Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki

Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Ostatnio poprawiłem 25 stycznia 2015 r. Nadeszła pora na całkowanie. Pierwsza rzecza jest zdefiniowanie funkcji, które bedzie można całkować. Definicja 8.1 (funkcji mierzalnej) Niech X oznacza dowolny zbiór, bedziemy go nazywać przestrzenia, a F przeliczalnie addytywne ciało podzbiorów przestrzeni X. Funkcja f : X R = [, + ] jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby a R przeciwobraz półprostej (a, ] jest mierzalny, czyli gdy f 1( (a, ] ) F. Z definicji tej wynika, że funkcja mierzalna może przyjmować nieskończone wartości, nie tylko liczbowe. Tak po prostu bedzie wygodniej. Twierdzenie 8.2 (charakteryzujace funkcje mierzalne) Niech f : X R = [, + ]. Nastepuj ace warunki sa równoważne 0 funkcja f jest mierzalna; 1 dla każdego a R przeciwobraz półprostej [a, ] jest mierzalny: a R f 1( [a, ] ) F; 2 dla każdego a R przeciwobraz półprostej [, a) jest mierzalny: a R f 1( [, a) ) F; 3 dla każdego a R przeciwobraz półprostej [, a] jest mierzalny: a R f 1( [, a] ) F. Dowód. 0 1 Mamy [a, ] = (a 1, ]. Z definicji σ ciała wynika, że n cześć wspólna przeliczalnej rodziny zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym, wiec implikacja jest konsekwencja równości: f 1( [a, ] ) ( ) = f 1 (a 1, ] = f 1( (a 1, ]). n n 1 0 Tak jak poprzednio z tym, że teraz korzystamy z równości: f 1( (a, ] ) ( ) = f 1 [a + 1, ] = f 1( [a + 1, ]). n n W taki sam sposób dowodzimy równoważności warunków 2 i 3. Warunek 3 jest równoważny mierzalności f, bo f 1( [, a] ) = X \ f 1( (a, ] ). Zauważmy też, że z mierzalności funkcji f wynika mierzalność zbiorów ( ) f 1 ( ) = f 1 (n, ] = f 1( (n, ] ) oraz ( ) f 1 ( ) = f 1 [, n) = f 1( [, n) ). 133

Wynika też mierzalność przeciwobrazu dowolnego przedziału, w tym zbioru jednopunktowego. Uzasadnienia sa we wszystkich przypadkach praktycznie identyczne. Zadanko 1. Wykazać, że jeśli f : X R jest mierzalna, to przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego jest mierzalny. Wykazać, że w takiej sytuacji istnieja zbiory mierzalne w sensie Lebesgue a, których przeciwobrazy nie sa mierzalne! Twierdzenie 8.3 (o najprostszych własnościach funkcji mierzalnych) Załóżmy, że funkcje f, g : X R sa mierzalne. Wtedy M1 funkcje f i g sa mierzalne; M2 funkcja f jest mierzalna; M3 zbiory {x : f(x) > g(x)}, {x : f(x) = g(x)}, {x : f(x) g(x)} sa mierzalne; M4 funkcje f + g, f g, fg, f s a g mierzalne; M5 funkcje max(f, g) i min(f, g) sa mierzalne; M6 jeśli f : R R jest ciagła, g : X R mierzalna, to f g jest mierzalna. Dowód. Własność M1 wynika z poprzedniego twierdzenia (punkt 2 ) i tego, że f(x) > a f(x) < a. Własność M2 wynika z poprzedniego twierdzenia i tego, że {x : f(x) > a} = {x : f(x) > a} {x : f(x)) > a} i z tego, że suma zbiorów mierzalnych jest mierzalna. Kolej na własność M3. Mamy {x : f(x) > g(x)} = ( ) {x : f(x) > w} {x : w > g(x)}, w Q bo miedzy każdymi dwiema liczbami rzeczywistymi znajduje sie jakaś liczba wymierna. Ponieważ liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele, cześć wspólna dwóch zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym, suma przeliczalnie wielu zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym, funkcje f i g sa mierzalne, wiec zbiór po prawej stronie ostatniej