Wokół nierówności Dooba

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Tomasz Tkocz Nr albumu: 24957 Wokół nierówności Dooba Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA w ramach Międzywydziałowych Indywidualnych Studiów Matematyczno-Przyrodniczych Praca wykonana pod kierunkiem dra Adama Osękowskiego Instytut Matematyki Czerwiec 29

Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora pracy

Streszczenie W pracy udowodniono, że stała w nierówności Dooba w L p jest optymalna wykorzystując operator Hardy ego Littlewooda. Korzystając z nierówności maksymalnej Dooba wyprowadzono pewną nierówność maksymalną dla funkcji określonych na odcinku. Dzięki niej pokazano wreszcie, że jeśli f lnα+ + f <, to T f lnα + T f <, dla α, gdzie f : [, ] R, zaś T, to operator Hardy ego-littlewooda. Słowa kluczowe nierówność Dooba, operator Hardy ego-littlewooda. Matematyka Dziedzina pracy kody wg programu Socrates-Erasmus 6G46 Martingales and classical analysis Klasyfikacja tematyczna On Doob s inequality Tytuł pracy w języku angielskim

Spis treści Wprowadzenie....................................... 5. Dwa analityczne wnioski z nierówności Dooba................. 7 2. Dowód optymalności stałej p p........................... 9 3. Analogon nierówności Dooba w L........................ 3.. Postawowa nierówność............................... 3.2. Czy można poprawić ln α+?............................ 4 Bibliografia......................................... 7 3

Wprowadzenie Wiadomo, że stała p p w nierówności Dooba w L p jest optymalna. Jak to udowodnić? Jeden ze sposobów analityczny, to rozważyć operator Hardy ego-littlewooda, oszacować jego normę z góry korzystając z nierówności Dooba, zaś z dołu, wskazując odpowiedni przykład fukcji wybijającej normę. Zaletą tego podejścia jest to, iż dużo łatwiej wymyśleć przykład odpowiedniej funkcji niż przykład odpowiedniego martyngału. Dlatego w rozdziale zobaczymy jak z nierówności Dooba wywnioskować potrzebną nierówność dla funkcji z odcinka, dzięki której pokażemy w rozdziale 2 optymalność wspomnianej stałej. W rozdziale wyprowadzimy też z nierówności maksymalnej Dooba pewną nierówność maksymalną dla funkcji. Będzie ona kluczowa w rodziale 3, gdzie zajmiemy się pewną nierównością dla funkcji z odcinka motywowaną nierównością Dooba w L. Na wstępie przypomnijmy sobie jeszcze kilka użytecznych dla nas oznaczeń, definicji i twierdzeń. Przez L p [a, b], p, a < b + gdy a lub b jest nieskończone mamy na myśli odpowiednio przedziały, b], [a, + oznaczamy przestrzeń liniową funkcji całkowalnych z p-tą potęgą. Formalnie L p [a, b] : {f : [a, b] R b a f p < }/, gdzie f g f g p.w.. Z normą f p : b a f p /p jest to przestrzeń Banacha. Niech T [, lub {,, 2,...} lub podprzedział w tych zbiorach oraz ustalmy przestrzeń probabilityczną Ω, F, P. Definicja.. Filtracją nazywamy wstępującą rodzinę F t T pod-σ-ciał σ-ciała F, tzn. dla każdych s, t T, s < t mamy F s F t. Definicja.2. Niech dana będzie rodzina zmiennych losowych X t t T całkowalnych, adaptowanych do filtracji F t T, tzn. dla każdego t T zmienna X t jest F t mierzalna. Wówczas X t, F t t T nazywamy martyngałem względem danej filtracji F t, gdy EX t F s X s p. n. dla s, t T, s < t. Przykład.. Jeśli X jest zmienną losową całkowalną, to rodzina X t : EX F t, t T jest martyngałem względem filtracji F t T całkowalność mamy z całkowalności X, a to, że rodzina jest adaptowana i spełnia warunek martyngałowy wynika łatwo z podstawowych własności warunkowej wartości oczekiwanej. Definicja.3. Dla martyngału X t, F t t T określamy jego funkcję maksymalną następująco X t : sup X s. s [,t] T Zachodzi bardzo dobrze znane twierdzenie pochodzące od Dooba 5

