Stany nieustalone w SEE wykład VII Stabilność SEE podstawy matematyczne

Stany nieustalone w SEE wykład VII Stabilność SEE podstawy matematyczne Désiré Dauphin Rasolomampionona, prof. PW

Stabilność systemu elektroenergetycznego Stabilność jego stanów elektromechanicznych, a więc stabilność układów równań różniczkowych, opisujących te stany, przy uwzględnieniu warunków początkowych. Układ równań różniczkowych, a więc model matematyczny stanu elektromechanicznego jest stacjonarny. Sprowadzając do postaci normalnej można go zapisać przy pomocy następujących zależności: o x = F(x) gdzie przy czym d x dt x - wektor stanu F(x) - wektor funkcji F(x) = [ F 1 (x 1,..., x N ),..., F N (x 1,..., x N ) ] T N - liczba zmiennych niezależnych x 0 - wektor warunków początkowych o x = Jeżeli wektor warunków początkowych oznaczyć x( t = 0 ) = x 0 = [ x 01...x 0N ] T (**)

Stabilność systemu elektroenergetycznego o to wektor rozwiązań, a więc funkcji czasu spełniających układ równań x = F(x) i warunki początkowe (**), ma postać x( t, x 0 ) = [ x 1 ( t, x 0 )... x N ( t, x 0 )] T Z technicznego punktu widzenia stabilność oznacza, że po wystąpieniu zakłócenia układ powraca do stanu równowagi, w którym są zachowane pewne cechy świadczące o poprawności jego działania. W przypadku systemu elektroenergetycznego można wyróżnić trzy takie cechy: a) zachowanie synchronizmu generatorów b) utrzymanie częstotliwości w dopuszczalnych granicach c) utrzymanie napięć w dopuszczalnych granicach. Jeżeli po wystąpieniu zakłócenia system zachowuje wymienione cechy, to możemy powiedzieć,że jest on stabilny. x( t = 0 ) = x 0 = [ x 01...x 0N ] T (**)

Rodzaje stabilności oraz sposoby jej utraty System elektroenergetyczny jest układem nieliniowym. Moce czynne generatorów, występujące w równaniach ruchu, zależą nieliniowo od kątów położenia wirników Stabilność systemu elektroenergetycznego zależy od (1) stanu układu (warunków początkowych) oraz () wielkości zakłócenia. System jest stabilny lokalnie, jeżeli jest stabilny przy małych zakłóceniach. Przy działaniu małych zakłóceń system może utracić synchronizm w sposób aperiodyczny oscylacyjny. Niestabilność oscylacyjna jest powodowana przez ujemne momenty tłumiące (kołysania spontaniczne). Jedną z przyczyn powstania ujemnych momentów tłumiących przy dużych obciążeniach generatorów mogą być regulatory napięcia generatorów.

Rodzaje stabilności oraz sposoby jej utraty Utrata stabilności lokalnej przez lawinowe obniżenie się napięcia w węźle odbiorczym może nastąpić przy zmianie stanu systemu prowadzącej do zbliżenia się obciążenia węzła, do obciążenia krytycznego. Utrata stabilności lokalnej przez samowzbudzenie generatorów może mieć miejsce w pewnych warunkach przy pracy na obciążenie pojemnościowe. Przy działaniu dużych zakłóceń system może utracić synchronizm zarówno w sposób aperiodyczny jak i oscylacyjny. Przyczyną tego rodzaju utraty stabilności globalnej, może być (1) zbyt duża energia kinetyczna mas wirników, () awaryjne wyłączanie elementu sieci, czy też zespołu wytwórczego. Podstawowe zagadnienie dziedziny zajmującej się stabilnością systemu elektroenergetycznego = zagadnienia związane z zachowaniem synchronizmu. Ten rodzaj stabilności lokalnej nazywany jest potocznie równowagą statyczną, a stabilności globalnej odpowiednio równowagą dynamiczną. Lawinę napięcia oraz samo wzbudzanie generatorów najczęściej uznaje się za zagadnienie specjalne, przy rozważaniu równowagi statycznej.