równości jest mierzalny. Oznacza to, że zbiór {x : f(x) > g(x)} też jest mierzalny. Mierzalne jest wiec jego dopełnienie, czyli zbiór {x : f(x) g(x)}. Zamieniajac role funkcji f i g stwierdzamy mierzalność zbioru {x : f(x) g(x)}. Wobec tego zbiór {x : f(x) = g(x)} = {x : f(x) g(x)} {x : f(x) g(x)} też jest mierzalny. Własność M3 jest wiec udowodniona. Teraz wykażemy własność M4. Zbiór {x: f(x) + g(x) > a} = {x: f(x) > a g(x)} jest mierzalny na mocy M3, bo funkcje f i a g sa mierzalne. Funkcja f 2 jest mierzalna, bo nierówność f(x) 2 > a równoważna jest, w przypadku nieujemnej liczby a, nierówności f(x) > a, wiec mierzalność funkcji f 2 równoważna jest mierzalności funkcji f. Mamy też fg = 4( 1 (f + g) 2 (f g) 2), zatem mierzalność iloczynu wynika z mierzalności kwadratu, sumy i różnicy funkcji mierzalnych. Z ilorazem kłopot jest niewielki: f = f 1, g g wystarczy wywnioskować mierzalność funkcji 1 z mierzalności g 134

1 funkcji g, ale to wynika z tego, że np. dla a > 0 nierówność > a równoważna jest g(x) nierówności 0 < g(x) < 1. a Teraz własność M5. max(f, g) = 1(f +g+ f g ), min(f, g) = 1(f + g f g ), wiec 2 2 mierzalność funkcji max(f, g) i min(f, g) wynika z poprzednich własności i mierzalności obu funkcji f, g. Wreszcie ostatnia własność. Przeciwobraz f 1( (a, ] ) półprostej (a, ] jest zbiorem otwartym, wiec jest suma przeliczalnie wielu przedziałów otwartych, np. o końcach wymiernych (niekoniecznie parami rozłacznych). Ponieważ funkcja g jest mierzalna, wiec przeciwobrazy przedziałów otwartych sa mierzalne, a ponieważ rozważamy ich nie wiecej niż przeliczalnie wiele, wiec przeciwobraz (f g) 1( (a, ] ) ( = =g 1 f 1( (a, ] )) półprostej (a, ] jest mierzalny. Mierzalność złożenia f g została wykazana. Twierdzenie 8.4 (o mierzalności granic) Załóżmy, że funkcje f 1, f 2,... sa mierzalne. Wtedy mierzalne sa też funkcje: sup n f n, inf n f n, supf n, inf f n oraz f n (o ile istnieje). Dowód. Z równości {x : sup n f n (x) a} = {x : f n (x) a} wynika mierzalność kresu górnego przeliczalnego zbioru funkcji mierzalnych. Z kolei z równości {x : inf n f n (x) < a} = {x : f n (x) < a} wynika mierzalność kresu dolnego prze- liczalnego zbioru funkcji mierzalnych. ( supf n (x) = inf n supm f n+m (x) )1, zatem granica górna ciagu funkcji mierzalnych jest funkcja mierzalna. Ponieważ inf f n = sup( f n ), wiec również granica dolna ciagu funkcji mierzalnych jest mierzalna. Z dwóch ostatnich zdań wnioskujemy natychmiast, że jeśli ciag funkcji mierzalnych jest zbieżny, to jego granica jest funkcja mierzalna (bo jest równa np. granicy dolnej: ciag jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy granica dolna tego ciagu równa jest jego granicy górnej). Informacja: osoby, które do dnia egzaminu ustnego nie zdaż a sobie przypomnieć definicji granicy górnej, moga być w jego trakcie poproszone o bezpośrednie wykazanie mierzalności granicy ciagu funkcji mierzalnych. Sugestia: spróbować samodzielnie przeprowadzić taki dowód przed egzaminem, najlepiej przed sesja, np. zmienić dowód przedstawiony w tym tekście. Definicja 8.5 (funkcji prostej) Funkcja prosta nazywać bedziemy dowolna funkcje mierzalna f : X R, której zbiór wartości jest skończony. Twierdzenie 8.6 (charakteryzujace funkcje proste) Funkcja f : X R jest prosta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja takie zbiory mierzalne A 1, A 2,..., A n i takie liczby (ewentualnie nieskończoności) a 1, a 2,..., a n, że f = a j χ Aj, 1 Jeśli ktoś nie pamieta definicji granicy górnej, to może przyjać ten wzór za definicje. 135 j=1

