Matematyka dla studentów kierunku Projetowanie Architektury Wn trz i Otoczenia Jolanta Rosiak 3 grudnia 2018
2
Geometria analityczna w przestrzeni Przestrzeni R 3 nazywamy zbiór wszystkich uporz dkowanych trójek (x, y, z) liczb rzeczywistych, tzn. R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R}. Zbiór R 3 mo»na interpretowa geometrycznie wprowadzaj c trójwymiarowy prostok tny (kartezja«ski) ukªad wspóªrz dnych. P = (x, y, z) - punkt w przestrzeni R 3. lewoskr tny Ukªad prawoskr tny B dziemy rozwa»a ukªad prawoskr tny. Liczby x, y, z nazywamy wspóªrz dnymi punktu P ; OX, OY, OZ - oznaczenia osi ukªadu wspóªrz dnych; OXY, OY Z, OXZ - oznaczenia pªaszczyzn (zawieraj cych dwie wybrane osie ukªadu wspóªrz dnych); Podobnie jak dwuwymiarowy ukªad wspóªrz dnych dzieli pªaszczyzn na wiartki, tak trójwymiarowy ukªad wspóªrz dnych dzieli przestrze«na oktanty. Trójka (x, y, z) w przestrzeni R 3 mo»e by tak»e interpretowana jako wektor a = OP zaczepiony w punkcie O = (0, 0, 0), o ko«cu w punkcie P = (x, y, z). Podobnie, dwa punkty P i Q w przestrzeni wyznaczaj jednoznacznie zarówno odcinek P Q, jak i wektor P Q (jak równie» QP ). Uwaga. Zarówno wektory, jak i punkty w przestrzeni R 3 mog by podane s za pomoc wspóªrz dnych, wi c przy odró»nieniu wektora od punktu nale»y zwróci uwag na rodzaj u»ytych nawiasów (o ile to rozró»nienie nie wynika z kontekstu).
4 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI zapis (x, y, z) oznacza wspóªrz dne punktu, zapis [x, y, z] oznacza wspóªrz dne wektora. Je±li wspóªrz dnymi punktu s odpowiednie wspóªrz dne rzutów punktu na osie ukªadu wspóªrz dnych, to takie wspóªrz dne nazywamy kartezja«skimi (lub prostok tnymi). Wspóªrz dne punktu mo»na podawa tak»e za pomoc innych wielko±ci liczbowych, okre±laj cych jednoznacznie jego poªo»enie. Zamiast wspóªrz dnych prostok tnych mo»na stosowa wspóªrz dne cylindryczne lub wspóªrz dne sferyczne. Wspóªrz dne cylindryczne P = P (ρ, ϕ, z) ρ 0, ϕ [0, 2π) Zale»no±ci: Wspóªrz dne sferyczne P = P (ρ, θ, ϕ) ρ 0, θ [0, π), ϕ [0, 2π) Zale»no±ci: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z. x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ. Zadanie domowe: Poda wspóªrz dne
5 1. kartezja«skie punktu P, wiedz c,»e ma on wspóªrz dne cylindryczne ( 2π 3, π 4, 1) ; 2. cylindryczne punktu P, wiedz c,»e ma on wspóªrz dne kartezja«skie ( 1, 1, 6 ) ; 3. cylindryczne punktu P, wiedz c,»e ma on wspóªrz dne sferyczne ( 1, π, ) 3π 6 4 ; 4. kartezja«skie punktu P, wiedz c,»e ma on wspóªrz dne sferyczne ( 1, 5π 6, π 4 ) ; W dalszej cz ±ci wykªadu wspóªrz dne b d oznacza wspóªrz dne kartezja«skie. Je»eli A = (x A, y A, z A ) i B = (x B, y B, z B ), to wektor zaczepiony AB ma wspóªrz dne [x B x A, y B y A, z B z A ] Wektor [0, 0, 0] nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy 0. Wektor [ x a, y a, z a ] nazywamy wektorem przeciwnym do wektora a = [x a, y a, z a ] i oznaczamy ( a ). Wektorem swobodnym nazywamy zbiór wszystkich wektorów zaczepionych, które maj ten sam kierunek, zwrot i dªugo±. Dziaªania na wektorach okre±lamy nast puj co: 1. dodawanie wektorów [a x, a y, a z ] ± [b x, b y, b z ] = [a x ± b x, a y ± b y, a z ± b z ] 2. mno»enie wektora przez staª c R c [a x, a y, a z ] = [c a x, c a y, c a z ]
6 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Powy»sze dziaªania maj nast puj ce wªasno±ci: 1. a + b = b + a ; 2. ( a + b ) + c = a + ( b + c ); 3. a + 0 = a ; 4. a + ( a ) = 0 ; 5. (α + β) a = α a + β a dla α, β R; 6. α( a + b ) = α a + α b dla α R; 7. α a = 0 α = 0 a = 0 Dªugo± wektora a = [a x, a y, a z ] a = zad.dom: Wyprowadzi powy»szy wzór. Wªasno±ci dªugo±ci wektora: Dla dowolnych wektorów a, b zachodzi a 0; a = 0 a = 0 ; a + b a + b ; α a = α a dla α R. a 2 x + a 2 y + a 2 z Wersorem wektora a 0 nazywamy wektor a 0, który ma dªugo± 1 oraz ten sam kierunek i zwrot jak wektor a. Wersory osi ukªadu wspóªrz dnych b dziemy oznacza nast puj co: [1, 0, 0] = i (wersor osi 0X); [0, 1, 0] = j (wersor osi 0Y ); [0, 0, 1] = k (wersor osi 0Z)
7 Je»eli a = [a x, a y, a z ], to mo»emy zapisa a = ax i + ay j + az k Je»eli a = [a x, a y, a z ], to [ ] ax a 0 = a, a y a, a z jest wersorem wektora a. Zauwa»my, a»e: cos( ( a, OX)) = a x a cos( ( a, OY )) = a y a cos( ( a, OZ)) = a z a a x Liczby a, a y a, a z a (Wspóªrz dne wersora a 0 wektora a ) nazywamy cosinusami kierunkowymi wektora a. Iloczynem skalarnym wektorów p i q nazywamy liczb Iloczyn skalarny oznaczamy symbolem p q cos( ( p, q )) p q. Iloczyn skalarny oznaczamy tak»e symbolem p q lub p q. W szczególno±ci iloczyn skalarny p p mo»na zapisa krótko p 2. Wªasno±ci iloczynu skalarnego: 1. a b = b a ; 2. a 0 = 0; 3. a ( b + c ) = a b + a c ; 4. a 2 = a 2 (tzn. a = a 2 ); 5. Je»eli a b = 0, to a b. Z powy»szych wªasno±ci wynika w szczególno±ci 5. i 2 = j 2 = k 2 = 1 6. i j = j k = i k = 0 7. Je»eli a = [a x, a y, a z ] i b = [b x, b y, b z ], to a b = ax b x + a y b y + a z b z
8 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Korzystaj c z denicji iloczynu skalarnego mo»emy wyznaczy miar k ta mi dzy wektorami: cos( ( p, p q q )) = p q. Zatem ( p, ( p ) q q ) = arccos p q W szczególno±ci z powy»szego wzoru wynika,»e je±li p q < 0, to k t ( p, q ) jest rozwarty. Rzutem prostok tnym wektora a w kierunku wektora b okre±lony wzorem a b c = b b 2 nazywamy wektor c Niech p, q 0 i p q. Iloczynem wektorowym uporz dkowanej pary wektorów p, q nazywamy wektor r speªniaj cy nast puj ce warunki: 1. r p i r q ; 2. r = p q sin( ( p, q )); 3. p, q, r tworz ukªad zgodny z orientacj przestrzeni. Iloczyn wektorowy oznaczamy symbolem Ponadto przyjmujemy: p 0 = 0 ; p q = 0 gdy p q. p q Z powy»szej denicji jasno wynika,»e iloczyn wektorowy jest okre±lony jednoznacznie. Dªugo± iloczynu wektorowego p q jest równa polu równolegªoboku rozpi tego na wektorach p i q. Wªasno±ci iloczynu wektorowego:
9 1. q p = p q (antyprzemienno± ); 2. (α p ) q = p (α q ) = α( p q ) dla α R; 3. ( p 1 + p 2 ) q = p 1 q + p 2 q ; 4. p ( q 1 + q 2 ) = p q 1 + p q 2 ; 5. p q p q. Z denicji iloczynu wektorowego wynika tak»e w szczególno±ci,»e i j = k ; j k = i ; k i = j. Je»eli p = [p x, p y, p z ] i q = [q x, q y, q z ], to wspóªrz dne wektora p q obliczamy za pomoc wyznacznika: i j k p q = p x p y p z q x q y q = z
