Optymalne stałe w nierówności typu LlogL dla ciągłych martyngałów

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Piotr Dworczak Nr albumu: 91564 Optymalne stałe w nierówności typu LlogL dla ciągłych martyngałów Praca licencjacka na kierunku MATEMATYA Praca wykonana pod kierunkiem dra Adama Osękowskiego Instytut Matematyki Maj 1

Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierujcego pracą Oświadczenie autora autorów pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora autorów pracy

Streszczenie Nierówność Dooba pozwala oszacować p-tą normę dla p > 1 funkcji maksymalnej martyngału przez jego p-tą normę. Wykorzystując metodę funkcji specjalnych Burkholdera dowodzę analogicznej nierówności dla przypadku p = 1. Okazuje się, że nierówność staje się wówczas nierównością typu LlogL. Ponadto znajduję optymalne stałe i przedstawiam przykładowe zastosowanie nierówności do martyngału wykładniczego i procesów Bessela. Słowa kluczowe ciągły martyngał, nierówność Dooba, nierówność typu LlogL, optymalna stała, proces Wienera, wzór Itô, moment zatrzymania, martyngał wykładniczy, proces Bessela 11.1 Matematyka Dziedzina pracy kody wg programu Socrates-Erasmus lasyfikacja tematyczna 6 Probability theory and stochastic processes 6G Stochastic processes 6G44 Martingales with continuous parameter Tytuł pracy w języku angielskim Optimal constants in a LlogL inequality for continuous martingales.

Spis treści Wprowadzenie....................................... 5 1. Definicje i podstawowe pojęcia........................... 7 1.1. Filtracje i martyngały............................... 7 1.. Rozkład Dooba-Meyera i wzór Itô........................ 8. Nierówność Dooba i metoda Burkholdera.................... 11.1. Metoda funkcji specjalnych Burkholdera..................... 11.. Nierówność Dooba................................. 1 3. Główne wyniki..................................... 15 3.1. Dowód nierówności................................. 15 3.. Optymalność stałych................................ 4. Zastosowania...................................... 5 4.1. Martyngał wykładniczy.............................. 5 4.. Procesy Bessela................................... 7 Podsumowanie....................................... 31 Bibliografia......................................... 33 3

Wprowadzenie Jednym z podstawowych narzędzi analizy stochastycznej jest nierówność Dooba. Nazwa nierówności pochodzi od nazwiska amerykańskiego matematyka, Josepha Leo Doob a, który w znaczący sposób przyczynił się do rozwoju teorii procesów stochastycznych w pierwszej połowie XX-tego wieku większość wyników z tego okresu zawarł on w swojej słynnej książce Stochastic processes, [Doo53]. Nierówność Dooba pozwala szacować z góry p-tą normę dla p > 1 supremum z wartości bezwzględnej procesu będącego martyngałem lub nieujemnym podmartyngałem. Nierówność ta jest wykorzystywana między innymi w dowodzie twierdzenia o zbieżności martyngałów w L p, ponadto często pozwala znajdywać całkowalne majoranty w celu zastosowania twierdzenia Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej. Jeżeli X t t jest martyngałem lub nieujemnym podmartyngałem, to nierówność Dooba stwierdza, że dla dowolnego p > 1 zachodzi p E sup X t p t p 1 p sup E X t p. 1 t Można postawić naturalne pytanie, czy nierówność 1 jest nadal prawdziwa, gdy p = 1. Odpowiedź jest negatywna, tzn. nie istnieje skończona stała C taka, że dla wszystkich ciągłych martyngałów zachodzi E sup t X t C sup t E X t. Okazuje się jednak, że można uzyskać oszacowanie na wartość oczekiwaną supremum, jeżeli po prawej stronie nierówności pojawi się wyrażenie typu LlogL i dodatkowa stała. Ściślej, dla dowolnego > 1 istnieje stała L = L, zależna wyłącznie od, o następującej własności. Jeżeli X t, F t t jest ciągłym martyngałem lokalnym lub nieujemnym podmartyngałem lokalnym, to zachodzi E sup t X t sup E X τ log X τ + L, gdzie T jest zbiorem wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania adaptowalnych do filtracji generowanej przez proces X t t. Ponadto, przy nieco mocniejszych założeniach o procesie X t t zachodzi E sup t X t sup E X t log X t + L. t Nierówność jest przedmiotem tej pracy. Prezentuję dowód tej nierówności w oparciu o metodę zaproponowaną przez Burkholdera [Bur91], polegającą na konstrukcji funkcji specjalnych. Ponadto dla każdego > 1 znajduję optymalną stałą L, tzn. taką, że dla każdego L < L nierówność ze stałą L zamiast L nie zachodzi. Praca jest zorganizowana w następujący sposób. Rozdział pierwszy zawiera podstawowe definicje i twierdzenia wykorzystywane w dalszej części pracy. W rozdziale drugim przedstawiam dowód klasycznej nierówności Dooba i prezentuję na jego przykładzie metodę funkcji specjalnych Burkholdera, która zostanie użyta do dowodu głównego twierdzenia pracy. Rozdział trzeci obejmuje główne wyniki, to znaczy dowód nierówności oraz twierdzenie 5

mówiące o optymalnych stałych w tejże nierówności. Rozdział czwarty zawiera przykładowe zastosowania wyników z rozdziału trzeciego. Ostatni rozdział podsumowuje rozważania z całej pracy. 6

Rozdział 1 Definicje i podstawowe pojęcia W tym rozdziale prezentuję definicje pojęć i twierdzenia, które będą potrzebne w dalszej części pracy. Rozpoczniemy od definicji filtracji i martyngału. 1.1. Filtracje i martyngały Do zdefiniowania martyngału niezbędne jest pojęcie filtracji. Definicja 1.1. Filtracją F t t przestrzeni probabilistycznej Ω, F, P nazywamy rosnącą rodzinę σ-ciał zawartych w F. Definicja 1.. Niech X = X t t będzie procesem stochastycznym. Filtracją generowaną przez X nazywamy rodzinę F X t t daną wzorem F X t = σx s : s t, gdzie σx oznacza σ-ciało generowane przez zmienną losową X. Zawsze, gdy w pracy odnoszę się do martyngału i nie podaję filtracji, należy zakładać, że rozpatrujemy ten martyngał względem naturalnej filtracji. Bardzo często w twierdzeniach wymaga się, by filtracja spełniała pewne dodatkowe warunki. Dlatego wprowadzamy następującą definicję. Definicja 1.3. Powiemy, że filtracja F t t spełnia zwykłe warunki, jeśli: 1. jest prawostronnie ciągła, tzn. dla każdego t, F t = F t+ := s>t F s,. dla każdego t, F t zawiera wszystkie zbiory miary zero. Zauważmy, że filtracja generowana przez proces o prawostronnie ciągłych trajektoriach jest prawostronnie ciągła. Dysponując pojęciem filtracji możemy zdefiniować martyngał z czasem ciągłym. Definicja 1.4. Proces stochastyczny X t t jest martyngałem odp. podmartyngałem, nadmartyngałem względem filtracji F t t, jeśli 1. dla każdego t, X t jest mierzalny względem F t oraz E X t <,. dla dowolnych t, s takich, że s < t, EX t F s = X s p.n. odp. dla podmartyngału oraz dla nadmartyngału. Będziemy mówić, że martyngał jest ciągły, jeżeli z prawdopodobieństwem 1 jego trajektorie są ciągłymi funkcjami czasu. Najważniejszym przykładem ciągłego martyngału jest proces Wienera. Ponieważ będzie on odgrywał istotną rolę w dowodzie optymalności stałych, podaję jego pełną definicję. 7

