = +C arctg (+y) = +C oraz arctg () = + C
CS: π 4 = C y = tg (+ π 4 ) Tw. Jeżeli fukcja f jest ciągła, to rówaie y = f a +b y+c a +b y+c spełiające waruek y( )=y. Dowód: I. podstawiamy II. a b a + b y + c = a b a + b y + c = u = du = d v = y y dv = dy dv = f a u+ +b v+y +c du a u+ +b v+y +c dv ma dokładie jedo rozwiązaie = ma dokładie rozwiązaie y = y = f a u+a +b v+b y+c du a u+a +b v+b y+c dv = f a u+b v du a u+b v poieważ każda fukcja f jest jedoroda stopia zerowego, to otrzymujemy rówaie jedorode a b = a = a t a b b = b t, t R Podstawiamy z = a + b y dz = a d + b dy dy = b dz a d z + c = f b d tz + c dz a d
d = b f dz dz a d = f z+c tz+c b d z+c jest rówaiem o zmieych rozdzieloych +a tz+c Np. Rozwiąż rówaie (-y+) d + (+y)dy = y + = + y = = 3 = = = 3 y = 3 podstawiamy z = v u u = + 3 du = d podstawiamy v = y dv = dy 3 (u - v + ) du + (u - + v + ) dv = 3 3 3 3 (u-v)du + (u+v) dv = v = uz dv = zdu + udz (-z) du + (+z) (zdu + udz) = (-z +z+z ) du = -u (+z) dz du = +z dz u +z l u = l + z arctg z + C wracamy do starych zmieych otrzymując rozwiązaie CO: l + 3 = l + 3y 3 + arctg 3y (3 + ) + C
Def. Rówaiem różiczkowym liiowym rzędu pierwszego azywamy rówaie różiczkowe postaci y + f y = g. Jeżeli g()=, to rówaie azywamy rówaiem liiowym jedorodym, a jeżeli g(), to rówaie azywamy rówaiem liiowym iejedorodym. Tw. Jeżeli rówaie różiczkowe jest rówaiem liiowym, to CORN = CORJ + CSRN CORN - całka ogóla rówaia iejedorodego CORJ - całka ogóla rówaia jedorodego CSRN - całka szczególa rówaia iejedorodego Dowód: y jest CORJ y + f y = y jest CSRN y + f y = g() y + y + f y + y = y + y + f y + f y = y + f y + y + f y = g() Tw. Jeżeli f i g są ciągłe w *a,b+, to całka ogóla rówaia liiowego jedorodego ma postad y = Ce F, gdzie F() jest fukcją pierwotą do f w [a,b], a fukcja y = C e F jest rozwiązaiem rówaia liiowego iejedorodego.
Dowód. ) ) y y y y = f y = f y d = f d l y = F + C y = e F e C y = Ce F y = C e F C e F X f g = C e F C e F f + f C e F C = g e F() jest rówaiem o zmieych rozdzieloych Np.. Rozwiąż rówaie dy + y d = y = y : y = + y y y = CORJ: y = Ce l = C = C rozwiążmy rówaie iejedorode y y = C = C C
CORN: y = + D C + C C = C = C = + D. Rozwiąż problem Cauchy ego y y =, y = CORJ: y = Ce + l l + = Ce = C + Ad d = + Bd + = Al + Bl + = A + B = = A + + B A B = A = B = l + y = C +,, C y = C + + C + +,, + + + C =
C + = C = + C = + d t = + t + t = = t d = t +t t t dt = 4t dt +t +t +t t t + t 4t + t dt = 8 t 4 ( + t ) 3 dt = 8 t ( + t ) ( + t ) 3 t ( + t ) 3 dt = = 8 t t dt + t + 8 t dt + t 3 = t (+t ) +t t t (+t ) 3 = 5t + t t + t 3arctgt + D (+t )
C = 5 ( + ) 3arctg 4 y = = C() = 5 4 3 π 4 + D D = 3π 4 + + D y = 5 ( + ) + 3 + arctg + + (3π 4 + ),, Def. Rówaiem Clairauta azywamy rówaie postaci y = y + g y ( C ) Tw. Jeżeli g jest dwukrotie różiczkowala i g"(t) to rówaie ( C ) ma rozwiązaie. Dowód: y = y + g y /() y = y + y + g y y = y"( + g (y )) y" = g (y ) = y = C y = g i g jest ciągła y = C + D rówaie o zmieych rozdzieloych Np. Rozwiąż rówaie y = y + y /( ) y = y + y" + y" = y ( + ) y"= y = C + D