10 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI = i p y q y p z q z j p x [ p = y p z, p x q y q z q x q x p z q z p z q z, p x + k p x q x p y q y q x ] p y q y = Iloczynem mieszanym uporz dkowanej trójki wektorów p, q, r nazywamy liczb ( p q ) r Iloczyn mieszany oznaczamy symbolem ( p, q, r ), tzn. ( p, q, r ) = ( p q ) r Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego: Warto± bezwzgl dna z iloczynu mieszanego ( p, q, r ) jest równa obj to±ci równolegªo±cianu rozpi tego na wektorach p, q i r. Je»eli p = [px, p y, p z ], to q = [qx, q y, q z ], r = [rx, r y, r z ], ( p, q, p x p y p z r ) = q x q y q z r x r y r z Mówimy,»e wektory p, q, r s komplanarne (wspóªpªaszczyznowe), je»eli stnieje pªaszczyzna, do której wszystkie trzy wektory s równolegªe Wªasno± : ( p, q, r ) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy i wektory s komplanarne. Mówimy,»e wektory p, q s kolinearne (wspóªliniowe), je»eli istnieje prosta, do której wszystkie obydwa wektory s równolegªe. Wªasno± : p i q s kolinearne wtedy i tylko wtedy gdy istnieje liczba α R taka,»e p = α q. Uwaga; Przyjmujemy,»e wektor 0 jest zarówno prostopadªy, jak i równolegªy do dowolnego wektora. Równania pªaszczyzny w przestrzeni R 3
I. Równanie ogólne pªaszczyzny Niech P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) R 3 b dzie ustalonym punktem. Rozwa»my niezerowy wektor n = [A, B, C]. 11 Pytanie: jakie jest miejsce geometryczne punktów P = (x, y, z) R 3, takich,»e wektory n i P 0 P s prostopadªe? Odpowied¹: punkty te tworz pªaszczyzn, która jest prostopadªa do wektora n i przechodzi przez punkt P 0. Wektor n = [A, B, C] nazywamy wektorem normalnym pªaszczyzny π. Wektor normalny pªaszczyzny π oznaczamy tak»e symbolem n π Poniewa» wektory P 0 P = [x x 0, y y 0, z z 0 ] i n = [A, B, C] s prostopadªe, wi c [x x 0, y y 0, z z 0 ] [A, B, C] = 0 Pªaszczyzna π jest wi c zbiorem punktów P = (x, y, z) speªniaj cych równanie (o zmiennych x, y, z): A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Oznaczmy D = Ax 0 By 0 Cz 0. Równanie ogólne pªaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 Pªaszczyzna ma niesko«czenie wiele postaci równania ogólnego, przy czym równania A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 opisuj t sam pªaszczyzn wtedy i tylko wtedy [A 1, B 1, C 1, D 1 ] = α[a 2, B 2, C 2, D 2 ] dla pewnej staªej α R. Je»eli trzy (ró»ne) punkty A, B, C s niewspóªliniowe, to istnieje dokªadnie jedna pªaszczyzna zawieraj ca punkty A, B, C.
12 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Wówczas np. wektor AB AC 0, jest prostopadªy do pªaszczyzny wyznaczonej przez punkty A, B, C, wi c w oparciu o powy»szy iloczyn wektorowy mo»na wyznaczy równanie ogólne pªaszczyzny przechodz cej przez punkty A, B, C. II. Równanie odcinkowe pªaszczyzny Niech π : Ax + By + Cz + D = 0 b dzie równaniem ogólnym pªaszczyzny π. Je»eli D 0, to mo»emy je przeksztaªci nast puj co: Ax + By + Cz = D \ : ( D) A D x B D y C D z = 1 Oznaczmy a = D A, b = D B, c = D C Równanie odcinkowe pªaszczyzny π : x a + y b + z c = 1 Je»eli równanie odcinkowe pªaszczyzny jest okre±lone, ma jednoznaczn posta. Zadanie domowe: Wyznaczy równanie ogólne pªaszczyzny: 1. równolegªej do osi OX, 2. równolegªej do osi OY, 3. równolegªej do osi OZ, 4. równolegªej do pªaszczyzny OXY, 5. równolegªej do pªaszczyzny OXZ, 6. równolegªej do pªaszczyzny OY Z. Równania prostej w przestrzeni R 3
13 I. Równanie parametryczne prostej Niech P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) b dzie ustalonym punktem. Rozwa»my niezerowy wektor v = [a, b, c]. Pytanie: Jakie jest miejsce geometryczne punktów P = (x, y, z) R 3, takich,»e wektory v i P 0 P s równolegªe? Odpowied¹: punkty te tworz prost l, równolegª do wektora v i przechodz c przez punkt P 0. Wektor v = [a, b, c] nazywamy wektorem kierunkowym prostej l. Wektor kierunkowy prostej l oznaczamy tak»e symbolem v l Równanie parametryczne prostej l : x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct, t R Prosta ma niesko«czenie wiele postaci równania parametrycznego, przy czym je±li l 1 : x = x 1 + a 1 t y = y 1 + b 1 t z = z 1 + c 1 t, l 2 : x = x 2 + a 2 s y = y 2 + b 2 s z = z 2 + c 2 s, to równania l 1 i l 2 opisuj t sam prost je»eli v l1 v l2 P 1 P 2, gdzie P 1 l 1 i P 2 l 2 (np. P 1 P 2 = [x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ]). II. Równanie kanoniczne prostej Je»eli (wspóªrz dne wektora) a, b, c 0, to: x = x 0 + at t = x x 0 a y = y 0 + bt t = y y 0 b z = z 0 + ct t = z z 0 c
14 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Równanie kanoniczne prostej x x 0 l : = y y 0 = z z 0 a b c 1. Je»eli co najmniej jedna ze wspóªrz dnych wektora kierunkowego jest równa 0, to posta kanoniczna prostej nie jest okre±lona. 2. Równanie kanoniczne jest zwane tak»e równaniem kierunkowym. 3. Je»eli istnieje jedna posta kanoniczna prostej l, to prosta l ma ich niesko«czenie wiele. III. Równanie kraw dziowe prostej Je»eli dwie pªaszczyzny nie s równolegªe, to ich cz ±ci wspóln (kraw dzi ) jest pewna prosta. Dla ka»dej prostej l istnieje niesko«czenie wiele par pªaszczyzn, dla których l jest ich wspóln kraw dzi. Zatem prosta mo»e by rozwa»ana jako zbiór rozwi za«ukªadu równa«(z niewiadomymi x, y, z): { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 gdzie [A 1, B 1, C 1 ] [A 2, B 2, C 2 ], i pªaszczyzny dane s równaniami π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Równanie kraw dziowe prostej l : { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 1. Prosta ma niesko«czenie wiele postaci równania kraw dziowego. 2. Wektor n π1 n π2 jest równolegªy do prostej l (wi c mo»e by wybrany jako wektor kierunkowy prostej). Wzajemne poªo»enie pªaszczyzn i prostych w przestrzeni R 3 Punkt P nazywamy rzutem prostok tnym punktu P na pªaszczyzn π, je»eli P π i P P π; prost l, je»eli P l i P P l;
15 Zbiór wszystkich rzutów prostok tnych punktów prostej l na pªaszczyzn π nazywamy rzutem prostok tnym prostej l na pªaszczyzn π. Niech π : Ax + By + Cz + D = 0 i P = (x 0, y 0, z 0 ). Odlegªo± punktu P od pªaszczyzny π d(p, π) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 Zadanie domowe: wyprowadzi powy»szy wzór. (wskazówka: skorzysta z rzutu prostok tnego i iloczynu skalarnego.) Odlegªo± mi dzy pªaszczyznami równolegªymi Je»eli π 1 : Ax+By+Cz+D 1 = 0 i π 2 : Ax+By+Cz+D 2 = 0, to D 1 D 2 d(π 1, π 2 ) = A2 + B 2 + C. 2 Pªaszczyzny nierównolegªe przecinaj c si tworz k t dwu±cienny. Miara tego k ta jest równa mierze wektora, jaki tworz wektory normalne tych pªaszczyzn. Prosta i pªaszczyzna: 1. Je»eli prosta l jest nierównolegªa do pªaszczyzny π, to maj dokªadnie jeden punkt wspólny. Ten punkt nazywamy punktem przebicia (pªaszczyzny π prost l). 2. Je»eli prosta l ma co najmniej dwa punkty wspólne z pªaszczyzn π, to l π. 3. Prosta l jest równolegªa do pªaszczyzny π wtedy i tylko wtedy gdy wektor kierunkowy prostej jest prostopadªy do wektora normalnego pªaszczyzny. Dwie proste w przestrzeni: równe równolegªe rozª czne; przecinaj si (jeden punkt wspólny); sko±ne - gdy nie istnieje pªaszczyzna zawieraj ca obie proste. Odlegªo± prostych sko±nych Niech k, l b d prostymi sko±nymi o wektorach kierunkowych v l i v k odpowiednio. Niech K k i L l b d punktami. Wówczas: d = ( v l v k ) KL v l v k Zad. domowe: Przedstawi interpretacj geometryczn tego wzoru (wskazówka: skorzysta z interpretacji geometrycznej iloczynu mieszanego).