Definicja 1.5. Procesem Wienera ruchem Browna nazywamy proces stochastyczny W = W t t spełniający warunki 1. W = p.n.,. W ma przyrosty niezależne, tzn. dla dowolnych t t 1... t n zmienne losowe W t, W t1 W t, W t W t1,..., W tn W tn 1 są niezależne, 3. dla dowolnych t s zmienna W t W s ma rozkład normalny N, t s, 4. proces W jest ciągły. olejnym pojęciem, które posłuży do zdefiniowania martyngału loklanego, jest moment zatrzymania. Definicja 1.6. Momentem zatrzymania względem filtracji F t t nazywamy zmienną losową τ o wartościach w [, ] taką, że {τ t} F t dla wszystkich t. Dla martyngału X = X t, F t t i momentu zatrzymania τ możemy zdefiniować proces stochastyczny X τ dany wzorem Xt τ = X t τ. Wówczas X τ jest martyngałem względem filtracji F t t. Pozwala to wprowadzić następującą definicję. Definicja 1.7. Proces stochastyczny X t t jest martyngałem lokalnym odp. podmartyngałem, nadmartyngałem lokalnym względem filtracji F t t, jeśli istnieje ciąg momentów zatrzymania τ n taki, że dla każdego n proces X τn jest martyngałem odp. podmartyngałem, nadmartyngałem względem filtracji F t t. Uogólnieniem pojęcia martyngału lokalnego jest pojęcie semimartyngału, które okaże się użyteczne przy formułowaniu twierdzenia Itô. Najpierw będziemy jednak potrzebowali jeszcze jednej definicji procesów. Definicja 1.8. Niech F t t będzie filtracją. Powiemy, że proces stochastyczny A = A t t należy do klasy V c, jeżeli jest adaptowalny do filtracji F t t tzn. dla każdego t zmienna A t jest F t -mierzalna, ciągły oraz ma wahanie skończone na każdym przedziale [, t], tzn. dla każdego t { n } sup A ti A ti 1 : n N, = t t 1... t n = t <. i=1 Definicja 1.9. Proces stochastyczny X = X t t nazywamy ciągłym semimartyngałem względem filtracji F t t, jeżeli da się przedstawić w postaci X = X + M + A, gdzie X jest zmienną losową F -mierzalną, M - ciągłym martyngałem lokalnym względem filtracji F t t, a A V c. 1.. Rozkład Dooba-Meyera i wzór Itô W tym podrozdziale sformułuję dwa podstawowe twierdzenia analizy stochastycznej, na które będę się powoływał w dalszej części pracy. Twierdzenie o istnieniu dekompozycji Dooba- Meyera podam w sformułowaniu nieco ogólniejszym niż potrzebne w pracy. W tym celu należy wprowadzić jedną dodatkową definicję. Definicja 1.1. Niech T będzie zbiorem wszystkich skończonych p.n. momentów zatrzymania względem filtracji F t t. Proces X = X t t o prawostronnie ciągłych trajektoriach jest w klasie DL, jeżeli rodzina X τ jest jednostajnie całkowalna. 8

Twierdzenie 1.1. [Dekompozycja Dooba-Meyera] Niech filtracja F t t spełnia zwykłe warunki. ażdy podmartyngał X t, F t t o prawostronnie ciągłych trajektoriach z klasy DL daje się jednoznacznie zapisać jako suma X = M + A, gdzie M t, F t t jest martyngałem o prawostronnie ciągłych trajektoriach, M =, a A t t jest procesem adaptowalnym do filtracji F t t i niemalejącym. Dowód. Zobacz [ar91]. W pracy będę stosował dekompozycję Dooba-Meyera jedynie do nieujemnych podmartyngałów lokalnych. Zachodzą następujące proste fakty, których dowody można znaleźć w [ar91]. Fakt 1.1. ażdy nieujemny podmartyngał o prawostronnie ciągłych trajektoriach jest w klasie DL. Fakt 1.. Jeżeli X t, F t t jest nieujemnym i ciągłym podmartyngałem, X = M + A tak jak w dekompozycji Dooba-Meyera, to zarówno martyngał M, jak i proces A są ciągłe. Zauważmy też, że dekompozycję Dooba-Meyera można przeprowadzić dla podmartyngału lokalnego, otrzymując wtedy w tezie rozkład na proces niemalejący i martyngał lokalny. Dekompozycja Dooba-Meyera pozwala w szczególności na wprowadzenie definicji nawiasu skośnego. Definicja 1.11. Niech X t, F t t będzie martyngałem lokalnym. Wówczas nawiasem skośnym martyngału X nazywamy proces X = X t t ciągły, niemalejący, X = oraz taki, że Xt X t, F t t jest martyngałem lokalnym. Proces X jest wyznaczony jednoznacznie. Jeżeli X t, F t t jest ciągłym semimartyngałem, X = X + M + A, gdzie M jest częścią martyngałową, to przyjmujemy X = M. Jeżeli Y t, F t t jest ciągłym semimartyngałem, Y = Y + N + B, gdzie N jest częścią martyngałową, to definiujemy nawias skośny procesów X i Y jako X, Y = M, N = 1 4 [ M + N M N ]. Twierdzenie 1.. [Wzór Itô] Załóżmy, że f : G R G R d, otwarty jest funkcją klasy C oraz X = X 1,..., X d, gdzie X i = X i +M i +A i są ciągłymi semimartyngałami dla i = 1,,..., d. Wówczas fx jest semimartyngałem oraz fx t = fx + Dowód. Zobacz [Lat11]. d i=1 f x i X s dx i s + 1 d i,j=1 f Z s d M i, M j x i x. j s Definicje i własności całek stochastycznych występujących we wzorze Itô tzn. całki z procesu stochastycznego względem lokalnego martyngału oraz całki Lebesgue a-stieltjesa względem procesu o wahaniu skończonym nie będą prezentowane w tej pracy. Zainteresowanych Czytelników odsyłamy do [Lat11]. 9