Def. Rówaiem Lagrage a azywamy rówaie postaci y = f y + g y ( L ) Tw. Jeżeli f i g są dwukrotie różiczkowale to rówaie ( L ) ma rozwiązaie. Dowód: y = f y + g y /() y = f y y + f y + g y y podstawiamy z = y z = f z z + f z + g z z z z f z = f z + g z dz d = z f z f z + g (z) d dz = f z + g z z f z f z z + f z z = g z z f z jest rówaiem liiowym, którego rozwiązaiem jest fukcja (z) = (z) y = f z + g z po wyliczeiu zmieej z z pierwszego rówaia i podstawieiu do rówaia drugiego otrzymujemy rozwiązaie y() Np. Rozwiąż rówaie y y y =
podstawiamy z = y y y y"+ (y ) y" = z z + z z = z z = z z = z 3 z + z = z 3 CORJ: = C z C z = C z z C z z z 3 + z C z z = z 3 C z = l z + D = l z + D z y = z + z = y = l z + D z l z + D + z z
Def. Rówaiem Beroulliego azywamy rówaie postaci y + f y = g y, N ( B ) Uwaga: dla = i = rówaie (B) jest rówaiem liiowym. Tw. Rówaie Beroulliego sprowadza się do rówaia liiowego przez podstawieie z = y, >. Dowód: z = y y y + f y = g y / y y y + f y y = g y y z + f z = g jest rówaiem liiowym Np. Rozwiąż rówaie y + y = y l, > = z = y z = y y y y y = y y y l z l z = CORJ: z = C z = C() C + C C = l
C = l d = l z = y = l + = l + D + + D Def. Rówaiem Riccatiego azywamy rówaie postaci y + f y = g y + R Tw. Jeżeli y jest całką szczególą rówaia (R) to rówaie (R) sprowadza się do rówaia liiowego przez podstawieie y = y + z Dowód: y = y z z y z z + f y + f = g y z + g y z Tw. + g z + () y + f y z z zf = g y + + z g( + g zy - z f g y z = g jest rówaiem liiowym Jeżeli w rówaiu (R) f = A ; g = B ; = C, to całka szczególa rówaia (R) ma postad y = a, a C
Dowód: a + A a a = B + C / B + a Aa + C = rówaie kwadratowe w zbiorze liczb zespoloych zawsze ma rozwiązaie. Np. Rozwiąż rówaie y + y = f = ; g = ; = y = a weźmy y = wracamy do podstawieia y = + z a + a = / a a = a = a = z z + 4 + 4 z + z = z 4 z = CORJ: z = Ce 4 l = C 4
z = C 4 C 4 + 4C 3 4 C 4 = C = y CO: y = d 4 = 3 3 + D = 4 + D 3 3 3 3D 4 + Def. Rówaiem zupełym azywamy rówaie postaci d,y F d, dy = dla (, y) D R Wiosek: Rozwiązaiem rówaia zupełego jest postaci F, y = c, c R Tw. Rówaie postaci P, y d + Q, y dy = jest rówaiem zupełym P, Q, P y, Q są ciągłe a w D oraz P y = Q i wtedy F, y = P t, y dt + Q a, s ds + C dla (a, b) D Dowód:,, P, y d + Q, y dy = jest zupełe d,y F d, dy = P, y d + Q, y dy F, y d + F y, y y b = P, y d + Q, y dy P = F i Q = F y
wyliczamy F,, P y = F y Q = F y P y = Q a F, y F t t, y dt = = P, y a P t, y dt F, y F a, y = P t, y dt F, y = P t, y dt + F a, y b y a F y a, y F s a, s ds = a = Q(a, y) b y Q a, s ds F a, y F a, b = Q a, s ds y F, y = P t, y dt + Q a, s ds + F a, b, gdzie F a, b = cost a Wiemy że F, y = P t, y dt + Q a, s ds + C oraz P a b y = Q F, y = P(, y) b y F y, y = P y t, y dt + Q a, y = Q t t, y dt + Q a, y = a = Q, y Q a, y + Q a, y = Q(, y) b y a