Rodzaje stabilności oraz sposoby jej utraty Lawina częstotliwości ściśle wiąże się z regulacją mocy i częstotliwości w systemie, dlatego uznawana jest za odrębną dziedzinę. Oscylacje lokalne i międzyobszarowe w systemie elektroenergetycznym. Oscylacje związane z małymi zakłóceniami można pogrupować w zależności od ich źródła na: oscylacje lokalne i międzyobszarowe związane zane z kołysaniami elektromechanicznymi wirników generatorów; oscylacje regulatorowe powstające w wyniku stosowania regulatorów wzbudzenia, regulatorów prędkości, stabilizatorów systemowych, kompensatorów SVC. Tego typu oscylacje mogą mieć znaczenie praktyczne tylko przy wadliwym zaprojektowaniu lub niewłaściwym nastawieniu parametrów regulatorów; oscylacje torsyjne związane z obracającym się układem wirnik - wał turbiny. taki układ posiada szereg częstotliwości rezonansowych, leżących na ogół w zakresie powyżej 15Hz (czasem są to jednak częstotliwości znacznie niższe).

Oscylacje lokalne i międzyobszarowe w systemie elektroenergetycznym. Podstawowe znaczenie mają obecnie oscylacje elektromechaniczne, mogą znacznie ograniczyć zakres stabilnego przesyłu mocy w systemie energetycznym. W ciągu ostatnich lat ograniczenia te stały się ostrzejsze z następujących powodów: w systemach energetycznych instalowane są nowoczesne jednostki wytwórcze o dużych mocach znamionowych generatory synchroniczne charakteryzują się większymi stosunkowymi wartościami reaktancji synchronicznych; coraz powszechniej stosuje się statyczne układy regulacji wzbudzenia o dużym wzmocnieniu dynamicznym i pułapie. Układy te są wygodniejsze w eksploatacji, zwiększają moment synchroniczny, poprawiają stabilność w stanach przejściowych po zakłóceniach, mają jednak niekorzystny wpływ na moment tłumiący generatora; wzrost przesyłowej mocy w coraz większych systemach energetycznych; oszczędniejsze projektowanie sieci przesyłowych.

Oscylacje lokalne i globalne Oscylacje lokalne mają charakter miejscowy, ograniczony do bliskiego otoczenia generatora i elektrowni. Częstotliwość oscylacji lokalnych mieści się na ogół w zakresie 0.7.5Hz. Oscylacje lokalne powstają w wyniku wzajemnych kołysań bliskich sobie generatorów, mocno powiązanych grup generatorów, mocno powiązanych grup generatorów względem reszty systemu, który stanowi względem nich sieć sztywną. Niedostatecznie wytłumione oscylacje ograniczają zakres przesyłu mocy. Ograniczenia te dotyczą zarówno obszaru pracy generatora we współrzędnych {P,Q,U} jak i wartości reaktancji zewnętrznej X e widzianej z zacisków generatora. Ograniczenia te są szczególnie ostre dla nowoczesnych generatorów dużej mocy, które charakteryzują się wysokimi wartościami reaktancji synchronicznych. Szybkie statyczne regulatory wzbudzenia dodatkowo pogarszają tłumienie oscylacji lokalnych.

Oscylacje lokalne i globalne Oscylacje międzyobszarowe powstają w przypadku, gdy grupa mocno związanych ze sobą generatorów oscyluje względem innej odległej grupy również mocno związanych generatorów. Częstotliwość oscylacji międzyobszarowych zazwyczaj mieści się w przedziale 0.1 0.8 Hz. W tłumieniu ich dużą rolę odgrywają odbiory i ich charakter.. Wpływ charakteru odbiorów zwiększa się wyraźnie wraz ze zmniejszeniem częstotliwości oscylacji. Ograniczenia te są szczególnie ostre dla nowoczesnych generatorów dużej mocy, które charakteryzują się wysokimi wartościami reaktancji synchronicznych. Szybkie statyczne regulatory wzbudzenia dodatkowo pogarszają tłumienie oscylacji lokalnych.

