Dynamika Bryªy Sztywnej

Dynamika Bryªy Sztywnej Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków, 27.10.2016

Podstawy dynamiki bryªy sztywnej Bryªa sztywna to ukªad cz stek o niezmiennych wzajemnych odlegªo±ciach. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 2 / 28

Podstawy dynamiki bryªy sztywnej Bryªa sztywna to ukªad cz stek o niezmiennych wzajemnych odlegªo±ciach. Podstawowe znaczenie dla opisu ruchu ukªadu jako caªo±ci jest ruch szczególnego punktu - ±rodka masy ukªadu. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 2 / 28

Podstawy dynamiki bryªy sztywnej Bryªa sztywna to ukªad cz stek o niezmiennych wzajemnych odlegªo±ciach. Podstawowe znaczenie dla opisu ruchu ukªadu jako caªo±ci jest ruch szczególnego punktu - ±rodka masy ukªadu. rodek masy reprezentuje ukªad, wi c pod wpªywem wypadkowej siª zewn trznych porusza si jak cz stka o masie równej masie ukªadu: F = m a s = N m i a i gdzie m = N m i st d przyspieszenie ±rodka masy: a s = 1 m N m i a i Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 2 / 28

Poprzez kolejne caªkowania otrzymujemy pr dko± i poªo»enie ±rodka masy ukªadu: N N v s = 1 m m i v i r s = 1 m m i r i Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 3 / 28

Poprzez kolejne caªkowania otrzymujemy pr dko± i poªo»enie ±rodka masy ukªadu: N N v s = 1 m m i v i r s = 1 m m i r i Moment masy wzgl dem pocz tku ukªadu: m i r i Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 3 / 28

Poprzez kolejne caªkowania otrzymujemy pr dko± i poªo»enie ±rodka masy ukªadu: N N v s = 1 m m i v i r s = 1 m m i r i Moment masy wzgl dem pocz tku ukªadu: m i r i P d ±rodka masy jest równy p dowi ukªadu: p s = m v s = N m i v i = p Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 3 / 28

Poprzez kolejne caªkowania otrzymujemy pr dko± i poªo»enie ±rodka masy ukªadu: N N v s = 1 m m i v i r s = 1 m m i r i Moment masy wzgl dem pocz tku ukªadu: m i r i P d ±rodka masy jest równy p dowi ukªadu: p s = m v s = N m i v i = p Wypadkowa siª zewn trznych: F = d p dt = d ps dt Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 3 / 28

Zasada zachowania p du ±rodka masy F = 0 p s = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 4 / 28

Zasada zachowania p du ±rodka masy F = 0 p s = const Wtedy ±rodek masy ukªadu odosobnionego porusza si ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezale»nie od tego jak poruszaj si inne cz stki ukªadu. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 4 / 28

Zasada zachowania p du ±rodka masy F = 0 p s = const Wtedy ±rodek masy ukªadu odosobnionego porusza si ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezale»nie od tego jak poruszaj si inne cz stki ukªadu. Moment p du cz stki wzgl dem przechodz cej przez pocz tek ukªadu wspóªrz dnych osi prostopadªej do pªaszczyzny utworzonej przez wektory p du i poªo»enia: L = r p Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 4 / 28

Zasada zachowania p du ±rodka masy F = 0 p s = const Wtedy ±rodek masy ukªadu odosobnionego porusza si ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezale»nie od tego jak poruszaj si inne cz stki ukªadu. Moment p du cz stki wzgl dem przechodz cej przez pocz tek ukªadu wspóªrz dnych osi prostopadªej do pªaszczyzny utworzonej przez wektory p du i poªo»enia: L = r p Moment siªy dziaªaj cej na cz stk : M = r F Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 4 / 28

Moment p du i moment siªy d L dt = d ( r p) dt M = = r d p dt + d r dt p = r F + m v v }{{} N M i = N d L i dt = d dt N Li = d L dt 0 = M Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 5 / 28

Moment p du i moment siªy d L dt = d ( r p) dt M = = r d p dt + d r dt p = r F + m v v }{{} N M i = N d L i dt = d dt N Li = d L dt 0 = M Zasada Zachowania Momentu P du Je»eli moment dziaªaj cych na ukªad siª jest równy zeru, to moment p du ukªadu pozostaje staªy: d L dt = M = 0 L = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 5 / 28

Moment bezwªadno±ci Z transformacji pr dko±ci ukªadu obracaj cego si z pr dko±ci k tow ω wokóª ±rodka masy do laboratoryjnego pr dko± i-tej cz stki: v i = v s + ω r i v s pr dko± ±rodka masy r i poªo»enie cz stki w ukªadzie ±rodka masy Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 6 / 28

Moment bezwªadno±ci Z transformacji pr dko±ci ukªadu obracaj cego si z pr dko±ci k tow ω wokóª ±rodka masy do laboratoryjnego pr dko± i-tej cz stki: v i = v s + ω r i v s pr dko± ±rodka masy r i poªo»enie cz stki w ukªadzie ±rodka masy Energia kinetyczna jest sum energii cz stek: E K = N N 1 m 2 i vi 2 = 1 m 2 i ( v s + ω r i ) 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 6 / 28