czyli P, y d + Q, y dy = F, y d + F yt y, y dy = d (,y) F d, dy = jest rówaiem zupełym Np. Rozwiąż rówaie + y d + y dy = P y = i Q = rówaie jest zupełe F, y = t + y dt + s ds + C = ( t CO: + y y = c y + yt) s y y + C = + y + C Def. Jeżeli istieje fukcja µ(,y) taka, że rówaie µ(,y) P(,y)d+µ(,y) Q(,y)dy= jest zupełe, to fukcję µ(,y) azywamy czyikiem całkującym. Tw. Jeżeli P, Q, P y, Q są ciągłe w D i Q(,y) dla (,y)d oraz Q(,y) P y, y Q, y = g(), to istieje czyik całkujący µ(,y)=µ() spełiający rówaie μ () μ Dowód: y (, y) P(, y) (, y) Q(, y) ' (, y) P(, y) (, y) P ' (, y) ' (, y) Q(, y) (, y) Q ' (, y) y y ( y, ) ' y (, y) P(, y) P ' y (, y) Q ' (, y) ' (, y) Q(, y) Q(, y)
Tw. Jeżeli P, Q, P y, Q są ciągłe w D i P(,y) dla (,y)d oraz to istieje czyik całkujący µ(,y)=µ(y), taki że μ (y) μ y Dowód: aalogiczy Tw. = g(y). P(,y) Q, y P y, y = g(y), Jeżeli P, Q, P y, Q są ciągłe w D i yq(,y) - P(,y) dla (,y)d oraz P y,y Q istieje czyik całkujący µ(,y)=µ(y), taki że μ (u) μ u Dowód: ' y (, y) P(, y) (, y) g( ) ' (, y) : (, y) Q(, y) ' (, ) ' (, ) y y y P(, y) ' (, y) g( ) ' y (, y) g( ) (, y) (, y) Q(, y) (, y) (, y) ( ) g( ) y '( ) ( ) (, y) P(, y) (, y) Q(, y) = g(u), gdzie u = y.,y yq,y P(,y) ' (, y) P(, y) (, y) P ' (, y) ' (, y) Q(, y) (, y) Q ' (, y) y y = g(y), to
(, y) P ' y(, y) Q ' (, y) ' (, y) Q(, y) ' y(, y) P(, y) yq(, y) P(, y) yq(, y) P(, y) podstawmy u y ' u(, y) yq(, y) ' u(, y) P(, y) (, y) g( u) : (, y) yq(, y) P(, y) ' u ( y, ) '( u) g( u) (, y) ( u) g( u) ( y, ) ( u) 3 Np.. Rozwiąż rówaie y y y d y dy 3 P ' y y Q' y g( ) y '( ) '( ) d C ( ) ( ) l ( ) C ( ) C e
3 y e y y d e y dy 3 P ' e y y Q e y e ' 3 y 3 3 t y t y t s y 3 3 3 F(, y) e ty t y dt e s ds e ty t y e y ty dt 3 3 y y t t e y y e y ty e ydt 3 3 y 3 3 CO : e y C 3 3 y y e y y y ye y 3 3. Rozwiąż rówaie y 3 + y + y d + 3 + y + dy = P y = 3y + y +, Q = 3 + y + P y Q yq P = 3(y ) y 3 y 3 = 3 y μ u = Ce 3l u = C u 3 3 + y + 3 y d + y 3 + y + y 3 dy = F, y = t 3 + t y + t 3 y dt + y s 3 + s + s 3 ds + C = ( t ty t y ) +
y + ( s s ) + C = y y + + y + y y y + + + C 5 y + y y CO: y = C Rówaia rzędu drugiego sprowadzale do rówaia rzędu pierwszego I. F(,y,y )= podstawiamy y =z() y =z () otrzymujemy rówaie rzędu pierwszego F(,z,z )= II. F(y,y,y )= podstawiamy y =z(y) y =z (y)y=z (y)z otrzymujemy rówaie rzędu pierwszego F(y,z,z z)= III. F(,y,y,y )= F(,ty,ty,ty )=t F(,y,y,y ) podstawiamy y=e z() y =e z() z (), y =e z() (z ()) + e z() z () otrzymujemy rówaie F(, e z(),e z() z (),e z() [(z ()) + z ()+= z założeia e z() F(,,z (),(z () + z ()))= podstawiamy z ()= u() otrzymujemy rówaie rzędu pierwszego F(,,u(),( u() +u ()))= Np.. Rozwiąż rówaie y =-y podstawiamy y ()=z() z =-z
. Rozwiąż rówaie (y-)y =(y ) podstawiamy y ()=z(y) z z = l z =-l +C z=c y =C CO: y=c l +C (y-)z z=z z z = y l z =l y- +C z=c (y-) y =C (y-) y (y ) = C y = C + C CO: y = C + C 3. Rozwiąż rówaie yy = (y y ) podstawiamy y = e z e z e z, z ) + z = (e z e z z ())
podstawiamy z = u z + z = ( z ) u + u = ( u) u = ( u) u u = u CORJ: u = Ce l CORN: u = C C () C 3 + C = C = C = + C u = + C z = + C z = l C + C CO: y = C 3 e C