Rozdział Nierówność Dooba i metoda Burkholdera.1. Metoda funkcji specjalnych Burkholdera W tym podrozdziale prezentuję metodę dowodzenia nierówności dla martyngałów zaproponowaną przez Burkholdera [Bur91]. Metoda ta zostanie najpierw użyta w dowodzie klasycznej nierówności Dooba w celu zobrazowania jej działania na prostym przykładzie, a następnie w głównym dowodzie pracy do wykazania nierówności. Metodę funkcji specjalnych można stosować zarówno do procesów z czasem ciągłym, jak i z czasem dyskretnym. Dla zachowania spójności pracy, skupiam się na procesach z czasem ciągłym. Wiele nierówności, w których występują martyngały i ich normy, można zapisać w postaci EV X t L, gdzie V jest funkcją rzeczywistą określoną na podzbiorze S R d, X = X t t = X 1 t, X t,..., X d t t jest pewnym d-wymiarowym procesem stochastycznym, a L stałą. Pierwszym krokiem w metodzie Burkholdera jest zatem sprowadzenie nierówności do takiej postaci. Następnie szukamy funkcji U : S R o następujących trzech własnościach: dla każdego x S, V x Ux, UX t t jest nadmartyngałem, EUX L. Z pierwszej własności natychmiast wynika, że EV X t EUX t, z drugiej zaś, że EUX t EUX. Mamy zatem ciąg oszacowań EV X t EUX t EUX L, który daje wyjściową nierówność i kończy dowód. Główny ciężar dowodu skupia się zatem na znalezieniu odpowiedniej funkcji specjalnej U. Zauważmy, że w celu uzyskania dowodzonej nierówności z optymalnym stałymi, należy zadbać, by dla pewnego procesu X w ciągu nierówności EV X t EUX t EUX L zachodziły równości. O ile równość nie jest przyjmowana dla pewnego trywialnego procesu np. stałego w czasie, to funkcję U należy dobrać tak, żeby pokrywała się z funkcją V na pewnym niezbyt małym zbiorze i żeby UX t t było martyngałem. Dla nierówności, w której występują procesy ciągłe, użytecznym narzędziem dowodzenia, że UX t t jest nadmartyngałem, jest wzór Itô. Wówczas bowiem własność bycia nadmartyngałem sprowadza się do odpowiednich własności pochodnych funkcji U. Z kolei dekompozycja Dooba- Meyera pozwala na pokazanie, że dany proces jest semimartyngałem, w związku z czym użycie wzoru Itô jest uzasadnione. 11

.. Nierówność Dooba Dowód nierówności Dooba metodą funkcji specjalnych poprzedzę technicznym lematem, który będzie wielokrotnie wykorzystany w dalszej części pracy. Lemat.1. Niech S = {x, y R : x y}, U : S R będzie funkcją ciągłą taką, że dla wszystkich y zachodzi Uy, y = oraz f : [, T ] R będzie funkcją ciągłą i f t = sup s t fs. Wówczas T U ft, f t df t =. Dowód. Z definicji całki Stieltjesa mamy całka jest dobrze określona, bo U ft, f t jest funkcją ciągłą, jako złożenie funkcji ciągłych, a f ma skończone wahanie na przedziale ograniczonym [, T ] jako funkcja niemalejąca T U ft, f t df t = lim n n j=1 U jt j 1T ft n j, f t n j f n f n, gdzie t n j [ j 1T, jt n ] t n n j można wybrać jako dowolną liczbę z tego przedziału. Ustalmy n. Ponieważ f jest niemalejąca, to albo f jt = f j 1T n, albo f jt n > f j 1T n n i wtedy istnieje s j [ j 1T, jt n ] takie, że f s n j = fs j. Przyjmując t n j = s j, gdy f jt > n f j 1T otrzymujemy n oraz t n j = jt n w przeciwnym przypadku oraz korzystając z założenia Uy, y = n j=1 U jt j 1T ft n j, f t n j f n f n =. Ponieważ rozumowanie to możemy powtórzyć dla dowolnego n, a całka nie zależy od wyboru podziałów [, T ] i punktów t n j, to mamy T U f, f df =. Ponieważ dowód nierówności Dooba służy tylko zobrazowaniu metody Burkholdera, to twierdzenie formułuję przy mocniejszych niż zwykle założeniach. Twierdzenie.1. [Nierówność Dooba]. Niech X t, F t t będzie ciągłym, nieujemnym martyngałem i niech p > 1. Wówczas E sup t X p p t p 1 p sup EX p t. t Dowód. rok 1 wyrażenie nierówności w postaci EV X t L. Niech q = p p 1. Niech S = {x, y R : x y}. Definiujemy funkcję V : S R wzorem V x, y = y p q p x p. Niech Xt = sup s t X s. Wówczas EV X t, Xt = E Xt p p EX p t. Jeżeli pokażemy, że 1 p p 1

EV X t, Xt, to biorąc supremum po t obu stron nierówności E Xt p p p 1 p EX p t otrzymamy tezę. rok znalezienie funkcji specjalnej U. Niech Ux, y = py p 1 y qx na S. Pokażemy, że U spełnia trzy wymagane warunki. Pokażę, że Ux, y V x, y dla x, y S. Zauważmy, że przy ustalonym y, Ux, y jest wklęsłą funkcją x, a V x, y jest liniową funkcją x. Wobec tego wystarczy pokazać, że dla każdego y istnieje punkt y [, y] taki, że Uy, y = V y, y oraz U x y, y = V x y, y. Niech y = y q. Wówczas Uy, y = = V y, y oraz U x y, y = pqy p 1 = V x y, y. Pokażę, że UX t, X t t jest martyngałem. Oczywiście procesy X t t, X t t są ciągłymi semimartyngałami względem naturalnej filtracji; proces X t t jest niemalejący, więc jest procesem z klasy V c, a funkcja U jest klasy C na S. Wzór Itô daje zatem zauważmy, że X t =, X t, X t = UX t, Xt = UX, X pq X s p 1 dx s + p t [ X s p 1 X s X s p ] dx s. Proces pq X s p 1 dx s t jest martyngałem 1, natomiast funkcja pod drugą całką znika dla X s = Xs. Ponieważ całka względem procesu niemalejącego jest zdefiniowana [ jako całka Lebesgue a-stieltjesa dla każdego ω Ω, to na mocy Lematu.1 Xs p 1 X s Xs p ] dxs =. Wobec tego UX t, Xt = UX, X czyli UX t, X t t jest martyngałem. UX, X = UX, X. Dla funkcji U mamy ogólnie pq X s p 1 dx s, Ux, x = px p pqx p = px p 1 p p 1 = p p 1 xp dla x. Wobec tego EUX, X. rok 3. Na mocy powyższego dostajemy ciąg nierówności EV X t, Xt EUX t, Xt = EV X, X, co kończy dowód. 1 Formalnie, proces ten jest martyngałem lokalnym, ale można uczynić z niego martyngał przez zastosowanie standardowej techniki lokalizacyjnej. Dla przejrzystości dowodu, który służy jedynie zobrazowaniu metody, pomijam techniczne szczegóły. W dowodzie głównej nierówności lokalizacja zostanie w pełni sformalizowana. 13

Rozdział 3 Główne wyniki 3.1. Dowód nierówności Dowód głównej nierówności przebiega według schematu zaprezentowanego w poprzednim rozdziale, przy czym nie rozróżniam już formalnie kolejnych kroków. Pierwsze twierdzenie obejmuje dwa przypadki, gdyż ich dowód jest bardzo podobny. Twierdzenie 3.1. 1 Niech X t, F t t będzie nieujemnym, ciągłym podmartyngałem lokalnym, X = sup t X t, > 1. Wówczas EX sup EX τ log X τ + L, gdzie L = L = 1 1 e oraz T jest zbiorem wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania adaptowalnych do filtracji generowanej przez proces X t t. Jeżeli założymy dodatkowo, że X t, F t t jest nieujemnym, ciągłym martyngałem całkowalnym z kwadratem, który spełnia dla każdego t to zachodzi silniejsza nierówność E X t <, EX sup EX t log X t + L. t Dowód. Niech S = {x, y R + : x y}. Zdefiniujmy funkcję V : S R wzorem { y x log x, dla x V x, y = y, dla x =. Pokażę, że po ewentualnej lokalizacji dla wszystkich t zachodzi EV X t, X t L. Wówczas rozpisując funkcję V, biorąc supremum obu stron po τ T i przechodząc z t do nieskończoności, dostaniemy tezę. Zdefiniujmy teraz funkcję U : S R wzorem { y x x log 1 1 y, dla y Ux, y = 1 1 e, dla y < 1 15 1 e 1 e.

Łatwo sprawdzić, że U jest ciągła na S. Okazuje się, że Ux, y V x, y na S. Techniczny dowód tego faktu został przeniesiony do Lematu 3.1. Pokażę teraz, że UX t, X t t jest nadmartyngałem lokalnym. orzystając z rozkładu Dooba-Meyera możemy zapisać X t = M t + A t, gdzie M jest martyngałem lokalnym startującym z, a A jest adaptowalnym i niemalejącym procesem. Wobec tego X t t jest ciągłym semimartyngałem. Ponadto X t t jest semimartyngałem, ponieważ jest to proces adaptowalny i niemalejący jego część martyngałowa jest zerowa. Funkcja U nie jest klasy C na całym S, ale jest klasy C wzdłuż trajektorii dwuwymiarowego procesu X t, X t t, wobec tego można zastosować wzór Itô 1. Zauważmy, że X t = oraz X t, X t =, zatem UX t, Xt = UX, X + U x X s, Xs dm s + t + U x X s, X s da s U y X s, X s dx s + 1 U xx X s, X s d M s. 3.1 Proces U xx s, X s dm s t jest martyngałem lokalnym, U xx X s, X s =. Do całki U yx s, X s dx s stosujemy Lemat.1: zatem U yx s, X s dx s =. Stąd UX t, X t = U y X s, X s = X s X s t t U x X s, Xs dm s + =, U x X s, X s da s. orzystając z definicji martyngału lokalnego, możemy teraz przeprowadzić lokalizację: wybierzmy ciąg momentów zatrzymania τ n taki, że proces τ n U x X s, Xs dm s t jest martyngałem. Otrzymujemy UX t τn, X t τ n = 1 1 e t τ n U x X s, X s dm s + t τ n U x X s, X s da s. Dla s takich, że Xs <, funkcja pod drugą całką jest zerowa. W przeciwnym przypadku 1 U x X s, Xs = log X s 1 + log 1 1. 1 e Ponieważ proces A jest niemalejący, to całka τ n U x X s, Xs da s jest niedodatnia. Stąd, dla t > u, E t τ n UX t τn, Xt τ n F u = E U x X s, Xs dm s F u + E = u τ n U x X s, Xs dm s + E u τ n U x X s, Xs da s F u + E t τ n t τ n u τ n U x X s, Xs da s F u U x X s, Xs da s F u 1 Dokładna inspekcja dowodu wzoru Itô pokazuje, że założenie o klasie C na całej dziedzinie nie jest konieczne, wystarczy, że pochodne do drugiego rzędu są ciągłe wzdłuż trajektorii rozpatrywanego procesu. 16

= u τ n u τ n U x X s, Xs dm s + E U x X s, X s dm s + u τ n u τ n U x X s, Xs da s F u U x X s, X s da s = UX u τn, X u τ n, czyli rzeczywiście UX t, X t t jest nadmartyngałem lokalnym. W szczególności EUX t τn, X t τ n EUX, X = EUX, X. Ponieważ V X t τn, X t τ n UX t τn, X t τ n, to EV X t τn, X t τ n EUX t τn, X t τ n EUX, X. Nietrudno wykazać, że EUX, X L. Wystarczy w tym celu udowodnić, że sup Ux, x = x 1 1 e. 1 1 1 1 e Oczywiście jest tak, jeżeli rozpatrzymy jedynie x < e. Dla x Ux, x = x log 1 x. Funkcja f jest ściśle malejąca dla x 1 jest osiągane w punkcie 1 1 e i wynosi 1 orzystając z definicji funkcji V zapisujemy ostatnią nierówność jako zdefiniujmy fx := 1 e, zatem maksimum 1 e. Otrzymaliśmy zatem EV X t τ n, X t τ n L. EX t τ n EX t τn log X t τn + L. Ponieważ t τ n jest ograniczonym momentem zatrzymania, to prawą stronę nierówności szacujemy trywialnie przez supremum po τ T EXt τ n sup EX τ log X τ + L. Nierówność zachodzi dla wszystkich n i t, więc po lewej stronie możemy przejść do granicy z n i t. Ponieważ proces Xt t jest rosnący p.n., ciąg momentów zatrzymania τ n jest rosnący p.n. i zbiega do nieskończoności, to z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności monotonicznej mamy lim lim t n EX t τ n = lim EX t t = EX. Otrzymaliśmy więc ostatecznie EX sup EX τ log X τ + L, co kończy dowód pierwszej częsci twierdzenia. Aby udowodnić drugą część, zauważmy, że przy założeniach twierdzenia proces U xx s, Xs dm s t T dla dowolnego T < jest martyngałem. Rzeczywiście, skoro X t t jest martyngałem całkowalnym z kwadratem, to przede wszystkim X = M oraz proces U xx s, Xs dx s t T jest martyngałem, o ile T E [U x X s, X s ] d X s <. 17

Ponieważ [U x X s, Xs ] = 1 + log 1 X s i dla dostatecznie dużego M zachodzi dla Xs M nierówność 1 + log 1 X s X s, to wystarczy wykazać, że oraz T E Pierwsza nierówność sprowadza się do 1 + log 1 X s I X s M d X s < T E X s d X s <. E X T <. Do drugiej nierówności stosujemy najpierw nierówność Schwarza, a następnie nierówność Burkholdera-Davisa-Gundy ego, otrzymując dla pewnej stałej C T E X s d X s EX T T d X s = EXT X T Schwarz EX T E X T B-D-G C E X T E X T Ponieważ założyliśmy całkowalność z kwadratem nawiasu skośnego dla każdego t, to rzeczywiście zachodzi T E [U x X s, Xs ] d X s < i U xx s, X s dx s t T jest martyngałem. Możemy zatem powtórzyć rozumowanie z dowodu części pierwszej nie stosując lokalizacji. Otrzymujemy dla każdego t EV X t, X t L. Rozpisując funkcję V z definicji, biorąc supremum po t i stosując twierdzenie Lebesgue a o zbieżności monotonicznej, otrzymujemy tezę. Lemat 3.1. W oznaczeniach z dowodu Twierdzenia 3.1, Ux, y V x, y na zbiorze S. Dowód. Dla y < 1 1 e wystarczy udowodnić, że sup <x y< 1 1 e y x log x 1 1 e. Zachodzi sup <x y< 1 1 e y x log x = sup <x< 1 1 e 1 1 e x log x Zobacz: Twierdzenie 4.1 w rozdziale IV str. 16 w [Rev99]. Co prawda w twierdzeniu tym jest wymagane, by martyngał X t t startował z, ale przy naszym założeniu o całkowalności z kwadratem nie odgrywa to żadnej roli, bo zawsze możemy przejść do rozważania procesu X t X t. 18

Teraz dla y = 1 1 e 1 1 e inf <x< 1 1 e Równoważnie dla wszystkich x y, x log x = 1 1 e 1 e log 1 e = musimy pokazać, że dla wszystkich x y, y x x log 1 y y x log x. 1y g y x := x 1 + log 1 Funkcja g y x jest różniczkowalna i g yx = 1 + log 1 y x funkcja g y x rośnie na zbiorze [, 1 1 y] i maleje na zbiorze [ przyjmowane w x = 1 co kończy dowód. y i wynosi g y 1 y x y = 1y. Stąd 1y = sup g y x g y x, x [, y]. 1 1 e. = log 1 x. Zatem y, y], więc maksimum jest y Dysponując Twierdzeniem 3.1 możemy bez trudu udowodnić nierówność dla ciągłych martyngałów lokalnych. Twierdzenie 3.. Niech X t, F t t będzie ciągłym martyngałem lokalnym, X = sup t X t, > 1. Wówczas EX sup E X τ log X τ + L, 3. gdzie L = L = 1 1 e oraz T jest zbiorem wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania adaptowalnych do filtracji generowanej przez proces X t t. Dowód. Jeżeli X t t jest martyngałem lokalnym, to X t t jest nieujemnym podmartyngałem lokalnym. Istotnie, istnieje ciąg momentów zatrzymania τ n taki, że X t τn t jest martyngałem. Stosując nierówność Jensena dla warunkowej wartości oczekiwanej i wypukłej funkcji otrzymujemy dla dowolnego t > s E X t τn F s E X t τn F s = X s τn. Stąd X t τn t jest podmartynagłem, czyli X t t jest podmartyngałem lokalnym. Można zatem zastosować Twierdzenie 3.1 do procesu X t t otrzymując nierówność EX sup E X τ log X τ + L. 19

3.. Optymalność stałych Okazuje się, że stała L otrzymana w Twierdzeniu 3. jest optymalna. Ponadto nierówność nie zachodzi dla 1. Mówią o tym dwa kolejne twierdzenia. Twierdzenie 3.3. Stała L w nierówności 3. jest optymalna. Ściślej, dla każdego > 1 i każdej stałej L < L = 1 1 e istnieje taki ciągły martyngał X t, F t t, że zachodzi EX > sup E X τ log X τ + L, gdzie L = L = 1 1 e oraz T jest zbiorem wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania adaptowalnych do filtracji generowanej przez proces X t t. Dowód. Wystarczy wskazać dla każdego > 1 taki martyngał X t, F t t, który daje równość w nierówności 3. przy czym obie strony muszą być skończone. Niech W t, F t t będzie jednowymiarowym procesem Wienera z naturalną filtracją. Następnie, niech { } X t = 1 1 e + W t i niech τ = inf t : Xt = 1 X t. Zmienna losowa τ jest momentem zatrzymania względem filtracji F t t oraz τ < p.n. Ostatnia własność wynika z faktu, że proces Wienera przyjmuje z prawdopodobieństwem 1 dla pewnego t > wartość Zachodzi X < 1 X oraz dla pewnego t > X t = wobec czego Xt > = 1 X t. Z ciągłości procesu Wienera istnieje t 1, t takie, że Xt 1 = 1 X t 1. Oczywiście X t, F t t jest ciągłym martyngałem, zatem X t τ, F t t jest również ciągłym martyngałem. Pokażę, że proces X τ osiąga równość w nierówności 3.. Nierówność wynika z nierówności E X τ sup E X σ τ log X σ τ + 1 σ T 1 e EV X τ, X τ 1 1 e. 3.3 1 1 e, 3.4 gdzie V jest funkcją z dowodu Twierdzenia 3.1. Aby to pokazać, zauważmy po pierwsze, że trajektorie procesu X t τ, Xt τ t są zawarte w zbiorze S = {x, y R 1 + : y x y}, a zatem proces Xτ przyjmuje jedynie nieujemne wartości i można pominąć moduły w nierówności 3.3. Po drugie, Po trzecie, zachodzi E X τ = E sup X t τ = E t sup X t = E X τ = EXτ. t τ sup EX σ τ log X σ τ EX τ log X τ. 3.5 σ T Rzeczywiście, funkcja F x = x log x jest wypukła dla x druga pochodna jest równa 1 x, więc z nierówności Jensena zachodzi dla dowolnego σ T E X τ log X τ F σ τ = E F X τ F σ τ F E X τ F σ τ = F X σ τ = X σ τ log X σ τ.

Biorąc wartość oczekiwaną obu stron nierówności dostajemy EX τ log X τ EX σ τ log X σ τ. Z dowolności σ wynika nierówność 3.5. Tym samym pokazaliśmy, że nierówność 3.3 jest równoważna nierówności EX τ EX τ log X τ + 1 1 e. orzystając z definicji funkcji V i liniowości wartości oczekiwanej otrzymujemy natychmiast nierówność 3.4, której udowodnienie zakończy dowód twierdzenia. Zauważmy, że prawie na pewno zachodzi Xτ = 1 X τ a funkcje V x, y i Ux, y zdefiniowane w dowodzie Twierdzenia 3.1 pokrywają się na zbiorze y = 1 x dla y 1 Mamy bowiem V x, 1 x = 1x x log x = 1x x x log x = Ux, Ponadto dla każdego t zachodzi Xτ t 1 1 e. Stąd 1 e. 1 x. EV X τ, X τ = EUX τ, X τ = E [UX, X ] τ. 3.6 Proces UX t, X t t jest martyngałem lokalnym. Wynika to z faktu, że podobnie jak w dowodzie Twierdzenia 3.1 wzór Itô daje UX t, X t = U x X s, Xs dm s + U x X s, X s da s, ale tym razem proces A t t jest stały, bo X t t jest martyngałem. Wobec tego U xx s, X s da s = i UX t, X t t jest martyngałem lokalnym. Zastosujemy teraz twierdzenie Dooba do martyngału UX t σn, X t σ n t gdzie σ n jest ciągiem lokalizującym i dwóch ograniczonych momentów zatrzymania τ n i dla ustalonego n N. Otrzymujemy E [UX, X ] τn = E [UX, X ], 3.7 gdzie τ n = τ n σ n jest ciągiem momentów zatrzymania rosnącym p.n. do τ. Łatwe obliczenie daje EUX, X 1 = U 1 e, 1 1 e = 1 1 e. 3.8 Z drugiej strony [ E [UX, X ] τn = E Xτ n X τn X τn log 1 ] X τ n. 3.9 Mamy zatem następującą równość 1 1 e = E [ [ Xτ ] n X τn E X τn log 1 Zauważmy, że dla y 1 e i x x zachodzi x log y x log y + x x. orzystając z nierówności 1 X τ n 1 e oraz X τ n 1 X τ n mamy Stąd X τ n X τn log 1 X τ n 1 X τ n log 1 X τ n + 1 X τ n X τn. 1 ].

[ 1 1 e E Xτ n 1Xτ n log 1 Na mocy twierdzenia Lebesgue a o zbieżności monotonicznej wiemy, ze EXτ n Załóżmy, że EXτ = i niech C =. Wówczas 1 exp 1 X τ n EX τ n = EX τ n I {X τn >C } + EX τ n I {X τn C } EX τ n I {X τn >C } + C. n ]. 3.1 n EX τ. Stąd EXτ n I {X τn >C }. Dla x > C zachodzi 1x log 1 x > x oraz 1x log 1 x x dla x C. Stąd [ 1 1 e E Xτ n 1Xτ n log 1 ] X τ n I {X τn C } [ +E Xτ n 1Xτ n log 1 ] X τ n I {X τn >C } [ E Xτ n + 1 Xτ n log 1 ] [ ] X τ n I {X τn C } E Xτ n I {X τn >C } [ E Xτ n + Xτ n ] [ ] I e {X τn C } E Xτ n I {X τn >C } 3C + e E [X τ n I {X τn >C } ] Stąd [ ] E Xτ n I {X τn >C } 3C + e 1 1 e <. To już jest sprzeczność, bo lewa strona nierówności dąży do nieskończoności przy n. Zatem EXτ <. Wiedząc, że Xτ jest całkowalne, łatwo zauważyć, że również EX τ < oraz lim n EX τn = EX τ, ponieważ Xτ jest całkowalną majorantą dla X τn korzystamy z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej. Znajdę teraz całkowalną majorantę dla zmiennej X τn log 1 X τ n. Mamy X τn log 1 X τ n Xτ n log 1 X τ n + 1 Xτ log 1 X τ + Xτ, gdzie ostatnia nierówność wynika z faktu, ze wyrażenie Xτ n log 1 X τ n + 1 jest rosnące z n. Wystarczy teraz pokazać, że Xτ log 1 X τ jest całkowalne. Wynika to natychmiast z nierówności 3.1, która daje EX τ n log 1 X τ n 1 1 EX τ n. Formalnie, aby skorzystać z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności monotonicznej należy napisać EXτ n log 1 1 X τ n + 1 1 + 1 EXτ n, bo dopiero teraz wyrażenie pod wartością oczekiwaną po lewej stronie nierówności jest rosnące z n. Przechodząc z n do nieskończoności dostajemy EXτ log 1 1 X τ + 1 1 + 1 EXτ,

czyli EX τ log 1 X τ 1 1 EX τ <. Zatem stosując twierdzenie Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej dostajemy lim E X τn log 1 n X τ n = E lim X τ n n log 1 X τ n = E Ostatecznie można więc przejść do granicy z n w równości 3.7 otrzymując X τ log 1 X τ E [UX, X ] τ = EUX, X. 3.11 Łacząc równania 3.6, 3.8 i 3.11 dostajemy równanie 3.4, co kończy dowód. W Twierdzeniu 3. występuje warunek > 1. Okazuje się, że jest to warunek konieczny dla zachodzenia nierówności 3.. Mówi o tym kolejne twierdzenie. Twierdzenie 3.4. Dla 1 nierówność 3. nie zachodzi dla żadnej stałej L. Ściślej, jeżeli 1, to dla każdej stałej L > istnieje taki ciągły martyngał lokalny X t, F t t, że EX > sup E X τ log X τ + L. gdzie T jest zbiorem wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania adaptowalnych do filtracji generowanej przez proces X t t.. Dowód. Pokażę, że nierówność nie zachodzi dla = 1. Załóżmy, że jest przeciwnie i istnieje stała L > taka, że dla każdego ciągłego martyngału lokalnego X t, F t t mamy Wówczas dla ε > zachodzi oszacowanie EX sup E X τ log X τ + L. EX 1 + ε sup E X τ log X τ + L ε sup E X τ log X τ 1 + ε sup E X τ log X τ + L + ε, 3.1 e ponieważ sup E X τ log X τ jest ograniczone z dołu przez minimum funkcji fx = x log x dla x równe 1 e. Na mocy Twierdzeń 3. i 3.3 wiemy, że EX 1 + ε sup E X τ log X τ + L1 + ε, gdzie L1 + ε = 1+ε 1 ε e jest optymalną stałą. Ponieważ lim ε L1 + ε =, to istnieje ε takie, że L1 + ε > L + ε e. Jednocześnie na mocy 3.1 zachodzi EX 1 + ε sup E X τ log X τ + 3 L + ε e,

co daje sprzeczność z optymalnością stałej L1 + ε. Teraz załóżmy, że nierówność zachodzi dla pewnego < 1 ze stałą L >. Wówczas EX sup E X τ log X τ + L = sup E X τ log X τ + sup E X τ log X τ + L + 1, e co daje sprzeczność z nie zachodzeniem nierówności dla = 1. L + 1 sup E X τ log X τ 4

Rozdział 4 Zastosowania W tym rozdziale pokazuję dwa zastosowania nierówności udowodnionej w rozdziale 3. Pierwszy przykład polega na zastosowaniu nierówności do martyngału wykładniczego. Drugie zastosowanie dotyczy procesów Bessela. 4.1. Martyngał wykładniczy Rozpoczniemy od technicznego lematu, który będzie użyteczny w dalszych dowodach. Lemat 4.1. Niech X będzie zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym, X N, 1, c R, c. Wówczas E expcx = exp c oraz EX expcx = c exp c. Dowód. Z definicji E expcx = 1 π R Ex expcx = 1 π R expcx exp x exp = exp c x 1 x c + c 1 π R dx = 1 π c exp R dx = exp x exp 1 x c + c c dx = exp. c dx = c exp 1 π R c. x+c exp Dla każdego λ > proces exp λw t λ t t, gdzie W t t jest standardowym procesem Wienera, jest martyngałem względem naturalnej filtracji generowanej przez proces Wienera. Rzeczywiście, dla dowolnych t > s mamy Z N, 1 E exp λw t λ t F s = exp λ t E expλw t W s + λw s F s = exp λ t expλw s E expλw t W s = exp λ t expλw s E expλ t s Z Lemat 4.1 = exp λ λ t t s expλw s exp = exp λw s λ s. Powyższa obserwacja pozwala nam sformułować następujące stwierdzenie. 5 x dx

Stwierdzenie 4.1. Dla dowolnych λ >, t i > 1 zachodzi w szczególności E sup exp s t E sup exp s t λw s λ s λw s λ s λ t + 1 1 e, λ t + 4 e. 4.1 Dowód. Wiemy, że X s s = exp λw s λ s s jest martyngałem, więc biorąc deterministyczny moment zatrzymania τ = t otrzymujemy martyngał X s t s. Martyngał ten jest oczywiście ciągły, nieujemny i całkowalny z kwadratem, a proste zastosowanie wzoru Itô pokazuje, że spełnia on również założenie E X T t < dla każdego T. Stosujemy więc nierówność z punktu Twierdzenia 3.1 otrzymując E sup s X s t sup EX s t log X s t + s 1 1 e. Oczywiście E sup s X s t = E sup s t X s. Rozumowanie analogiczne do użytego w dowodzie Twierdzenia 3.3 zastosowanie nierówności Jensena do nieujemnego martyngału X s t s i funkcji wypukłej F x = x log x prowadzi do wniosku, że X s t log X s t s jest podmartyngałem, a zatem sup s EX s t log X s t = EX t log X t. Mamy Stąd EX t log X t = E λw t λ t exp λw t λ t = exp λ t [ ] λew t expλw t λ te expλw t [ Lemat 4.1 = exp λ λ t λ t t exp λ λ ] t exp t E sup exp s t λw s λ s λ t + 1 1 e. Ponieważ nierówność zachodzi dla wszystkich > 1, to mamy również E sup exp s t λw s λ s Wstawiając = otrzymujemy natomiast 1 E sup exp s t inf >1 λw s λ s λ t + 1. 1 e λ t + 4 e. = λ t. 1 Można łatwo pokazać, że infimum jest przyjmowane dla = 1 + oszacowanie ma skomplikowaną postać. +eλ t, ale otrzymane wówczas 6

4.. Procesy Bessela Zdefiniuję teraz klasę procesów Bessela. W tym celu wprowadzę najpierw klasę procesów BESQ δ x. Definicja 4.1. Niech W t t będzie standardowym procesem Wienera. Dla każdej δ i x, jedyne rozwiązanie stochastycznego równania różniczkowego Z t = x + Zs dw s + δt 4. nazywamy kwadratem procesu Bessela o wymiarze δ i startującym z x ozn. BESQ δ x. Aby upewnić się, że definicja jest poprawna, należy wykazać istnienie i jedyność rozwiązania oraz nieujemność procesu Z t t. Zapisując równanie w nieco innej formie dz t = σt, Z t dw t + bt, Z t dt, Z = x, gdzie σt, x = x i bt, x = δ, widać, że istnienie i jedyność rozwiązania wynika z odpowiednich twierdzeń o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania stochastycznego równania różniczkowego zachodzi bowiem σs, x σs, y ρ x y, gdzie ρ jest funkcją bore- da ρa lowską z, w siebie taką, że + = oraz funkcja b jest lipschitzowska - zobacz Twierdzenie 3.5 w rozdziale IX str. 39 w [Rev99]. Nieujemność rozwiązania wynika z faktu, że dla δ = x = jedynym rozwiązaniem 4. jest proces zerowy oraz dla dowolnych δ, x zachodzi x + Zs dw s + δt + Zs dw s +. Na mocy Twierdzenia 3.7 z rozdziału IX str. 394 w [Rev99] rozwiązanie Z t t równania 4. spełnia zatem P Z t dla każdego t = 1, czyli proces jest nieujemny prawie na pewno. Do dalszych rozważań przydatny będzie jeszcze następujący fakt z [Rev99]. Fakt 4.1. Dla procesu Z t t z klasy BESQ δ x, δ >, x >, zbiór {} jest polarny, tzn. P t Z t = =. Po wprowadzeniu klasy BESQ δ x, można zdefiniować klasę procesów Bessela. Definicja 4.. Niech Z t t będzie procesem z klasy BESQ δ a, a, δ. Procesem Bessela o wymiarze δ i startującym z a nazywamy proces ρ t t dany wzorem ρ t = Z t dla każdego t ozn. BES δ a. Dla δ > i a > można podać odmienną charakteryzację procesu Bessela, będącą konsekwencją wzoru Itô. Stwierdzenie 4.. Niech W t t będzie standardowym procesem Wienera. Dla δ > i a > proces ρ t t z klasy BES δ a jest rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego ρ t = a + W t + δ 1 ρ 1 s ds. 4.3 Dowód. Dzięki uwadze poczynionej w Fakcie 4.1 możemy zastosować wzór Itô do procesu Z t t z klasybesq δ a i funkcji F x = x. Zauważmy, że proces Z t t jest ciągłym semimartyngałem, proces Zs dw s jest jego częścią martyngałową oraz t Z t = Zs dw s = 4 Z sds. Stąd 7