16 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Ukªady równa«liniowych Rozwa»my ukªad równa«liniowych: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 (U) :. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m x 1,..., x n - niewiadome a ij - wspóªczynniki (1 i m, 1 j n) b 1,..., b m - wyrazy wolne Je»eli b 1 =... = b m = 0, to ukªad (U) nazywamy jednorodnym. Ukªad jednorodny ma co najmniej jedno rozwi zanie (x 1 =... = x n = 0) Rozwi zaniem ukªadu równa«(u) nazywamy dowolny ci g (x 1,..., x n ) speªniaj cy ka»de równanie w ukªadzie. Ukªad (U) nazywamy oznaczonym gdy ma dokªadnie jedno rozwi zanie; nieoznaczonym gdy ma wiele rozwi za«; sprzecznym gdy nie ma rozwi za«twierdzenie Ukªad (U) jest nieoznaczony, oznaczony lub sprzeczny dla dowolnego n R i dowolnych a 11,..., a mn, b 1,..., b m R. Zadanie domowe: Udowodni powy»sze twierdzenie dla przypadku, gdy (U) jest jednorodny (wskazówka: pokaza,»e je»eli ukªad (U) ma dwa ró»ne rozwi zania, to musi mie ich wiele, tzn na podstawie tych dwóch rozwi za«mo»na wskaza kolejne rozwi zanie.) Ukªad równa«(u) mo»emy interpretowa jako równo± dwóch macierzy jednokolumnowych: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n b 1. = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n b m Dalej, zauwa»my,»e w tej równo±ci macierz po lewej stronie jest iloczynem macierzy: a 11 a 12... a 1n x 1 a 21 a 22... a 2n A =...... oraz X = x 2 Przy powy»szych oznaczeniach mo»emy. a m1 a m2... a mn x n ukªad (U) zapisa nast puj co: AX = B
18 UKŠADY RÓWNA LINIOWYCH, gdzie B = b 1 b 2. b m Twierdzenie Cramera Je»eli macierz A M n (R) (tzn. liczba równa«= liczba niewiadomych) i det(a) 0, to ukªad (U) ma dokªadnie jedno rozwi zanie dane wzorami: x i = det(b i) det(a) i = 1,..., n, gdzie B i jest macierz uzyskan przez zamian i-tej kolumny w macierzy A na macierz B. Je»eli det(a) 0, to ukªad (U) nazywamy ukªadem Cramera 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 3 Przykªad: 6x 1 x 2 + 9x 3 = 1 11x 1 8x 2 = 7 2 3 1 det(a) = 6 1 9 11 8 0 = 404 0 det(b 3 3 1 1) = 1 1 9 7 8 0, det(b 2 3 1 2) = 6 1 9 11 7 0, det(b 3) = 2 3 3 6 1 1 11 8 7, Poniewa» det(a) = 404 0, wi c ukªad równa«ma na mocy Tw. Cramera dokªadnie jedno rozwi zanie: det(b 1 ) = 404, x 1 = det(b 1) det(a) = 404 404 = 1 det(b 2 ) = 202, x 2 = det(b 2) det(a) = 202 404 = 1 2 det(b 3 ) = 202, x 3 = det(b 3) det(a) = 1 2 A co je±li det(a) = 0 lub m n? Wprowadzimy pomocniczy zapis ukªadu równa«(u) za pomoc tzw. macierzy rozszerzonej: [ ] A.B Operacje na macierzy rozszerzonej b dziemy wykonywa TYLKO NA WIERSZACH. Na kolumnach mo»na jedynie zastosowa permutacj w obr bie macierzy A (co odpowiada zmianie kolejno±ci wyst powania niewiadomych w równaniach) zmieniaj zbioru rozwi za«ukªadu (U): Operacje, które nie 1. wykre±lenie wiersza zªo»onego z samych zer; 2. wykre±lenie wiersza proporcjonalnego z innym wierszem; 3. pomno»enie wiersza przez dowoln niezerow staª ;
19 4. zmiana kolejno±ci wierszy; 5. przemno»enie wybranego wiersza przez liczb i dodanie do innego wiersza; Powy»sze operacje b dziemy nazywa przeksztaªceniami równowa»nymi Metoda eliminacji Gaussa-Jordan Metoda ta polega na przeksztaªceniu macierzy rozszerzonej [ ] A.B do macierzy postaci [I r.p.b ], gdzie I r jest macierz jednostkow stopnia r, macierz P jest macierz parametrów (skªada si z n r kolumn, nie istnieje gdy r = n) i B kolumn wyrazów wolnych. Warto±ci parametrów mog by dowolne, a niewiadome odpowiadaj ce kolumnom macierzy I r s wyznaczone za pomoc parametrów i wyrazów wolnych. Liczb r nazywamy rz dem macierzy A. Rz d macierzy jest wyznaczony jednoznacznie. Ukªad jest sprzeczny, gdy w wyniku przeksztaªce«równowa»nych uzyskamy w macierzy............ wiersz 0... 0 a 0............. x 1 + 2x 2 + x 3 x 4 + 3x 5 = 4 Przykªad: 2x 1 + x 2 + x 4 + 5x 5 = 6 Tworzymy macierz rozszerzon : 3x 1 + 3x 2 + x 3 + 8x 5 = 10 wykre±lamy trzeci wiersz: 1 2 1 1 3 4 2 1 0 1 5 6 3 3 1 0 8 10 1 2 1 1 3 4 2 1 0 1 5 6 3 3 1 0 8 10 1 2 1 1 3 4 0 3 2 3 1 2 0 3 2 3 1 2 [ 1 2 1 1 3 4 0 3 2 3 1 2 [ 1 2 1 1 3 4 0 3 2 3 1 2 w 1 ( 2)+w 2 w 1 ( 3)+w 3 w 1 ( 2)+w 2 w 1 ( 3)+w 3 ] ] w 2 3+w 1
20 UKŠADY RÓWNA LINIOWYCH [ 1 7 5 8 0 2 0 3 2 3 1 2 [ 1 0 5 8 7 2 0 1 2 3 3 2 [ 1 0 5 8 7 2 0 1 2 3 3 2 x 5 x 2 ] k 5 k 2 ] w 2 ( 1) ] 1. x 3, x 4, x 2 -parametry, tj. x 3, x 4, x 2 R; 2. niewiadome (zmienne) x 1, x 5 obliczamy z równa«: { x1 5x 3 + 8x 4 7x 2 = 2 = x 1 = x 5 + 2x 3 3x 4 + 3x 2 = 2 = x 5 = Ostatecznie rozwi zanie jest nast puj ce: x 1 = 2 + 5x 3 8x 4 + 7x 2 x 5 = 2 2x 3 + 3x 4 3x 2 x 2, x 3, x 4 R
Wªasno±ci funkcji Przypomnienie: Funkcj ze zbioru X do zbioru Y nazywamy odwzorowanie, które ka»demu elementowi zbioru X przyporz dkowuje dokªadnie jeden element zbioru Y. Piszemy wówczas f : X Y W trakcie wykªadów ograniczymy si do funkcji, których zarówno dziedzina jak i zbiór warto±ci s zbiorami liczbowymi. Dziedzin naturaln funkcji f nazywamy zbiór wszystkich x R, dla których wyra»enie f(x) ma sens liczbowy. Dziedzin funkcji b dziemy oznacza symbolem D oznaczenie funkcji (D f - dziedzina funkcji f, D g - dziedzina funkcji g, itp) Zbiór warto±ci funkcji b dziemy oznacza symbolem W oznaczenie funkcji Uwaga Je±li dziedzina nie jest zadana dla danej funkcji, domy±lnie przyjmujemy dziedzin naturalnk. Monotoniczno± Funkcja staªa c R x Df f(x) = c Fakt, ze funkcja jest staªa b dziemy niekiedy zaznacza zapisem f(x) c. rosn ca na zbiorze X D f Funkcja Funkcja niemalej ca na zbiorze X D f x1,x 2 X x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ) x1,x 2 X x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) Monotoniczno± Funkcja malej ca na zbiorze X D f Funkcja nierosn ca na zbiorze X D f x1,x 2 X x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ) x1,x 2 X x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) Uwaga! Z faktu,»e funkcja ma tak sam monotoniczno± na zbiorach X oraz Y nie wynika monotoniczno± na zbiorze X Y.