Sposoby badania stabilności systemu - metoda Lapunowa. Z uwagi na zjawiska elektromechaniczne system elektroenergetyczny jest układem nieliniowym. Wynika tu przede wszystkim z faktu, że moce czynne generatorów, występujące w równaniach ruchu, zależą w sposób nieliniowy (funkcja sinus) od kątów położenia wirników. Warunkiem koniecznym stabilności rozwiązań jest ich ograniczoność to znaczy dla każdego t (0, ) istnieje x (t, x 0 ) < m przy czym:. - norma wektora rozwiązań m- liczba rzeczywista dodatnia W technice, ograniczoność rozwiązań może nie być wystarczającą oznaką stabilności i ustala się dodatkowe warunki. Najbardziej pożądana jest tzw. stabilność asymptotyczna x( t, x 0 ) x r x r = x: F(x) =0

Sposoby badania stabilności systemu - metoda Lapunowa. gdzie x r - podstawowe rozwiązanie układu równań nieróżniczkowych F(x) = 0, o w mechanice nazywane punktem równowagi (rozwiązanie trywialne x = 0 ) Podstawy matematyczne badania stabilności lokalnej daje pierwsza metoda Lapunowa. Niech będzie punktem równowagi układu nieliniowego x o x = F(x) czyli punktem, w którym F( x) = 0. Rozwijając funkcję F(x) w szereg Taylora w otoczeniu punktu równowagi otrzymamy o x = Ax + R(x) przy czym: F A = jest macierzą Jacobiego obliczoną w punkcie x R(x)- jest nieliniową częścią rozwinięcia funkcji. Pomijając część nieliniową możemy zapisać równanie wyjściowe w następującej postaci o x = Ax którą nazywamy przybliżeniem liniowym równania nieliniowego. x

Sposoby badania stabilności systemu - metoda Lapunowa. W odniesieniu do układu nieliniowego i jego przybliżenia liniowego słuszne są następujące twierdzenia I metody Lapunowa: Tw. Układ nieliniowy jest stabilny asymptotycznie lokalnie (w otoczeniu punktu równowagi ), jeżeli jego przybliżenie liniowe jest stabilne asymptotycznie. Jeżeli przybliżenie jest niestabilne, to układ nieliniowy jest również niestabilny. Jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne, ale nie asymptotycznie, to o zachowaniu się układu nieliniowego nie można wnioskować na podstawie jego przybliżenia liniowego. O stabilności układu liniowego decydują wartości własne macierzy A. Niech λ i, w i będą odpowiednio wartością i wektorem własnym macierzy A. o Można wykazać, że rozwiązanie równania x = Ax przyjmuje postać x ( t) Gdzie z j0 jest zmienną pomocniczą i = n j= 1 w e i λ t i z j0

Sposoby badania stabilności systemu - metoda Lapunowa. n λit Ze wzoru x ( t) = w e z wynika, że i j= 1 i j0 jeśli którakolwiek wartość własna λ i ma dodatnią część rzeczywistą, to zawsze istnieje taka zmienna x i (t), która dąży do nieskończoności w miarę upływu czasu, co jest oznaką niestabilności. Wynika stąd następujące twierdzenie: Tw. Układ liniowy stacjonarny opisany równaniem =Ax jest stabilny wtedy i tylko Tw. Układ liniowy stacjonarny opisany równaniem =Ax jest stabilny wtedy i tylko wtedy, kiedy wszystkie wartości własne macierzy A mają niedodatnie części rzeczywiste. Układ ten jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, kiedy wszystkie wartości własne mają ujemne części rzeczywiste. Stabilność układów liniowych nie zależy od warunków początkowych x 0 = x(t=0), lecz tylko od wartości własnych macierzy A.

