MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko
Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących na jednej prostej.
Określenie położenia ciała sztywnego Drugi sposób: układ nieruchomy 0, x, y, z Rys.1 y układ,a ruchomy ξ,, sztywno związany z bryłą χζ
gdzie: Określenie położenia ciała sztywnego Określenie położenia bryły wyznaczenie położenia układu A, ξ, χ, ζ względem układu nieruchomego. Równanie ruchu: (1)
Określenie położenia ciała sztywnego Po podstawieniu do (1): (2) Osie układu stałego x, y, z tworzą z osiami ξ, χ, ζ układu ruchomego kąty, których kosinusy oznaczymy kolejno: cos(x,ξ)= a 11 cos(y,ξ)= a 21 cos(z,ξ)= a 31 cos(x,χ)= a 12 cos(x,ζ )= a 13 cos(y,χ)= a 22 cos(y,ζ )= a 23 cos(z,χ)= a 32 cos(z,ζ )= a 33
Określenie położenia ciała sztywnego Kosinusy te można przedstawić za pomocą tabelki ξ χ ζ x y z Mnożąc skalarnie równanie (2) kolejno przez i, j, k, : ρ ρ ρ (3)
Określenie położenia ciała sztywnego Następnie mnożąc kolejno równanie (2) skalarnie przez wektory ρ ρ ρ : ξ, χ, ζ, o o o (4) (3) współrzędne dowolnych punktów bryły w układzie stałym; (4) współrzędne dowolnych punktów bryły w układzie ruchomym. Mamy 12 wielkości zależnych od czasu t: x A, y, z, A A oraz kosinusy kierunkowe.
Związki między kosinusami: Mamy więc sześć wielkości niezależnych: x A, y, z, A A trzy (niezależne od siebie) kosinusy kierunkowe Ciało sztywne ma sześć stopni swobody.
Ruch kulisty bryły Ruchem kulistym nazywamy taki ruch ciała sztywnego, w którym jeden jego punkt A pozostaje nieruchomy (rys. 1). Tory wszystkich pozostałych punktów ciała sztywnego leżą na powierzchniach kul ośrodku w punkcie A. Ciało sztywne może obracać się tylko dookoła osi przechodzących przez nieruchomy punkt A, zwany środkiem obrotu kulistego.
O środek obrotu kulistego. Łuk AB, zawarty w powierzchni kulistej (tj. powierzchni poruszającej się po powierzchni jednej kuli), porusza się z położenia AB B 1 1 Ruch kulisty bryły A 1 do położenia poprzez obrót dookoła punktu C, w którym przecinają się łuki prostopadłe do AA i BB wyprowadzone 1 z ichśrodków (rys. 2). Rys. 2
Ruch kulisty bryły Zamiast łuku można przyjąć przekrój bryły na powierzchni rozpatrywanej kuli. Ponieważ w ruchu tym punkty O i C są nieruchome, to ruch ten odbywa się wokół osi przechodzącej przez punkty O i C. Rys. 2 Oś obrotu przechodząca przez punkty OC nazywa się chwilową osią obrotu.
Ruch kulisty bryły Przyjmijmy położenie II nieskończenie blisko położenia I tak, że bryła przechodzi z I do II w nieskończenie krótkim czasie. Miejscem geometrycznym tych osi w układzie powierzchnia stożkowa zwana aksoidą stałą (wszystkie osie przechodzą przez punkt 0). 0, x, y, z jest Miejscem geometrycznym tych osi w układzie A, ξ, χ, ζ powierzchnia stożkowa zwana aksoidą ruchomą. jest Wierzchołki obu tych aksoid zbiegają się w środku ruchu kulistego 0.
Przyjmujemy,że: x A = A A 0, y = 0, z = 0, Stąd: 6 zależności pomiędzy kosinusami kierunkowymi Własność! Ruch kulisty będzie określony, jeżeli znana będzie zależność od czasu trzech niezależnych od siebie kosinusów kierunkowych określających położenie układu ruchomego względem układu stałego.
Rys. 3 Kąty Eulera Przyjmujemy stały układ 0, x, y, z i w tym samym początku 0 ruchomy 0, ξ, χ, ζ. ϕ kąt obrotu Rys. 3 linia węzłów Równania ruchu kulistego: ψ = ψ ( t), ϕ = ϕ( t), υ = υ( t) Położenie układu ruchomego możemy określić za pomocą trzech kątów, zwanych kątami Eulera (Rys. 3) Kąty Eulera: ψ precesji, υ nutacji, ϕ obrotu
Pole prędkości w ruchu kulistym 0 początek układu stałego i ruchomego wśrodku ruchu kulistego Po zróżniczkowaniu: Rys. 4 Moduł wektora prędkości jest równy Oczywiście rozważany na rys. 4 punkt nie porusza się stale po okręgu o promieniu r, lecz oś obrotu chwilowego zmienia z czasem swoje położenie, a więc z czasem zmienia się odległość r. W rezultacie punkt ten porusza się po krzywej leżącej na powierzchni kuli o promieniu r i.