gdzie χ B jest funkcja charakterystyczna zbioru B, tzn.χ B (x)=1 dla x B oraz χ B (x) = 0 dla x / B. Dowód. Jasne jest, że jeśli f = a j χ Aj, to liczba wartości przyjmowanych przez j=1 funkcje f nie może być wieksza niż 2 n. Z mierzalności zbiorów A 1, A 2,..., A n wynika mierzalność funkcji f: przeciwobrazy półprostych to sumy cześci zbiorów A 1, A 2,..., A n. Jeśli zbiorem wartości funkcji f jest {a 1, a 2,..., a n }, to przyjmujac A j = f 1 (a j ) otrzymujemy zbiory mierzalne, w tym przypadku nawet parami rozłaczne (wcześniej tak być nie musiało). Wzór f = a j χ Aj oczywiście zachodzi. j=1 O zbiorach A 1, A 2,..., A n zakładamy jedynie, że sa mierzalne. Jeśli X = R k i te zbiory sa k wymiarowymi przedziałami, to funkcje prosta a j χ Aj nazywamy schodkowa. Termin ten jest używany, ale my go nie bedziemy stosować zbyt czesto. Twierdzenie 8.7 (o przybliżaniu funkcji mierzalnych funkcjami prostymi) Jeśli f : X [0, ] jest funkcja mierzalna, to istnieje niemalejacy ciag (f n ) nieujemnych funkcji prostych, skończonych zbieżny (punktowo) do funkcji f; jeśli funkcja f jest ograniczona, to istnieje niemalejacy ciag (f n ) nieujemnych funkcji prostych zbieżny jednostajnie do funkcji f. m Dowód. Niech A m,n = {x : f(x) < m+1 } dla m = 0, 1, 2,..., n2 n 1 2 n 2 n n2 n m oraz A n2 n,n = {x : n f(x)} dla n = 1, 2,... Niech f n = χ 2 n A m,n. Z definicji wynika od razu, że f n f na X. Mamy też A 2m,n+1 A 2m+1,n+1 = A m,n dla m = 0, 1,..., n2 n 1 i A n2 n,n = A n2 n+1,n+1 A n2 n+1 +1,n+1 A (n+1)2 n+1,n+1. Stad wynika, że f n f n+1. Jasne jest również, że jeśli f(x) <, to dla n > f(x) zachodzi nierówność f n (x) f(x) < f n (x) + 1. Wynika stad 2 n od razu punktowa zbieżność ciagu (f n ) do funkcji f. Wypada zwrócić uwage na to, że jeśli f(x) =, to dla każdego n zachodzi równość f n (x) = n. Jeśli funkcja f jest ograniczona z góry przez M, to dla n > M zachodzi nierówność 0 f f n < 1, zatem w tym przypadku nasz 2 n ciag jest zbieżny jednostajnie. Definicja 8.8 (miary regularnej) Miara µ określona na przeliczalnie addytywnym ciele podzbiorów przestrzeni topologicznej X zawierajacym zbiory borelowskie nazywana jest miara regularna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ε > 0 i dla każdego zbioru mierzalnego A istnieja: zbiór domkniety F A i zbiór otwarty G A takie, że µ(g \ F ) < ε. Miara Lebesgue a jest, z naszego punktu widzenia, podstawowym przykładem miary regularnej jest to bezpośredni wniosek z twierdzenia charakteryzujacego zbiory mierzalne. Inne miary, którymi zajmiemy sie w dalszej cześci tego wykładu, też bed a regularne. Twierdzenie 8.9 (Łuzina) Jeśli miara µ określona na przestrzeni topologicznej X jest regularna, funkcja f : X R 136 j=1 m=0

jest mierzalna, to dla każdej liczby ε > 0 istnieje taki zbiór domkniety F X, że funkcja f F jest ciagła oraz µ(x \ F ) < ε. Przed podaniem dowodu wypada stwierdzić, że funkcja mierzalna może w ogóle punktu ciagłości nie mieć, np. χ Q. Dowód. Niech g = π +arctg f. Z tej definicji wynika, że funkcja g jest mierzalna 2 (jako złożenie funkcji ciagłej z mierzalna), nieujemna i ograniczona, bo wartości funkcji arctg leża w przedziale ( π, π), wiec 2 2 wartości funkcji g s a liczbami z przedziału (0, π). Istnieja wiec funkcje proste χ n takie, że g 1 g n n g wynika to z twierdzenia m n o przybliżaniu funkcji mierzalnych funkcjami prostymi. Niech g n = a n,i χ An,i przy czym zbiory A n,1, A n,2,..., A n,mn sa mierzalne i parami rozłaczne, ich suma jest cała przestrzeń X. Wobec tego istnieja takie zbiory domkniete F n,1, F n,2,..., F n,mn, że µ(a n,i \ F n,i ) < ε m n oraz A 2 n n,i F n,i. Niech F n = F n,i. Zbiór F n jest domkniety jako suma skończenie wielu zbiorów i domknietych. Oczywiście µ(x \ F n ) = i µ(a ε n,i \ F n,i ) < m n m n2 = ε. Funkcja g n 2 n n po obcieciu do zbioru F n staje sie lokalnie stała, wiec ciagła. Niech F = F n. Mamy X \ F = (X \ F n ), zatem ( ) µ(x \ F ) = µ (X \ F n ) µ(x \ F n ) < ε = ε. 2 n Na zbiorze F F n funkcja g n jest ciagła. Ciag (g n ) jest jednostajnie zbieżny do funkcji g, zatem funkcja g jest ciagła na zbiorze F. Ponieważ f = tg(g π), wi ec 2 funkcja f też jest ciagła na zbiorze F. Dowód został zakończony. Łuzina stwierdził, że funkcje mierzalne sa w pewnym sensie bliskie funkcjom ciag- łym. Należy jednak mieć na uwadze to, że funkcje całkowalne w sensie Riemanna sa jeszcze bliższe ciagłym: w ich przypadku prawie każdy punkt przedziału jest punktem ciagłości, funkcja mierzalna punktów ciagłości może w ogóle nie mieć, pojawiaja sie dopiero po zmniejszeniu jej dziedziny. Twierdzenie 8.10 (Frécheta) Niech X bedzie przestrzenia metryczna (ogólniej: topologiczna normalna), µ regularna miara borelowska na X, f : X R funkcja mierzalna. Istnieje wtedy ciag (f n ) funkcji ciagłych, określonych na przestrzeni X zbieżny prawie wszedzie do funkcji f (tzn. poza pewnym zbiorem miary 0 mamy f n (x) = f(x)) Dowód. Niech F n bedzie zbiorem domknietym, po obcieciu do którego funkcja f jest ciagła i ktory prawie wypełnia X : µ(x \ F n ) < 1. Niech f 2 n+1 n = f Fn. Ponieważ zbiór F n jest domkniety, wiec na mocy twierdzenia Tietze go istnieje taka funkcja ciagła f n : X R, że dla każdego x F n zachodzi równość f n (x) = f n (x). Zdefiniujmy H n = F n F n+1 F n+2... Zbiory H 1, H 2,... sa domkniete, bo cześć wspólna dowolnej rodziny zbiorów domknietych jest zbiorem domknietym. Mamy też H n H n+1 dla 137

każdej liczby naturalnej n oraz µ(x \ H n ) zbieżny do funkcji f na zbiorze i=0 H n. Dowód został zakończony. µ(x \ F n+i ) < 1. Ciag 2 n (f n ) jest Umowa 8.11 p.w. Napis f n f oznacza, że ci ag (f n ) jest zbieżny prawie wszedzie do funkcji f. Twierdzenie 8.12 (Jegorowa) Załóżmy, że µ jest miara określona na przeliczalnie addytywnym ciele podzbiorów przestrzeni X oraz że µ(x) <. Niech f n f. Wtedy dla każdej liczby ε > 0 istnieje p.w. zbiór mierzalny F taki, że µ(x \ F ) < ε i ciag (f n F ) jest zbieżny jednostajnie do funkcji f F. Jeśli µ jest miara regularna, to istnieje zbiór domkniety F o podanych własnościach. Dowód. Niech A m,n ={x: j n f j (x) f(x) > 1 } = f m j (x) f(x) > j n{x: 1 }. m Zbiór A m,n jest mierzalny jako suma przeliczalnej rodziny zbiorów mierzalnych. Niech A m = A m,n. Ponieważ A m,n A m,n+1, wiec µ(a m,n ) µ(a m), przypominamy, że µ(x) <! Jeżeli x A m, to dla nieskończenie wielu j zachodzi nierówność f j (x) f(x) > 1, zatem ci ag ( m f n (x) ) nie jest zbieżny do liczby