Funkcje. Granica i ciągłość.

Ćwiczenia 10.1.01: zad. 344-380 Kolokwium nr 9, 11.1.01: materiał z zad. 1-380 Ćwiczenia 17.1.01: zad. 381-400 Kolokwium nr 10, 18.1.01: materiał z zad. 1-400 Konw. 10,17.1.01: zad. 401-44 Funkcje. Granica i ciągłość. Uwaga: Zapis sgn(x) oznacza znak liczby x : sgn(x) = 1 dla x > 0 sgn(x) = 0 dla x = 0 sgn(x) = 1 dla x < 0 Uwaga: Zapis {x} oznacza część ułamkową liczby x. {x} = x [x], gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x. Naszkicować wykres funkcji f danej wzorem 344. sgn(sinx) 345. {x} ({x}) 0 dla x < 0 x dla 0 x < 1 346. f(x) = x +4x dla 1 x < 3 4 x dla x 3 { x dla x 347. f(x) = 348. x4 1 1 349. sgn(x) dla x = x 1 {x} 350. sgn(x 3 x) 351. x 3 sgn(x) 35. [ ] x+ 1 x 353. f(x) = x 1 x 4 354. f(x) = x 8x+15 355. f(x) = x +x+ x x 356. f(x) = {cosx} 357. f(x) = [ 4 arctgx] 358. f(x) = {sinx} {sinx} π 359. f(x) = [x]+x 360. f(x) = {x}+x 361. f(x) = [ ] x 1 Obliczyć następujące granice: ( ) 1 36. lim x 7 x 7 8 363. limxsin 1 364. lime 1/x x 6x 7 x 0 x x 0 3 x x 3 x 6x+5 365. lim 366. lim 367. lim x 8 x 8 x 3 x+ x 5 x 5 ( 1 368. lim x 1 1 x 3 ) x 008 1 8x 3 1 369. lim 370. lim 1 x 3 x 1 x 10 1 x 1/ 6x 5x+1 x 3 +3x +x x x (x 1) x 371. lim 37. lim 373. lim x x x 6 x 0 x x 1 x 1 x x 374. lim x + x+ x x 375. lim 376. lim 377. lim x x + x +1 x x +1 1/x +1 1/x +1 1/x 1 378. lim 379. lim 380. lim x 0+ 1/x 1 x 0 1/x 1 x + 1/x +1 381. Dla których wartości parametrów a, b funkcja f określona wzorem ax+b dla x < 1 f(x) = x dla 1 x < ax b dla x x 0+ lnx 1+lnx Lista 4-4 - Strony 4-61

jest ciągła? Naszkicować wykres funkcji f dla każdej pary parametrów (a,b), dla których funkcja f jest ciągła. 38. Dla których wartości parametrów a, b funkcja f określona wzorem x dla x < 1 f(x) = x +ax+b dla 1 x < x+3 dla x jest ciągła? Naszkicować wykres funkcji f dla każdej pary parametrów (a,b), dla których funkcja f jest ciągła. Do podanych f, x 0 i ε dobrać takie δ, aby x (x 0 δ,x 0 +δ) f(x) f(x 0 ) < ε 383. f(x) = x, x 0 = 5, ε = 1/10 384. f(x) = 1/x, x 0 = 4, ε = 1/100 385. f(x) = x, x 0 = 1, ε = 1/50 386. f(x) = x 3, x 0 = 0, ε = 1/1000 387. f(x) = x, x 0 = 30, ε = 1/10 388. f(x) = x 4, x 0 = 10, ε = 10 10 Oszustwo 389. (przykład funkcji nieciągłej): Funkcja f(x) = x jest nieciągła. Dowód: Przeprowadzimy dowód nie wprost. Zakładając, że funkcja f jest ciągła, weźmy w definicji Cauchy ego ciągłości ε = 1. Wtedy istnieje takie δ > 0, że dla y spełniających nierówność y x < δ zachodzi x y < 1. Jednak ta ostatnia nierówność nie zawsze jest prawdziwa, gdyż dla x > 1 δ i y = x+ δ otrzymujemy x y = xδ + δ 4 > 1. Oszustwo 390. (przykład funkcji ciągłej): Funkcja { sin 1 f(x) = dla x 0 x 0 dla x = 0 jest ciągła. Dowód: Oczywiście f jest ciągła w każdym punkcie oprócz 0, pozostaje więc wykazać ciągłość w 0. Przeprowadzimy dowód niewprost. Zakładając, że f jest nieciągła w 0, weźmy ε = 1. Wtedy istnieje takie δ > 0, że dla x spełniających nierówność x < δ zachodzi f(x) 0 1. Ale biorąc x = 1, gdzie n > 1, otrzymujemy f(x) = 0 i x < δ. Zatem πn πδ f(x) 0 = 0 < 1, skąd sprzeczność. Wskazać taką liczbę M, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność 391. f(x) = x4 +13x +7 5x 4 +x + 394. f(x) = x f(x) M. 39. f(x) = 5x4 +x + x 4 +13x +7 395. f(x) = x1000 x 393. f(x) = e sinx x 4 +3 Oszustwo 396. Niech f,g : [0,1] R będą takimi funkcjami ciągłymi, że f(0) = 5, f(1) = 7, g(0) = 8, g(1) = 4. Wtedy istnieje takie c (0,1), że f(c) = g(c). Lista 4-43 - Strony 4-61