Def. Rówaiem liiowym rzędu azywamy rówaie postaci k= a k y k = g Jeżeli g =, to rówaie azywamy jedorodym Jezeli g, to rówaie azywamy iejedorodym Jeżeli k,, : a k = a k, to rówaie azywamy liiowym o stałych współczyikach Tw. CORN = CORJ + COSRN Dowód: aalogiczy jak dla rówaia rzędu. Tw. Jeżeli y() jest zespoloym rozwiązaiem rówaia liiowego jedorodego, to Re*y()+ i Im*y()+ są rzeczywistymi rozwiązaiami tego rówaia. Dowód: a k y k k= = a k,re(y()) k k k= + iim y - = a k Re(y ) k + i k= a k Im(y ) k k= = k= a k Re(y ) k = k= a k Im(y ) k = Re(y()) i Im(y()) są rozwiązaiami rówaia jedorodego Def. Jeżeli fukcje u,, u są rozwiązaiami rówaia liiowego jedorodego rzędu, to mówimy, że fukcje te tworzą fudametaly układ całek tego rówaia u u u u u u W u, u,, u = ( ) ( ) ( ) wrońskia u u u
Tw. Jeżeli u,,u są rozwiązaiami rówaia liiowego jedorodego, to y = i= C i u i () jest całką ogólą tego rówaia u,,u tworzą fudametaly układ całek tego rówaia. Dowód: y( ) C u ( ),..., y ( ) C u ( ) ( k) ( k) i i i i i i ( k) ( k) k i i i k i k i i k a ( ) C u ( ) C a ( ) u ( ) " " y( ) Ciui( ) i y ( ) Ciui ( ) i ma rozwiazaie... ( ) ( ) y ( ) Ciui ( ) i u u... u u... u.................. ( ) ( ) ( )... u u u u Rozważmy rówaie liiowe jedorode o stałych współczyikach a k y k = szukamy rozwiązaia postaci y = e λ y = λe λ,, y = λ e λ k= (L)
Def. Rówaie k= a k λ k k= a k λ k e λ = /: e λ = azywamy rówaiem charakterystyczym rówaia (L). Tw. I. Jeżeli λ jest k-krotym, rzeczywistym pierwiastkiem rówaia charakterystyczego to fukcje e λ, e λ,, k e λ są rozwiązaiami rówaia (L) dla wartości λ II. Jeżeli λ=α±iβ są k-krotymi pierwiastkami rówaia charakterystyczego to fukcje e α cosβ, e α siβ,, k e α cosβ, k e α siβ są rozwiązaiami rówaia (L) dla λ. Fukcje, które są rozwiązaiami dla wszystkich pierwiastków rówaia charakterystyczego tworzą układ fudametaly całek rówaia (L). Dowód: a a a jest rówaiem charakterystyczym I. a 4a a, dwa pierwiastki rzeczywiste u e, u e są rozwiązaiami rówaia (, ) e ( ) W u u e e u, u tworzą układ fudametaly e e
II. a 4a a a a u e pierwiastek dwukroty jest rozwiązaiem rówaia pokażemy, że u = e λ też jest rozwiązaiem u e e u e ', '' ( ) a a a ( ( ) ) ( ) a 4a a a e a e a e a a 4a a 4a a a 4a a [ ] [ ] e a a a e e e W u u e e e ( ) (, ) ( ) czyli jest to układ fudametaly e
iech, 4 a i a a a III., e, a 4aa a a i a a, e są rozwiazaiami zespoloymi ich części rzeczywiste i urojoe też są rozwiązaiami i i i i e e e e cos isi cos, si wiemy, że: ( i ) i Re[ ] Re[ ] Re[ ] cos ( i ) i Im[ ] Im[ ] Im[ ] si ( i ) i Re[ ] Re[ ] Re[ ] cos ( i ) i Im[ ] Im[ ] Im[ ] si czyli e i cosisi e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e u W ( u, u ) e i e cos, u e si są rozwiazaiami rzeczywistymi e cos e si e cos e si e si e cos e ( cos si cos si cos si ) e u, u tworzą układ fudametaly i
Np.. Rozwiąż rówaie y 6 + y 4 + y = (6) (4) () y y y 6 4 4 ( ( ( i) i e, i CO : e y ) ( i) kroty kroty kroty, e C cos, C ) e C 3 si, e cos C 4 cos, si C e 5 si cos C 6 si Tw. metoda uzmieiaia stałych Jeżeli u,,u jest fudametalym układem całek rówaia k= a k y k = oraz fukcje u( )... u( ) C '( ) u '( )... u '( ) C '( ) ( ) ( ) u '( ) ( ) ( )... u ( ) C g C (),,C () spełiają układ rówao, to y = i= C i ()u i () jest rozwiązaiem rówaia aky ( ) ag(. ) k ( k )