Moment bezwªadno±ci Z transformacji pr dko±ci ukªadu obracaj cego si z pr dko±ci k tow ω wokóª ±rodka masy do laboratoryjnego pr dko± i-tej cz stki: v i = v s + ω r i v s pr dko± ±rodka masy r i poªo»enie cz stki w ukªadzie ±rodka masy Energia kinetyczna jest sum energii cz stek: E K = N N 1 m 2 i vi 2 = 1 m 2 i ( v s + ω r i ) 2 ( v s + ω r i ) 2 = v 2 s + 2 v s ( ω r i ) + ( ω r i ) 2 = v 2 s + 2 ω ( r i v s ) + ω 2 r 2 i sin 2 ω; r i Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 6 / 28

E K = 1 2 ( N N ) m i vs 2 + ω m i r i v s + 1 2 ω2 = 1 2 mv 2 s + 1 2 I ω2 }{{} 0 N m i r 2 i sin 2 ω; r i Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 7 / 28

E K = 1 2 ( N N ) m i vs 2 + ω m i r i v s + 1 2 ω2 = 1 2 mv 2 s + 1 2 I ω2 }{{} 0 N m i r 2 i sin 2 ω; r i Moment bezwªadno±ci bryªy wzgl dem danej osi jest sum iloczynów mas cz stek i kwadratów ich odlegªo±ci od osi. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 7 / 28

E K = 1 2 ( N N ) m i vs 2 + ω m i r i v s + 1 2 ω2 = 1 2 mv 2 s + 1 2 I ω2 }{{} 0 N m i r 2 i sin 2 ω; r i Moment bezwªadno±ci bryªy wzgl dem danej osi jest sum iloczynów mas cz stek i kwadratów ich odlegªo±ci od osi. Moment bezwªadno±ci bryªy ci gªej obliczamy, zast puj c masy cz stek elementami masy ciaªa: dm = ρ dv I = r 2 dm = ρr 2 dv m V Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 7 / 28

Przykªady oblicze«momentu bezwªadno±ci Moment bezwªadno±ci jednorodnego walca wzgl dem jego osi: R R I = r 2 ρh 2πr dr = 2πρh r 3 dr = 1πρhR 4 = 1 mr 2 2 2 0 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 8 / 28

Przykªady oblicze«momentu bezwªadno±ci Moment bezwªadno±ci jednorodnego walca wzgl dem jego osi: R R I = r 2 ρh 2πr dr = 2πρh r 3 dr = 1πρhR 4 = 1 mr 2 2 2 0 0 Moment bezwªadno±ci jednorodnej kuli: I = R r 2 ρ2 R 2 r 2 2πr dr = 4πρ R R 2 r 2 r 3 dr = {R 2 r 2 = t} 0 0 = 2πρ = 4πρ R 2 ( ) [ t R 2 2 t dt = 2πρ 5 t 5/2 2 ] 0 3 R 2 t 3/2 ( 1 3 R 5 1 ) 5 R 5 = 8 15 πρr 5 = 2 5 mr 2 0 R 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 8 / 28

Moment bezwªadno±ci cienkiego, jednorodnego pr ta wzgl dem prostopadªej do niego osi przechodz cej przez jego koniec i ±rodek: L I K = γr 2 dr = γ 1 r 3 L = 1 3 0 3 ml2 γ = m L I = 0 L/2 L/2 γr 2 dr = γ 1 r 3 L/2 = 1 3 L/2 12 ml2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 9 / 28

Moment bezwªadno±ci cienkiego, jednorodnego pr ta wzgl dem prostopadªej do niego osi przechodz cej przez jego koniec i ±rodek: L I K = γr 2 dr = γ 1 r 3 L = 1 3 0 3 ml2 γ = m L I = 0 L/2 L/2 γr 2 dr = γ 1 r 3 L/2 = 1 3 L/2 12 ml2 Twierdzenie Steinera Moment bezwªadno±ci sztywnego ukªadu cz stek wzgl dem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwªadno±ci I ± wzgl dem równolegªej do niej osi, przechodz cej przez ±rodek masy i iloczynu masy ukªadu przez kwadrat odlegªo±ci pomi dzy osiami. I = I ± + md 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 9 / 28

Moment bezwªadno±ci cienkiego, jednorodnego pr ta wzgl dem prostopadªej do niego osi przechodz cej przez jego koniec i ±rodek: L I K = γr 2 dr = γ 1 r 3 L = 1 3 0 3 ml2 γ = m L I = 0 L/2 L/2 γr 2 dr = γ 1 r 3 L/2 = 1 3 L/2 12 ml2 Twierdzenie Steinera Moment bezwªadno±ci sztywnego ukªadu cz stek wzgl dem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwªadno±ci I ± wzgl dem równolegªej do niej osi, przechodz cej przez ±rodek masy i iloczynu masy ukªadu przez kwadrat odlegªo±ci pomi dzy osiami. I = I ± + md 2 np. dla cienkiego, jednorodnego pr ta: I = 1 12 ml2 + ( 1 m L) 2 = 1 2 3 ml2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 9 / 28

Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 10 / 28

Dowód: poªo»enie i-tej masy podnosimy do kwadratu r i = r i + r i skªadowe: prostopadªa i równolegªa do osi N ( ) 2 m d N N i + ri = m i d 2 + 2 m i r i d + N N m i r i 2 = md 2 + m i r i 2 + N m i r 2 i }{{} 0 }{{} I ± Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 11 / 28

Dowód: poªo»enie i-tej masy podnosimy do kwadratu r i = r i + r i skªadowe: prostopadªa i równolegªa do osi N ( ) 2 m d N N i + ri = m i d 2 + 2 m i r i d + N N m i r i 2 = md 2 + m i r i 2 + N m i r 2 i }{{} poªo»enie i-tej masy rozdzielamy na cz ±ci: prostopadª i równolegª do osi N ( ) [ 2 m d N ( d ) ] 2 i + ri = m i + r i + r 2 i = + N m i r 2 i 0 N ( ) 2 m d i + r i }{{} I }{{} I ± Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 11 / 28

Gªówne osie bezwªadno±ci s osiami dla których momenty bezwªadno±ci przyjmuj warto±ci ekstremalne i nazywaj si gªównymi momentami bezwªadno±ci. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 12 / 28

Gªówne osie bezwªadno±ci s osiami dla których momenty bezwªadno±ci przyjmuj warto±ci ekstremalne i nazywaj si gªównymi momentami bezwªadno±ci. E K = 1 v 2 dm = 1 v ( ω r) dm = 1 ω 2 2 2 m m m r v dm = 1 ω L 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 12 / 28

Gªówne osie bezwªadno±ci s osiami dla których momenty bezwªadno±ci przyjmuj warto±ci ekstremalne i nazywaj si gªównymi momentami bezwªadno±ci. E K = 1 v 2 dm = 1 v ( ω r) dm = 1 ω 2 2 2 m m m r v dm = 1 ω L 2 v 2 = ( ω r) 2 = ( ω r) ( ω r) = ω 2 r 2 ( ω r) 2 = ( ) ( ωx 2 + ωy 2 + ωz 2 x 2 + y 2 + z 2) (ω x x + ω y y + ω z z) 2 ( = ωx 2 y 2 + z 2) ( + ωy 2 x 2 + z 2) ( + ωz 2 x 2 + y 2) 2ω x ω y xy 2ω x ω z xz 2ω y ω z yz Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 12 / 28

(y 2 + z 2) dm + 1 (x 2 + z 2) dm E K = 1 2 ω2 x 2 ω2 y + 1 (x 2 2 ω2 z + y 2) dm ω x ω y xy dm ω x ω z xz dm ω y ω z yz dm = 1 ( ) Ixx ωx 2 + I yy ωy 2 + I zz ωz 2 + 2I xy ω x ω y + 2I xz ω x ω z + 2I yz ω y ω z 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 13 / 28

(y 2 + z 2) dm + 1 (x 2 + z 2) dm E K = 1 2 ω2 x 2 ω2 y + 1 (x 2 2 ω2 z + y 2) dm ω x ω y xy dm ω x ω z xz dm ω y ω z yz dm = 1 ( ) Ixx ωx 2 + I yy ωy 2 + I zz ωz 2 + 2I xy ω x ω y + 2I xz ω x ω z + 2I yz ω y ω z 2 Momenty bezwªadno±ci wzgl dem osi ukªadu: I xx = ( y 2 + z 2) dm, I yy = ( x 2 + z 2) dm, I zz = ( x 2 + y 2) dm. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 13 / 28

(y 2 + z 2) dm + 1 (x 2 + z 2) dm E K = 1 2 ω2 x 2 ω2 y + 1 (x 2 2 ω2 z + y 2) dm ω x ω y xy dm ω x ω z xz dm ω y ω z yz dm = 1 ( ) Ixx ωx 2 + I yy ωy 2 + I zz ωz 2 + 2I xy ω x ω y + 2I xz ω x ω z + 2I yz ω y ω z 2 Momenty bezwªadno±ci wzgl dem osi ukªadu: I xx = ( y 2 + z 2) dm, I yy = ( x 2 + z 2) dm, I zz = ( x 2 + y 2) dm. Momenty zboczenia: I xy = xy dm, I xz = xz dm, I yz = yz dm. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 13 / 28

Je±li jako osie ukªadu przyjmiemy gªówne osie bezwªadno±ci, to momenty wzg dem osi b d gªównymi momentami bezwªadno±ci: I 1, I 2, I 3, a charakteryzuj ce asymetri momenty zboczenia ( znikn : E K = 1 I1 ω 2 + I 2 1 2ω 2 + ) I 2 3ω 2 3 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 14 / 28

Je±li jako osie ukªadu przyjmiemy gªówne osie bezwªadno±ci, to momenty wzg dem osi b d gªównymi momentami bezwªadno±ci: I 1, I 2, I 3, a charakteryzuj ce asymetri momenty zboczenia ( znikn : E K = 1 I1 ω 2 + I 2 1 2ω 2 + ) I 2 3ω 2 3 Warto±ci gªównych momentów bezwªadno±ci zale» od ksztaªtu ciaªa: Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 14 / 28