Dowód: Z własności Darboux funkcji ciągłych zastosowanej do funkcji f wynika, że dla pewnego c (0,1) mamy f(c) = 6. Podobnie, stosując własność Darboux do funkcji g otrzymujemy g(c) = 6. A zatem f(c) = g(c), co należało dowieść. Wskazać błąd w powyższym rozumowaniu i podać poprawny dowód. 397. Dowieść, że równanie x 1000000 + = (1,000001) x ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste. Wskazać konkretny (być może niepotrzebnie duży) przedział, w którym znajduje się rozwiązanie. 398. Dla których liczb n {, 4, 10, 0, 50, 100, 00, 500, 1000, 10 5, 10 10, 10 30, 10 100, 10 1000} wykres funkcji f(x) = x przecina wykres funkcji g(x) = x n +4, jeżeli za jednostkę na osiach przyjmiemy 1 cm. Przyjąć promień wszechświata równy 10 8 cm. Punkty przecięcia wykresów leżące w innych wszechświatach nas nie interesują. Jak zmieni się odpowiedź, gdy wykonamy rysunek biorąc za jednostkę na osiach średnicę atomu (10 8 cm) lub średnicę jądra atomowego (10 13 cm)? 399. Dowieść, że równanie x = 5π cosx ma co najmniej 10 rozwiązań rzeczywistych. 400. Dowieść, że równanie x = 5π cos ( x 3) ma więcej niż 1000 rozwiązań rzeczywistych. Wyznaczyć asymptoty funkcji f określonej wzorem 401. f(x) = x +x+1+ x 404. f(x) = log 4 ( x +8 x ) 40. f(x) = 3 x 3 +x 403. f(x) = x3 +1 x +5x+4 + x Do podanych f, x 0 i ε dobrać takie k N (dowolne, nie musi być najmniejsze), aby przy δ = 10 k spełniony był warunek x (x 0 δ,x 0 +δ) f(x) f(x 0 ) < ε 405. f(x) = x 10, x 0 =, ε = 1/10 406. f(x) = x 100, x 0 = 5, ε = 10 10 407. f(x) = x 1000, x 0 = 10, ε = 10 100 (tak, do plus setnej) 408. f(x) = x 1/10, x 0 = 1111, ε = 10 5 Twierdzenie o trzech funkcjach: Jeżeli funkcje f, g, h są określone w otoczeniu punktu x 0 [,+ ] (mogą nie być określone w samym x 0 ), a przy tym f(x) g(x) h(x) Lista 4-44 - Strony 4-61