Pole przyspieszeń w ruchu kulistym Wektor prędkości kątowej leży na chwilowej osi obrotu. Przyspieszenie liniowe dowolnego punktu bryły ale i Rys. 5
Pole przyspieszeń w ruchu kulistym Lub: W ruchu kulistym przyspieszenie dowolnego punktu bryły jest sumą geometryczną przyspieszenia normalnego i stycznego. wartość przyspieszenia stycznego Rys. 5 wartość przyspieszenia normalnego.
Ruch ogólny Z położenia I do położenia II bryła porusza się za pomocą przesunięcia (ruchu postępowego) i obrotu (ruchu obrotowego) dookoła osi przechodzącej przez obrany biegun. Rys. 6
x, y, A A Przemieszczenie bryły w ruchu ogólnym z A 0, x, y, z współrzędne punktu A w układzie. ψ, ϕ, υ kąty, wokół których obraca się ciało wokół bieguna (zwane kątami Eulera). Ruch ogólny jest więc złożony z ruchu postępowego i kulistego. Współrzędne bieguna A jak i kąty Eulera są pewnymi funkcjami czasu stąd równania ruchu ogólnego mają postać
Równania ruchu ogólnego: Po zróżniczkowaniu równania ruchu: wiedząc,że prędkość ruchu postępowego, prędkość obrotu.
Pole prędkości bryły w ruchu ogólnym: Składowe wektora prędkości w układzie stałym mają postać:
Pole przyspieszeń w ruchu ogólnym Różniczkując równanie na pole prędkości bryły w ruchu ogólnym: czyli gdzie: przyspieszenie styczne punktu P pochodzące od obrotu ciała wokół punktu A.
Pole przyspieszeń w ruchu ogólnym przyspieszenie normalne punktu P pochodzące od obrotu ciała wokół punktu A. A a ρ przyspieszenie ruchu postępowego. Przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu ogólnym jest sumą geometryczną przyspieszenia ruchu postępowego, przyspieszenia stycznego i normalnego.
Przykład W gniotowniku wał o długości 2R, na którego końcach osadzone są dwie tarcze o promieniu r, obraca się wokół pionowej osi ze stałą prędkością kątową ω 1, przy czym tarcze toczą się bez poślizgu. Znaleźć aksoidy tarczy, jej prędkość kątową oraz prędkość punktu C tarczy (rys. a)).
ROZWIĄZANIE Rozpatrzmy ruch tylko prawej tarczy, gdyż ruchy obu z nich są równoległe. Wprowadzamy układ nieruchomy i ruchomy o środku w punkcie O. Oś OA chwilowa oś obrotu. Punkt O środek ruchu kulistego. Punkt A oraz oś OA zmieniają swoje położenia w obu układach.
ROZWIĄZANIE Miejsce geometryczne punktów styczności W układzie stałym Okrąg w płaszczyźnie poziomej o promieniu R W układzie ruchomym Obwód toczącej się tarczy (okrąg o promieniu r) Aksoidy stałe W układzie stałym Stożek o rozwarciu 2β W układzie ruchomym Stożek o rozwarciu 2α
Zależności między kątami 2β i 2α: ROZWIĄZANIE Wniosek: Ruch tarczy można odtworzyć przez toczenie po sobie bez poślizgu dwóch stożków kołowych. Ruch taki nazywa się precesją regularną. Aby znaleźć prędkość tarczy, która jest skierowana wzdłuż chwilowej osi obrotu, rozpatrzymy ruch punktu B (środka tarczy). Z jednej strony, prędkość punktu B jest równa (ponieważ punkt B porusza się po okręgu o promieniu R).
ROZWIĄZANIE Z drugiej strony, rozpatrując ruch tarczy jako ruch obrotowy wokół chwilowej osi obrotu, znajdziemy Stąd: Prędkość punktu C znajdziemy traktując ruch tarczy jako chwilowy ruch obrotowy wokół osi 0A gdzie DC jest odległością punktu C od chwilowej osi obrotu Po podstawieniu otrzymujemy: