Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje macierz ortogonalnaqtaka żeqdiag(λ j )Q T Udowodnić że A F = diag(λ j ) F A 2 =max λ j A F n A 2 j 4 Niech macierze A i B będą nieosobliwe Udowodnić następujące nierówności A / A A B A B A B 5 Wskaźnikiem uwarunkowania zadania rozwiązania układu równań liniowych Ax = b o nieosobliwej macierzy układu jest wyrażeniecond(a)= A A Obliczyć wskaźniki uwarunkowania dla norm 2 i dla następujących macierzy 6 Niech a+ a a a 0 2 0 γ 0 a Obliczyć wskaźnik uwarunkowaniacond (A) icond (A) Niechb=A γ T czyli rozwiązaniem układuax=bjestx= γ T Niechˆb=b+δb Niechˆx będzie rozwiązaniem układuax=ˆb Wyrazić oszacowanie błędu względnego ˆx x / x przez δb / b Czy zadanie rozwiązania układuax=bjest dobrze uwarunkowane? 7 Zadanie rozwiązania układu dwóch równań liniowych Ax = b jest równoważne zadaniu znalezienia punktu przecięcia dwóch prostych Pokazać że dla kąta α między tymi prostymi zachodzi 8 Niech ctg(α) cond F(A) 0 Porównać rozwiązanie x układu Ax = b z rozwiązaniem x + x układu gdzieb=44 T b= T A(x+ x)=b+ b
9 Obliczyc wskaźnik uwarunkowania zadania rozwiązywania układu równań liniowych Ax=b dla 5 7 3 7 3 2 6 0 Udowodnić że zadanie rozwiązywania układu równań liniowych Ax = b z macierzą A ortogonalną(a =A T ) jest zawsze bardzo dobrze uwarunkowane Czemu równa się cond 2 (A)? Porównać wskaźniki uwarunkowaniacond dla macierzyaimacierzyda gdzie 0 00 D=diag(/3///00) 00 0000 2 (Bai) Pokazać że A(I sst s T s ) 2 F= A 2 F As 2 2 s T s Wskazówka Zauważyć że kwadrat normy Frobeniusa dowolnej macierzy A jest równy sumie elementów z głównej przekątnej macierzya T A (A-rzeczywista) oraz Ass T A T F = As 2 2 3 (Bai) Pokazać że jeśli I Z 0 I gdziei jest macierzą jednostkową stopn tocond F (A)=2n+ Z 2 F Wskazówka Zauważyć że kwadrat normy Frobeniusa macierzy blokowej jest sumą kwadratów norm Frobeniusa jej poszczególnych bloków 4 Układ równań liniowych 20 0 05 00 x= 0 ma rozwiązaniex= 2 T Wyznaczyć rozwiązanie układu w arytmetyce zmiennopozycyjnej dziesiętnej 3-cyfrowej za pomocą eliminacji Gaussa 5 Wyznaczyć liczbę działań potrzebnych do rozwiązania układu równań liniowych z macierzą trójkątną 6 Rozpatrzyć następującą macierz trójprzekątniową stopnia 4 b c 0 0 a b 2 c 2 0 0 a 2 b 3 c 3 0 0 a 3 b 4 2
Zakładamy że istnieje rozkład LU macierzy A czyli że eliminacja Gaussa jest wykonalna Sprawdzić że wówczas 0 0 0 d c 0 0 a d L= 0 0 a 0 2 d 2 0 U= 0 d 2 c 2 0 0 0 d 3 c 3 a 0 0 3 0 0 0 d 4 d 3 gdzie d =b d i =b i a i c i dlai=234 d i Sprawdzić poprawność podanych wyżej wzorów i napisać algorytm wyznaczania rozkładu LU dla macierzy trójprzekątniowej stopnia n Wyznaczyć koszty tego algorytmu Pokazać że czynnik wzrostuρjest ograniczony z góry przez 2 7 Podać schemat algorytmu eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego dla układu w macierzą trójprzekątniową 8 Napisać schemat algorytmu rozwiązywania układu równań liniowych Ax = b gdzie A jest macierzą Hessenberga górną tzn elementy może mieć elementy niezerowe tylko w gónym trójkącie i bezpośrednio pod nim Zastosować