dla x bliskich x 0, to z istnienia i równości granic funkcji f oraz h w punkcie x 0 wynika lim g(x) = lim x x 0 x x0 f(x) = x x0 lim h(x). To samo stosuje się do granic jednostronnych. Obliczyć granice sin(x 1000 ) 409. lim x + x Korzystając ze zbieżności obliczyć ( 411. lim 1+ 1 ) x +x x + x 413. lim x + ( 416. lim 417. lim x + x x+1 410. limx { 1/x 1000} (uwaga: część ułamkowa) x 0 41. lim (x+1) x 414. lim x + ( lim 1+ 1 x = e x + x) x + ( 1+ 1 x ( 1+ 1 ) 7x +5x+1 x ) x 415. lim x + 1+ 1 x f(x), gdzie lim x + x) f(x) = x + (1+ 1 ) (x+1) x 418. lim (1+ 1 ) (x+1) x+1 x x x + x x Dla podanej funkcji f wyprowadzić oszacowanie postaci f(x) f(x 0 ) < C δ ( 1+ 1 x ) x prawdziwe dla dowolnego δ > 0 oraz dowolnych x, x 0 D f spełniających warunek x x 0 < δ. 419. f(x) = x, D f = [1,+ ) 40. f(x) = x +1, D f = R 41. f(x) = 1 x +1, D f = R 4. f(x) = x 3, D f = [ 10,5] 43. Wskazać odpowiednie liczby wymierne dodatnie C oraz δ, a następnie udowodnić, że x (7 δ, 7+δ) 3 x C < 1 1000. 44. Wskazać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C, a następnie udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność gdzie f(x) = x +011. f(x) f(y) C x y, Lista 4-45 - Strony 4-61

Ćwiczenia 7.01.013: zad. 45-438 Konw. 7.01.013: zad. 439-444 Kolokwium nr 11, 8.01.013: materiał z zad. 1-444 Zadania powtórzeniowe. 45. W każdym z zadań 45.1-45.5 podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru. Kres może być{ liczbą rzeczywistą lub może być} równy albo +. 5m n 45.1. A = : m,n N = {1,,3,...} { mn } m 45.. B = n+7 : m,n N 45.3. C = { x : x (,1) } 45.4. D = { x 3 : x (,1) } 45.5. E = { 3x +y 3 : x,y (,1) } 46. W każdym z zadań 46.1-46.4 udziel czterech niezależnych odpowiedzi TAK/NIE. 46.1 O zdaniu T (n) wiadomo, że prawdziwe jest T (1), a ponadto dla każdej liczby naturalnej n zachodzi implikacja T (n) T (n+). Czy stąd wynika, że prawdziwa jest implikacja a) T (008) T (3009) b) T (008) T (3010) c) T (009) T (3010) d) T (009) T (3011) 46. Szereg liczbowy o wyrazach rzeczywistych a n jest zbieżny. Czy stąd wynika, że zbieżny jest szereg a) a n b) c) 008a n d) an (a n +1) 46.3 Szereg liczbowy o wyrazach rzeczywistych a n jest zbieżny. Czy stąd wynika, że rozbieżny jest szereg a) a n b) c) 008a n d) an (a n +1) 46.4 Czy funkcja { ax f(x) = 3 +bx +cx+d dla x 0 ex 3 +fx +gx+h dla x > 0 jest ciągła, jeżeli a) a = 3, b = 4, c = 5, d = 6, e = 7, f = 8, g = 9, h = 30 b) a = 5, b = 16, c = 9, d = 4, e = 1, f = 0, g = 1, h = 4 c) a =, b = 3, c = 5, d = 7, e = 11, f = 13, g = 17, h = 19 d) a = 009, b = 010, c = 011, d = 008, e = 009, f = 010, g = 007, h = 008 Lista 4-46 - Strony 4-61