Je±li jako osie ukªadu przyjmiemy gªówne osie bezwªadno±ci, to momenty wzg dem osi b d gªównymi momentami bezwªadno±ci: I 1, I 2, I 3, a charakteryzuj ce asymetri momenty zboczenia ( znikn : E K = 1 I1 ω 2 + I 2 1 2ω 2 + ) I 2 3ω 2 3 Warto±ci gªównych momentów bezwªadno±ci zale» od ksztaªtu ciaªa: b k kulisty (I 1 = I 2 = I 3 ) wybór osi gªównych dowolny, Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 14 / 28

Je±li jako osie ukªadu przyjmiemy gªówne osie bezwªadno±ci, to momenty wzg dem osi b d gªównymi momentami bezwªadno±ci: I 1, I 2, I 3, a charakteryzuj ce asymetri momenty zboczenia ( znikn : E K = 1 I1 ω 2 + I 2 1 2ω 2 + ) I 2 3ω 2 3 Warto±ci gªównych momentów bezwªadno±ci zale» od ksztaªtu ciaªa: b k kulisty (I 1 = I 2 = I 3 ) wybór osi gªównych dowolny, b k symetryczny (I 1 I 2 = I 3 ) osie gªówne to o± I 1 oraz dwie osie prostopadªe do niej i do siebie wzajemnie, Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 14 / 28

Je±li jako osie ukªadu przyjmiemy gªówne osie bezwªadno±ci, to momenty wzg dem osi b d gªównymi momentami bezwªadno±ci: I 1, I 2, I 3, a charakteryzuj ce asymetri momenty zboczenia ( znikn : E K = 1 I1 ω 2 + I 2 1 2ω 2 + ) I 2 3ω 2 3 Warto±ci gªównych momentów bezwªadno±ci zale» od ksztaªtu ciaªa: b k kulisty (I 1 = I 2 = I 3 ) wybór osi gªównych dowolny, b k symetryczny (I 1 I 2 = I 3 ) osie gªówne to o± I 1 oraz dwie osie prostopadªe do niej i do siebie wzajemnie, b k niesymetryczny (I 1 I 2 I 3 I 1 ) osie gªówne prostopadªe do siebie i ±ci±le okre±lone. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 14 / 28

Je±li jako osie ukªadu przyjmiemy gªówne osie bezwªadno±ci, to momenty wzg dem osi b d gªównymi momentami bezwªadno±ci: I 1, I 2, I 3, a charakteryzuj ce asymetri momenty zboczenia ( znikn : E K = 1 I1 ω 2 + I 2 1 2ω 2 + ) I 2 3ω 2 3 Warto±ci gªównych momentów bezwªadno±ci zale» od ksztaªtu ciaªa: b k kulisty (I 1 = I 2 = I 3 ) wybór osi gªównych dowolny, b k symetryczny (I 1 I 2 = I 3 ) osie gªówne to o± I 1 oraz dwie osie prostopadªe do niej i do siebie wzajemnie, b k niesymetryczny (I 1 I 2 I 3 I 1 ) osie gªówne prostopadªe do siebie i ±ci±le okre±lone. Je±li ciaªo ma o± symetrii, to b dzie ona jedn z gªównych osi bezwªadno±ci. Je±li ciaªo ma pªaszczyzn symetrii, to dwie gªówne osie bezwªadno±ci b d le»aªy w tej pªaszczy¹nie. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 14 / 28

W szczególo±ci dla ukªadu le» cego w pªaszczy¹nie, moment wzgl dem osi prostopadªej do pªaszczyzny jest sum dwóch pozostaªych: I 3 = ( x 2 + y 2) dm = x 2 dm + y 2 dm = I 1 + I 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 15 / 28

W szczególo±ci dla ukªadu le» cego w pªaszczy¹nie, moment wzgl dem osi prostopadªej do pªaszczyzny jest sum dwóch pozostaªych: I 3 = ( x 2 + y 2) dm = x 2 dm + y 2 dm = I 1 + I 2 Gdy mamy ukªad liniowy, rozmieszczony wzdªu» linii prostej czyli rotator, moment wzgl dem tej prostej znika a pozostaªe momenty gªówne s sobie równe: I 3 = 0, I 1 = I 2 = z 2 dm Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 15 / 28

W szczególo±ci dla ukªadu le» cego w pªaszczy¹nie, moment wzgl dem osi prostopadªej do pªaszczyzny jest sum dwóch pozostaªych: I 3 = ( x 2 + y 2) dm = x 2 dm + y 2 dm = I 1 + I 2 Gdy mamy ukªad liniowy, rozmieszczony wzdªu» linii prostej czyli rotator, moment wzgl dem tej prostej znika a pozostaªe momenty gªówne s sobie równe: I 3 = 0, I 1 = I 2 = z 2 dm W przypadku b ka niesymetrycznego»aden z gªównych momentów nie mo»e by wi kszy ni» suma dwóch pozostaªych: I 1 + I 2 = = (y 2 + z 2) (x dm + 2 + z 2) dm (x 2 + y 2) dm + 2 z 2 dm I 3 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 15 / 28