f(x). Wobec tego µ(a m ) = 0. Niech ε > 0. Ponieważ µ(a m,n ) µ(a m) = 0, wiec istnieje liczba n(m) taka, że µ(a n(m),m ) < ε. Niech A = A 2 m+1 m,n(m). Z tej wynika od razu, że µ(a) < ε. m=1 Jeśli x / A, to x / A m,n(m) dla dowolnego m, zatem dla każdej liczby j > n(m) zachodzi nierówność f j (x) f(x) < 1. Wobec tego ci ag m (f n ) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na zbiorze X \ A. Jeśli miara µ jest regularna, to zbiór X \ A zawiera taki podzbiór domkniety F, że µ ( (X \ A) \ F ) < ε. Dowód został zakończony. Na tym kończymy przeglad prostych ale ważnych twierdzeń opisujacych funkcje mierzalne i ich zbieżność. Możemy już przejść do definicji całek z funkcji mierzalnych nieujemnych. Definicja 8.13 (rozbicia zbioru mierzalnego i sumy dolnej) Jeżeli zbiór A jest mierzalny, to skończona rodzine P = {P 1, P 2,..., P n } zbiorów mierzalnych nazywamy rozbiciem (mierzalnym) zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy A = P 1 P 2 P n i P i P j = dla i j. Wielkość s (f, P) = inf f Pi µ(p i ) nazywamy suma dolna funkcji f Definicja 8.14 (całki z nieujemnej funkcji mierzalnej) Jeśli f jest nieujemna funkcja mierzalna określona na zbiorze mierzalnym A, to wielkość fdµ = sup{s A (f, P) : P jest rozbiciem mierzalnym zbioru A} nazywana jest całka (Lebesgue a) z funkcji f wzgledem miary µ na zbiorze A. 138

Podamy teraz kilka prawie oczywistych własności całki z funkcji nieujemnej. Zakładamy, że funkcja f jest określona na zbiorze, na którym ma być całkowana, że jest nieujemna i mierzalna. Stwierdzenie 8.15 c χ X A dµ = cµ(a) dla dowolnej liczby c 0. Dowód. Niech P = {A, X \ A}. Oczywiście s (χ A, P) = cµ(a), wiec zachodzi nierówność χ A Adµ cµ(a). Niech P ={P i } bedzie dowolnym rozbiciem X. Wtedy s (cχ A, P) = inf cχ A Pi µ(p i ) = inf cχ A Pi µ(p i ) = i ) cµ(a) i P i A P i Acµ(P zatem χ X Adµ cµ(a). Dowód został zakończony. Stwierdzenie 8.16 Jeśli a 1 0, a 2 0,..., a n 0, zbiory A 1, A 2,..., A n sa mierzalne i i a i χ A i f, to zachodzi nierówność i a iµ(a i ) fdµ. X Dowód. Jeśli zbiory A 1, A 2,..., A n sa parami rozłaczne, to teza twierdzenia wynika od razu z definicji całki: a i inf f Ai. Jeśli nie sa parami rozłaczne, to każdy z nich możemy przedstawić w postaci sumy parami rozłacznych zbiorów postaci A 1,σ1 A 2,σ2 A n,σn, gdzie σ i { 1, 1} i A i,1 = A i oraz A i, 1 = X\A i. Otrzymujemy w ten sposób nie wiecej niż 2 n parami rozłacznych zbiorów B 1, B 2,..., B m przy czym jasne jest, że i a i χ A i = j b j χ B j gdzie b j jest suma tych a i, dla których = B j A i oraz i a iµ(a i ) = j b jµ(b j ). X Wniosek 8.17 (z dowodu) ( c i χ Ai )dµ = c i µ (A i ) dla dowolnych zbiorów mierzalnych A 1, A 2,..., A n i dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych a 1, a 2,..., a n. Stwierdzenie 8.18 Jeśli 0 f g sa funkcjami mierzalnymi na zbiorze mierzalnym A, to zachodzi nierówność fdµ gdµ. A A To stwierdzenie wynika od razu ze stwierdzenia poprzedniego. Stwierdzenie 8.19 Jeśli A B, to fdµ fdµ. A B Dowód. Dowolne rozbicie zbioru A można uzupełnić zbiorem B \ A do rozbicia zbioru B, odpowiednia suma dolna nie zmniejszy sie dojdzie do niej jeden nieujemny składnik. k=1 Stwierdzenie 8.20 Jeśli fdµ = 0, to f = 0 prawie wszedzie, X czyli w całej przestrzeni X z wyj atkiem punktów pewnego zbioru miary 0. Dowód. Załóżmy, że tak nie jest. Wtedy µ({x : f(x) > 1 }) > 0 dla pewnej k liczby naturalnej k 1, bo {x : f(x) > 1 } = {x : f(x) > 0}, a suma przeliczal- k nej rodziny zbiorów miary 0 ma miar e 0. Niech B = {x : 139 f(x) > 1 }. Możemy, na k