47. Dowieść, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność ( ) n+5 < 3 5 n. n 48. Obliczyć granicę ( n k +1 lim n n 9 +1 + nk + n 9 +4 + nk +3 n 9 +9 + nk +4 n 9 +16 + nk +5 n 9 +5 +...+ nk +n ) n 9 +n 4 dla tak dobranej wartości rzeczywistej dodatniej parametru k, aby powyższa granica była dodatnia i skończona. 49. Wyznaczyć asymptoty funkcji f danej wzorem 430. Dane są takie ciągi (a n ) i (b n ), że ε>0 f(x) = x +x+1. a n < ε oraz b n +5 < ε. n 6/ε ε>0 n 10/ε Niech c n = a n +b n. Wskazać odpowiednią liczbę rzeczywistą r oraz liczbę naturalną P i udowodnić, że c n +r < ε. ε>0 n P/ε 431. W każdym z zadań 431.1-431.4 udziel czterech niezależnych odpowiedzi TAK/NIE. 431.1 Czy zbieżny jest szereg 1 a) 1 c) 1+n b) d) 1 1+ n 1 1+n n 431. Czy zbieżny jest szereg ( 1) n a) ( 1) n c) 1+n ( 1) n b) 1+ n ( 1) n d) 1+n n 431.3 Czy ciąg (a n ) określony wzorem a n = nk +1 n 7 +1 + nk + n 7 +4 + nk +3 n 7 +9 + nk +4 n 7 +16 + nk +5 n 7 +5 +...+ nk +n n 7 +n jest zbieżny dla a) k = 5 b) k = 6 c) k = 7 d) k = 8 Lista 4-47 - Strony 4-61

431.4 O zdaniu T (n) wiadomo, że prawdziwe jest T (1), a ponadto dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest implikacja T (n+) T (n). Czy stąd wynika, że fałszywa jest implikacja a) T (008) T (3009) b) T (008) T (3010) c) T (009) T (3010) d) T (3009) T (011) 43. W każdym z zadań 43.1-43.5 podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być równy albo +. 43.1. A = { n +n n : n N = {1,,3,...} } 43.. B = { } n +n+1 n : n N 43.3. C = { log x : x (1,8]} 43.4. D = { log x : x (1,16]} 43.5. E = { log x : x (1,3]} 433. Dobrać odpowiednią liczbę rzeczywistą dodatnią M i dowieść, że dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej x zachodzi nierówność M 14x009 +x 1111 +15 5M. 11x 009 +x 666 +9 434. Obliczyć granicę (n!) 009 lim. n n! 435. Naszkicować wykres funkcji f określonej wzorem x dla x < a f(x) = x dla a x b x dla x > b dla każdej pary parametrów a < b, dla której funkcja f jest ciągła. 436. Obliczyć granicę w zależności od parametru naturalnego n. ( lim x n +x n +x n) x Lista 4-48 - Strony 4-61

437. Wyznaczyć wszystkie pary parametrów rzeczywistych (a, b), dla których funkcja f określona wzorem { x f(x) = +4x dla x (, 1) (, + ) ax +b dla x [ 1, ] jest ciągła. 438. Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią δ i udowodnić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x (8 δ, 8+δ) zachodzi nierówność 3 x < 1 100. 439. Dana jest funkcja f : R R określona wzorem f(x) = log ( x +1). a) Wyznaczyć asymptoty funkcji f. b) Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność f(x) f(y) x y. 440. Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = x 4 +1. Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y [1,10] zachodzi nierówność f(x) f(y) 010 x y. 441. Naszkicować wykres funkcji f określonej wzorem 3 dla x < a x f(x) = 4 dla a x < b 3 dla b x < c x 4 dla x c dla każdej trójki parametrów a < b < c, dla której funkcja f jest ciągła. 44. Obliczyć granicę (( ( log x +1 )) ( ( log 4 x 6 +1 )) + ( ( log 8 x 3 +1 ))). lim x 443. Obliczyć sumę szeregu 1 n 4. n=3 Lista 4-49 - Strony 4-61

444. W każdym z 4 poniższych zadań udziel 4 niezależnych odpowiedzi TAK/NIE. 444.1 Czy funkcja jest ciągła, jeżeli { a f(x) = x dla x < 0 bx +cx+d dla x 0 a) a = 4, b = 3, c =, d = 1... b) a = 5, b = 4, c = 3, d =... c) a = 9, b = 5, c = 3, d = 1... d) a = 7, b =, c =, d = 3... 444. Czy funkcja jest ciągła, jeżeli { a f(x) = x dla x < 1 bx +cx+d dla x 1 a) a = 4, b = 3, c =, d = 1... b) a = 5, b = 4, c = 3, d =... c) a = 9, b = 5, c = 3, d = 1... d) a = 7, b =, c =, d = 3... 444.3 Czy podany szereg jest zbieżny n a) n+1... b) n n+1... 1 1 c)... d) n n n... 444.4 Czy podany szereg jest zbieżny a) n ( 1) n n+1... b) n ( 1) n n+1... c) ( 1) n n... d) ( 1) n n n... Lista 4-50 - Strony 4-61