Moment p du bryªy: L = r d p = r ( ω r) dm = [ r 2 ω ( ω r) r ] dm p m m Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 16 / 28

Moment p du bryªy: L = r d p = r ( ω r) dm = [ r 2 ω ( ω r) r ] dm p m m [(x L x = 2 + y 2 + z 2) ω x (ω x x + ω y y + ω z z) ] x dm (y = ω 2 x + z 2) dm ω y xy dm ω z xz dm Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 16 / 28

Moment p du bryªy: L = r d p = r ( ω r) dm = [ r 2 ω ( ω r) r ] dm p m m [(x L x = 2 + y 2 + z 2) ω x (ω x x + ω y y + ω z z) ] x dm (y = ω 2 x + z 2) dm ω y xy dm ω z xz dm L x = I xx ω x + I xy ω y + I xz ω z L y = I yx ω x + I yy ω y + I yz ω z L z = I zx ω x + I zy ω y + I zz ω z Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 16 / 28

Moment bezwªadno±ci w zapisie tensorowym L x L y L z L = Î ω I xx I xy I xz = I yx I yy I yz I zx I zy I zz ω x ω y ω z Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 17 / 28

Moment bezwªadno±ci w zapisie tensorowym L x L y L z L = Î ω I xx I xy I xz = I yx I yy I yz I zx I zy I zz ω x ω y ω z Wektory momentu p du L i pr dko±ci k towej ω maj ten sam kierunek tylko w przypadku obrotu dookoªa jednej z gªównych osi. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 17 / 28

Moment bezwªadno±ci w zapisie tensorowym L x L y L z L = Î ω I xx I xy I xz = I yx I yy I yz I zx I zy I zz ω x ω y ω z Wektory momentu p du L i pr dko±ci k towej ω maj ten sam kierunek tylko w przypadku obrotu dookoªa jednej z gªównych osi. Energia kinetyczna: E K = 1 2 ω L = 1 2 ωt Î ω Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 17 / 28

Moment bezwªadno±ci w zapisie tensorowym L x L y L z L = Î ω I xx I xy I xz = I yx I yy I yz I zx I zy I zz ω x ω y ω z Wektory momentu p du L i pr dko±ci k towej ω maj ten sam kierunek tylko w przypadku obrotu dookoªa jednej z gªównych osi. Energia kinetyczna: E K = 1 2 ω L = 1 2 ωt Î ω Druga Zasada Dynamiki dla bryªy sztywnej M = d L dt d(î ω) = = Î d ω dt dt = Î ε Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 17 / 28

Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 18 / 28

Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: pr dko± k towa: ω = dϕ v = dx dt dt Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 18 / 28

Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: pr dko± k towa: ω = dϕ v = dx dt dt przyspieszenie k towe: ε = dω a = dv dt dt Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 18 / 28

Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: pr dko± k towa: ω = dϕ v = dx dt dt przyspieszenie k towe: ε = dω a = dv dt dt moment siªy: M = I ε = dl F = ma = dp dt dt Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 18 / 28

Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: pr dko± k towa: ω = dϕ v = dx dt dt przyspieszenie k towe: ε = dω a = dv dt dt moment siªy: M = I ε = dl F = ma = dp dt dt moment p du: L = I ω p = mv Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 18 / 28

Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: pr dko± k towa: ω = dϕ v = dx dt dt przyspieszenie k towe: ε = dω a = dv dt dt moment siªy: M = I ε = dl F = ma = dp dt dt moment p du: L = I ω p = mv energia kinetyczna: E K = 1 2 I ω2 E K = 1 2 mv 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 18 / 28

Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: pr dko± k towa: ω = dϕ v = dx dt dt przyspieszenie k towe: ε = dω a = dv dt dt moment siªy: M = I ε = dl F = ma = dp dt dt moment p du: L = I ω p = mv energia kinetyczna: E K = 1 2 I ω2 E K = 1 2 mv 2 ϕ ω ε M I L x v a F m p Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 18 / 28

Równania Eulera W inercjalnym ukªadzie odniesienia U o pocz tku w ±rodku masy bryªy sztywnej: d L dt = M Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 19 / 28

Równania Eulera W inercjalnym ukªadzie odniesienia U o pocz tku w ±rodku masy bryªy sztywnej: d L dt = M Powy»sze równanie w ukªadzie U sztywno zwi zanym z bryª, w którym osie skierowane s wzdªu» osi gªównych bezwªadno±ci (Î diagonalny): d L dt + ω L = M L = [ I x ω x, I y ω y, I z ω z ] = Î ω Î d ω ) (Î dt + ω ω = M Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 19 / 28

Równania Eulera dω x I x + ( I z I y ) ωy ω z = M x dt dω y I y + (I x I z ) ω x ω z = M y dt dω z I z + ( I y I x ) ωx ω y = M z dt Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 20 / 28

Równania Eulera dω x I x + ( I z I y ) ωy ω z = M x dt dω y I y + (I x I z ) ω x ω z = M y dt dω z I z + ( I y I x ) ωx ω y = M z dt Gdy wektory pr dko±ci k towej i momentu p du nie s równolegªe, koniec wektora ω zakre±la w ukªadzie U krzyw zwan polhodi, a w ukªadzie U krzyw zwan herpolhodi. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 20 / 28

