ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2 Sra: BUDOWNICTWO z. Nr kol. Andrzj POWNUK NIEZAWODNOŚĆ KONSTRUKCJI O PARAETRACH PRZEDZIAŁOWYCH I LOSOWYCH Strszczn. W pracy wykazano, ż mtoda projktowana konstrukcj wykorzystująca paramtry przdzałow daj t sam wynk jak stosowana w obcnych normach projktowana mtoda półprobablstyczna. Przdstawono nową mtodę dntykacj paramtrów przdzałowych opartą na obowązujących przpsach budowlanych. Zaprzntowana mtoda umożlwa wykorzystan stnjących współczynnków bzpczństwa w mtodz lmntów skończonych. Przntowany algorytm moż być wykorzystany do oblczń bzpczństwa konstrukcj o paramtrach przdzałowych losowych. RELIABILITY OF STRUCTURES WITH INTERVAL AND RANDO PARAETERS Summary. In ths papr t was shown, that th ntrval mthods gvs th sam rsults as th sm-probablstc mthod. Th nw mthod o dntcaton o ntrval paramtrs s prsntd. Th mthod s basd on xstng cvl ngnrng cods. Usng ths mthod w can apply saty actors n th nt lmnt mthod. Prsntd algorthm can b appld to calculaton o rlablty o structurs wth ntrval and random paramtrs. 1. Wprowadzn Wszystk paramtry konstrukcj budowlanych znan są z pwną wększą lub mnjszą dokładnoścą. W nktórych przypadkach npwnośc t są na tyl duż, ż n mogą zostać pomnęt w procs projktowana. a to mjsc np. w konstrukcjach murowych, btonowych, kompozytowych oraz w przypadku obcążń watrm śngm. Do modlowana npwnośc paramtrów obcn wykorzystuj sę mtody półprobablstyczn (współczynnk bzpczństwa). W przypadku konstrukcj ntypowych można zastosować mtody probablstyczn. W nnjszj pracy do modlowana npwnośc zostaną
2 A. Pownuk wykorzystan przdzały lczbow (tolrancj). Ponadto zostan pokazan, ż stnjąc mtody półprobabltyczn są szczgólnym przypadkm mtod przdzałowych. 2. toda półprobablstyczna W ramach mtod pozomu I, jdna wartość charaktrystyczna okrśla każdy paramtr losowy. Oznaczając dalj przz σ s σ, odpowdno wartość śrdną odchyln standardow wytrzymałośc matrału, a przz Q s Q wartość śrdną odchyln standardow obcążna, wytrzymałość charaktrystyczna matrału σ k oraz charaktrystyczna wartość obcążna Q k zdnowan są jako gdz paramtry σ = σ t k σ σ, k Q Q s Q = Q t s (1) t σ t Q dobra sę tak, aby wartośc charaktrystyczn σ k Q k były odpowdnm kwantylam zmnnych losowych σ Q (np. na pozom: 2%, 5% dla wytrzymałośc oraz 98% roczngo maksmum dla obcążna). Często przyjmuj sę 2 dla konstrukcj stalowych tσ = 1.645 dla konstrukcj btonowych Wprowadza sę następn tzw. wartośc oblcznow (projktow) gdz γ s σ d Q d, dan jako σk σ d =, Qd = γ Qk (3) γ s γ są odpowdno współczynnkam częścowym wytrzymałośc obcążna. Koncntrując sę dalj na konstrukcjach stalowych, schmat 'normowgo' podjśca do projktowana konstrukcj przdstawony zostan na podstaw normy PN-9/B-32. Norma ta stanow, ż wymarowan konstrukcj nalży przprowadzać mtodą stanów grancznych, rozróżnając: stany granczn nośnośc odpowadając m obcążna oblcznow, stany granczn użytkowana odpowadając m obcążna charaktrystyczn. Przy wymarowanu konstrukcj nalży wykazać, ż w wszystkch możlwych do przwdzna przypadkach projktowych, w azach ralzacj ksploatacj, spłnon są warunk nośnośc sztywnośc konstrukcj. W ogólnym przypadku warunk stanu granczngo znszczna zapsać można w postac [4] gdz przkrojowj. g( Q d, σd, γd, γn ) (4) g( Q d, σd, γ d, γn ) = Rd Sd. S d jst wartoścą oblcznową momntu lub sły R d jst nośnoścą oblcznową lmntu. (2)