ρ t = t Z t = a + = a + 1 Z s t Z s dw s + dw s + δ 1 1 Z s δds + 1 1 4 1 ds = a + W t + δ 1 Zs ρ 1 s ds. 1 Z s Zs 4Z s ds Powyższe stwierdzenie jest rzeczywiście charakteryzacją procesów Bessela wymiaru δ >, gdyż jedyność rozwiązania równania 4.3 wynika z Twierdzenia 3.5 w rozdziale IX str. 39 w [Rev99]. Dla δ N, δ, proces Bessela startujący z a, ma bardziej intuicyjną postać, tzn. zachodzi następujący fakt będący kolejną prostą konsekwencją wzoru Itô i własności procesu Wienera. Fakt 4.. Jeżeli ρ t t jest procesem Bessela startującym z a o wymiarze δ {, 3, 4,...}, to ρ t t = W t a t, gdzie W t t jest δ-wymiarowym procesem Wienera, tzn. W t = W 1 t, W t,..., W δ t dla każdego t, gdzie W i t t, dla i = 1,,..., δ, są niezależnymi od siebie standardowymi procesami Wienera. Ostatnie stwierdzenie poprzedzające główny wynik tego rozdziału uzasadnia zastosowanie nierówności 3. do procesu Bessela, który podniesiony do odpowiedniej potęgi staje się lokalnym martyngałem. Stwierdzenie 4.3. Niech ρ t t będzie procesem Bessela BES δ a dla δ > i a >. Wówczas proces X t t = ρ δ t t jest martyngałem lokalnym względem naturalnej filtracji. Dowód. orzystamy po raz kolejny ze wzoru Itô. Dzięki uwadze poczynionej w Fakcie 4.1 możemy zastosować go do funkcji F x = x δ i ciągłego, nieujemnego semimartyngału ρ t t. Ponadto wykorzystujemy charakteryzację ze Stwierdzenia 4.. ρ δ t = a δ + δ Ponieważ proces ρ 1 δ t ρ 1 δ s dw s + δ ρ 1 δ s + 1 t δ1 δ δ 1 ρ 1 s ds t ρ δ s ds = a δ + δ ρ 1 δ s dw s. 4.4 t jest ciągły, to rzeczywiście ρt δ t jest martyngałem lokalnym. Sformułujemy teraz główne stwierdzenie, będące wnioskiem z Twierdzenia 3.. Stwierdzenie 4.4. Niech ρ t t będzie procesem Bessela BES δ a dla δ > i a >. Niech τ będzie momentem zatrzymania względem filtracji generowanej przez ρ t t takim, że E τ ρ δ s ds <. Wówczas dla dowolnego > 1 zachodzi Zobacz [Rev99]. E sup ρ δ t Eρτ δ log ρτ δ + 1 t τ 1 e. 8

Dowód. Z Stwierdzenia 4.3 wiemy, że proces ρt δ t jest ciągłym martyngałem lokalnym, zatem również ρ δ t τ t jest ciągłym martyngałem lokalnym. Pokażę, że ρ δ t τ t jest tak naprawdę martyngałem. Z równości 4.4 wiemy, że t τ ρ δ t τ = a δ + δ ρs 1 δ dw s, zatem z stwierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej i z własności całki względem procesu Wienera wystarczy wykazać, że proces ρt 1 δ I [, τ] t spełnia czyli E ρ 1 δ τ E s I [, τ] ds <, ρ δ s ds <, to zaś jest prawdą na mocy założenia. Wiedząc, że ρ δ t τ t jest nieujemnym martyngałem, który spełnia założenia punktu Twierdzenia 3.1 3 otrzymujemy E sup ρ δ t t τ sup t Eρ δ t τ log ρ δ t τ + 1 1 e. Możemy teraz powtórzyć rozumowanie z dowodu Stwierdzenia 4.1 użycie nierówności Jensena i wywnioskować, że ρ δ t τ log ρ δ t τ t jest podmartyngałem, w związku z czym sup t Eρ δ t τ log ρ δ t τ = Eρ δ τ log ρ δ τ. To kończy dowód stwierdzenia. Zauważmy, że teza powyższego stwierdzenia zachodzi w szczególności dla momentów zatrzymania, które są ograniczone p.n.. Np. biorąc τ = t otrzymujemy E sup ρ δ s Eρt δ log ρ δ t + 1 s t 1 e. Wyrażenie po prawej stronie nierówności można ponadto zoptymalizować po wszystkich > 1, zatem teza Stwierdzenia 4.4 mogłaby wyglądać następująco [ ] E sup ρ δ t inf Eρτ δ log ρτ δ + 1. 4.5 t τ >1 1 e 3 Mamy bowiem ρ δ t τ = δ 4 t τ, ρ δ s ds co jest całkowalne na mocy założenia. 9

Podsumowanie W pracy przedstawiłem metodę funkcji specjalnych Burkholdera i udowodniłem przy jej wykorzystaniu nierówność dla procesu X t, F t t będącego nieujemnym i ciągłym podmartyngałem lub martyngałem lokalnym: E sup t X t sup E X τ log X τ + L, gdzie T jest zbiorem wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania adaptowalnych do filtracji generowanej przez proces X t t. Jeżeli proces X t t jest nieujemnym i ciągłym martyngałem całkowalnym z kwadratem takim, że dla każdego t zachodzi E X t <, to ponadto E sup t X t sup E X t log X t + L. t Pokazałem również, że nierówność nie zachodzi dla 1 oraz że dla każdego > 1 stała L = 1 1 e jest optymalna. Zaprezentowałem następnie dwa zastosowania nierówności. Pierwszy przykład dotyczy martyngału wykładniczego exp λw t λ t t dla λ >. Dla dowolnego t prawdziwa jest nierówność 4.1 E sup expλw s λ s t s λ t + 4 e. W ramach drugiego przykładu zdefiniowałem proces Bessela ρ t t o wymiarze δ startujący z a i pokazałem, że dla δ >, a > i momentu zatrzymania τ takiego, że E τ ρ δ s ds <, proces ρ δ t τ t jest martyngałem i zachodzi nierówność 4.5 E sup ρ δ t inf t τ >1 [ Eρ δ τ ] log ρτ δ + 1. 1 e 31

Bibliografia [Bur91] Burkholder, D. L., Explorations in martingale theory and its applications, École d Été de Probabilités de Saint-Flour XIX-1989, 1-66, Lecture Notes in Math., 1464, Springer, [Doo53] Doob, J. L., Stochastic processes, John Wiley & Sons, 1993 [ar91] aratzas, I., Shreve, S. E., Brownian motion and stochastic calculus, Second Edition, Springer-Verlag, Berlin, 1991 [Lat11] Latała, R., Wstęp do analizy stochastycznej, Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, 11 [Rev99] Revuz, D., Yor, M., Continuous martingales and Brownian Motion, Third Edition, Springer, Berlin, 1999 33