Dowód: y = C i ()u i () y'( ) j i= j C j '( ) u C '( ) u ( ) j y''( ) j y ( ) j j j C j j '( ) u C '( ) u '( ) j ( ) j j C j ( ) j ( ) j '( ) u j C j ( ) u z założeia '( ) ( ) j C '( ) u ( ) g( ) j j C z założeia ( ) j j j '( ) ( ) u C j j ''( ) ( ) u z założeia ( ) j ( ) k ( k) ( ) ( ) y ( ) C ( ) u ( ), k,..., y ( ) C ( ) u ( ) g( ) j j j j j j ( ) ( k ) ( ) ( k) k ( ) ( ) j ( ) j ( ) k j ( ) j ( ) k j k a y a y a g a C u a C u ( ) ( k) ag( ) C j ( ) au j ( ) aku j ( ) ag( ) C j ( ) j k j
Np. Rozwiąż rówaie y (3) 5y + 4y = u = e =, u = e, u 3 = e 4 4) )( ( 4) 5 ( 4 5 3 C C C e e e e e e ' ' ' 6 4 3 4 4 4 e e e W 5 5 5 4 6 4 4 5 5 5 4 4 4 3 6 e e e e e e e e e 8 4 ' D C C e e e e 5 4 4 4 4 6 4 ' ( ) 3 3 C e C e e D e e e e 3 4 4 3 4 3 9 48 ' D e e C e C 4 3 : 8 3 3 48 9 CORN y D D e D e
Tw. metoda przewidywao Jeżeli g = e α,v m cosβ + P l siβ-, gdzie V m i P l są wielomiaami stopia m i l, to całkę szczególą rówaia k= a k y k = g() przewidujemy w postaci y = k e α,w s cosβ + Q s siβ- gdzie k jest krotością pierwiastka = α + iβ w rówaiu charakterystyczym k= a k λ k = oraz s=ma{m,l}, a W s, Q s () są wielomiaami stopia s. Np. Rozwiąż rówaie y 3y + y = ( + )e 3 + = = = u = e u = e CORJ: y = c e + c e α = ; β = ; m = ; l = s = ma (,) = = + i = jest to pierwiastek jedokroty CSRN: y = e a + b = e a + b y = e a + b + e a + b y = e a + b + a + b + e a + 4a + b 4a + b + 4a + 4b + a + 4a + b 6a 3b 6 a 6b + a + b = + CORN: y a = a + b = a = b = = c e + c e + e
Def. Rówaiem Eulera azywamy rówaie postaci a y () + a y () + + a y () + a y() = g() Tw. Rówaie Eulera sprowadza się do rówaia liiowego o stałych współczyikach przez postawieie = e z (z = l) Dowód: = dy d = dy dz dz d = dy dz d y d = d dy dz dz dy dz = d y d dy dz a (y z y z ) + a y z + a y(z) = g(e z ) jest rówaiem liiowe o stałych współczyikach Np. Rozwiąż rówaie y () y () + y() = 6l = e z, z = l, y = y z, y = (y z y z ) y z y z + y z = 6e z z + = = pierwiastek dwukroty CORJ: y z = c e z + c ze z
α = ; β = ; m = ; l = s = = + i = pierwiastek dwukroty CSRN: y z = z e z az + b = e z az 3 + bz y z = e z az 3 + bz + 3az + bz, y z = e z az 3 + bz + 6az + 4bz + 6az + b e z az 3 + bz + 6az + 4bz + 6az + b e z az 3 + bz + 3az + bz + e z az 3 + bz = 6e z z 6a = 6 a = b = b = CORN: y z = c e z + c ze z + z 3 e z CO: y = c + c l + l 3 Def. Układem rówao różiczkowych rzędu pierwszego azywamy układ: (y ) () = f (, y,, y ) (y ) () = f (, y,, y ) (*) (y ) () = f (, y,, y ) Uwaga: Jeżeli wprowadzimy ozaczeia y = (y, y,, y ), f = (f, f,, f ), to układ (*) możemy zapisad w postaci y () = f(, y)
