3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej

Podobne dokumenty
Statystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

Estymacja przedziałowa

Statystyczny opis danych - parametry

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Miary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Statystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

Elementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)

STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś

1 Dwuwymiarowa zmienna losowa

Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)

Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

Plan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia

16 Przedziały ufności

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Elementy modelowania matematycznego

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

Modele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA

Wykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej

Parametryczne Testy Istotności

COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871

Lista 6. Estymacja punktowa

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

Estymacja punktowa i przedziałowa

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów

θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,

Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5

1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

Z poprzedniego wykładu

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

LABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora

Estymacja parametrów rozkładu cechy

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja) założenie: znany rozkład populacji (wykorzystuje się dystrybuantę)

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności

Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:

Statystyka opisowa - dodatek

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Statystyka matematyczna dla leśników

STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wnioskowanie statystyczne. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Estymacja punktowa i przedziałowa

ZDARZENIE ELEMENTARNE to możliwy wynik doświadczenia losowego. Wszystkie takie możliwe wyniki tworzą zbiór zdarzeń elementarnych.

MIANO ROZTWORU TITRANTA. Analiza statystyczna wyników oznaczeń

Histogram: Dystrybuanta:

d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem

2.1. Studium przypadku 1

Pobieranie prób i rozkład z próby

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

Twierdzenia graniczne:

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Statystyka w rozumieniu tego wykładu to zbiór metod służących pozyskiwaniu, prezentacji, analizie danych.

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

WYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

Statystyka Wzory I. Analiza struktury

n n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

Statystyka matematyczna dla leśników

Estymacja parametrów populacji

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

STATYSTYKA INDUKCYJNA. O sondażach i nie tylko

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

Rozkłady statystyk z próby Twierdzenia graniczne

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )

Transkrypt:

PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy ieparametrycze 7. Korelacja liiowa i ragowa 8. Regresja prosta 9. Aaliza wariacji

1. Rozkład populacji (teoretyczy) i próby (empiryczy) 2. Parametry populacji i ich estymatory 3. Tworzeie próby, błąd przypadkowy (próbkowaia) 4. Statystyczy opis próby 5. Błąd stadardowy średiej arytmetyczej 6. Przedziały ufości dla średiej

Populacja Próba pobieraie wioskowaie Rozkład teoretyczy Rozkład empiryczy Przykłady: jedostajy dwumiaowy ormaly Wartości cechy w próbie i ich częstości

Przykład 1: pleość pewej rasy świń Cała populacja (stadardy rasowe pleości) 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Rozkład teoretyczy Próba: liczebość miotów 100 macior 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 Rozkład empiryczy 0,06 0,04 0,02 0,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Rozkład teoretyczy Przykład 1: pleość pewej rasy świń 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 pokazuje prawdopodobieństwa jest symetryczy Rozkład empiryczy 0,16 0,14 0,12 0,10 pokazuje częstości może być skośy mogą być braki wartości 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ale: PRZYPOMINA TEORETYCZNY (im większa próba tym bardziej)

Przykład 2: zawartość tłuszczu w mleku Rozkład teoretyczy rozkład ormaly 0,5 0,4 0,3 POPULACJA: rozkład przedstawia prawdopodobieństwa jest symetryczy 0,2 0,1 0 Rozkład empiryczy 0,25 0,2 PRÓBA: kostruuje się szereg rozdzielczy (klasy wartości) rozkład przedstawia częstości wartości w klasach może być skośy 0,15 mogą być braki wartości 0,1 0,05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ale: PRZYPOMINA TEORETYCZNY (im większa próba tym bardziej)

Podstawowe parametry opisujące rozklad Wartość oczekiwaa E X Wariacja 2 i 1 i p i X 2 E Dodatkowe parametry opisujące rozkład Mediaa (wartość środkowa, Me) Modala (wartość ajczęstsza, Mo) Współczyiki skośości Wiele iych gdzie E(X )

Populacja Próba ESTYMATORY E ( X ) 2 PARAMETRY i 1 E[ X ] 2 i p i ˆ 2 ˆ i 1 2 i1 s ( i i ) 2

Próba ESTYMATORY (oszacowaia wartości parametrów) 1 i 1 i Średia arytmetycza to dobry estymator wartości oczekiwaej (1) (2) s s 2 2 1 i1 1 1 ( i1 i ( i ) 2 ) 2 Wariacja w próbie jest dobrym estymatorem wariacji w populacji, jeśli obliczamy ją według wzoru (2)

Populacja Próba pobieraie Pobieraie próby: liczebość próby powtórzeia (replikacje) wybór losowy lub ielosowy

Populacja Próba pobieraie Liczebość próby: im większa tym lepsze dopasowaie rozkładu i tym dokładiejsza ocea prarametrów

170 175 165 171 169 Powtórzeia czyli replikacje zwiększają wiarygodość wiosków

Populacja Próba pobieraie Próba systematycza (stosowaie różych kryteriów wyboru) doświadczalictwo, sodaże. Próba losowa prosta (wybór przypadkowy) do badaia populacji biologiczych. Próba losowa powia być możliwie licza.