Stany nieustalone w SEE wykład VIII Małe kołysania wirników Désiré Dauphin Rasolomampionona, prof. PW

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Małe kołysania wirników generatorów Małymi kołysaniami nazywamy niewielkie zmiany kąta położenia wirnika generatora przy prędkościach bliskich prędkości synchronicznej. Ruch taki spowodowany regularnie pojawiającymi się zakłóceniami nazywamy kołysaniami wymuszonymi. Wymuszenia mogą być mechaniczne (np. pulsacje momentu mechanicznego w przypadku napędzania wirników silnikami spalinowymi Diesla) lub elektryczne (np. duże odbiory niespokojne lub praca asynchroniczna innych generatorów w systemie wymuszająca okresowe. zmiany prądów i napięć). W przypadku, gdy zakłócenie pojawia się i znika wymuszony przez nie ruch nazywamy kołysaniami swobodnymi.

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Małe kołysania wirników generatorów Związki między wielkościami elektrycznymi można wyprowadzić korzystając z wykresu wektorowego oraz schematów zastępczych generatora. Odpowiednią ilustrację podano na rysunku. Do napięcia sieci sztywnej należy dodać jeszcze straty napięcia na impedancji układu przesyłowego. Układ generator-sieć sztywna: a) wykres prądów i napięć; b) kątowa charakterystyka mocy przy R=0 oraz E q =const

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Małe kołysania wirników generatorów Do napięcia sieci sztywnej należy dodać jeszcze straty napięcia na impedancji układu przesyłowego. Aby nie zaciemniać rysunku straty napięcia obliczono łącznie na reaktancjach zastępczych układu x d = X d + X T + X s oraz x Q = X Q + X T + X S. Z drugiego prawa Kirchhoffa dla schematów zastępczych układu wynikają zależności, które można zapisać w formie uporządkowanej w następujący sposób: U sd 0 = U sq E q R xd x R q I I sd sq lub w skrócie U dq otrzymuje się =E dq -Z dq I dq. Rozwiązując ten układ równań względem prądów, I I sd sq = 1 Z R x d xq R E q I I sq sd

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Małe kołysania wirników generatorów przy czym Z = det Z dq = R +x d x q. Wzór na moc czynną P s dostarczaną przez układ do sieci możemy teraz przekształcić w następujący sposób: P S ( δ β ) = U cosϕ = U sin + S S (*) oraz ostatecznie po uporządkowaniu P S Eq U S xq 1 U xd x E U S q q S R U = sinϕ + sin ϕ + cosϕ Z Z Z Z Z Z Z E S R Z (**) Przy zadanych wartościach E q, U s moc przesyłana do systemu zależy tylko od kąta położenia wirnika generatora względem napięcia sieci sztywnej. Z tego względu kąt ten nazywany jest kątem obciążenia. Drugi składnik wzoru (**) pojawia się tylko w przypadku generatorów z biegunami wydatnymi. Odpowiadającą mu moc nazywa się mocą reluktancyjną. O wartości mocy reluktancyjnej decyduje niesymetria magnetyczna generatora oraz impedancja układu przesyłowego.

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Małe kołysania wirników generatorów Wobec czego wzór (**) można sprowadzić do następującej postaci: EqU S U PS = sin + Z Z S ( δ + µ ) sin µ Przy zadanych wartościach E q, U s jest to sinusoida odpowiednio przesunięta. Przy R = 0 kąt µ = 0 i wtedy (***) jest po prostu sinusoidą. Moc czynna, którą jest obciążony generator różni się od mocy dostarczanej do sieci o wartość strat na rezystancji układu przesyłowego. Moc tę można wyrazić następującym wzorem EqU S x E U R E d q S P = sin δ cosδ + Z Z Z Z Z q R Z (***) W przypadku turbogeneratorów lub pominięcia niesymetrii wzór ten upraszcza się do następującej postaci: EqU S E P = sin( δ µ ) + sin µ (****) Z Z