22 WŠASNO CI FUNKCJI Przykªad: f(x) = tgx. Mówimy»e funkcja jest monotoniczna przedziaªami je»eli dziedzin mo»na przedstawi w postaci sumy przedziaªów, na których funkcja jest monotoniczna Funkcj f nazywamy ograniczon z doªu je»eli istnieje m R taka,»e m < f(x) dla ka»dego x D f. Funkcj f nazywamy ograniczon z góry je»eli istnieje M R taka,»e f(x) < M dla ka»dego x D f. Funkcj f nazywamy ograniczon je»eli istniej staªe m, M R takie,»e m < f(x) < M dla ka»dego x D f Funkcj f nazywamy okresow, je»eli istnieje T R + taka»e f(x + T ) = f(x) dla ka»dego x D f. Najmniejsz liczb T speªniaj c warunek f(x + T ) = f(x) (o ile taka istnieje) nazywamy okresem podstawowym funkcji f. Funkcj f nazywamy parzyst, je»eli f( x) = f(x) dla ka»dego x D f. Funkcj f nazywamy nieparzyst, je»eli f( x) = f(x) dla ka»dego x D f. Funkcj f nazywamy ró»nowarto±ciow (iniekcj ), je»eli f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2. lub równowa»nie: x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) Warunek zawarty w denicji oznacza,»e ka»da warto± funkcji jest osi gana dla jednego argumentu. Zadanie domowe: Rozstrzygn prawda czy faªsz (odpowied¹ uzasadni ) 1. Ró»nica funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcj parzyst. 2. Iloczyn funkcji nieparzystych jest funkcj parzyst. 3. Iloczyn funkcji ró»nowarto±ciowych jest ró»nowarto±ciowy. 4. Suma funkcji okresowych jest funkcj okresow. 5. Suma funkcji ró»nowarto±ciowych jest ró»nowarto±ciowa. 6. Iloczyn funkcji rosn cych jest funkcj niemalej c. 7. Ka»da funkcja nieparzysta jest ró»nowarto±ciowa. 8. Ka»da funkcja rosn ca jest ró»nowarto±ciowa. 9. Ka»da funkcja okresowa jest parzysta lub nieparzysta. 10. adna funkcja parzysta nie jest ró»nowarto±ciowa. 11. adna funkcja nieparzysta nie jest ograniczona. 12. Ró»nica funkcji ograniczonych z doªu jest ograniczona z góry. 13. adna funkcja parzysta nie jest nieparzysta.
23 14. adna funkcja okresowa nie jest monotoniczna. 15. Je»eli funkcja nie jest ograniczona, to jest ró»nowarto±ciowa. Przegl d wa»niejszych funkcji i ich wªasno±ci 1. Funkcja liniowa f(x) = ax + b, a, b R Wªasno±ci: D f = R; W f = R dla a 0; funkcja monotoniczna (a > 0 rosn ca, a < 0 majel ca, a = 0 staªa); ró»nowarto±ciowa dla a 0; wykresem jest prosta, a = tan α; Zadanie domowe: Wykaza,»e funkcja liniowa jest; parzysta a = 0, oraz nieparzysta b = 0. 2. Funkcja kwadratowa f(x) = ax 2 + bx + c a 0, b, c R D f = R; wykres funkcji nazywamy parabol ; monotoniczna przedziaªami; parzysta dla b = 0, ani parzysta ani nieparzysta w przeciwnym przypadku; miejsca zerowe: dwa, jedno lub brak; ograniczona z doªu lub z góry; posta kanoniczna: ( ax 2 + bx + c = a x + b ) 2 2a 4a posta iloczynowa ( 0): ax 2 + bx + c = a (x x 1 )(x x 2 ) 3. Funkcja pot gowa f(x) = x α 3.1. Przypadek α N 3.1.a. α = 2k, gdzie k N
24 WŠASNO CI FUNKCJI Wªasno±ci funkcji: D f = R; W f = 0, + ); funkcja monotoniczna przedziaªami; parzysta(( x) 2k = x 2k ) miejsce zerowe x = 0; ograniczona z doªu nie jest ró»nowarto±ciowa (x 2k = c 2k x = c) Uwaga: wykres dla k 2 nie jest parabol. 3. Funkcja pot gowa f(x) = x α 3.1. Przypadek α N 3.1.b. α = 2k + 1, gdzie k N Wªasno±ci funkcji: D f = R; W f = R; funkcja rosn ca; nieparzysta(( x) 2k+1 = x 2k+1 ); miejsce zerowe x = 0; ró»nowarto±ciowa (x 2k+1 = c 2k+1 x = c); 3.2. α R + \N (wykres) Wªasno±ci funkcji: D f = 0, + ); W f = 0, + );
25 funkcja rosn ca (x α > c α x > c); ró»nowarto±ciowa (x α = c α x = c); miejsce zerowe x = 0; (wykres) 4. Funkcja homograczna f(x) = ax + b cx + d, c 0 Wªasno±ci: D f = R\{ d c }; W f = R\{ a c }; funkcja przedziaªami rosn ca lub przedziaªami malej ca; ró»nowarto±ciowa wykres nazywamy hiperbol 5. Funkcje trygonometryczne 5.1. f(x) = sin x Wªasno±ci: D f = R; W f = 1, 1 ; funkcja okresowa T = 2π funkcja przedziaªami monotoniczna; nie jest ró»nowarto±ciowa (sin x = sin α x = α)
26 WŠASNO CI FUNKCJI miejsce zerowe x = kπ, gdzie k Z; nieparzysta (sin( x) = sin x) ograniczona 5. Funkcje trygonometryczne 5.2. f(x) = cos x Wªasno±ci: D f = R; W f = 1, 1 ; funkcja okresowa T = 2π funkcja przedziaªami monotoniczna; nie jest ró»nowarto±ciowa (cos x = cos α x = α) miejsce zerowe x = π 2 + kπ, gdzie k Z; parzysta (cos( x) = cos x) ograniczona 5. Funkcje trygonometryczne 5.3. f(x) = tan x Wªasno±ci: D f = R\{x = π 2 + kπ : k Z}; W f = R; funkcja okresowa T = π funkcja przedziaªami rosn ca;
nie jest ró»nowarto±ciowa (ale ma t wªasno± po zredukowaniu do jednego okresu podstawowego) miejsce zerowe x = kπ, gdzie k Z; nieparzysta (tan( x) = tan x) 5. Funkcje trygonometryczne 5.4. f(x) = cot x 27 Wªasno±ci: D f = R\{x = kπ : k Z}; W f = R; funkcja okresowa T = π funkcja przedziaªami malej ca; nie jest ró»nowarto±ciowa (ale ma t wªasno± po zredukowaniu do jednego okresu podstawowego) miejsce zerowe x = π 2 + kπ, gdzie k Z; nieparzysta (cot( x) = cot x) Przypomnienie: Wzory redukcyjne Wzory redukcyjne pozwalaj wyra»a warto±ci funkcji trygonometrycznych dowolnego k ta za pomoc warto±ci funkcji k tów ostrych. Znaki funkcji trygonometrycznych w wiartkach:
28 WŠASNO CI FUNKCJI α I. ( ) ( 0, π 2 II. π, π) III. ( π, 3π) IV. ( 3π, 2π) 2 2 2 sin α + + cos α + + tan α + + cot α + + Stosujemy dwie proste zasady: 1. Ustalamy, do której wiartki nale»y k t i zapisujemy miar k ta w postaci kπ ± α, gdzie α ( 0, π 2 ) ; 2. po zredukowaniu dostajemy t sam funkcj trygonometryczn k ta α ze znakiem plus lub minus, stosownie do znaku, który funkcja ma w wiartce 'wyj±ciowej. (przykªady) 6. Funkcja wykªadnicza f(x) = a x 6.1 Przypadek a > 1 Wªasno±ci: 1. D f = R; 2. W f = R + ; 3. rosn ca (a x > a c = x > c); 4. ró»nowarto±ciowa (a x = a c = x = c); 5. miejsce zerowe - brak; 6. nie jest okresowa, parzysta ani nieparzysta 7. ograniczona z doªu 6. Funkcja wykªadnicza f(x) = a x 6.2 Przypadek a (0, 1)
29 Wªasno±ci: 1. D f = R; 2. W f = R + ; 3. malej ca (a x > a c = x < c); 4. ró»nowarto±ciowa (a x = a c = x = c); 5. miejsce zerowe - brak; 6. nie jest okresowa, parzysta ani nieparzysta 7. ograniczona z doªu Przypomnienie: Wªasno±ci dziaªa«na pot gach: 1. a α a β = a α+β 2. a α a β = aα β 3. (a α ) β = a α β 4. a α b α = (ab) α 5. a α ( a ) α b = α b 6. a α β = β a α = β a α 7. a α = 1 a α (o ile ka»da ze stron w powy»szych równo±ciach jest okre±lona) Przypomnienie: Denicja logarytmu Niech a, b > 0, a 1 log a b = c df a c = b 7. Funkcja logarytmiczna f(x) = log a x 7.1 Przypadek a > 1
30 WŠASNO CI FUNKCJI Wªasno±ci: 1. D f = R + ; 2. W f = R; 3. rosn ca (log a x > log a c = x > c); 4. ró»nowarto±ciowa (log a x = log a c = x = c); 5. miejsce zerowe x = 1; 6. nie jest okresowa, parzysta ani nieparzysta 6. Funkcja logarytmiczna f(x) = log a x 7.2 Przypadek a (0, 1) Wªasno±ci: 1. D f = R + ; 2. W f = R; 3. malej ca (log a x > log a c = x < c); 4. ró»nowarto±ciowa (log a x = log a c = x = c); 5. miejsce zerowe x = 1; 6. nie jest okresowa, parzysta ani nieparzysta
31 Wªasno±ci dziaªa«na logarytmach 1. log a x 1 + log a x 2 = log a (x 1 x 2 ) ( ) x1 2. log a x 1 log a x 2 = log a x 2 3. α log a x = log a (x α ) 4. a log a x = x (dla x > 0) 5. log a a x = x 6. log a b = log c b log c a (wzór na zmian podstawy logarytmu, c 'nowa' podstawa) Je»eli f : X Y i g : Y Z, to funkcj h : X Z okre±lon wzorem h(x) = g(f(x)) nazywamy zªo»eniem funkcji f z funkcj g i oznaczamy symbolem g f. g - funkcja zewn trzna zªo»enia g f; f - funkcja wewn trzna zªo»enia g f. Funkcj h nazywamy funkcj zªo»on, je»eli h(x) = g(f(x)) dla pewnych funkcji f, g. Funkcj f : X Ynazywamy na zbiór Y (lub suriekcj ), je»eli W f = Y. Piszemy wówczas f : X na Y. Uwaga Zapis f : X Y informuje jedynie,»e D f = X oraz W f Y. Je»eli funkcja f : X na Y jest ró»nowarto±ciowa, to nazywamy j bijekcj. Funkcj odwrotn do f : X na Y nazywamy funkcj g : Y na X speªniaj c warunek: x X,y Y f(x) = y g(y) = x. Funkcj odwrotn oznaczamy symbolem f 1. Je»eli istnieje funkcja odwrotna do f, to mówimy,»e funkcja f jest odwracalna. Twierdzenie Funkcja f : X Y jest odwracalna f jest bijekcj. Twierdzenie Dla dowolnej funkcji odwracalnej f zachodz nast puj ce równo±ci: 1. (f f 1 ) (y) = y; 2. (f 1 f) (x) = x; 3. Wykresy funkcji f i f 1 s wzajemnie obrazami (odbiciami) w symetrii wzgl dem prostej y = x. Przykªad. f(x) = a x oraz g(x) = log a x dla a (0, 1) (1, ).