Twierdzenie.. Niech X t, F t t T będzie martyngałem prawostronnie ciągłym w przypadku czasu ciągłego, tzn. dla p. w. ω Ω funkcja t X t ω jest prawostronnie ciągła. Wówczas zachodzą nierówności PX t α α E X t {X t α}, t T, α >.. E X t p p p E X t p, p >, t T..2 p 6

Rozdział Dwa analityczne wnioski z nierówności Dooba Ustalmy p >. Operator Hardy ego-littlewooda będziemy oznaczać przez T i definiujemy go na jak następuje { dla x T fx : x x f dla x > dla rzeczywistej funkcji całkowalnej f określonej na przedziale [, M] lub [, +. Weźmy przestrzeń probabilistyczną Ω, F, P [, ], B[, ], miara Lebesgue a oraz filtrację F t : σ[, t], B[ t, ], t [, ]. Dla ustalonej funkcji nieujemnej i nierosnącej f L p [, ] definiujemy martyngał prawostronnie ciągły por. Przykład. X t ω : Ef F t ω { t t f dla ω < t fω dla ω t Zauważmy, że EX p sup t [, ω t t f sup T fs p fω p dω s ω,] p fω p dω T fω p dω, przy czym ostatnia równość wynika z następującego faktu. Fakt.. Dla nieujemnej, nierosnącej i całkowalnej funkcji f : [, ] R zachodzi f T f 2 T f jest funkcją nierosnącą Dowód. jest oczywiste wobec monotoniczności f. Dla dowodu 2 ustalmy x [, oraz h > takie, że x + h [, ]. Mamy x + ht fx + h T fx x+h x+h x x f f h x f x ft T fxdt. 7

Z nierówności Dooba w L p.2 mamy więc T f p Cp p p gdzie oznaczamy C p : p. Zauważmy, że założenie o monotoniczności f w powyższej nierówności można opuścić bez utraty ogólności. Niech bowiem f : [, ] R będzie nieujemną, całkowalną funkcją. Biorąc fx : sup{t R {f > t} x} czyli f to odwrotny ogon dystrybuanty funkcji f mamy, że f jest nieujemną i nierosnącą fukncją o tym samym rozkładzie co f, tzn. { f > t} {f > t}, więc w szczególności f f. Ale ponadto Istotnie, liczymy x x f f x l [,ft] sdsdt {f s} x ds, { f s} [, x] ds T f T f. f p, {f s} [, x] ds [, { f s} ] [, x] {f s} x ds, więc T fx x x f x f x T fx. Zatem nasza nierówność zachodzi dla dowolnej nieujemnej funkcji f L p [, ], bo zachodzi dla f. Stosując ją dla f, jeśli f L p [, ] już jest dowolną funkcją, wykazaliśmy tym samym następujący wniosek Wniosek.. Niech p >. Dla dowolnej funkcji f L p [, ] zachodzi nierówność T f p C p p f p.. Stosując dla tego samego martyngału nierówność maksymalną Dooba. dostajemy też w jednej chwili bardzo pożyteczną nierówność {T f t} f, t {T ft} dla t > i f : [, ] [, nierosnącej, całkowalnej. Można się jednak spróbować zastanowić nad analitycznym dowodem tego faktu. Ustalmy t >. Skoro T f jest funkcją nierosnącą, to {T f t} jest przedziałem [, r], dla pewnego r [, ] albo zbiorem pustym, gdy t > sup [,] T f wtedy oczywiście w powyższej nierówności mamy równość. Przy czym z ciągłości funkcji T f na przedziale, ] f jest całkowalna wynika, że T fr t, gdy t inf [,] T f T f, czyli wówczas r t {T f t} tr f f. Jeśli zaś t < T f, to {T f t} [, ] i mamy Tym samym udowodniliśmy t {T f t} t < T f {T ft} f {T ft} Wniosek.2. Dla nierosnącej funkcji całkowalnej f : [, ] [, oraz t > zachodzi {T f t} f..2 t Jeśli ponadto t T f, to zachodzi równość. {T ft} f. 8