Ćwiczenia 14.01.013: zad. 445-46 Kolokwium nr 1, 15.01.013: materiał z zad. 1-467 Ćwiczenia 1.01.013: zad. 47-494 Kolokwium nr 13,.01.013: materiał z zad. 1-494 445. 449. 453. Szeregi potęgowe. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego 10 n x n n 10 446. x n n +n n n!x n 454. x n 447. n 10 n 1 450. 4 n+5 x 3n+7 n 6 n 451. (54n+1) n x 3n (81n+) n 455. 50 n x n+5 x n 448. n(n+1) (n)!x n 45. (n!) 3 Obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego ( ) n! 4n 457. n n xn+7 458. x n 459. n!x n 460. n n!(3n)! 461. (n)!(n)! xn 46. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego 8 n n 8 n 10 +1 x3n. Konwersatorium 14,1.01.013. Obliczyć sumy szeregów potęgowych 463. x n x n 464. 465. nx n n ( ) 3n 10 n x n3 n x n 456. n ( ) n+10 x n n n+7 x 6n n 466. Podać przykład szeregu potęgowego o promieniu zbieżności i sumie równej 7 dla x = 1. 467. Podać przykład dwóch szeregów potęgowych o promieniach zbieżności 1, których suma jest szeregiem potęgowym o promieniu zbieżności. 468. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego a n o sumie 100 i wyrazach dodatnich, że a n = n dla n 10. 469. Podać przykład takiego szeregu a n rozbieżnego do, że a n = n dla nieskończenie wielu n. 470. Podać przykład takiego szeregu rozbieżnego i jest mniejsza od 1. a a n, że granica n lim n+1 a n istnieje Lista 4-51 - Strony 4-61

471. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego wielu n. a n, że a n+1 a n = dla nieskończenie Uzupełnienie: liczby zespolone, zespolone szeregi liczbowe i potęgowe. 47. Sprawdzić, że a +b a+bi = ± +a a +b +isgn(b) a, jeśli b 0. Rozwiązać równania i układy równań. 473. z = z 474. z = z 1 475. 1+i = z 476. 3+4i = z 477. 3+4i = z 478. z +z = i 479. z +iz = 1 480. z = z +1 481. z z = 8i 48. z 4 +10z +61 = 0 { z { 483. 1 = z z z 484. 1 +z = 1 = z 1 z 1 +z = 1 { { z1 +iz 485. = 1 z1 +z 486. = 1 z +iz 1 = z 1 +z = i 487. z 5 = 1 (Wsk. z 4 +z 3 +z +z +1 = (z +az ±1)(z +bz ±1) ) Rozwiązać równania i nierówności. Zaznaczyć zbiór rozwiązań na płaszczyźnie zespolonej. 488. Rez +Rez 0 489. 3 z z +1 490. z = z +1 491. z +i z i 49. Im z +1 = 0 493. Rez = 0 z +1 z 494. W trójkącie prostokątnym P QD kąt przy wierzchołku P jest prosty, a przy tym P Q = 1 i P D = 4. Ponadto punkt C jest środkiem odcinka P D, punkt A jest środkiem odcinka P C, punkt B jest środkiem odcinka AC. Punkt E leży na prostej P D, przy czym <) P QA+<) P QB +<) P QC = <) P QD +<) P QE. Obliczyć P E. Wykład. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach zespolonych Warunek konieczny zbieżności Jeżeli z n nie dąży do 0, to szereg z n jest rozbieżny. Jeżeli Zbieżność bezwzględna z n <, to szereg z n jest zbieżny. Kryterium d Alemberta Lista 4-5 - Strony 4-61