32 WŠASNO CI FUNKCJI Granica ci gu liczbowego Przypomnienie: Ci giem liczbowym nazywamy ka»d funkcj o warto±ciach w zbiorze R, której dziedzina jest podzbiorem zbioru N. Warto±ci ci gu oznaczamy symbolami a 1, a 2,..., a n,... i nazywamy wyrazami ci gu. (a n ) - ci g a n - nty wyraz ci gu. W dalszej cz ±ci ograniczymy si do ci gów, których dziedzin naturaln jest zbiór N. W przypadku ci gów okre±lenie monotoniczno±ci przyjmuje postaci: malej cy gdy nierosn cy gdy rosn cy gdy niemalej cy gdy ci g staªy n N n N n N n N a n+1 < a n a n+1 a n a n+1 > a n a n+1 a n Je»eli w powy»szych denicjach warunek n N zast pimy warunkiem n0 N n>n0, to mówimy»e ci g jest monotoniczny od pewnego miejsca. Granica ci gu: Je»eli istnieje liczba g R taka»e ε>0 n0 N n>n0 a n g < ε to nazywamy j granic ci gu a n. Mówimy wówczas»e ci g a n jest zbie»ny do g i piszemy lim a n = g.
33 Granica niewªa±ciwa + : Je»eli M>0 n0 N n>n0 a n > M to mówimy»e ci g a n jest rozbie»ny do + lub ma granic niewªa±ciw + i piszemy lim a n = +. Analogicznie deniujemy granic niewªa±ciw. Uwaga Je»eli lim a n = ±, to mówimy,»e ci g (a n ) jest rozbie»ny do ± Twierdzenie Je»eli ci g ma granic (wªa±ciw lub niewªa±ciw ), to jest ona wyznaczona jednoznacznie. Je»eli ci g nie ma granicy to mówimy,»e jest rozbie»ny. Zadanie domowe: Wykaza,»e je»eli a n = c, to lim a n = c. Wªasno±ci granic wªa±ciwych: Je»eli lim a n = a oraz lim b n = b, to lim (a n ± b n ) = a ± b, lim (a n b n ) = a b (w szczególno±ci, lim (α b n ) = α b dla dowolnej liczby α R), a n lim = a b n b, o ile b n 0 dla n N oraz b 0). Powy»sze twierdzenie nie rozstrzyga, czy: 1. ci g ( an b n ) ) 2. ci g ((a n ) bn jest zbie»ny gdy lim b n = 0; jest zbie»ny gdy lim a n = lim b n = 0 Pozostaje tak»e nierozstrzygni ty problem zbie»nosci ci gów (a n ± b n ), (a n b n ), ( an b n ) ), ((a n ) bn w przypadku gdy co najwy»ej jeden z ci gów (a n ), (b n ) jest zbie»ny. Arytmetyka symboli W niektórych przypadkach, nie daj cych rozstrzygn za pomoc powy»szych twierdze«, mo»na stosowa dziaªania symboliczne. Symbole dzielimy na oznaczone nieoznaczone
34 WŠASNO CI FUNKCJI Symbole oznaczone Symbole oznaczone, to symbole których rozstrzygni cie jest jednoznaczne. Notacja Symbolem g + b dziemy oznacza granic ci gu a n, gdy dodatkowo speªniony jest warunek: n N a n > g. Symbolem g b dziemy oznacza granic ci gu a n, gdy dodatkowo speªniony jest warunek: n N a n < g. Symbole nieoznaczone Istniej symbole, które nie dadz si rozstrzyga w sposób jednoznaczny. Te symbole nazywamy nieoznaczonymi. (Przykªady) [ ] 0 [ Symbole nieoznaczone,, [ 0], [ ], [1 0 ] ], [0 0 ], [ 0 ], Twierdzenia: 1. Ka»dy ci g zbie»ny ma dokªadnie jedn granic. 2. Je»eli ci g jest zbie»ny, to jest ograniczony. 3. Je»eli lim a n = 0 oraz ci g (b n ) jest ograniczony, to lim (a n b n ) = 0. 4. Je»eli ci g jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbie»ny. Zadanie domowe: Rozstrzygn prawda czy faªsz: 1. Je»eli ci g jest ograniczony, to jest zbie»ny. 2. Je»eli ci g jest zbie»ny to jest monotoniczny. Odpowied¹ uzasadni. Zadanie domowe: wykaza z denicji,»e 1. lim 2n 1 n+1 = 2 2. lim 2 n 1 2 n +1 = 1 Twierdzenie: Je»eli lim a n = 0 oraz ci g (b n ) jest ograniczony, to lim (a n b n ) = 0. Liczba e Ci g a n = ( 1 + n) 1 n jest ograniczony i monotoniczny (dowód pomijamy), wi c na podstawie Twierdzenia 4 jest zbie»ny. Granic tego ci gu deniujemy jako liczb e, tj. ( e = denicja lim 1 + 1 ) n n Liczb e 2, 71828... nazywamy liczb Nepera. log e x = oznaczenie ln x }{{} logarytm naturalny Twierdzenie: Je»eli lim a n = 0, to lim (1 + a n ) 1 an = e.