Rozdział 2 Dowód optymalności stałej p p Opierając się na wniosku. będziemy chcieli najpierw udowodnić, że T Lp[, L p[, C p. Ustalmy w tym celu M > i weźmy nieujemną funkcję f L p [, M]. Korzystając z. dla funkcji x fmx L p [, ] i wykonując prostą zamianę zmiennych w całce dostajemy M T f p C p p Pozostał jeszcze jeden mały krok. Mianowicie ustalmy nieujemną funkcję f L p [, i weźmy f n : fl [,n] L p [, n]. Mamy z ostatniej równości, że M T f n p l [,n] C p p Ale fn p f p, T f n p l [,n] T f p, więc z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności monotonicznej mamy T f p C p p Stosując tę nierówność dla f, gdy f L p [, jest dowolna oraz uwzględniając, że oczywiście T f T f dostajemy natychmiast f p. Fakt 2.. Niech p >. Dla dowolnej funkcji f L p [, ] zachodzi T f p C p p co oznacza, że T Lp[, L p[, C p. Zachodzi także takie oszacowanie Fakt 2.2. T Lp[, L p[, p p, p >. Dowód. Ustalmy a, p i weźmy fx : x a/p l [, ] x. Mamy f p p f p. dx x a a, 9 f p n. f p, 2.

czyli f L p [,. Liczymy dalej T fx { gdy x x x ds gdy x > s a/p a/p x x a/p l [, x, skąd T f p p a/p p x p x a/p p dx a/p p x a p x a/p dx. Zatem korzystamy z nierówności między normami dla miary probabilistycznej o gęstości x a x a p T f p f p a/p p a/p x a/p p x a x a dx x a p x a/p x a dx, skąd T a/p a/p a a a /p x a/p a dx p p a a/p a/p a /p a + a a/p p p. x a a/p Wobec Faktu 2.2 mamy p Wniosek 2.. Stała C p p w nierówności Dooba w L p.2 jest optymalna, tzn. nie można jej zastąpić żadną mniejszą liczbą.

Rozdział 3 Analogon nierówności Dooba w L 3.. Postawowa nierówność Nietrudno zauważyć, że operator T nie jest ograniczony w L [, ] wystarczy wziąć b, i zauważyć, że T x x b x x t b x b x b x b x b b x x b. Naśladując dowód nierówności Dooba w L por. [Doo53] pokażemy jednak, że Twierdzenie 3.. Dla α istnieje stała C α >, że dla dowolnej funkcji całkowalnej f : [, ] R zachodzi T f ln α + T f C α + f ln α+ + f. 3. Dowód. Jak już widzieliśmy w rozdziale 2, możemy bez utraty ogólności zakładać, że f jest nieujemna i nierosnąca. Oczywiście możemy też założyć, że f ln α+ + f jest całkowalna. Najpierw rozważmy przypadek α >. Skoro x ln α x ln α x + α ln α x, x >, to T f ln α + T f.2 ln α t + α ln α tl {T fxt} dt dx ln α t + α ln α t {T f t} dt ln α t + α ln α t t fx fx fxl {T fxt} dx dt ln α t + α ln α t l t {T fxt} dt α + lnα+... l {T fxe α+ }dx + e α+ α + α + α+ + α + α C α + + T fx + ln α + T fx + dx dx... l {T fx>e α+ }dx 2 fx α + lnα+ + T fxl {T fx>e α+ }dx 2 α + f lnα+ + T f,

gdzie C α : 2e α+ α + α. Jeśli α, to już pierwsza równość powyżej nie jest prawdziwa, ale ostatnie oszacowanie jest prawdziwe, jednak na początku trzeba rachować trochę inaczej. Otóż T f + C + T fl {T f} + {T f t}.2 + 2f ln + T f. Zauważmy jeszcze, że zachodzi Lemat 3.. Dla < a b, α mamy T fl {T f>} + T f l {T f>} fl t {T ft} + a ln α+ + b a ln α+ + a + α + b ln α + b. e Dowód. Wystarczy rozważyć kilka przypadków.. a, b ; wtedy nierówność jest oczywista 2. a < b; wtedy wobec znanej nierówności ln x x e, x > mamy co daje tezę w tym przypadku a ln b ln b b e α + b, e 3. < a b; wtedy mamy wobec monotoniczności funkcji x x α, x, że f ln + T f a ln α+ b ln α+ a α + ln b a t α dt a ln b ln a ln α b ln a a ln b a lnα b a b/a e lnα b e b lnα b. skąd Dzięki temu lematowi i początkowym rachunkom możemy dalej szacować tak przy czym C α T f ln α + T f T f ln α + T f C α + 2 α + f lnα+ + f + 2 e T f lnα + T f, C α + 2 f ln α+ + f C α + f ln α+ + f, 2/e α + e C α 2 e 2e α+ α + α 2 2eα+2 e 2 α + e 2 α + e 2 α + α. 2