Nzawodność konstrukcj 3 Przz γ d oznaczono współczynnk uwzględnając npwnośc modlu, nn nż t, któr wzęto w rachubę przy spcykowanu współczynnków γ s γ, natomast γ n oznacza współczynnk konskwncj znszczna [1, 6]. Jak wdać w mtodz tj zakłada sę, ż paramtry nalżą do następujących przdzałów σ σ ˆ = [ σd, ), Q Qˆ = [, Q d ] (5) Paramtry projktow x nalżą do następującgo zboru: { x : σ σˆ, Q Qˆ, x xˆ, g( x, σ, Q, γd, γn ) } (6) W praktyc rzadko okrśla sę cały zbór (6). Zwykl sprawdza sę tylko czy paramtry projktowanj konstrukcj spłnają rlację (4). Dlatgo bardzj stotn jst okrśln następującgo przdzału gˆ = { y : y = g( x, σ, Q, γ, γ ), x xˆ, σ σˆ, Q Qˆ d n } (7) Jśl n gˆ (8) wtdy projktowana konstrukcja jst bzpczna. Jak wdać, aby sprawdzć warunk n gˆ n trzba wyznaczać całgo przdzału ĝ. Wystarczy oblczyć jdyn g = n gˆ. Ponważ w stosowanych obcn normach projktowana zalżność y = g x, σ, Q, γ, γ ) jst monotonczna, dlatgo wyznaczn wlkośc ( d n g jst bardzo prost. Wlkość g otrzymujmy przyjmując w oblcznach Q = Qd, σd σ = tzn. g = g x, Q, σ, γ, γ ) (9) ( d d d d n 3. Wykorzystan mtody półprobablstycznj do dntykacj paramtrów przdzałowych Założymy, ż śrdna wartość obcążna projktowanj konstrukcj wynos Q. Na skutk występowana npwnośc, do projktowana przyjmujmy wartośc oblcznow (projktow) Q d okrślon wzorm (3). Wlkość Q d stanow górn ogranczn wartośc sły Q. W analogczny sposób można wyznaczyć doln ogranczn. Ostatczn otrzymujmy przdzał, do którgo mogą nalżć wartośc sły Q. ˆ Q = [ Q, Q ] = [ Q Q, Q Q], gdz Q = Qd Q (1) Analogczn okrślamy przdzał zmnnośc wytrzymałośc matrału σ
4 A. Pownuk σ ˆ = [ σ, σ ] = [ σ σ, σ σ] W przypadku braku danych dośwadczalnych jako wartośc, gdz σ = σ σd (11) Q, σ można przyjąć odpowdn wartośc charaktrystyczn okrślon przz projktanta. Podobną mtodologę można zastosować w przypadku paramtrów gomtrycznych. Szczgółow mtody oblczana wartośc charaktrystycznych oblcznowych podan są w odpowdnch normach budowlanych. Nalży podkrślć, ż zwykl praktyczn znaczn ma tylko jdn konc przdzału. W przypadku obcążń dcydując znaczn ma obcążn maksymaln P. W przypadku wytrzymałośc matrałów zwykl korzysta sę z wartośc mnmalnj σ. Wyznaczan lczb, σ P zwykl n jst konczn. Jak zostało pokazan w poprzdnm punkc, tradycyjn mtody projktowana do okrślna bzpczństwa konstrukcj wykorzystują koncpcję paramtrów przdzałowych, dlatgo wynk otrzyman przy wykorzystanu normowych mtod projktowana pokrywają sę z wynkam oblczń przy wykorzystanu mtody przdzałowj. Nalży podkrślć, ż mtoda oblczana wlkośc charaktrystycznych oblcznowych n mus mć ntrprtacj probablstycznj. Dlatgo paramtry przdzałow mogą zostać wykorzystan do opsu npwnośc, któr n mają charaktru losowgo. W konstrukcjach budowlanych bardzo często mamy do czynna z wyrobam o charaktrz jdnostkowym n można w takm przypadku wykonać wymaganj lczby pomarów, aby oblczyć odpowdn losow charaktrystyk. Z podobną sytuacją mamy do czynna podczas ksprtyz konstrukcj zabytkowych. W tym przypadku wykonan potrzbnych badań jst utrudnon, gdyż mogłyby on doprowadzć do znszczna konstrukcj. 