35 Tw. (o trzech ci gach): Je»eli ci gi (a n ), (b n ) oraz (c n ) speªniaj warunki: 1. n0 N n n0 a n b n c n, to 2. lim a n = g = lim c n, Granica specjalna lim lim b n = g. n n = [ }{{} 0] = 1 =n 1 n S siedztwem Granice funkcji prawostronnym (o promieniu r > 0) punktu x 0 nazywamy zbiór (x 0, x 0 + r). Oznaczamy je symbolem S + (x 0 ; r). lewostronnym (o promieniu r > 0) punktu x 0 nazywamy zbiór (x 0 r, x 0 ). Oznaczamy je symbolem S (x 0 ; r). (o promieniu r > 0) punktu x 0 nazywamy zbiór S + (x 0 ; r) S (x 0 ; r). Oznaczamy je symbolem S (x 0 ; r). W praktyce, je±li warto± r nie jest zadana lub nie jest istotna, pomijamy w zapisie r, tj. piszemy : S + (x 0 ) zamiast S + (x 0 ; r), S (x 0 ) zamiast S (x 0 ; r), S (x 0 ) zamiast S (x 0 ; r). Poni»sze denicje granic funkcji nosz nazw denicji wg Heine'go Granica funkcji w punkcie: Niech f : X R i S (x 0 ; r) X dla pewnego r > 0. Je»eli istnieje liczba g R taka,»e dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki: 1. n N x n X 2. lim x n = x 0 zachodzi lim f (x n) = g to liczb g nazywamy granic funkcji f w punkcie x 0. Piszemy wówczas lim f (x) = g x x 0 Granica niewªa±ciwa funkcji w punkcie Niech f : X R i S (x 0 ; r) X dla pewnego r > 0. Je»eli dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki:
36 WŠASNO CI FUNKCJI 1. n N x n X 2. lim x n = x 0 zachodzi lim f (x n) = + [ ] to mówimy,»e funkcja f ma granic niewªa±ciw + [ ] w punkcie x 0. Piszemy wówczas lim x x 0 f (x) = + [ ] Granica lewostronna funkcji w punkcie: Niech f : X R i S (x 0, r) X dla pewnego r > 0. Je»eli istnieje liczba g R taka,»e dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki: 1. n N x n S (x 0 ) 2. lim x n = x 0 zachodzi lim f (x n) = g, to liczb g nazywamy granic lewostronn funkcji f w punkcie x 0. Piszemy wówczas lim f (x) = g. x x 0 Granica prawostronna funkcji w punkcie: Niech f : X R i S + (x 0 ; r) X dla pewnego r > 0. Je»eli istnieje liczba g R taka,»e dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki: 1. n N x n S + (x 0 ) 2. lim x n = x 0 zachodzi lim f (x n) = g, to liczb g nazywamy granic prawostronn funkcji f w punkcie x 0. Piszemy wówczas lim f (x) = g. x x + 0 Twierdzenie Granica lim f (x) (wªa±ciwa lub niewªa±ciwa) istnieje istniej granice x x0 lim f (x) oraz lim f (x), i s sobie równe. x x 0 x x + 0 Granica funkcji w + : Niech f : X R i (a, + ) X dla pewnego a R. Je»eli istnieje liczba g R taka,»e dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki: 1. n N x n > a 2. lim x n = +
37 zachodzi lim f (x n) = g to liczb g nazywamy granic funkcji f w +. Piszemy wówczas lim f (x) = g x + Granica funkcji w : Niech f : X R i (, a) X dla pewnego a R. Je»eli istnieje liczba g R taka,»e dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki: 1. n N x n < a 2. lim x n = zachodzi lim f (x n) = g, to liczb g nazywamy granic funkcji f w. Piszemy wówczas lim f (x) = g. x Granica niewªa±ciwa funkcji w + [ ]: Niech f : X R i (a, + ) X [(, a) X] dla pewnego a R. Je»eli istnieje liczba g R taka,»e dla ka»dego ci gu (x n ) speªniaj cego warunki 1. n N x n > a [x n < a] 2. lim x n = + [ ] zachodzi lim f (x n) = ±, to mówimy,»e funkcja f ma w + [ ] granic niewªa±ciw ±. Piszemy wówczas [ ] lim f (x) = ± lim f (x) = ±. x + x Na mocy powy»szych denicji, wªasno±ci granic funkcji wynikaj wprost z wªasno±ci granic ci gów, tj. itd. (patrz: wªasno±ci granic ci gów.) Twierdzenie (granice specjalne): lim x 0 a x 1 x = [ 0 0] = ln a, lim x 0 sin x x = [ 0 0] = 1, lim x 0 ln(x + 1) x lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) x x 0 x x0 x x0 = [ 0 0] = 1.
38 WŠASNO CI FUNKCJI Twierdzenie Je»eli istniej granice lim x x0 f (x) = a oraz lim y a g (y) = b, to lim g (f(x)) = b. x x 0 Uwaga Powy»sze twierdzenie jest prawdziwe, tak»e gdy x 0 = ±. Otoczeniem Ci gªo± funkcji prawostronnym (o promieniu r > 0) punktu x 0 nazywamy zbiór x 0, x 0 + r). Oznaczamy je symbolem O + (x 0 ; r), lewostronnym (o promieniu r > 0) punktu x 0 nazywamy zbiór (x 0 r, x 0. Oznaczamy je symbolem O (x 0 ; r), (o promieniu r > 0) punktu x 0 nazywamy zbiór (x 0 r, x 0 + r). Oznaczamy je symbolem O (x 0 ; r). W praktyce, je±li warto± r nie jest zadana lub nie jest istotna, pomijamy w zapisie r, tj. piszemy : O + (x 0 ) zamiast O + (x 0 ; r), O (x 0 ) zamiast O (x 0 ; r), O (x 0 ) zamiast O (x 0 ; r). Ci gªo± funkcji w punkcie: Niech f : X R i O (x 0 ; r) X dla pewnego r > 0. Mówimy,»e funkcja f jest ci gªa w punkcie x 0, je»eli speªnione s nast puj ce warunki: 1. istniej granice wªa±ciwe lim f (x) oraz lim f (x) x x + 0 x x 0 2. lim f (x) = lim f (x) = f (x 0). x x 0 x x + 0 Mówimy,»e funkcja f jest ci gªa na zbiorze X D f, je»eli jest ci gªa w ka»dym punkcie zbioru X. Funkcja elementarna jest to funkcja, która mo»e by uzyskana z funkcji podstawowych (pot gowe, trygonometryczne, logarytmiczne, wykªadnicze, cyklometryczne, itd) w wyniku sko«czonej liczby operacji arytmetycznych (dodawanie, odejmowanie, mno»enie, dzielenie, pot gowanie) lub operacji skªadania. Twierdzenie: Ka»da funkcja elementarna jest ci gªa w swojej dziedzinie. Tw. (Wªasno± ) Darboux: Je»eli funkcja f : X R jest ci gªa na przedziale a, b X, to dla ka»dej liczby p le» cej pomi dzy f (a) i f (b) [tzn. speªniaj cej warunek: f (a) p f (b) lub f (b) p f (a)] istnieje c a, b takie,»e p = f (c). Wªasno± Darboux mo»e nie zachodzi, je±li nie zakªadamy,»e funkcja jest ci gla. Wniosek: Je»eli funkcja f : X R speªnia warunki: 1. jest ci gªa na przedziale a, b X; 2. f (a) f (b) < 0,
39 to istnieje c (a, b) takie,»e f (c) = 0. Przykªad: Wykaza,»e równanie arc ctg x = x ma rozwi zanie w przedziale (0, 1). Rozwa»my funkcj f(x) = arc ctg x x. D f = R. Funkcja f jest ci gªa na przedziale [0, 1]. f(0) = arc ctg 0 0 = π 2 > 0 f(1) = arc ctg 1 1 = π 4 1 = π 4 < 0 4 zatem na mocy Wniosku z Tw. Darboux istnieje c 0, 1 takie,»e f(c) = 0, tj. Ostatecznie c.n.w. ( ) Zad. domowe: Wykaza,»e 1. równanie ma rozwi zanie w przedziale (1, e); 2. wielomian arc ctg c c = 0. arc ctg c = c dla pewnego c 0, 1 ln x = 1 x W (x) = x 4 x 1 ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Punkty, w których funkcja f nie jest ci gªa nazywamy punktami nieci gªo±ci funkcji f. Przypomnijmy,»e funkcja jest ci gªa w punkcie x 0, gdy speªnione s warunki: 1. istniej granice wªa±ciwe: lim f (x) oraz lim f (x) x x + 0 x x 0 2. lim f (x) = lim f (x) = f (x 0). x x 0 x x + 0 Rodzaje nieci gªo±ci I rodzaju pierwszy z powy»szych warunków jest speªniony, a drugi nie II rodzaju pierwszy z powy»szych warunków nie jest speªniony Przykªad: Zbada ci gªo± funkcji e πx 1 dla x < 0 2x arccos x dla 0 < x 1 f(x) = ln(x + 1) dla x {0} (1, + )