170 175 165 171 169 Różica między a średią z próby to błąd przypadkowy (błąd próbkowaia)

Próba OPIS STATYSTYCZNY PRÓBY 1) Sporządzeie szeregu liczbowego wartości 2) Określeie wartości maksymalej, miimalej, rozstępu wartości, mediay i modalej, etc. 1 i 1 i 3) Skostruowaie szeregu rozdzielczego i uzyskaie rozkładu empiryczego (histogram) 4) Obliczeie średiej i wariacji (odchyleia stadardowego) s 2 1 1 i1 ( i ) 2 5) Określeie dokładości uzyskaych estymatorów ALE JAK?

JAK określić dokładość estymatorów?? Nie zamy prawdziwej wartości parametru 175 165 171 169 NIE ZNAMY wielkości błędu próbkowaia!!!

Jak określić dokładość estymatora, p. średiej arytmetyczej?? 175 165 171 169 Potraktować estymator jako zmieą losową i zaleźć jego rozkład. Np. średia arytmetycza jest zmieą losową o określoym rozkładzie.

Jak określić dokładość średiej arytmetyczej?? 175 165 171 169 ~ N(, ) ~ N(, ) Jeżeli to gdzie: to liczebość próby

~ N(, ) ~ N (, ) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 O zmieości (rozrzucie) średiej świadczy jej stadardowe odchyleie

Na stadardowe odchyleie estymatora mówimy: BŁĄD STANDARDOWY ~ N (, ) BŁĄD STANDARDOWY jest miarą dokładości estymatora WAŻNE: awet, gdy próba pochodzi z populacji o rozkładzie iym iż ormaly, rozkład średiej z -elemetowej próby, wraz ze wzrostem coraz lepiej odpowiada rozkładowi ormalemu N (, ) Czyżby cetrale twierdzeie graicze?

Jak obliczyć błąd stadardowy średiej z kokretej próby? odchyleie stadardowe w próbie daych: S S S N i1 i 1 2 liczebość próby daych Pytaia: W jaki sposób błąd stadardowy określa dokładość estymatora ( im większy błąd, tym )? Od czego zależy wielkość błędu stadardowego?

Błąd stadardowy średiej arytmetyczej określa dokładość estymatora średiej moża go wykorzystać do określeia przedziału liczbowego, w którym z wysokim prawdopodobieństwem zajduje się prawdziwa wartość oczekiwaa taki przedział to PRZEDZIAŁ UFNOŚCI S S Pojęcie przedział ufości stworzył, opracował i wprowadził do statystyki polski matematyk

Ogólie: Przedział ufości parametru, określoy a poziomie ufości 1- to taki przedział liczbowy, w którym z prawdopodobieństwem 1- zaduje się prawdziwa wartość parametru. Przedział ufości wartości średiej, określoy a poziomie ufości 1- to taki przedział liczbowy ( 1, 2) zaduje się prawdziwa wartość, w którym z prawdopodobieństwem 1- P( ) 1 1 2 graice przedziału ufości

Dwa podstawowe poziomy ufości P( 2) 1 1 (1) (2) dla = 0,05 1 = 0,95 dla = 0,01 1 = 0,99 95% przedział ufości 99% przedział ufości

Jak obliczyć wartości wyzaczające przedział ufości? 1. Wariacja populacji zaa (lub próba bardzo licza, >30) 1 z S 2 z S, z ~ N(0,1) 2. Wariacja populacji iezaa (mała próba) 1 t, N1S 2 t, N1S, t ~ rozkl.t Studeta z α ( t α ) wartości krytycze: takie wartości zmieej losowej, że prawdopodobieństwo, że zmiea przyjmie wartość miejszą od z α ( t α ) lub większą od z α ( t α ), wyosi α P( z z )

95% przedział ufości 99% przedział ufości = 0,05 1 = 0,95 = 0,01 1 = 0,99 Przykład: obliczoo przedziały ufości dla wartości oczekiwaej cechy ieśość poczatkowa kur, próba liczyła 30 pomiarów, średia wyiosła 219, stadardowe odchyleie 33. 208 < < 230 205 < < 234 Pytaie: Jak poziom ufości wpływa a długość przedziału?

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Zastosowaie przedziałów ufości: określaie (a podstawie wartości estymatora) przedziału liczbowego, w którym zajduje się prawdziwa wartość parametru (estymacja przedziałowa) sprawdzaie, czy próba pochodzi z populacji o zaych parametrach, czy dwie próby pochodzą z tej samej populacji (weryfikacja hipotez) 175 170 165 Szczegóły a ćwiczeiach ZAPRASZAM!

1. Rozkład populacji (teoretyczy) i próby (empiryczy) 2. Parametry populacji i ich estymatory 3. Tworzeie próby daych, błąd próbkowaia 4. Statystyczy opis próby 5. Błąd stadardowy średiej arytmetyczej 6. Przedziały ufości dla średiej