4. Zastosowan mtody półprobablstycznj do modlowana paramtrów w komputrowych algorytmach mchank konstrukcj Współczśn coraz częścj do oblczana bzpczństwa konstrukcj wykorzystuj sę komputrow mtody mchank cał stałych [3]. W mtodach tych n można bzpośrdno zastosować zalcń norm budowlanych dotyczących bzpczństwa konstrukcj. Jdnakż, bazując na stnjących przpsach można zdntykować przdzały, do których nalżą obcążna, wytrzymałośc oraz nn paramtry konstrukcj. Następn w clu
Nzawodność konstrukcj 5 sprawdzna bzpczństwa konstrukcj można wykorzystać warunk (8). Jako unkcję granczną można przyjąć odpowdną hpotzę wytężnową np. warunk Hubra-sssa 2 3 g ( h ) = σ s : s (12) 2 1 2 gdz s = σ I trσ jst dwatorm tnsora naprężna σ, σ jst grancą plastycznośc 3 przy rozcąganu oraz h jst wktorm paramtrów npwnych. Ponadto s s = : s j s j. Zaprzntowana koncpcja bzpczństwa konstrukcj jst, j słuszna dla wszystkch zagadnń mchank, dla których można sormułować hpotzy wytężnow. Przykładowym dzałam mchank mogły by być tutaj: - tora sprężystośc, - tora plastycznośc, - tora lpkosprżystośc oraz lpkoplastycznośc, - mchanka znszczna, - mchanka pękana, - statczność konstrukcj. Podjśc opart na paramtrach przdzałowych posada następując wady: - N jst w stan dokładn opsać npwnośc o charaktrz losowym. oż to powodować projktowan konstrukcj o zbyt konsrwatywnych paramtrach. Zastosowan mtody paramtrów przdzałowych posada następując zalty: - Wykorzystując przdstawoną w nnjszj pracy mtodologę, paramtry przdzałow są bardzo prost do dntykacj. - Do okrślna paramtrów przdzałowych potrzbna jst bardzo mała lczba normacj (trzba okrślć tylko dw lczby). - Przdzały lczbow mogą opsywać npwnośc o charaktrz nlosowym. - Oblczna przy wykorzystanu mtody przdzałowj są znaczn prostsz od oblczń przprowadzonych przy pomocy analogcznych mtod probablstycznych.
6 A. Pownuk 5. Bzpczństwo układów o paramtrach przdzałowych losowych Jśl w układz mamy do czynna zarówno z paramtram przdzałowym losowym ĥ jak X, to prawdopodobństwo znszczna układu mchanczngo można oblczyć przy wykorzystanu następującj zalżnośc: P = P ( g( X, h) <, h hˆ ) = dx X { x: g( x,h) <, h hˆ} gdz X (x) jst unkcją gęstośc rozkładu prawdopodobństwa wktora losowgo X. Rozważymy dla przykładu pręt rozcągany słą P o przkroju A wytrzymałośc σ. ˆ Zakładam, ż P = [ P, P ] oraz σ jst zmnną losową o rozkładz normalnym scharaktryzowanym wartoścą śrdną σ odchylnm standardowym gdz P z = σa P, normalngo N (,1). = P({ ω : σ( ω) A P <, P Pˆ}) = z ( z) dz = z z t =, s Z z β =, β s Z Aσ P = As σ β s σ. ( t) dt = Φ( β t ) (13) (14) oraz Φ (t) jst dystrybuantą rozkładu W przypadku stosowana mtody lmntów skończonych, do oblczna kstrmalnych wartośc unkcj grancznj można wykorzystać monotonczną zalżność rozwązana od npwnych paramtrów, oraz mtody analzy wrażlwośc. Nch unkcja granczna ma postać okrśloną przy pomocy wzoru (12). Wrażlwość unkcj grancznj można okrślć następująco: Przy czym σ s g σ( h) 3 s 3 s = 2 : s s : = 2 2 2 s s σ = σ s h 3 : s (15) (16) σ CB q = ( CBq) = q CB (17) q Q K K = q (18) smn ( ) : s h = : smn. C jst macrzą stałych matrałowych. q jst h h m, n wktorm przmszczń. B jst macrzą pozwalającą oblczyć odkształcna w oparcu o