Def. Problemem Cauchy ego dla układu y = f(,y) azywamy układ waruków y () = f(, y()) y( ) = y, gdzie y = y, y,, y. Def. Układem rówao różiczkowych liiowych rzędu pierwszego azywamy układ postaci y () = A y() + b(), gdzie A =,a ij ()- i,j=, b =,b j ()- j= Wiosek: k Jeżeli u,, u k są rozwiązaiami układu y () = A y(), to y() = i= C i u i () jest też rozwiązaiem tego układu. Dowód: y () = k k i= C i u i = i= C i A u i () = A i= C i u i Wiosek: Zbiór wszystkich rozwiązao układu y () = A k = A() y() y() jest przestrzeią wektorową. Tw. Jeżeli y = a + ib jest rozwiązaiem układu y () = A y(), to fukcje a i b() też są rozwiązaiami tego układu. Dowód: a + ib = a + ib = y = A y = A a + ia() b()
Def. Mówimy, że fukcje u, u,, u tworzą fudametaly układ całek układu y = A u u u W u, u,, u = u u u u u u y Wiosek: Układ fudametaly całek układu y = A y jest bazą przestrzei rozwiązao tego układu. Tw. COUN = COUJ+CSUN Dowód: COUJ: y y = A() y CSUN: y y = A y + b() (y +y ) = y + y = A y + A y + b = A y + y + b Tw. metoda uzmieiaia stałych Jeżeli u, u,, u tworzą układ fudametaly całek układu y = A C, C,, C spełiają waruki C i = W i u,u,,u W u,u,,u y oraz fukcje d, i =,, to y = i= C i ()u i () jest rozwiązaiem y = A y + b, gdzie W i u, u,, u powstaje z W u, u,, u przez zastąpieie u i kolumą b(). Dowód:
y = C i i= z drugiej stroy stąd u i + i= C i u i = C i u i + C i () A() u i () i= i= y = A y + b = A() C i u i + b i= C u i = b i= C u + C u + + C u = b C u + C u + + C u = b () W u, u,, u wyzaczik gówy W i u, u,, u wyzacziki bocze C i = W i u, u,, u W u, u,, u W i u, u,, u C i = d W u, u,, u
Wyliczaie całki ogólej układu jedorodego COUJ metodą elimiacji y = 3y + y /( ) Np.. Rozwiąż układ y = y + y y = 3 y + (y ) y = 3 y + y + y (y ) = 3(y ) + y + (y ) 3y y 4 y + y = jest rówaiem liiowym λ 4λ + = - rówaie charakterystycze Δ = λ = 3, λ = + 3 y = C e 3 + 3 + C e y = y 3y = 3 3 C e 3 + + 3 3 C e e 3 COUJ: y = C 3 e + C 3 y = y + y +. Rozwiąż układ y = y y + e + + 3 e 3 + 3 + 3
y = y + y Rozwiązujemy układ jedorody y = y y /() y + y = y y (y ) / (y ) + 3 (y ) = y + y y (y ) 3 y + 3 y y + y + y = /: y + 4 y = - rówaie Eulera = e z (y ) = y z y = y z (y ) (z) y z y z + 4 y z = y z + 3 y z = - rówaie liiowe λ + 3λ = λ = λ = 3 y z = C + C e 3z y = C + C 3 y = y + y = 3C + C + C COUJ: y = C + C 3
u =, u = 3 jest układem fudametalym W u, u = = 3 + = 3 W u, u = 3 = + = 3 W u, u = = = C = d = + D C = d = D COUN: y = + D + D 3
Wyzaczaie COUJ metodą wartości i wektorów własych Rozważamy układ rówao liiowych o stałych współczyikach y = A y(). Szukamy rozwiązaia w postaci y = e λ v λe λ v = Ae λ v A v = λ v rówaie charakterystycze układu λ jest wartościa własą A, v jest wektorem własym A odpowiadającym λ Tw. ) Jeżeli jest k krotym, rzeczywistym rozwiązaiem rówaia charakterystyczego to rozwiązaie układu y = A y odpowiadające wartości ma postad: a) dim V λ = k y() = c e λ v + c e λ v + +c k e λ v k, gdzie (v, v,, v k ) jest bazą V λ b) dim V λ = m < k y() = (w o + w + k m w k m )e λ, gdzie w o. w k m wyliczamy wstawiając y() do rówaia ) Jeżeli λ jest k krotą, zespoloą wartością własą macierzy A, to Rey() i Imy() są rozwiązaiami układu y = A y dla y() będącego rozwiązaiem odpowiadającym wartości λ Dowód: = y y = a a y a a y a λ a a a λ = a λ a λ a a = λ a + a λ + a a a a