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Małe kołysania wirników generatorów Wykresy funkcji P s (δ) i P(δ) nazywa sig kątowymi charakterystykami mocy. Mogą one być wykonane zarówno przy założeniu E q = const, jak i E q =var. Charakterystyki Ps(δ) oraz P(δ) otrzymane przy założeniu E q = const oznaczone będą odpowiednio P seq oraz P Eq. Kołysania przy pominięciu zjawisk elektromagnetycznych (E q = const). Jeżeli zakłada się, że zmiany strumieni magnetycznych w generatorze przy kołysaniach wirnika są na tyle małe,że: można pominąć towarzyszące im zjawiska elektromagnetyczne i,przyjąć E q = const. Przy tym założeniu moc czynna generatora zależy tylko od kąta położenia wirnika względem napięcia sieci sztywnej.

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Kołysania przy pominięciu zjawisk elektromagnetycznych (E q = const). Zależność tę określa funkcja P Eq wynikająca ze wzoru (****) przy E q = const. W szerszym zakresie kątów (ze względu na funkcje trygonometryczne kąta) jest to zależność silnie nieliniowa. Z punktu widzenia małych kołysań w otoczeniu danego punktu równowagi zależność tę można zastąpić przybliżeniem liniowym (Rysunek). Przy małym przyroście kąta δ przyrost funkcji P Eq (δ) można zastąpić różniczką funkcji otrzymując P = dp = H δ gdzie H = dp dδ Linearyzacja kątowej charakterystyki mocy w otoczeniu wybranego punktu równowagi jest pochodną funkcji P Eq (δ) w danym punkcie linearyzacji.

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Kołysania przy pominięciu zjawisk elektromagnetycznych (E q = const). Korzystając ze wzoru (****) otrzymuje się następujący wzór na tę pochodną: dp H = dδ E q = const = E q U Z S cos ( ˆ δ µ ) przy czym δˆ - punkt linearyzacji (tutaj punkt równowagi). Powyższe równanie można teraz zapisać następująco: d δ d δ + + h δ = 0 dt dt gdzie: d = D/M oraz h = H/M. Jest to równanie różniczkowe drugiego rzędu liniowe niezupełne. Linearyzacja kątowej charakterystyki mocy w otoczeniu wybranego punktu równowagi

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Kołysania przy pominięciu zjawisk elektromagnetycznych (E q = const). Ogólnie, rozwiązania tego równania poszukuje się w postaci funkcji wykładniczej δ = Ae λ t czyli pochodnych d δ λt d δ λt = 0 = Aλe = Aλ e dt dt d δ d δ Po podstawieniu tych funkcji do równania różniczkowego + + h δ = 0 dt dt otrzymuje się równanie algebraiczne λ +dλ+h=0 nazywane równaniem charakterystycznym. Rozwiązania tego równania są nazywane wartościami własnymi układu (λ 1, ). Określają one warunki, przy których powyższa funkcja wykładnicza może stanowić rozwiązanie równania różniczkowego (*). (*) Linearyzacja kątowej charakterystyki mocy w otoczeniu wybranego punktu równowagi λ 1, = d ± d 4h

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Kołysania przy pominięciu zjawisk elektromagnetycznych (E q = const). W zależności od wartości wyrażenia pod pierwiastkiem, λ 1 i λ określające rozwiązania równania różniczkowego mogą być rzeczywiste lub zespolone. Przy pominięciu zjawisk elektromagnetycznych moment tłumiący pochodzi tylko od sił mechanicznych i jest zawsze dodatni (d > 0) Przy tym założeniu analizę rozwiązania równania (*) można podzielić na dwa przypadki. Przy małych kątach obciążenia wartości pochodnych d dt d dt δ λt δ = 0 = Aλe = A są duże i jest spełniony warunek d < 4h. λ e λt (**) Linearyzacja kątowej charakterystyki mocy w otoczeniu wybranego punktu równowagi λ 1, = d ± d 4h