Równania Eulera dω x I x + ( I z I y ) ωy ω z = M x dt dω y I y + (I x I z ) ω x ω z = M y dt dω z I z + ( I y I x ) ωx ω y = M z dt Gdy wektory pr dko±ci k towej i momentu p du nie s równolegªe, koniec wektora ω zakre±la w ukªadzie U krzyw zwan polhodi, a w ukªadzie U krzyw zwan herpolhodi. B k symetryczny to wiruj ca bryªa o symetrii obrotowej. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 20 / 28

Równania Eulera dω x I x + ( I z I y ) ωy ω z = M x dt dω y I y + (I x I z ) ω x ω z = M y dt dω z I z + ( I y I x ) ωx ω y = M z dt Gdy wektory pr dko±ci k towej i momentu p du nie s równolegªe, koniec wektora ω zakre±la w ukªadzie U krzyw zwan polhodi, a w ukªadzie U krzyw zwan herpolhodi. B k symetryczny to wiruj ca bryªa o symetrii obrotowej. B k swobodny to b k na który nie dziaªa moment siªy: M = 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 20 / 28

Swobodny b k symetryczny z osi symetrii pokrywaj c si z osi z (I y = I x ), nachylon pod k tem α do osi obrotu b ka ω: ω z 0 = ω cos α Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 21 / 28

Swobodny b k symetryczny z osi symetrii pokrywaj c si z osi z (I y = I x ), nachylon pod k tem α do osi obrotu b ka ω: ω z 0 = ω cos α dω x dt dω y dt + I z I y ω y ω z = 0 dω x I x dt + I x I z ω x ω z = 0 dω y I y dt + Ωω y = 0 Ωω x = 0 gdzie: I z I x ω I x z = Ω dω z dt = 0 ω z = ω z 0 = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 21 / 28

Swobodny b k symetryczny z osi symetrii pokrywaj c si z osi z (I y = I x ), nachylon pod k tem α do osi obrotu b ka ω: ω z 0 = ω cos α dω x dt dω y dt + I z I y ω y ω z = 0 dω x I x dt + I x I z ω x ω z = 0 dω y I y dt + Ωω y = 0 Ωω x = 0 gdzie: I z I x ω I x z = Ω dω z dt = 0 ω z = ω z 0 = const Równanie ruchu skªadowej pr dko±ci k towej prostopadªej do osi symetrii b ka: d 2 ω x dt 2 + Ω 2 ω x = 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 21 / 28

ω x = ω x 0 cos (Ωt + ϕ) dω x = Ωω x 0 sin (Ωt + ϕ) dt ω y = ω x 0 sin (Ωt + ϕ) ω z = ω z 0 Skªadowe pr dko±ci k towej ω x, ω y prostopadªe do osi symetrii b ka wiruj ze staª pr dko±ci k tow Ω, skªadowa równolegªa do osi symetrii jest staªa. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 22 / 28

ω x = ω x 0 cos (Ωt + ϕ) dω x = Ωω x 0 sin (Ωt + ϕ) dt ω y = ω x 0 sin (Ωt + ϕ) ω z = ω z 0 Skªadowe pr dko±ci k towej ω x, ω y prostopadªe do osi symetrii b ka wiruj ze staª pr dko±ci k tow Ω, skªadowa równolegªa do osi symetrii jest staªa. Polhodia jest okr giem o promieniu ω x 0, wzdªu» którego koniec wektora ω porusza si ruchem jednostajnym z okresem T n : T n = 2π Ω = 2π ω z 0 I x I z I x = 2π I x ω cos α I z I x = T I x cos α I z I x Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 22 / 28

B k pod dziaªaniem siª zewn trznych Efekt giroskopowy polega na obrocie momentu p du (wraz z nim osi symetrii) b ka symetrycznego wokóª osi prostopadªej do pr dko±ci k towej b ka i dziaªaj cego na«momentu siªy. L r L F L M d L = M dt L L = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 23 / 28

B k pod dziaªaniem siª zewn trznych Efekt giroskopowy polega na obrocie momentu p du (wraz z nim osi symetrii) b ka symetrycznego wokóª osi prostopadªej do pr dko±ci k towej b ka i dziaªaj cego na«momentu siªy. L r L F L M d L = M dt L L = const Precesja to obrót wektora momentu p du pod wpªywem momentu siª zewn trznych. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 23 / 28

B k pod dziaªaniem siª zewn trznych Efekt giroskopowy polega na obrocie momentu p du (wraz z nim osi symetrii) b ka symetrycznego wokóª osi prostopadªej do pr dko±ci k towej b ka i dziaªaj cego na«momentu siªy. L r L F L M d L = M dt L L = const Precesja to obrót wektora momentu p du pod wpªywem momentu siª zewn trznych. 2θ k t rozwarcia sto»ka tworzonego przez moment p du dϕ = dl L sin θ = M dt L sin θ pr dko± k towa precesji: ω P = dϕ dt = M L sin θ Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 23 / 28