40 WŠASNO CI FUNKCJI Rozwi zanie: Funkcja f jest ci gªa na zbiorze R\{0, 1}, bo na tym zbiorze jest okre±lona za pomoc funkcji elementarnych. Badamy ci gªo± w punkcie x = 0: granica lewostronna: e πx 1 lim f(x) = lim x 0 x 0 2x granica prawostronna: lim f(x) = lim arccos x =π x 0 + x 0 + 2 warto± funkcji w punkcie x = 0: f(0) = ln(0 + 1) = ln 1 = 0. Ostatecznie = [ 0 e 0] πx 1 lim π x 0 2x π = lim x 0 x 0 lim e πx 1 x 0 } {{ πx } granica specjalna(=1) f(x) = lim f(x) f(0), + zatem funkcja f jest nieci gªa w punkcie x = 0. Badamy ci gªo± w punkcie x = 1: granica lewostronna: lim x 1 x 1 f(x) = lim arccos x = arccos 1 = 0 granica prawostronna: lim x 1 Czyli x 1 f(x) = lim ln(x + 1) = ln 2 + + π 2 = π 2 lim f(x) lim f(x), x 1 x 1 + zatem funkcja f jest nieci gªa w punkcie x = 1. Oznaczenia: Niech f b dzie funkcj okre±lon na O(x 0, r) dla pewnego r > 0 (tzn. O(x 0, r) D f dla pewnego r > 0). x - przyrost argumentu (rozwa»amy x 0) f - przyrost warto±ci funkcji Przy powy»szych oznaczeniach b dziemy zapisywa x = x 0 + x Iloraz ró»nicowy f x = f(x 0 + x) f(x 0 ) x Iloraz ró»nicowy wyra»a tangens k ta nachylenia siecznej do osi OX, tj. wspóªczynnik kierunkowy tej siecznej. Pochodna funkcji w punkcie: Je»eli istnieje granica wªa±ciwa: f lim x 0 x = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ), x
41 to nazywamy j pochodn funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy symbolem df dx (x 0) lub f (x 0 ). Je»eli istnieje f (x 0 ), to mówimy,»e funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie x 0. Zgodnie z oznaczeniem x = x 0 + x denicj pochodnej funkcji f w punkcie x 0 mo»emy zapisa tak»e nast puj co: f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x x0 x x 0 Zad. domowe: Obliczy z denicji f (x 0 ): 1. f(x) = x + 1, x 0 = 3; 2. f(x) = e 3x, x 0 = 1; 3. f(x) = cos 2x, x 0 = 0; 4. f(x) = 1 x, x 0 = 2 Interpretacja geometryczna pochodnej w punkcie: Liczba f (x 0 ) jest wspóªczynnikiem kierunkowym stycznej do krzywej y = f(x) w punkcie (x 0, f(x 0 )). Interpretacja zyczna pochodnej w punkcie: Je»eli rozwa»ymy drog s jako funkcj czasu, tj. s = s(t), to iloraz ró»nicowy s wyra»a ±redni predko± w czasie t, natomiast t ds (t dt 0) wyra»a pr dko± chwilow w chwili t = t 0. Inaczej mówi c, pr dko± jest pochodn s(t) drogi po czasie (v = lim ). t 0 t Pytanie: Rozwa»my pr dko± v jako funkcj czasu, tj. v = v(t). Jak wielko± zyczn wyra»a dv(t dt 0)? Odpowied¹: przyspieszenie chwilowe w chwili t = t 0. zadanie domowe: poda przykªady interpretacji ekonomicznej oraz urbanistycznej(?) pochodnej. Twierdzenie: Je»eli funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie x 0, to jest w tym punkcie ci gªa. Powy»sze twierdzenie oznacza,»e ci gªo± w punkcie jest warunkiem koniecznym istnienia pochodnej funkcji w punkcie. Nie jest to jednak warunek wystarczaj cy. Zadanie dom.: Wykaza»e funkcja f(x) = x nie jest ró»niczkowalna w punkcie x 0 = 0. Twierdzenie: Je»eli funkcje f i g s ró»niczkowalne w punkcie x 0, to istniej pochodne ( f ± g ), ( α f ), ( f g ) i: 1. ( f(x 0 ) ± g(x 0 ) ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ); 2. ( α f(x 0 ) ) = α f (x 0 ) dla α R; 3. ( f(x 0 ) g(x 0 )) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ). Je±li ponadto g(x 0 ) 0, to istnieje pochodna funkcji f g : ( ) f(x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ) g(x 0 ) (g(x 0 )) 2.
42 WŠASNO CI FUNKCJI Dowód (iv): Z denicji pochodnej mamy: f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim, g g(x) g(x 0 ) (x 0 ) = lim. x x0 x x 0 x x0 x x 0 Dalej, ( f(x 0 ) g(x 0 ) ) = lim x x 0 f(x) f(x 0) g(x) g(x 0 ) x x 0 = lim x x0 f(x)g(x 0 ) f(x 0 )g(x) g(x)g(x 0 ) x x 0 = = lim x x0 f(x)g(x 0 ) f(x 0 )g(x) g(x)g(x 0 )(x x 0 ) f(x)g(x 0 ) f(x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g(x) = lim x x0 g(x)g(x 0 )(x x 0 ) ( ) ( ) g(x 0 ) f(x) f(x 0 ) f(x 0 ) g(x) g(x 0 ) = lim x x0 g(x)g(x 0 )(x x 0 ) = g(x 0 ) f(x) f(x0) (x x = lim 0 f(x ) 0 ) g(x) g(x 0) x x 0 x x0 g(x)g(x 0 ) =... Zad. domowe: Udowodni (iii) Twierdzenie (o pochodnej funkcji zªo»onej): Je»eli funkcja g jest ró»niczkowalna w punkcie x 0, funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie u 0 = g(x 0 ), to ( f (g(x 0 )) ) = f (u 0 ) g (x 0 ). Pochodna jako funkcja: Funkcj f : x f (x) nazywamy pochodn funkcji f. Inne oznaczenia pochodnej: df, Df. dx Uwaga: Oznacze«f (x) oraz df u»ywamy tylko dla funkcji jednej zmiennej. Oznaczenie dx Df jest uniwersalne, tj. mo»na stosowa dla funkcji o dowolnej sko«czonej liczbie zmiennych. Zapis df - oznacza,»e x jest jedyn zmienn funkcji f; dx f oznacza,»e funkcja f ma co najmniej dwie zmienne. x Pochodne podstawowych funkcji: (c) = 0 (1) (x) = 1 (2) w szczególno±ci ( x α ) = αx α 1 dla α R\{0, 1} (3) ( ( 1 x ) = 1 x 2 (3.1) n x ) = 1 n ( n x) n 1 (3.2)
43 Pochodne podstawowych funkcji (a x ) = a x ln a (4) w szczególno±ci (e x ) = e x (4.1) w szczególno±ci (log a x) = 1 x ln a (ln x) = 1 x (5) (5.1) (cos x) = sin x (6) (sin x) = cos x (7) (tan x) = 1 cos 2 x (cot x) = 1 sin 2 x (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) 1 = 1 x 2 (8) (9) (10) (11) Uwagi (arctan x) = 1 1 + x 2 (12) (arc ctg x) = 1 1 + x 2 (13) Przykªady 1. Oznaczenia nad znakami równo±ci odnosz si do numerów wzorów w danym przeksztaªceniu u»ytych; 2. Oznaczenie (P F Z) oznacza zastosowanie twierdzenia o pochodnej funkcji zªo»onej; 3. Aby skoncentrowa uwag na samym stosowaniu wzorów, w poni»szych przykªadach b dziemy pomija wyznaczanie dziedziny naturalnej. Obliczy pochodn funkcji i przeksztaªci do najprostszej postaci: Przykªad 1. f(x) = 1 3 5x 2
44 WŠASNO CI FUNKCJI Przykªad 2. f(x) = x 7 x Przykªad 3. f(x) = e x sin x Przykªad 4. f(x) = f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) (w skrócie f = f 1 f 2 f 3 ) Przykªad 5. f(x) = x x x + 1 Przykªad 6. f(x) = tan 2 x Przykªad 7. f(x) = (2x + 1) 4 Przykªad 8. f(x) = ln(8x) Przykªad 9. f(x) = 1 arctan x Przykªad 10. f(x) = ln(cos 2x) arc ctg 7x Przykªad 11. f(x) = π Przykªad 12. f(x) = arcsin x Przykªad 13. f(x) = ln 2 x 2 Uwaga Równo± ln x 2 = 2 ln x jest prawdziwa przy zaªo»eniu x > 0. Dziedzin naturaln funkcji f(x) = ln 2 x 2 jest zbiór R\{0}, wi c przeksztaªcenie ln x 2 = 2 ln x jest dla tej funkcji bª dem (lewa strona równania nie jest okre±lona dla x < 0) Przykªad 14 (wa»ny). f(x) = ln ( x + x 2 + k ), gdzie k = const, k > 0 Przykªad 15 (wa»ny). f(x) = arccos x 1 + x 2 Zastosowania pochodnych do analizy funkcji Przypomnienie: Ilorazem ró»nicowym nazywamy iloraz f x = f(x 0 + x) f(x 0 ) x Przyrost warto±ci funkcji mo»emy zapisa nast puj co: f = f(x 0 + x) f(x 0 ) x Poniewa» granic f x jest f (x 0 ), wi c dla x 0 mamy f f (x 0 ) x Ró»niczka funkcji: Iloczyn f (x 0 ) x nazywamy ró»niczk funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy symbolem df, tj. df = df(x 0 ) = f (x 0 ) x x
45 Dla ujednolicenia oznacze«przyrost x oznaczymy symbolem dx. Wówczas df = f (x) dx Ró»niczka funkcji mo»e by rozwa»ana zarówno jako funkcja zmiennej x, jak i zmiennej dx. Równanie stycznej : l : y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) mo»na wi c zapisa za pomoc ró»niczki nast puj co: l : y = df + f(x 0 ) St d mo»emy oblicza za pomoc ró»niczki przybli»on warto± funkcji f: f(x) f(x 0 ) + df = f(x 0 ) + f (x 0 )dx (o ile dx 0) Twierdzenie Lagrange'a Niech f : X R b dzie funkcj ci gª na przedziale a, b X i ró»niczkowaln na przedziale (a, b). Wówczas dla pewnego c (a, b) (tzn. istnieje takie c,»e) zachodzi równo± : f f(b) f(a) (c) = b a Wnioski z tw. Lagrange'a Wniosek 1: Je»eli f (x) 0 na przedziale (a, b), to funkcja f jest staªa na przedziale (a, b). W szczególno±ci, je»eli f (x) g (x) na przedziale (a, b), to funkcje f i g ró»ni si o staª. Przykªad: Wykaza,»e x R arccos x 1 + x 2 = arc ctg x Rozwi zanie: Przeksztaªcimy najpierw równanie tak, aby prawa strona byªa staªa: arccos Rozwa»my funkcj f(x) = arccos Wyka»emy,»e f(x) 0 na zbiorze R. Zauwa»my najpierw,»e D f = R. Zatem zaªo»enie 1 oznacza,»e D f = R. Obliczmy teraz f (x): f (x) = 1 + x2 > }{{} x 2 = x x 1 + x 2 x arc ctg x = 0 1 + x 2 x arc ctg x. 1 + x 2 x 1 + x 2 < 1 x 1 + x 2 1, 1 1 (dziedzina arccos) jest speªnione dla x R, co ( ) x arccos arc ctg x = 1 ( 1 + x 2 1 + x 1 ) = 0. 2 1 + x 2
46 WŠASNO CI FUNKCJI Zatem na mocy wniosku z tw. Lagrange'a funkcja f jest staªa, tj. f(x) c dla pewnego c R. Aby teraz zako«czy dowód, wystarczy pokaza,»e c = 0. Poniewa» funkcja f jest staªa, wiec wybieramy dowoln liczb x 0 z dziedziny i obliczymy f(x 0 ), np niech x 0 = 1 : 1 2 f(1) = arccos arc ctg 1 = arccos 1 + 1 2 2 π 4 = π 4 π 4 = 0 Ostatecznie arccos Zadanie domowe: Wykaza,»e x 1,1 arccos( x) + arccos x = π; x R arc ctg( x) + arc ctg x = π. x arc ctg x = 0 dla x R 1 + x 2 Wniosek 2: Je»eli f (x) > 0 [f (x) < 0] na przedziale (a, b), to funkcja f jest rosn ca [malej ca] na przedziale (a, b). Przykªad: Wyznaczy przedziaªy monotoniczno±ci funkcji f(x) = ln x x Twierdzenie (reguªa) de L'Hospitala: Niech f i g b d funkcjami okre±lonymi i ró»niczkowalnymi przynajmniej w pewnym S(x 0 ). Je»eli 1. f(x) g(x) jest w punkcie x = x 0 symbolem [ 0 0] lub [ ] ; f 2. istnieje granica lim (x) x x0 g (x) f(x) to istnieje granica lim x x0 g(x) (wªa±ciwa lub niewªa±ciwa), i zachodzi równo± : f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Powy»sza reguªa zachodzi tak»e w przypadku x 0 = ± oraz dla granic jednostronnych. Uwagi do reguªy de L'Hospitala Uwaga 1: Fakt stosowania reguªy de L'Hospitala b dziemy odnotowywa nast puj co: lub [ f(x) 0 lim x x 0 g(x) = [H] 0 ] f (x) lim x x 0 g (x) f(x) [ ] lim x x 0 g(x) = [H] f (x) lim x x 0 g (x). Uwaga 2: Ka»d funkcj maj c symbol nieoznaczony mo»na przeksztaªci równowa»nie do symbolu nieoznaczonego [ [ 0 0] lub ]. [ ]: f(x) g(x) = }{{} [ ] 1 g(x) 1 f(x) 1 f(x)g(x) }{{} [ 0 0]
[ 0]: [1 ], [0 0 ], [ 0 ] f(x) }{{} g(x) }{{} 0 = f(x) 1 g(x) }{{} [ ] = g(x) 1 f(x) }{{} [ 0 0] (f(x)) g(x) = e ln(f(x))g(x) g(x) ln(f(x)) = e na{ przykªad [1 ] f(x) 1 l : = g(x) ln (f(x)) [ 0] g(x) (Funkcja (f(x)) g(x) wymaga zaªo»enia f(x) > 0) Przypomnienie: S(x 0 ) = O(x 0 )\{x 0 } Mówimy,»e funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie x 0 (lub»e f(x 0 ) jest maksimum lokalnym funkcji f), je»eli funkcja f jest okre±lona przynajmniej na pewnym O(x 0 ) i x S(x0 ) f(x 0 ) > f(x) Mówimy,»e funkcja f ma minimum lokalne (lub»e f(x 0 ) jest miminum lokalnym funkcji f) w punkcie x 0, je»eli funkcja f jest okre±lona przynajmniej na pewnym O(x 0 ) i x S(x0 ) f(x 0 ) > f(x) Maksima i minima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi. Twierdzenie Fermata: Je»eli funkcja f ma extremum lokalne w punkcie x 0 i jest ró»niczkowalna w tym punkcie, to f (x 0 ) = 0 Powy»sze twierdzenie daje warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego. Nie jest to jednak warunek wystarczaj cy. Twierdzenie Funkcja f mo»e mie extremum lokalne tylko w punkcie x 0, w którym f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie istnieje. Twierdzenie: Niech funkcja f b dzie okre±lona przynajmniej na pewnym O(x 0 ) i ró niczkowalna na zbiorze S(x 0 ). Je»eli: 1. f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie istnieje; 2. na zbiorach S (x 0 ) i S + (x 0 ) pochodna ma przeciwne znaki to funkcja f ma extremum lokalne w punkcie x 0. Powy»sze twierdzenie nazywamy I warunkiem wystarczaj cym istnienia ekstremum lokalnego. Niech n N, n 2. Pochodn rz du n (lub n-t pochodn ) funkcji f nazywamy pochodn okre±lon rekurencyjnie: f (n) (x) = ( f (n 1) (x) ) [ d n f dx = d ( )] d n 1 f n dx dx n 1 Rz d pochodnej oznaczamy tak»e rzymskimi cyframi: f II (x), f III (x), f IV (x), itd. Twierdzenie Niech funkcja f b dzie okre±lona i przynajmniej n-krotnie ró»niczkowalna na pewnym O(x 0 ). Je»eli dla pewnej liczby parzystej n 2 zachodzi: 1. f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 47
48 WŠASNO CI FUNKCJI 2. f (n) (x 0 ) 0 to funkcja f ma extremum lokalne w punkcie x 0. f (n) (x 0 ) < 0 - funkcja f ma w punkcie x 0 max lokalne; f (n) (x 0 ) > 0 - funkcja f ma w punkcie x 0 min lokalne Powy»sze twierdzenie nazywamy II warunkiem wystarczaj cym istnienia ekstremum lokalnego. Mówimy,»e funkcja f ma maksimum absolutne (globalne) w punkcie x 0 (lub»e f(x 0 ) jest maksimum absolutnym funkcji f), je»eli x Df f(x) f(x 0 ) Mówimy,»e funkcja f ma minimum absolutne (globalne) w punkcie x 0 (lub»e f(x 0 ) jest minimum absolutnym funkcji f), je»eli x Df f(x) f(x 0 ) Wzór Taylora i Maclaurina Niech n 2 i f b dzie funkcj n-krotnie ró»niczkowaln w punkcie x 0. Wielomian T n okre±lony wzorem T n (x) = f(x 0 ) + n k=1 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! nazywamy wielomianem Taylora rz du (stopnia) n dla funkcji f. Mo»na tak»e traktowa funkcj f jako pochodn rz du 0 i wówczas T n (x) = n k=0 Wielomian Taylora ma nast puj c wªasno± : T n (x 0 ) = f(x 0 ), T n (x 0 ) = f (x 0 ), T n (x 0 ) = f (x 0 ), f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k!. T (n) n (x 0 ) = f n (x 0 ). Twiedzenie Taylora Je»eli funkcja f jest n- krotnie ró»niczkowalna na przedziale (x 0, x), przy czym f (n 1) jest funkcj ci gª na przedziale [x 0, x], to istnieje c (x 0, x) takie,»e f(x) = T n 1 (x) + f (n) (c) (x x 0 ) n } n! {{} R n(x) Wielomian R n (x) nazywamy reszt Lagrange'a. W szczególno±ci, gdy x 0 = 0, wielomian Taylora nazywamy wielomianem Maclaurina. Dla x 0 = 0 wielomian ma posta ogóln. f(x) = f(0) + n 1 k=1 f (k) (0) k! x k + f (n) (c) x n n! gdzie c (0, x) lub c (x, 0) Wielomiany Maclaurina wa»niejszych funkcji: e x = 1 + x + x2 2! +... + xn 1 (n 1)! + xn n! ec,