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Kołysania przy pominięciu zjawisk elektromagnetycznych (E q = const). Wyrażenie pod pierwiastkiem we wzorze i wartości własne λ 1, są zespolone postaci przy czym ω = 4h d Rozwiązania równania różniczkowego poszukuje się postaci λ 1, d ± = d λ = d ± jω 1, 4h jest wtedy ujemne δ ( t ) = e dt d cos ω t + sin ω t ω co przy warunkach początkowych δ(0)= oraz d δ(0)/dt=0 prowadzi do rozwiązania [ A cosωt A sinωt] dt δ ( t) = e 1 + z którego wynika, że ruch jest oscylacyjny i przy dowolnej małej wartości A w miarę upływu czasu zanika. Linearyzacja kątowej charakterystyki mocy w otoczeniu wybranego punktu równowagi Oznacza to oscylacyjny powrót wirnika do położenia równowagi, czyli stabilność oscylacyjną układu.

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Kołysania przy pominięciu zjawisk elektromagnetycznych (E q = const). W miarę wzrastania kąta obciążenia wartość pochodnych (**) Można więc oczekiwać, że począwszy od pewnych wartości kąta obciążenia będzie spełniony warunek d >4h. d ± d 4h W tym przypadku wyrażenie pod pierwiastkiem we wzorze λ1, = jest dodatnie i obie wartości własne λ 1, są rzeczywiste. Rozwiązania równania różniczkowego poszukujemy w postaci λ1t λt δ ( t) = Ae + A e 1 co przy warunkach początkowych δ(0)= oraz d δ(0)/dt = 0 prowadzi do rozwiązania Linearyzacja kątowej charakterystyki mocy w otoczeniu wybranego punktu równowagi δ ( λ λ λ1 [ e ] t λ λ λ e t t) = 1 1

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Kołysania przy pominięciu zjawisk elektromagnetycznych (E q = const). Przy dodatkowym założeniu h>0 wartość pierwiastka we wzorze jest mniejsza od współczynnika d, co oznacza,że obie wartości własne są ujemne. λ1 W takim przypadku w miarę upływu czasu rozwiązanie δ ( ) = λ e t zanika do zera, czyli wirnik powraca do stanu równowagi w sposób aperiodyczny. Układ jest stabilny aperiodycznie. λ 1, d ± = d 4h λ [ λ e ] t t Przy założeniu h<0 wartość pierwiastka we powyższym wzorze jest większa od współczynnika d, co oznacza że jedna z wartości własnych jest dodatnia. λ 1 λ 1 Linearyzacja kątowej charakterystyki mocy w otoczeniu wybranego punktu równowagi W takim przypadku w miarę upływu czasu rozwiązanie δ(t) narasta, czyli wirnik oddala się od punktu równowagi. Układ jest niestabilny aperiodycznie.

Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna: Kołysania przy pominięciu zjawisk elektromagnetycznych (E q = const). Przy małych wartościach kąta obciążenia stabilność układu jest oscylacyjna, a przy większych aperiodyczna. Niestabilność pojawia się dopiero przy H 0 i jest zawsze aperiodyczna. Podstawowym wnioskiem z powyższej analizy jest fakt, że przy D > 0 układ generator-sieć sztywna może pracować przy działających małych zakłóceniach tylko H> 0. dp Pochodną H = dδ nazywa się mocą synchronizującą c i mówi się, żee warunkiem stabilności układu generator-sieć sztywna jest dodatnia wartość moc synchronizującej PG P0 δ G δ H ( δ 0 ) 0 Warunek stabilności jest spełniony w zakresie k P = kδ = k = P δ H (0) kątów, 0 δ < δ G oraz mocy czynnej generatora 0 P < P G Punkt (δ G,P G )będący wierzchołkiem charakterystyki mocy stanowi granicę stabilności. W danym punkcie pracy (δ 0, P 0 ) odległość do granicy stabilności może być określona jednym z wyżej przedstawionych trzech współczynników nazywanych współczynnikami zapasu stabilności lokalnej. W praktyce elektroenergetycy posługują się głównie mocami elektrycznymi i z tego względu współczynnik k P jest częściej stosowany G G