Jeżeli lim z n+1 n z n < 1, to szereg z n jest zbieżny. z Jeżeli lim n+1 n z n > 1, to szereg z n jest rozbieżny, a co więcej lim z n = +. n Kryterium Cauchy ego n Jeżeli lim z n < 1, to szereg z n jest zbieżny. n n Jeżeli lim z n > 1, to szereg z n jest rozbieżny, a co więcej n lim z n = +. n Uogólnienie kryterium o szeregach naprzemiennych Jeżeli ciąg (a n ) jest zbieżnym do zera nierosnącym ciągiem liczb rzeczywistych dodatnich, to dla dowolnej takiej liczby zespolonej z, że z = 1 oraz z 1, szereg a n z n jest zbieżny. Powyższe jest prawdą także dla z < 1, ale wówczas na ogół stosujemy inne kryteria. Inne kryteria Jeżeli szeregi z n i y n są zbieżne, to szeregi (z n ±y n ) są zbieżne i wówczas (z n ±y n ) = z n ± y n. Jeżeli szereg z n jest zbieżny, a szereg y n jest rozbieżny, to szeregi są rozbieżne. (z n ±y n ) Dla dowolnej liczby zespolonej c 0 szereg cz n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg z n. Jeśli oba szeregi są zbieżne, to cz n = c z n. Zbieżność szeregu nie zależy od zmiany lub pominięcia skończenie wielu początkowych wyrazów. Szereg z n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są jednocześnie szeregi Rez n oraz Imz n. Jeśli podane szeregi są zbieżne, to z n = Rez n +i Imz n. Obszar zbieżności szeregu potęgowego jest kołem o środku w zerze i promieniu R [0,+ ], zwanym promieniem zbieżności szeregu. Przy R = 0 koło zbieżności degeneruje się do punktu 0, przy R = + obszarem zbieżności jest cała płaszczyzna zespolona. Lista 4-53 - Strony 4-61

Na okręgu będącym brzegiem koła zbieżności szereg potęgowy może być zbieżny w częsci punktów, a w części rozbieżny. Zbadać zbieżność szeregów: 1 n 495. 496. n +in+1 n 3 +i 497. n n +i 498. n+i n +i Wyznaczyć obszary zbieżności zespolonych szeregów potęgowych: 499. n z n 8z n 500. 501. nz n n z 6n 50. n!z n 503. n EGZAMIN: Czwartek 31 stycznia 013 r. godz. 8:30-11:30, s. HS, WS. EGZAMIN POPRAWKOWY: Środa 13 lutego 013 r. godz. 8:30-11:30, s. HS. Zadania powtórzeniowe. Ćwiczenia 8-9.01.013 Konwersatorium, 8.01.013 504. W każdym z zadań 504.1-504.5 podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru. { } 1 504.1. A = 7n 30 : n N N = {1,,3,4,5,...} { } 1 504.. B = (7n 30) : n N { } 1 504.3. C = (7n 30) : n 3 N { } 1 504.4. D = 7m 30 + 1 (7n 30) : m,n N 504.5. E = { (log (n +1)) log 3 (n } +4) (log 8 (n +4)) log 9 (n +1) : n N Lista 4-54 - Strony 4-61

505. W każdym z poniższych 9 pytań w miejscu kropek postaw jedną z liter Z, R, N: Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny) R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny) N - może być zbieżny lub rozbieżny (tzn. Nie wiadomo, czasem jest zbieżny, a czasem rozbieżny) Wiadomo, że szereg a n jest zbieżny. Co można wywnioskować o zbieżności szeregu a) a n... b) ( 1) n a n... ( ) c) (a n+1 a n )... d) a n+1 a n... e) a n 1... f) (a n +( 1) n )... ( g) an... h) log 3 a n + )... i) a n +1... 506. Na każde z 8 pytań udziel odpowiedzi TAK lub NIE. Czy funkcja f określona wzorem x 5 dla x < a f(x) = 4 dla a x < b x 5 dla b x jest ciągła, jeżeli j) a = 7, b = 5... k) a = 7, b = 3... l) a = 5, b = 3... m) a = 5, b = 1... n) a = 3, b = 1... o) a = 3, b = 1... p) a = 1, b = 1... q) a = 1, b = 3... 507. Na każde z 15 pytań udziel odpowiedzi TAK lub NIE. Ciąg (a n ) jest zbieżny i jego granica jest równa 7. Czy stąd wynika, że a) n a n > 0... b) N n N a n > 0... c) N n N a n > 0... d) n a n < 7... e) n a n < 7... f) a n < 7... N n N g) a n < 7... N n N h) x a n > x... n i) x n a n < x... Lista 4-55 - Strony 4-61