eliminację Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego 9 Niech macierz A będzie trójkątna górna z wyjątkiem pierwszej kolumny i ostatniego wiersza które nie są zerowe Jaki będzie koszt (ile działań) rozwiązania układuax=b za pomocą eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego Podać schemat algorytmu 20 NiechAbędzie macierzą nieosobliwą zespoloną C n n i niechb C n Pokazać że układ ten można rozwiązać nie używając arytmetyki zespolonej Wskazówka Przyrównać części rzeczywiste i urojone z obu stron układu 2 Podczas przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych z okresowymi warunkami brzegowymi pojawiają się układy równań liniowych z macierzami układua ij prawie trójprzekątniowymi tzn elementy niezerowe są wzdłuż trzech głównych przekątnych oraz w dwóch rogach: a =a nn =aa ii =c dlai=23n a i+i =a ii+ = 2 dla wszystkichi a n =a n = Zaproponować algorytm rozwiązywania układu Ax = b z powyższą macierzą 0 0 22 Niech b=3 T Rozwiązać układax=b metodą eliminacji Gaussa (bez wyboru elementu głównego) Obliczenia wykonać w arytmetyce zmiennopozycyjnej dziesiętnej 9-cyfrowej Obliczyć czynnik wzrostu i wskaźnik uwarunkowania zadania rozwiązywania układu równań liniowych Czynnik wzrostu jest zdefiniowany tak: ρ= max ijk a (k) ij max ij a ij gdziea k =a (k) ij są macierzami otrzymywanymi w kolejnych krokach eliminacjia =A 3
23 (Higham) Wyznaczyć rozkład LU macierzy ǫ dla0<ǫ<< oraz jej wskaźnik uwarunkowania Niech arytmetykafl jest taka żefl( ǫ )=ǫ Ocenić wyznaczony wfl rozkładˆlû zakładając żeǫ jest obliczane dokładnie 24 Rozwiązać układ 0003x +027x 2 =0437 0277x 2 +038x 2 =0553 w zmniennopozycyjnej arytmetyce dziesiętnej trzy cyfrowej za pomocą eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego Wyznaczyć wskaźnik uwarunkowania Powtórzyć obliczenia dla zmodyfikowanego układu - pomnożyć pierwsze równanie przez 00 i porównać wyniki z wynikami otrzymanymi poprzednio 25 (Kincaid Cheney) Niech 0 2 0 0 2 Za pomocą eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego wyznaczyć rozkładplu oraz obliczyć deta gdziep jest odpowiednią macierzą permutacji 26 (Kincaid Cheney) Rozważyć układ równańax=b dlab=33+δ T i +δ 2 (a) Porównać rozwiązanie dokładne tego układu z rozwiązaniem przybliżonym x = 30 T obliczyć x x (b) wyznaczyćcond (A) (co będzie gdy będzie dążyć do zera?) (c) wykonać jeden krok iteracyjnego poprawiania rozwiązania 27 (Bai) Dana jest macierz nieosobliwa A Jak efektywnie stosując eliminację Gaussa bez wyboru elementu głównego (a) obliczyćα=c T A b gdziebicsą wektorami kolumnowymi (b) rozwiązać równanie macierzowe AX = B (c) rozwiązać układa k x=b gdziekjest liczbą naturalną? 28 NiechAbędzie macierzą nieosobliwą i niechb=a+uv T gdzieuivsą wektorami kolumnowymi (a) NiechAbędzie macierzą nieosobliwą i niechuv R n Kiedy macierzb=a+uv T jest też nieosobliwa? Wskazówka Zapisać macierzb w postacib=a(i+a uv T ) i skorzystać z twierdzenia podanego na wykładzie 4
(b) Udowodnić wzór Shermana-Morrisona B =A (A uv T A )/(+v T A u) Wskazówka Zauważyć że uv T (A uv T A )=(v T A u)uv T A Paweł Zieliński 5