Wniosek 3.. Dla α, M > istnieje stała C α,m >, że dla dowolnej funkcji całkowalnej f : [, M] R zachodzi M M T f ln α + T f C α,m + f ln α+ + f. Dowód. Korzystając z powyższego twierdzenia dla funkcji x fm x i zamieniając zmienne w całce widać, że wystarczy wziąć C α,m C α M. Uwaga 3.. Bardzo duży rząd stałej C α, który nam wyszedł w twierdzeniu 3. można poprawić na liniowy! Posłużą nam do tego dwie proste obserwacje. Fakt 3.. Dla funkcji wypukłej ϕ: [, ] [, ] oraz funkcji całkowalnej f : [, ] [, ] zachodzi w każdym punkcie z [, ] następujące oszacowanie Dowód. Jest to zwykła nierówność Jensena. ϕt f T ϕ f. Fakt 3.2. Funkcja ϕ α : [, [, zdefiniowana wzorem ϕ α x : x ln α + x jest dla α wypukła. Dowód. Zauważmy, że dla x > mamy ϕ αx ln α x + α ln α x >, ϕ αx α ln α x + α ln α 2 x >, x tzn. na przedziale, nasza funkcja jest ściśle rosnąca i wypukła. Ponieważ ϕ α [,], jest ona wypukła. Niech α. Mamy z powyższych obserwacji oraz twierdzenia 3. dla α takie nierówności T f ln α + T f ϕ α T f T ϕ α f C + ϕ α f ln + ϕ α f. Dalej, pozostaje naturalnie oszacować punktowo wyrażenie podcałkowe jak następuje ln + ϕ α f α + ln + f. Istotnie, jeśli ϕ α f, to lewa strona jest równa ; jeśli ϕ α f >, to także f > i mamy lnϕ α f ln f + ln ln α f ln f + α ln ln f α + ln f. Zatem T f ln α + T f C + α + f ln α+ + f. 3

3.2. Czy można poprawić ln α+? Jest jeszcze jedno naturalne pytanie: czy rząd logarytmu prawej strony nierówności 3. można obniżyć? Dokładniej, czy dla każego lub słabiej, pewnego α istnieje stała C < oraz liczba δ,, że dla dowolnej funkcji całkowalnej f : [, ] [, zachodzi T f ln α + T f C + f ln α+δ + f? 3.2 Aby rozstrzygnąć ten problem wystarczy oczywiście wskazać odpowiedni przykład funkcji. Zauważając jednak, że nierówność 3. daje się w pewnym sensie odwrócić co jest też ciekawe samo w sobie, możemy zredukować problem, jak się zaraz okaże, do dowodu intuicyjnie oczywistego faktu. Wprowadźmy następującą klasę funkcji dla α A α : {f : [, ] [, Poniższy fakt pokazuje po co to robimy. f ln α + f < }. Fakt 3.3. Niech α. Dla funkcji nierosnącej f : [, ] [, mamy f A α+ T f A α. Dowód. Implikacja jest treścią twierdzenia 3.. Dla dowodu implikacji przeciwnej ustalmy najpierw α >. Wobec początkowych rachunków z dowodu twierdzenia 3. mamy T f ln α + T f ln α t + α ln α t {T f t} dt skąd f ln α+ + f α + wniosek.2 Fakt. + ln α t + α ln α t {T f t} l {tt f} dt ln α t + α ln α t t fx α + lnα+ t + ln α t f fxl {T fxt} l {tt f} dx dt T fx T f α + lnα+ + T f + ln α + T f T f ln α + T f f dx, α + lnα+ + T f + ln α + T f, zatem f A α+, bo łatwo widzieć, że założenie T f A α pociąga całkowalność funkcji f mamy f T f e + T fl {T fe} e + T f lnα + T f. Niech teraz α, czyli f jest taka, że funkcja T f jest całkowalna. Szacujemy analogicznie jak wyżej T f wniosek.2 {T f t} dt {T f t} l {tt f} dt fxl t {T fxt} l {tt f} dx dt fx ln t T fx T f dx, 4