j) N n N a n 7 < 1 10... k) N n N a n 7 < 1 10... l) N n N a n 7 < 1 n... m) N n N a n 7 < 1 n... n) N n N a n+1 a n < 1 100... o) a n+1 a n < 1 N n N 100... Uwaga: Zmienne n, N przebiegają liczby naturalne, a zmienna x liczby rzeczywiste. 508. W każdym podpunkcie podaj przykład podzbioru lub podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych o podanych własnościach. a) inf A = 4, supa = 4, inf{a : a A} = 4 b) supb =, supc = 3, sup(b C) = 1 c) inf D = 10, inf E = 10, inf(d E) = 17 d) inf F = inf G =, supf = supg = 5, zbiory F,G są rozłączne e) 0 < suph = sup{h : h H} < 1 509. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu (n+1) ( 1) n n +5. 510. Wyznaczyć promień zbieżności zespolonego szeregu potęgowego z n (n!) n n n. 511. Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C i udowodnić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej x zachodzą nierówności C 3x x+5 4C. 7x x+5 51. Obliczyć granicę lim n ( n n + n+1 n +1 + n+ n + + n+3 n +3 + n+4 n+n +...+ n +4 n +n 513. W każdym z zadań 513.1-513.5 podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru. Niech { x f n (x) = 3 dla x < x n dla x Lista 4-56 - Strony 4-61 ).

513.1. A = {f (x) : x ( 1, 4]} 513.. B = {f 3 (x) : x ( 1, 4]} 513.3. C = {f 4 (x) : x ( 1, 4]} 513.4. D = {f 5 (x) : x ( 1, 4]} 513.5. E = {f 6 (x) : x ( 1, 4]} 514. Przy każdym z poniższych 9 zdań w miejscu kropek postaw jedną z liter P, F, N: P - jest Prawdą (tzn. musi być prawdziwe) F - jest Fałszem (tzn. musi być fałszywe) N - może być prawdziwe lub fałszywe (tzn. Nie wiadomo, czasem bywa prawdziwe, a czasem fałszywe) O zdaniu T (n) wiadomo, że T (7) jest fałszywe, T (77) jest prawdziwe, a ponadto dla każdej liczby naturalnej n zachodzi implikacja T (n) T (n+1). Co można wywnioskować o prawdziwości zdania: a) T (3)... b) T (33)... c) T (333)... d) T (3) T (333)... e) T (333) T (3)... f) T (3) T (33)... g) T (33) T (3)... h) T (33) T (333)... i) T (333) T (33)... 515. Podaj wartości granic j) lim arctgx =... k) lim arctgx =... x + x l) lim x + log x =... m) lim x 0 +log x =... n) lim x + x =... o) lim x x =... Lista 4-57 - Strony 4-61

516. Na każde z 15 pytań udziel odpowiedzi TAK lub NIE. O zbiorze A wiadomo, że Czy stąd wynika, że a A a 7 oraz a A a > 7 1 10 a) supa = 7... b) supa 7... c) supa 7... d) supa < 8... e) supa > 6... f) inf A = 6,9... g) inf A < 7... h) inf A > 6... i) inf A > 8... j) 7 A... k) 7 A... l) a A a 7 < 1 10... m) a A a 7 > 1 10... n) a A a 7 < 1 10... o) a A a 7 > 1 10... Lista 4-58 - Strony 4-61