λ a + a λ + a a a a = Δ = a + a 4a a + 4 a a = a a + 4a a. Δ > λ λ R v wektor własy odpowiadający λ, v wektor własy odpowiadający λ y = c e λ v + c e λ v jest rozwiązaiem, co wyika z postulowaej postaci rozwiązaia. Δ = a a + 4a a = rk λ = a + a a a + a a a a + a dla a a a a a = rk a a a a a a dla a = a a a = R pierwiastek dwukroty a a a = rk =, bo a a a a = a a 4a a a a = = rk a a = a = oraz a = a oraz a = (lub a odwrót)
a a + a a rk a a a = dim V + a λ = v, v baza V λ y() = c e λ v + c e λ v jest rozwiązaiem rk a a + a a a a a + a Szukamy rozwiązaia w postaci y = e λ v() λ e λ v + e λ v = dim V λ = = A e λ v() v = v () v () λ v + (v ) = a v + a v /() λ v + (v ) = a v + a v λ (v ) + (v ) = a (v ) + a (v ) korzystając z -go rówaia w układzie (λ a )(v ) + (v ) = a a v + a a v a λ v korzystając z postaci λ i pierwszego rówaia w układzie a a (v ) + (v ) a a v = a a a a v + (v ) (v ) a a + a a v = 4
wiemy, że a a + a a 4 = więc rozwiązaiem jest v = c + c v = a a a v = c a a a + a + c y = ( c c a a a w + c + c + c c a a a c + c a a a a w ) e λ 3. Δ < λ, = α ± iβ λ = λ i v = v jeżeli y = e α+iβ v jest rozwiązaiem odpowiadającym λ, to y = e α iβ v jest rozwiązaiem odpowiadającym λ z wcześiejszego twierdzeia Rey() oraz Imy() są rozwiązaiami układu Np. Rozwiąż układ y = A y dla A= det A λ = ( λ) (- λ) dla λ = V : rk = v = v 3 v = 3v 3 V = li*(3,,)+
dla λ = V : rk = v 3 = v = v 3 = y () = w + w e - postad rozwiązaia w e + b + c = c = c = a + d = d + e + f b + e = e + f c + f = f w = czyli y () = w + w e = a b c y () = c e 3 V = li*(,,)+ w + w e = A w + w e w = A w w + w = A w, w = d e f, A= b =, c =, f =, a = e R, d R d a + a COUJ: y() = c e e = ae 3 + c e + de + c 3 e
Def. Mówimy, że fukcja (,y) jest całką pierwszą układu y () = f(, y()) w przedziale [a,b] C R a,b φ, y = C, dla y = (y,, y ) będącego rozwiązaiem tego układu. Wiosek:. Układ y () = f(, y()) ma co ajwyżej liiowo iezależych całek pierwszych.. Jeżeli układ y () = f(, y()) ma liiowo iezależych całek pierwszych φ,φ,,φ, to Def. Postacią symetryczą układu CO: φ, y = C φ, y = C φ, y = C (y ) () = f (, y,, y ) (y ) () = f (, y,, y ) (y ) () = f (, y,, y ) d f (, y) = dy f (, y) = = dy f (, y) azywamy postad Tw. Jeżeli istieją fukcje M,, M takie, że i= M i, y > oraz M i, y f i, y =, to rozwiązaiem układu w postaci symetryczej i= d f (,y) =. dy f (,y) = = dy f (,y) jest rozwiązaie rówaia M i= i, y dy i + M o, y d =
Dowód: i= M i, y dy i + M, y d = d( = ( M i, y f i, y f, y + M (, y))d = ( i= Np.. Rozwiąż układ dy d = z z y dz = y d z y M = M = M = d + dy + dz = d y + z = y + z = C M = M = y M = z d + ydy zdz = d y z CO = y z = C y + z = C y z = C. Rozwiąż układ dy d = y z dy d = z yz i= d = dy z y z i= M i, y dyi d + M o(, y)) = M i, y f i, y + M (, y) f (, y)) = = dz y d = dy y z = dz z yz d f, =