podstawie już wykazanych stwierdzeń, napisać fdµ 1 χ X k B = 1 µ(b) > 0, wbrew k założeniu. Stwierdzenie 8.21 Jeśli fdµ <, to µ({x : f(x) = }) = 0, czyli jeśli całka z funkcji nieujemnej X jest skończona, to funkcja przyjmuje wartości skończone prawie wszedzie. Dowód. fdµ µ({x : f(x) = }). X Twierdzenie 8.22 (o mierze z gestości a) Jeśli funkcja f : X [0, ] jest mierzalna i ν(a) = fdµ dla każdego zbioru A mierzalnego A, to ν jest miara na tym samym σ ciele podzbiorów przestrzeni X. Dowód. ν( ) = 0 (a nawet jeśli µ(a) = 0, to ν(a) = 0). Wykażemy przeliczalna addytywność funkcji ν. Załóżmy, że A i A j = dla i j. Udowodnimy równość ν( n A n) = n ν(a n), czyli A n fdµ = A n fdµ. Jeśli którakolwiek całka po prawej stronie równości jest nieskończona, to również całka po lewej stronie jest nieskończona, bo całka po wiekszym zbiorze ( A n ) nie może być mniejsza niż całka po mniejszym zbiorze (A n ), wiec zachodzi równość. Dalej zakładamy, że wszystkie całki po prawej stronie równości sa skończone. Jeśli ε > 0 oraz n N, to istnieja takie rozbicia P 1, P 2,..., P n zbiorów A 1, A 2,..., A n, że zachodza nierówności s (f, P i ) > A i fdµ ε. Niech P = P 2 n 1 P 2 P n Wtedy zachodzi nierówność X fdµ s (f, P) s (f, P i ) > A i fdµ ε. Ponieważ ta nierówność ma miejsce dla każdego ε > 0, wi ec A n fdµ i wobec tego A n fdµ A i fdµ. Udowodnimy nierówność przeciwna. { i=n+1 A i }. A i fdµ Niech M < A n fdµ bedzie dowolna liczba, P = {P 1, P 2,..., P m } takim rozbiciem zbioru A i, że M < s (f, P). Wtedy P n = {P 1 A n, P 2 A n,..., P m A n } jest rozbiciem zbioru A n i możemy napisać m m ( M < s (f, P) = inf f Pi µ(p i ) = inf f Pi = ( m ) inf f Pi µ(p i A n ) ) µ(p i A n ) = ( m ) inf f Pi A n µ(p i A n ) = M jest dowolna liczba mniejsza od A n fdµ, wiec A n fdµ = s (f, P n ) A n fdµ. A n fdµ. Zajmiemy sie teraz jednym z najważniejszych twierdzeń wykładu, pierwszym z tych, które pozwalaja na zastepowanie granicy ciagu całek całka z granicy ciagu. Twierdze- 140

nia te sa bardzo ważne, maja liczne zastosowania i prostsze sformułowania dla całki Lebesgue a niż dla całki Riemanna. Twierdzenie 8.23 ( Lebesgue a Levi ego o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem całki) Jeśli funkcje f 1, f 2,... sa mierzalne i dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność 0 f n f n+1, to dla każdego zbioru mierzalnego A ( ) f n dµ = f n dµ. A Dowód. W całym dowodzie przyjmujemy, że f(x) = f n (x). Z tego, że f f n dla każdej liczby naturalnej n wynika, że fdµ f X X ndµ. Udowodnimy nierówność przeciwna. Przyjmijmy, że X 0 = {x : f(x) = 0}, X + = {x : 0 < f(x) < } i X = {x : f(x) = }. Zbiory X 0, X + i X sa mierzalne i rozłaczne. Mamy też X = X 0 X + X. Jeśli x X 0, to dla każdego n mamy 0 f n (x) f(x) = 0, wiec f n (x) = 0. Wobec tego X 0 f n dµ = 0 = X 0 fdµ. Niech x X + i niech 0 < c < 1. Dla każdej liczby n N definiujemy zbiór A n = {x : f n (x) cf(x)}. Ponieważ f n (x) = f(x) > cf(x), wiec dla każdego x istnieje n x takie, że x A n dla n > n x. Wobec tego A n = X +. Ponieważ f n+1 f n, wiec A n+1 A n. Dla każdej liczby naturalnej m mamy wiec