Nzawodność konstrukcj 7 znan przmszczna ε = Bq. K jst macrzą sztywnośc. Q jst wktorm uogólnonych obcążń przywęzłowych. Znaczn poszczgólnych symbol można znalźć w pracy [3]. Ekstrmaln wartośc unkcj grancznj można znalźć na podstaw znaku pochodnj g(h) oraz końców przdzału ĥ. h g g = g ˆ g h, sgn, g = g ˆ h, sgn (19) W układach lnowych. Funkcj wwnętrzn w lmnc prętowym są unkcjam przmszczń q, obcążń konstrukcj Q oraz obcążń Q lmntu. = ( x, q, Q, Q ) (2) gdz (x) jst momntm zgnającym w punkc x lmntu. Wrażlwość unkcj momntów zgnających można oblczyć przy wykorzystanu następującgo wzoru. ( x, q, Q, Q ) Na podstaw równana (18) można oblczyć wrażlwość przmszczń można oblczyć bzpośrdno. Wykorzystując = ( x) q. momntów zgnających w bardzo skomplkowanych układach mchancznych. Q oraz (21) Q można oblczyć obwdnę = x, hˆ, sgn, = x, hˆ, sgn (22) W analogczny sposób można oblczyć obwdnę pozostałych sł wwnętrznych. 6. Wnosk Głównym rzultatm nnjszj pracy jst wykazan, ż mtoda półprobablstyczna oraz mtoda paramtrów przdzałowych dają w prostych przypadkach t sam rzultaty. Podjśc tak umożlwa wykorzystan normowych współczynnków bzpczństwa w oblcznach z wykorzystanm komputrowych mtod mchank cał stałych. Dzęk przdstawonj w nnjszj pracy mtodolog dntykacja paramtrów przdzałowych jst bardzo prosta. W pracy opsano algorytm oblczana obwdn sł wwnętrznych w układach z przdzałowym paramtram. Oblczona w tn sposób obwdna moż uwzględnać npwnośc stałych matrałowych oraz paramtrów gomtrycznych. Zastosowana zaprzntowanj tutaj mtodolog zostaną zaprzntowan na konrncj.
8 A. Pownuk LITERATURA 1. Bgus A.: Probablstyczna analza konstrukcj stalowych. PWN, Warszawa 1999 2. Dubos D., Prad H.: Random sts and uzzy ntrval analyss. Fuzzy Sts and Systms, Vol. 38, 1991, s.39-312 3. Klbr.: Komputrow mtody mchank cał stałych. PWN, Warszawa 1995 4. Łapko A.: Projktowan konstrukcj żlbtowych. Arkady, Warszawa 2 5. Pownuk A.: Projktowan układów z npwnym paramtram. Sympozjum Trwałość Budowl, Kamń Śląsk 2-3.7.21 6. Stock R.: Optymalzacja nzawodnoścowa konstrukcj prętowych w zakrs dużych przmszczń tora program komputrowy. Prac IPPT, 13/1999 Abstract Summary. In ths papr was shown, that th ntrval mthods gvs th sam rsults as th sm-probablstc mthod. Th nw mthod o dntcaton o ntrval paramtrs s prsntd. Th mthod s basd on xstng cvl ngnrng cods. Usng ths mthod w can apply saty actors n th nt lmnt mthod. Uppr and lowr bounds o lmt stat uncton g can b calculatd usng snstvty analyss. Ths mthod can b appld whn uncrtanty o paramtrs s sucntly small. Prsntd algorthm can b appld to calculat rlablty o structurs wth ntrval and random paramtrs. Smpl xampl o applcaton s prsntd.