czyli więc f A. f ln + f Fakt. f ln + T f T f + f ln T f, Ustalmy α, δ,. Jeśli znajdziemy nierosnącą funkcję f A α+δ \ A α+, to wobec powyższego będzie T f lnα + T f, ale f lnα+ + f <, co daje odpowiedź negatywną na postawione na początku pytanie. Pozostaje udowodnić zapowiadany, intuicyjnie jasny fakt. Fakt 3.4. Jeśli < α < β, to A β A α. Wniosek 3.2. Dla α, δ, istnieje nierosnąca funkcja f A α+δ \ A α+. Dowód. Wystarczy wziąć jakąkolwiek funkcję g ze zbioru A α+δ \ A α+ i za szukane f przyjąć g odwrotny ogon dystrybuanty funkcji g tak jak robiliśmy na początku rozdziału 2. Wtedy f jest niemalejąca i ma ten sam rozkład co g, czyli f A α+δ \ A α+. Dowód faktu 3.4. Najpierw dowodzimy, że zachodzi inkluzja. Niech f A β. Mamy f ln α + f e + f ln α + fl {fe} + f ln β fl {f>e} e + f ln α + fl {f>e} f ln β + f <. Teraz pokażemy, że inkluzja jest właściwa. Niech fx : ψ α x ln x, gdzie a R a później dobierzemy oraz definiujemy funkcję ψ α : ϕ α [, : [, [,, gdzie funkcja ϕ α została zdefiniowana w Fakcie 3.2 w Fakcie 3.2 widzieliśmy, że ϕ α [, jest funkcją ściśle rosnącą, więc odwracalną. Wtedy całkujemy podstawiając s ln x f ln α + f ϕ α f ds s a <, dx x ln x a o ile a >. Przyjmujemy więc, że a >. Chcemy jeszcze aby f lnβ + f. Wykonując znowu podstawienie s ln x mamy f ln β + f Pokażemy teraz, że ϕ α f ln β α f e s s a lnβ α ψ α s a ds. ln ψ e s α s lim a. s s x ln x a lnβ α ψ α x ln x a dx Oznacza to, że wyrażenie podcałkowe jest tego rzędu przy s, co sβ α s, więc całka, która a nas interesuje będzie skończona, jeśli tylko a β α <, czyli biorąc a, + β α 5

mamy tezę. Granicę tę zaś uzasadnia reguła de l Hospitala i obserwacja, że pomijamy już rachunki e s ln ψ α s a. s a s + a ln ψ α e s s a Uwaga 3.2. Można uzasadnić negatywną odpowiedź na tytułowe pytanie bezpośrednio. Otóż, ustalmy α, δ,. Dla każdego C > znajdziemy po prostu funkcję f, że nierówność 3.2 nie zachodzi. Ustalmy zatem C > i rozważmy fx :, x,. Dobierzemy odpowiednie x b b,. Mamy dwa razy całkujemy przed podstawienie, kładąc y ln/x, z by f ln α + f x b lnα x b dx b α y α e by dy b α b α z α e z dz b α Γα +. b α Zatem Dalej liczymy T f i całkę z T f T fx dx x x b b x b, T f ln α + T f b x b ln b + ln α x b dx b α b x b lnα x b dx Γα +. b α+2 T f lnα b + T f α + f lnα+δ + f b Γα + α+2 b + α Γα + δ + b α+δ+ b α Γα + b δ b α+δ+ + b α+δ Γα + δ +, b więc biorąc b dostatecznie bliskie otrzymamy, że f > C, czyli nierówność przeciwną do 3.2. T f lnα + T f + f lnα+δ + 6

Bibliografia [Doo53] J. Doob, Stochastic Processes, New York 953. 7