O czym dzisiaj Krótko, co nas czeka na zajęciach. Jak realizujemy projekty. Jak je zaliczamy. Nieobecności Wykład nr
Co nas czeka na zajęciach Spis ćwiczeń projektowych: Wyznaczanie wykresów sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych obciążonych momentem skupionym. Zasada superpozycji.
Co nas czeka na zajęciach W czasie wykładu i projektu: No food, no drink! Pracujemy tylko nad swoim tematem! Nie wędrujemy między stanowiskami. Wykorzystujemy tylko swoją, posiadaną wiedzę
Jak realizujemy projekty: Efektem każdego projektu jest nabycie określonych umiejętności lub kompetencji (w tym ważnych w życiorysie) Każdy student realizuje ćwiczenie NA WŁASNY RACHUNEK! Nawet gdy ćwiczenie wykonywane jest w grupach!
Jak realizujemy projekty: Realizacja na własny rachunek odbywa się poprzez: Założenie własnej teczki projektów: W teczce, podpisanej pismem technicznym, student gromadzi wszystkie swoje sprawozdania ocenione przez prowadzącego Samodzielne i indywidualne wykonywanie sprawozdań z każdego ćwiczenia.
Jak zaliczamy projekty: Zaliczenie zajęcia odbywa się poprzez: OBECNOŚĆ NA ZAJĘCIACH ZALICZENIE SPRAWOZDANIA Do oceny przedstawia się sprawozdanie na kolejnych zajęciach z przedmiotu. Opóźnienie w oddawaniu sprawozdania może być podstawą jego niezaliczenia!
Jak zaliczamy projekty: Nieobecność, bez względu na powód musi zostać odpracowana (warunek uzyskania zaliczenia.) Ćwiczenie niezaliczone równoważne jest nieobecności na zajęciach. Odpracowanie odbywa się w sposób uzgodniony indywidualnie z prowadzącym.
Jak zaliczamy wykłady: Obecność na zajęciach nie jest obowiązkowa. Nieobecność, bez względu na powód, nie zwalnia z konieczności znajomości zagadnień wykładowych Nieobecność na kolokwium jest równoznaczna z oceną ndst.
Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną Jeżeli chcemy otrzymać linię wpływu reakcji Vc (reakcja w formie siły), to należy przesunąć podporę o jednostkę w kierunku działania tej reakcji. Jeżeli podpora ma zamocowanie sztywne, to nastąpi przesunięcie przęsła (fragmentu belki od podpory do przegubu). Belka w pozostałych podporach nie może się przesunąć, ale jeżeli są to podpory przegubowe, to może się obrócić.
Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną Przy rysowaniu kształtu belki pod wpływem wymuszenia należy pamiętać, że belka może załamywać się w przegubach. x P= A B C VC A L.w.V C x VC(x) - B C przesunięcie +
Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną Jeżeli chcemy otrzymać linię wpływu reakcji Mc(reakcja w formie momentu), to należy obrócić podporę o jednostkowy kąt w kierunku działania tej reakcji. Tangens kąta jednostkowego (przy założeniu małych przemieszczeń) jest równy. Pod wpływem wymuszenia nastąpi obrót podpory.
Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną Weźmy wymuszony obrót w punkcie C. Belka załamuje się w przegubie, i obraca wokół podpory B. To powoduje przesunięcie drugiego przegubu, w którym belka także musi się złamać po to, aby wrócić do podpory w punkcie A. Przemieszczenia zgodne ze zwrotem siły P bierzemy ze znakiem ujemnym.
Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu siły tnącej T M w punkcie M, to należy belkę rozciąć i rozsunąć o jednostkę w tym punkcie.
Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną Rozcięte fragmenty przęsła muszą być po rozsunięciu równoległe, tak więc przesunięcia punktów rozcięcia (c i c2) w stosunku do pierwotnego położenia muszą spełniać następujące warunki: A A x x TM(x) c c 2 P= - B rozsunięcie B c d d M M c d 2 2 d2 d c b C C
Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu momentu zginającego MM, to należy belkę przełamać i obrócić w taki sposób, aby kat pomiędzy fragmentami przęsła wyniósł.
d d2 Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną Odkładamy odcinek d =BF=BM oraz d2 =EG=MG. Następnie łączymy końce tych odcinków z przeciwległymi punktami przęsła czyli odcinki BG i EF. Odcinki pomiędzy punktami B, H i E tworzą kształt belki. Wartość h można wyznaczyć ze wzoru: h dd 2 d d 2 A A x P= B złamanie F B H M M G E b C C d d2 MM(x) x - h +
Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną P= Aby otrzymać linię wpływu siły normalnej w pręcie, to należy ten pręt skrócić o.
Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną Obracamy pręt tak, aby pozostałe węzły nie przesunęły się w poziomie.
Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną Obracamy pręt tak, aby pozostałe węzły nie przesunęły się w poziomie. y y y sin y sin To ważne! Obrotu dokonujemy jak dla małych kątów!!
Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną Teraz przesuwamy sąsiednie pręty tak aby połączyły się z nową pozycją skróconego pręta I dopasowujemy pozostałe części kratownicy; lewa część górnego pasa ma być równoległa do prawej części górnego pasa y y sin
Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną y Linię wpływu tworzą przesunięte węzły, leżące na drodze siły y a y y y 2 y y 2 - y y 2 + y a a2 y a 2 2 l.w. N l.w. N y sin
Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu siły normalnej w pręcie, to należy pręt skrócić o. P= Skrócenie pręta o B C A
Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną Skrócenie pręta zmienia trójkąt ABC, bok BC się skraca i obraca a bok AC się obraca. B C A Obowiązują zależności geometryczne y y tg y y ctg
Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną y B C A Przesuwamy węzły w pionie tak, aby uzyskać odkształcenie kratownicy. Najpierw węzły prętów sąsiadujących z prętem, dla którego wyznaczana jest linia wpływu siły normalnej y y ctg Na końcu przesuwamy węzeł C na linię i dopasowujemy pozostałe części kratownicy
Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną I ostatecznie P= y y l.w. N y - l.w. N
Wyznaczanie linii wpływu w belkach statycznie niewyznaczalnych Wyznaczenie linii wpływu metodą kinematyczną reakcji M P= M Uzyskanie linii wpływu reakcji M wymaga obrotu podpory o kąt równy M + - l.w.m Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych są krzywoliniowe.
Wyznaczanie linii wpływu w belkach statycznie niewyznaczalnych Wyznaczenie linii wpływu metodą kinematyczną T i M P= Uzyskanie linii wpływu siły tnącej T wymaga przesunięcia o końców belki w przekroju, proporcje rozdzielenia dobieramy tak, jak dla układu statycznie wyznaczalnym. + l.w.t Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych są krzywoliniowe.
Wyznaczanie linii wpływu w belkach statycznie niewyznaczalnych Wyznaczenie linii wpływu metodą kinematyczną T i M P= Uzyskanie linii wpływu siły tnącej M złamania w przekroju i wzajemnego obrotu końców belki w przekroju o, pozostałe zasady doboru wartości w przekroju także tak, jak w układach statycznie wyznaczalnych. + l.w.m Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych są krzywoliniowe.