Przykªad: b k symetryczny w polu siªy grawitacyjnej Pocz tek ukªadu wspóªrz dnych umieszczamy w punkcie podparcia b ka, a o± wspóªrz dnych z kierujemy pionowo do góry. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 24 / 28

Przykªad: b k symetryczny w polu siªy grawitacyjnej Pocz tek ukªadu wspóªrz dnych umieszczamy w punkcie podparcia b ka, a o± wspóªrz dnych z kierujemy pionowo do góry. Moment siªy ci»ko±ci M = R S m g M = mgr S sin θ Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 24 / 28

Przykªad: b k symetryczny w polu siªy grawitacyjnej Pocz tek ukªadu wspóªrz dnych umieszczamy w punkcie podparcia b ka, a o± wspóªrz dnych z kierujemy pionowo do góry. Moment siªy ci»ko±ci M = R S m g M = mgr S sin θ B k wykonuje ruch z precesj o cz sto±ci: ω P = M L sin θ = mgr S L Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 24 / 28

Przykªad: b k symetryczny w polu siªy grawitacyjnej Pocz tek ukªadu wspóªrz dnych umieszczamy w punkcie podparcia b ka, a o± wspóªrz dnych z kierujemy pionowo do góry. Moment siªy ci»ko±ci M = R S m g M = mgr S sin θ B k wykonuje ruch z precesj o cz sto±ci: ω P = M L sin θ = mgr S L Gdy o± momentu p du nie pokrywa si z osi symetrii b ka, na ruch precesyjny osi symetrii nakªada si nutacja o okresie T n. O± symetrii b ka zakre±la wtedy lini w»ykowat. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 24 / 28

Przykªad: Ziemia jako b k Ksztaªtem swym Ziemia przypomina spªaszczon elipsoid obrotow, wiruj c wokóª osi nie pokrywaj cej si z jej osi symetrii. Dziaªa na ni zewn trzny moment siªy zwi zany z niejednorodno±ci wokóª niej zewn trznego pola grawitacyjnego. Powoduje on obrót osi symetrii Ziemi zakre±laj cej sto»ek (o k cie rozwarcia 2 23 27 ) wokóª kierunku normalnego do pªaszczyzny ekliptyki z okresem okoªo 26 000 lat. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 25 / 28

Przykªad: Ziemia jako b k Ksztaªtem swym Ziemia przypomina spªaszczon elipsoid obrotow, wiruj c wokóª osi nie pokrywaj cej si z jej osi symetrii. Dziaªa na ni zewn trzny moment siªy zwi zany z niejednorodno±ci wokóª niej zewn trznego pola grawitacyjnego. Powoduje on obrót osi symetrii Ziemi zakre±laj cej sto»ek (o k cie rozwarcia 2 23 27 ) wokóª kierunku normalnego do pªaszczyzny ekliptyki z okresem okoªo 26 000 lat. Nakªadaj si na t precesj niewielkie nutacje o ±rednicy do 15 m i okresie obrotu bieguna kinematycznego okoªo 427 dni. Dla Ziemi: T n = T I x 300 T cos α I z I x Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 25 / 28

Przykªad: Ziemia jako b k Ksztaªtem swym Ziemia przypomina spªaszczon elipsoid obrotow, wiruj c wokóª osi nie pokrywaj cej si z jej osi symetrii. Dziaªa na ni zewn trzny moment siªy zwi zany z niejednorodno±ci wokóª niej zewn trznego pola grawitacyjnego. Powoduje on obrót osi symetrii Ziemi zakre±laj cej sto»ek (o k cie rozwarcia 2 23 27 ) wokóª kierunku normalnego do pªaszczyzny ekliptyki z okresem okoªo 26 000 lat. Nakªadaj si na t precesj niewielkie nutacje o ±rednicy do 15 m i okresie obrotu bieguna kinematycznego okoªo 427 dni. Dla Ziemi: T n = T I x 300 T cos α I z I x Ruch obrotowy Ziemi wykorzystywany jest przez kompas giroskopowy ustawiaj cy sw o± obrotu zgodnie z osi obrotu Ziemi, aby zachowa swój moment p du. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 25 / 28

Wahadªo zyczne Wahadªo zyczne jest to bryªa, która mo»e si waha wzgl dem staªej osi obrotu. Dªugo±ci wahadªa l jest odlegªo± od osi obrotu do ±rodka masy. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 26 / 28

Wahadªo zyczne Wahadªo zyczne jest to bryªa, która mo»e si waha wzgl dem staªej osi obrotu. Dªugo±ci wahadªa l jest odlegªo± od osi obrotu do ±rodka masy. Moment siªy ci»ko±ci wzgl dem ±rodka masy dla wahadªa odchylonego od pionu o k t ϕ: M = mgl sin ϕ Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 26 / 28

Wahadªo zyczne Wahadªo zyczne jest to bryªa, która mo»e si waha wzgl dem staªej osi obrotu. Dªugo±ci wahadªa l jest odlegªo± od osi obrotu do ±rodka masy. Moment siªy ci»ko±ci wzgl dem ±rodka masy dla wahadªa odchylonego od pionu o k t ϕ: M = mgl sin ϕ Równanie ruchu: = mgl sin ϕ dt 2 Moment siªy jest z ujemnym znakiem, poniewa» zmniejsza wychylenie. I d 2 ϕ Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 26 / 28

Wahadªo zyczne Wahadªo zyczne jest to bryªa, która mo»e si waha wzgl dem staªej osi obrotu. Dªugo±ci wahadªa l jest odlegªo± od osi obrotu do ±rodka masy. Moment siªy ci»ko±ci wzgl dem ±rodka masy dla wahadªa odchylonego od pionu o k t ϕ: M = mgl sin ϕ Równanie ruchu: = mgl sin ϕ dt 2 Moment siªy jest z ujemnym znakiem, poniewa» zmniejsza wychylenie. I d 2 ϕ Moment kieruj cy M k = mgl Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 26 / 28

Wahadªo zyczne Wahadªo zyczne jest to bryªa, która mo»e si waha wzgl dem staªej osi obrotu. Dªugo±ci wahadªa l jest odlegªo± od osi obrotu do ±rodka masy. Moment siªy ci»ko±ci wzgl dem ±rodka masy dla wahadªa odchylonego od pionu o k t ϕ: M = mgl sin ϕ Równanie ruchu: = mgl sin ϕ dt 2 Moment siªy jest z ujemnym znakiem, poniewa» zmniejsza wychylenie. I d 2 ϕ Moment kieruj cy M k = mgl Dla maªych wychyle«: sin ϕ ϕ d 2 ϕ dt 2 = M k I ϕ Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 26 / 28

d 2 ϕ = dω dt 2 dt = dω dϕ dϕ dt = ω dω dϕ = M k I ϕ Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 27 / 28

d 2 ϕ = dω dt 2 dt = dω dϕ dϕ dt = ω dω dϕ = M k I ϕ separacja zmiennych i caªkowanie: I ω dω = M k ϕ dϕ 1 2 I ω2 = 1 2 M kϕ 2 + C Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 27 / 28

d 2 ϕ = dω dt 2 dt = dω dϕ dϕ dt = ω dω dϕ = M k I ϕ separacja zmiennych i caªkowanie: I ω dω = M k ϕ dϕ 1 2 I ω2 = 1 2 M kϕ 2 + C 1 2 I ω2 + 1 }{{} 2 M kϕ 2 = C = E C caªkowita energia mechaniczna wahadªa }{{} E K E P Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 27 / 28

d 2 ϕ = dω dt 2 dt = dω dϕ dϕ dt = ω dω dϕ = M k I ϕ separacja zmiennych i caªkowanie: I ω dω = M k ϕ dϕ 1 2 I ω2 = 1 2 M kϕ 2 + C 1 2 I ω2 + 1 }{{} 2 M kϕ 2 = C = E C caªkowita energia mechaniczna wahadªa }{{} E K E P ω = 2E C M k ϕ 2 M = k 2E C I I M k ϕ 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 27 / 28

d 2 ϕ = dω dt 2 dt = dω dϕ dϕ dt = ω dω dϕ = M k I ϕ separacja zmiennych i caªkowanie: I ω dω = M k ϕ dϕ 1 2 I ω2 = 1 2 M kϕ 2 + C 1 2 I ω2 + 1 }{{} 2 M kϕ 2 = C = E C caªkowita energia mechaniczna wahadªa }{{} E K E P ω = 2E C M k ϕ 2 M = k 2E C I I M k ϕ 2 separacja zmiennych i caªkowanie: dϕ = 2E C ϕ M 2 k M k I dt arcsin ( M k 2E C ϕ ) = M k I t + C Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 27 / 28

( ) 2E ϕ (t) = C M sin k M k I t + ϑ 0 = ϕ 0 sin ( 2π T t + ϑ ) 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 28 / 28

( ) 2E ϕ (t) = C M sin k M k I t + ϑ 0 = ϕ 0 sin ( 2π T t + ϑ ) 0 Amplituda waha«: ϕ 0 = 2E C M k Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 28 / 28

( ) 2E ϕ (t) = C M sin k M k I t + ϑ 0 = ϕ 0 sin ( 2π T t + ϑ ) 0 Amplituda waha«: ϕ 0 = 2E C M k Okres waha«: M k I = 2π T T = 2π I M k I = 2π = 2π mgl l rg Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 28 / 28

( ) 2E ϕ (t) = C M sin k M k I t + ϑ 0 = ϕ 0 sin ( 2π T t + ϑ ) 0 Amplituda waha«: ϕ 0 = 2E C M k Okres waha«: M k I = 2π T T = 2π I M k I = 2π = 2π mgl l rg Dªugo± zredukowana wahadªa zycznego: l r = I = Is+ml 2 = Is + l > l ml ml ml Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 28 / 28

( ) 2E ϕ (t) = C M sin k M k I t + ϑ 0 = ϕ 0 sin ( 2π T t + ϑ ) 0 Amplituda waha«: ϕ 0 = 2E C M k Okres waha«: M k I = 2π T T = 2π I M k I = 2π = 2π mgl l rg Dªugo± zredukowana wahadªa zycznego: l r = I = Is+ml 2 = Is + l > l ml ml ml Staªa fazowa: ϑ 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, 27.10.2016 28 / 28