1 Oga Kopacz, Adam Łodygos, Krzysztof ymper, chał Płotoa, Wocech Pałos Konsutace nauoe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI Poznań 00/00 ECHANIKA BUDOWLI 1 Ugęca bee drgaących. Wzory transformacyne bee o cągłym rozładze masy. -przemeszczene domnuące:, t t 14.1 Wproadzene arunó brzegoych proadz do ednorodnego uładu rónań. Rozązane netryane stnee da det0. Otrzymue sę rónane charaterystyczne. Przymuemy następuącą funcę oreśaącą nę ugęca be: Asn B cos Csh Dsh 14. gdze: 4 µ ω, µ Aρ 14. µ-gęstość noa Potechna Poznańsa
Poszuamy rozązań rónana 14. da różnych arunó brzegoych bee. 1. Bea obustronne uterdzona. 1 0, d d 14.4 0, 4 d 0 d Poyższe arun podstaamy do rónana 14., tórego yznaczn przyrónuemy do zera rónane charaterystyczne: ch cos 1 14.5 Rónane to ma rozązana da penych artośc:,7 1 4,7 ϖ 1 µ 61,67 7,85 ϖ µ 14.6 10,91 10,996 ϖ µ Ogóne można zapsać: 1 π 14.7 Funca ugęca da -te postac: sn sh cos ch A sn sh sn sh cos ch 14.8 Potechna Poznańsa
Lczba mesc zeroych func róna est -1. Bea uterdzona z podpartym onym ońcem. Po podstaenu arunó brzegoych do yrażena 14. otrzymamy yznaczn: tg tgh 14.9 Rozązana poyższego rónana ynoszą: 15,4 1,97 ω1 µ 49,97 7,069 ϖ µ 14.10 Ogóne można zapsać: 4 1 π 4 14.11 Funca ugęca da -te postac: sn sh A sn sn sh 14.1 Potechna Poznańsa
4. Bea ednostronne uterdzona Rónane charaterystyczne ma postać: cos ch 1 14.1 Rozązana rónana 14.11:,5 1 1,875 ω1 µ,0 4,6941 ω µ 14.14 Zaps uogónony: 1 π 14.15 Funca ugęca da -te postac: sn sh cos ch A sn sh 14.16 sn sh cos ch Potechna Poznańsa
5 Zadane Znaeźć częstośc ołoe drgań łasnych da uładu przedstaonego ponże. Funca n ugęca ma postać: Asn B cos Csh Dch Różnczuemy poyższą funcę d ' A cos B sn C ch D sh ' ' A sn B cos C sh D ch ' '' A cos B sn C ch D sh Podstaaąc arun brzegoe otrzymuemy uład czterech rónań ednorodnych: 0 B D 0 A C 0 A cos B sn C ch D sh 0 A cos B sn C ch D sh Wstaaąc da persze rónana do dóch oenych, otrzymuemy uład dóch rónań: 0 C ch cos D sn sh 0 C cos ch D sh sn Uład rónań posada rozązane netryane gdy yznaczn róny est zeru. ch cos sn sh cos ch sh sn Otrzymuemy rónane charaterystyczne: ch sn cos sh Przeszuuemy poyższe rónane staaąc artośc od 0, ceu otrzymana rozązana. Potechna Poznańsa
6 5,59 1,65 ω1 µ 0,6 5,4978 ω µ 74,69 8,698 ω µ Rónane posada nesończoną czbę rozązań, potarzaących sę oresoo. Warune ortogonanośc. Rónane przestrzen 4 d µ ϖ 14.17 4 d Rónane to spełnone est da pene artośc ω ω '''' µ ω 14.18 ω '''' µ ω Zgodne z teorą zgnana bee prostych: '''' q 14.19 Po przeształcenu 14.18 otrzymuemy: '' '' µ ω q 14.0 '''' µ ω q Otrzymuemy da stany a-ty oraz b-ty: Z terdzena Bettego: Potechna Poznańsa
7 Praca obcążena q na przemeszczenach, róna est pracy obcążena q na przemeszczenach. q d q d 14.1 0 0 Przeształcaąc poyższe yrażene podstaaąc zory 14.0 otrzymuemy: [ µ ω µ ω ] 0 ω ω 0 µ d 14. Jeże to rónane est spełnone, natomast gdy ω ω to otrzymuemy arune z przyrónana cał yrażenu 1. do zera: Jest to arune ortogonanośc. µ d 14. 0 Wzory transformacyne bee o cągłym rozładze masy. Rozpatruemy beę na tórą dzała obcążene zązane z cecham materału. Jaą postać przymą drgana be, eś ymusmy obroty podpór, oraz przesunęca tych podpór? Potechna Poznańsa
Potechna Poznańsa 8 W ażde ch czasu ugęce punce róne est. Zapsać możemy następuące arun brzegoe: ' 0 '0 0 14.4 omenty oraz sły tnące bece ynoszą: 0 0 14.5 Wstaaąc arun brzegoe do rónana: Dch Csh B A cos sn 14.6 yznaczamy stałe. Różnczuąc rónane 14.5 otrzymuemy oeno: sn cos '' cos sn '' sn cos ' sh D ch C B A ch D sh C B A sh D ch C B A 14.7 Po podstaenu stałych do rónana momentó otrzymuemy zory transformacyne: r t c s t r s c 14.8
gdze: ch sn sh cos c z sh sn s z sh sn r z sh sn t z z 1 ch cos 9 14.9 Potechna Poznańsa