Tematyka wykładu Praca sił zewnętrznych na przemieszczeniach rzeczywistych Praca sił wewnętrznych
Tematyka wykładu 2 Praca wirtualna (przygotowana) Zasada prac przygotowanych
Tematyka wykładu 3 Wykorzystanie zasady prac przygotowanych - przykłady
Literatura. J.RAKOWSKI: Mechanika budowli - zadania, cz.li, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2007 2. W.NOWACKI: Mechanika budowli, PWN, Warszawa 974 (t.l) - wyd. III zmienione 3. PRACA ZBIOROWA: Mechanika budowli z elementami ujęcia komputerowego, Arkady, Warszawa 984 (t.l + t.ll) 4. Z.DYLĄG, E.KRZEMIŃSKA-NIEMIEC, F.FILIP: Mechanika Budowli, PWN, Warszawa 974, 77, 89 (t.l + Ul) 5. A.CHUDZIKIEWICZ: Statyka budowli, PWN, Warszawa 973, 75 (cz. + cz.2) 6. B.OLSZOWSKI, Zb.STOJEK, Z.WASZCZYSZYN: Zarys mechaniki budowli, Politechnika Krakowska, Kraków 978 7. Z.CYWIŃSKI: Mechanika budowli w zadaniach, PWN, Warszawa-Poznań, 976; t.l Układy statycznie wyznaczalne; t.ll Podstawy układów statycznie niewyznaczalnych
Praca siły skupionej Elementarna praca siły zewnętrznej na przemieszczeniach rzeczywistych: dl P du w tym konkretnymprzypadku dl Pdu L 0 Pdu ale P jest funkcją u!
Praca siły uogólnionej By dokonało się przemieszczenie uogólnione u w systemach liniowych (z małymi przemieszczeniami) musimy obciążyć system siłą Q ugólnioną proporcjonalną do u: u cq czyli Q gdzie: c- współczynnik proporcjonalności u c
Praca siły uogólnionej Praca (jak pamiętamy ) to pole pod wykresem Więc: L 0 Qdu 0 u c du c 0 udu 2 c 2 P gdzie: δ przemieszczenie w badanym stanie P- siła w badanym stanie Wzór opisuje pracę siły zewnętrznej na przemieszczeniu przez nią wywołanym.
Praca siły wewnętrznej W przekroju pręta obciążonego siłami zewnętrznymi występują naprężenia normalne σ: 2 N N g d
Praca siły wewnętrznej - normalnej W przekroju pręta obciążonego siłami normalnymi występują naprężenia normalne σ: Działanie siły podłużnej w pręcie powoduje powstanie w dowolnym przekroju prostopadłym do osi pręta (zasada de Saint-Venanta!) naprężeń normalnych. Stąd: N NdA A
Praca siły wewnętrznej - normalnej Ponieważ naprężenia normalne σ N są stałe dlatego mamy: N czyli z definicji N A da def N N A Skutkiem działania siły normalnej jest odkształcenie pręta, przejawiające się w przemieszczeniu przekrojów wzdłuż kierunku działania siły. Przekroje pręta po odkształceniu pozostają płaskie i prostopadłe do jego osi.
Praca siły wewnętrznej - normalnej odcinek pręta o długości ds pod wpływem działania siły N wydłuży się o odcinek Δds. Odkształcenie: s Z prawa Hooke a : ds E gdzie E moduł Younga s ds Δs
Praca siły wewnętrznej - normalnej Łącząc prawo Hooke a z definicją naprężenia normalnego oraz odkształcenia: N A E s ds s N EA ds
Praca siły wewnętrznej - normalnej Uzyskujemy ostatecznie: dl L 2 N N s N ds 2 2 EA l 0 2 N ds EA Gdzie ostatni wzór pokazuje pracę sił normalnych w całym pręcie
Praca siły wewnętrznej - normalnej Uzyskujemy ostatecznie: dl L 2 N N s N ds 2 2 EA l 0 2 N ds EA Gdzie ostatni wzór pokazuje pracę sił normalnych w całym pręcie
Zadanie projektowe Obliczyć linie wpływu dla siły poprzecznej i momentu gnącego w dowolnym punkcie dwu dowolnie wybranych belek przegubowych o co najmniej 3 przegubach metodą kinematyczną. Obliczyć linię wpływu dla zaznaczonych belek kratownicy metodą kinematyczną. Sprawdzić metodą statyczną. P=