X + f n dµ X + f m dµ A m f m dµ c A m fdµ c m X + fdµ ostatnie przejście graniczne można usprawiedliwić twierdzeniami o mierze z gestoś- cia i twierdzeniem o mierze sumy wstepuj acego ciagu zbiorów. Ponieważ nierówność ma miejsce dla każdej liczby c (0, 1), wiec X + f n dµ X + fdµ. Jeśli µ(x ) = 0, to X f n dµ=0 dla każdej liczby naturalnej n i X fdµ=0, wiec X f n dµ = X fdµ. Załóżmy, że µ(x ) > 0. Niech M > 0. Niech B n = {x X : f n (x) > M}. Jasne jest, że B n+1 B n i B n = X. Mamy wiec X f n dµ X f m dµ B m f m dµ B m Mdµ = Mµ(B m ) Mµ(X ). m Ponieważ nierówność X f n dµ Mµ(X ) zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej M > 0, wiec X f n dµ =. Teza wynika teraz od razu z równości f X ndµ = X 0 f n dµ + X + f n dµ + X f n dµ. Twierdzenie 8.24 (o liniowości całki) 1 (cf)dµ =c fdµ dla każdego c [0, ) i dowolnej funkcji mierzalnej f 0; A A 2 (f + g)dµ = fdµ + gdµ dla dowolnych funkcji mierzalnych f, g 0. A A A Dowód. Punkt 1 wynika od razu z definicji całki. Zajmiemy sie punktem 2. Niech (f n ) bedzie niemalejacym ciagiem funkcji prostych zbieżnym do funkcji f, (g n ) niemalejacym ciagiem funkcji prostych zbieżnym do funkcji g. Przyjmijmy, że A 141

f n = i a n,i χ A n,i, g n = j b n,j χ B n,j i że dla każdego n zbiory A n,1, A n,2,..., A n,mn oraz zbiory B n,1, B n,2,..., B n,mn sa parami rozłaczne. Prawdziwe sa wzory ( i a n,i χ A i )dµ = i a n,iµ(a n,i ) oraz ( j b n,j χ ) B n,j dµ = j b n,jµ(b n,j ). Mamy też f n + g n = i,j (a n,i + b n,j )χ An,i B n,j, zatem (fn + g n )dµ = i,j (a n,i + b n,j )µ(a n,i B n,j ) = i,j a n,iµ(a n,i B n,j ) + + i,j b n,jµ(a n,i B n,j ) = i a n,iµ(a n,i ) + j b n,jµ(b n,j ) = f n dµ + g n dµ. Innymi słowy: dowodzony wzór zachodzi w przypadku funkcji prostych. Z twierdzenia o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem całki wynika, że zachodzi wobec tego dla wszystkich funkcji nieujemnych: fdµ + gdµ = fn dµ + gn dµ = (fn + g n )dµ = (f + g)dµ. Dowód został zakończony. Lemat 8.25 (Fatou) Dla dowolnych funkcji mierzalnych nieujemnych f 1, f 2,... zachodzi nierówność: ( inf f n )dµ inf f n dµ. Dowód. Mamy inf n f n = (inf k f n+k ). Niech g n = inf{f n, f n+1,... }, zatem zachodzi równość inf n f n = g n. Również g n g n+1, wiec ( infn f n )dµ = ( (inf k f n+k ) ) = gn dµ inf f n dµ, ostatnia nierówność wynika z nierówności g n f n. Drugie z trzech najważniejszych twierdzeń o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki zostało udowodnione. Twierdzenie 8.26 (o całkowaniu wzgledem miary z gestości a) Niech f : X [0, ] bedzie funkcja mierzalna. Niech ν(a) = fdµ dla każdego A zbioru mierzalnego A. Dla każdej funkcji mierzalnej g : X [0, ] zachodzi równość gdν = fgdµ. X X Dowód. Niech g = χ A. Wtedy gdν = ν(a) = fdµ = χ X A X Afdµ = gfdµ, X co oznacza, że w tym przypadku twierdzenie jest prawdziwe. Jeśli dowodzona równość jest spełniona dla nieujemnych funkcji mierzalnych g 1, g 2, to jest również spełniona dla dowolnej ich kombinacji liniowej c 1 g 1 + c 2 g 2 przy założeniu, że c 1, c 2 0. Wobec tego jest spełniona dla dowolnej nieujemnej funkcji prostej. Jeśli jest spełniona dla każdej funkcji g 1, g 2,... i g 1 g 2 g 2..., to na mocy twierdzenia o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem całki jest spełniona dla funkcji granicznej g n, bo g 1 f g 2 f g 2 f.... Ponieważ każda nieujemna funkcja mierzalna jest granica niemalejacego ciagu funkcji prostych, wiec gdν = fgdµ dla dowolnej nieujemnej X X funkcji mierzalnej g. Ten dowód był bardzo prosty, ale ważny jest jego schemat: wielokrotnie bedziemy sprawdzać, że jakiś wzór zachodzi dla funkcji charakterystycznych, potem dla prostych i wreszcie dla wszystkich, w tym ostatnim kroku głównym narzedziem jest twierdzenie o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem całki. Samo twierdzenie bedzie czesto wykorzystywane na rachunku prawdopodobieństwa. 142

Twierdzenie 8.27 (o podstawianiu) Załóżmy, że F jest przeliczalnie addytywnym ciałem podzbiorów przestrzeni X, a G przeliczalnie addytywnym ciałem podzbiorów przestrzeni Y. Niech F : X Y bedzie przekształceniem takim, że przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego B jest mierzalny (czyli F 1 (B) F, jeśli B G). Załóżmy, że µ jest miara określona na F a ν miara określona na G oraz że ν = F µ, tzn. ν(b) = µ(f 1 (B)) dla każdego B G. Niech g : Y [0, ] bedzie funkcja mierzalna. Wtedy zachodzi równość gdν = g F dµ. Y X Dowód. Wzór zachodzi, jeśli g = χ B dla B G wynika to natychmiast z założenia o miarach ν i µ. Jasne jest, że jeśli funkcje g 1 i g 2 sa mierzalne i nieujemne oraz c 1, c 2 0, to z równości g Y 1dν = g X 1 F dµ, g Y 2dν = g X 2 F dµ wynika równość (c Y 1g 1 + c 2 g 2 )dν = (c X 1g 1 + c 2 g 2 ) F dµ, zatem dowodzona równość zachodzi dla wszystkich funkcji prostych. Każda funkcja mierzalna nieujemna g jest granica niemalejacego ciagu (g n ) funkcji prostych. Stad i z twierdzenia o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem całki wynika, że gdν = g Y Y ndν = g X n F dµ = g F dµ. X Twierdzenie 8.28 (o ciagłości całki) Jeśli fdµ <, f 0 jest funkcj a X mierzalna, to dla każdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, że jeśli µ(a) < δ, to fdµ < ε. A Dowód. Niech A n = {x : n f(x) < n + 1}, A = {x : f(x) = }. Ponieważ fdµ <, wiec X µ(a ) = 0. Wobec tego fdµ = X A n fdµ. Istnieje taka liczba m N, że ( A n fdµ < ε. Niech C 2 m = X \ A n ). Jeśli x C m, to n=m 0 f(x) m. Stad wynika, że jeśli µ(a) < δ := ε, to fdµ = 2m A A C m fdµ + fdµ mµ(c (X\C m ) A m A) + fdµ (A m A m+1... ) mµ(a) + A n fdµ < ε + ε = ε. 2 2 Dowód został zakończony. Kilka zadań Zadanie 8.1 Dowieść, że jeśli F : R k R k spełnia warunek Lipschitza i l k (A) = 0, to l k (F (A)) = 0. Zadanie 8.2 Niech f : R R bedzie taka funkcja mierzalna, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi równość f(x + y) = f(x) + f(y). Wykazać, że f jest funkcja liniowa. 1 (sin x+cos x) Zadanie 8.3 Obliczyć dx, n e x dx 0 1 + xn 1+(sin x+cos x) 2n 0 Zadanie 8.4 Niech f : R R 2 bedzie funkcja klasy C 1 i niech Df(x) bedzie monomorfizmem dla każdego x R. Wykazać, że l 2 f(r) = ( ) 0. 143 n=m n=m n=0

Zadanie 8.5 Niech F : G R l bedzie odwzorowaniem klasy C 1 zbioru G otwartego w R k+l, dla którego punkt q R l jest wartościa regularna, l 1. ( Wykazać, że dla każdego q R l zachodzi równość l k+l F 1 (q) ) = 0. Podać przykład świadczacy o tym, że przeciwobraz wartości krytycznej może mieć miare dodatnia. Zadanie 8.6 Podać przykład ciagu (f n ) mierzalnych funkcji nieujemnych, dla których nierówność w lemacie Fatou jest ostra. Zadanie 8.7 Obliczyć Zadanie 8.8 Obliczyć 1 n 1 dx x 2 ln(1 + x n ). n dx 0 n + n 2 sin x. n 2 144