517. W każdym z poniższych 14 pytań w miejscu kropek postaw jedną z liter Z, R, N: Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny) R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny) N - może być zbieżny lub rozbieżny (tzn. Nie wiadomo, czasem jest zbieżny, a czasem rozbieżny) Co można wywnioskować o zbieżności szeregu jego wyrazy są różne od zera, a ponadto a) lim n a n =... b) lim n a n = 1... c) lim n a n = 1... d) lim n a n = 0... e) n lim a n = 1... f) n lim a n = 1... g) n lim a n =... a n+1 h) n lim =... a n a n+1 i) lim n = 1... a n a n+1 j) n lim = 1 a n... a n+1 k) lim n = 0... a n a n+1 l) n lim = 1 a n... a n+1 m) lim n = 1... a n a n+1 n) lim n =... a n a n, jeżeli wiadomo, że wszystkie 518. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność ( ) n+8 < 6 n. n 519. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego a n o wyrazach dodatnich, że a n = 5 oraz a n = a 4 n. Uzasadnić poprawność podanego przykładu. 50. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu 9n 8 7n 3 +5 9n 9 n 8n 4 +7. Lista 4-59 - Strony 4-61

51. Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y [ 3, 3] zachodzi nierówność f(x) f(y) 3 4 x y, gdzie f(x) = x +16. 5. W każdym z zadań 5.1-5.5 podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru. { } mn 5.1. A = m +n : m,n N N = {1,,3,4,5,...} { } mn 5.. B = m +n : m,n 4 N { } mn 5.3. C = m +n +1 : m,n N { } 1 5.4. D = 3 log (n+1) : n N { } 1 5.5. E = 3 log 3 (3n+1) : n N 53. W każdym podpunkcie podaj przykład podzbioru lub podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych o podanych własnościach. że a) inf A = 3, supa = 4, inf{ a : a A} = 1 b) inf B =, inf C = 3, inf(b C) = 7 c) supd = 10, supe = 10, sup(d E) = 7 d) inf F = inf G = 0, supf = supg = 6, inf(f G) = sup(f G) e) 0 < suph = sup{h 4 : h H} < 1 54. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego a n o wyrazach różnych od zera, a n = 1 Uzasadnić poprawność podanego przykładu. oraz a n =. 55. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność 13n n +36. 56. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu 9n 8 n 7n 3 +5 9n 9 8n 4 +7. 57. Obliczyć granicę lim n ( 1 5 n +1 + 5 5 n + + 5 5 n +4 + 15 5 n +8 + 65 5n +...+ 5 n +16 5 n + n Lista 4-60 - Strony 4-61 ).

58. Wyznaczyć przedział zbieżności rzeczywistego szeregu potęgowego 3 n x 3n. n 59. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu liczbowego o wyrazach zespolonych n p +i n 7 i w zależności od parametru całkowitego dodatniego p. 530. Wyznaczyć promień zbieżności rzeczywistego szeregu potęgowego (n)! x n. n! n n 531. Wyznaczyć przedział zbieżności rzeczywistego szeregu potęgowego x n (n!). 010 53. Wyznaczyć obszar zbieżności zespolonego szeregu potęgowego i n z n n. n 533. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego ( 1) n n! x n n n. 534. Czy podany szereg jest zbieżny? n a) n+1... b) ( ) n n... n+1 ( ) n n ( ) n n 3 c)... d)... n+1 n+1 535. Niech f : R R będzie funkcją określoną wzorem f(x) = a A {x} b B {x}, gdzie {x} oznacza część ułamkową liczby x, a wyrażenia {x} występują w wykładnikach potęg. W każdym z podpunktów uzupełnij brakującą liczbę rzeczywistą dodatnią tak, aby funkcja f zdefiniowana powyższym wzorem była ciągła. Wpisz NIE, jeśli uważasz, że liczba rzeczywista dodatnia o żądanej własności nie istnieje. a) a =..., A = 6, b = 5, B = 5 b) a =, A =..., b = 3, B = 5 c) a =, A = 6, b =..., B = 3 d) a =, A = 4, b = 3, B =... Lista 4-61 - Strony 4-61