M = zy M = z M 3 = y zyd + zdy + ydz = zyd + zdy + ydz = zyd + d yz = d(yz) = d yz l yz = l + C = yz C yz = C podstawiamy do wyjściowego układu dy y z = dz dy = dz z C yz yz C yz y y z z y = C y 3 z z y z + z y = C y 3 z rówaie Beroulliego = - u = z u = zz zu + z y = C y 3
CORJ: u = De l y = Dy u + z y u = C y 3 y = D(y)y D y y + D y y 3 + z y D y y = C y 3 D y = C y D y = C l y + D z = (C l y + D )y yz = C CO: y z = C l y + D
Zadaia. Narysuj pole elemetów styczych dla rówaia: a) dy = y dy, b) = y dy, c) = + d d y d y+ y. Wylicz całkę ogólą: a) y =, b) + yy e+y = ( + y ), c) cosy = ctgy 3. Rozwiąż problem początkowy: a) dy = ctgy, y = π, d 3 b) + e y y = ( + e y ), y =, c) y = yly, y = e 4. Rozwiąż rówaie: a) y = 4 +y, b) y = (ly l + ) y y, c) y = y + y, > 5. Rozwiąż rówaie: a) y = ( + y) +( + y), b) y = ( + y + ), c) y = si ( y) 6. Rozwiąż rówaie: a) y = ( y+ +y ), b) y = +y +y+, c) y = y 4 +y 7. Rozwiąż problem Cauchy ego: a) y + y = + y y, y =, b) y = 6 y dy, y =, c) = y+, y = 4+y d y 3 8. Rozwiąż: a) y + y = 3, b) y l y = l, dla >, c) y + 4 + y = 3 + 9. Zajdź całkę szczególą: a) y + ytg =, y =, b) cos y y = +, y =, c) y y = si, y =. Rozwiąż: a) y y = e y, b) y y = 3 y4 l, c) y + y = y. Rozwiąż: a) y + y = y +, b) y + y = e y + e, jeżeli y = e jest całką szczególą, c) y + y = y +, jeżeli y = jest całką szczególą. Rozwiąż: a) y = y (y ), b) y = y + (y ), c) y = y + + y
3. Rozwiąż: a) y = (y ) +(y ), b) y = + y + (y ), c) y = + ly 4. Rozwiąż: a) d + ydy = dy yd, b) ( ey ) d + ey yd dy =, c) + y 3 l dy = +y (+ ) + +y d+ydy 5. Zajdź całkę szczególą: a) (+y), y =, 6. Rozwiąż: a) b) y + d + y +y+ y + dy =, y =, c) dy d + y = 3, y = y + d + dy =, b) cosy ysiy dy + siy + ycosy d = y c) siy 3 cosy cosyd + dy = 7. Rozwiąż: a) y = (y ), b) yy = (y ) yy, c) yy = yy + (y ) 8. Zajdź całkę szczególą: a) y =, y = 3, y =, b) y = + si, y =, y =, c) 4y y =, y =, y = 9. Rozwiąż: a) y + 4y + 4y =, b) y (3) 6y + y 8y =, c) y (5) + y (4) + y (3) + y + y + y =. Rozwiąż: a) y - y = +, b) y (3) + 6y + y + 8y = 3e -, c) y y + y = -3si. Rozwiąż: a) y (4) - y = 4si 8e +, b) y (3) - y + 4y - 4y = 3e 4si, c) y + y = sicos3. Rozwiąż: a) y y = 3 e, b) y (3) +y = si cos, c) y + 4y = cos 3. Rozwiąż: a) 3 y (3) 3 y + 6y 6y =, b) y + 4y + y = +, c) ( + ) y + y + y = 4. Zajdź całkę szczególą: a) y + 4y + 4y = 3e -, y()=y ()=, b) y + y =, y( π ) = π, y()= c) y y + y = 6l, y =, y =
5. Metodą elimiacji rozwiąż: a) y = y + 5y y = y 3y, y =, b) y = y y = y, y =, c) y = y + y y = 3 y + y 6. Rozwiąż układ y = Ay dla: a) A = c) A = 7. Rozwiąż problem Cauchy ego b) A = 8 9 8 7 5 6 6 5 8. Rozwiąż układy iejedorode: a) 3 4 6 6 5 y = Ay y = y dla: a) A =, y = y 3 4 8, c) A =, b) A = 6 6 4 4 4, y = 5 4 5 3 9 = y y + y 3 + y = y 5y + 7y 3 + +,, 4 7 3, y =, y 3 = 4y y + y 3 + 5
y = y + y y 3 + b) y = y + y 3 = y + y y 3 + 9. Rozwiąż: a) d z y = dy z = dz d, b) y 3. Rozwiąż: a) dy = y d y dz d = z y, b), c) z = dy yz = dz y dy = z d (z y) dz d = y, c) (z y) y = y + y y 3 + e y = y + y + y 3 + e, y = y 3 = y y 3 + e 3, c) d y = dy = z +y d (y z) dz d = z(+z) (y z) dy y z = dz yz