M. Guminiak Metody obliczeniowe mechaniki nieliniowej nr alb

Transkrypt

1 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 Zagadnene geoetczne nenoe - duŝe pzeeszczena W pzpadu duŝch u uaoane duŝch pzeeszczeń ónana ónoag naeŝ foułoać pzeeszczenach onfguac tóa est atuane neznana tóą tzea znaczć. Jest to podstaoa cecha nenoośc geoetczne. DuŜ pzeeszczeno ogą toazszć ałe u duŝe odształcena. W pesz pzpadu zaeŝność ędz pzeeszczene a odształcene est nenoa dug zaeŝność ta óneŝ est nenoa. Stan napęŝena oeśan est na onfguac zdefooane. RozóŜnene eośc pzeeszczeń odształceń ao duŝch u ałch est uone ne posada ścsłego teu. W teo noe ozsta sę ze sładoch całotego pzeeszczena sładoch całotego napęŝena odształcena punce oczanch ezpośedno od danego ocąŝena. W zagadnenach nenoch geoetczne ocąŝene ośne aŝ do ońcoe atośc znacza pzostoe zan napęŝena odształcena [].. Ops stanu odształcena.. Współzędne ateane spółzędne pzestzenne Do opsu stanu odształcena ontnuu ateanego poadza sę da uład spółzędnch : O stał neucho czase atezańs o - onecn spółooto odpoadaąc uśednoneu ooto cała pz pześcu z edne onfguac do duge sztno zązan z łą atezańs. Wpoadzane dóch óŝnch uładó spółzędnch a znaczene to teo nenoe. Jeś stan pzeeszczena odształcena napęŝena odnos sę do uładu tzn. u u ( ) ε ε ( ) σ σ ( ) to opsue sę zagadnene g. agange a e spółzędnch ateanch. Jeś u u ( ) ε ε ( ) σ σ ( ) ted opsue sę zagadnene g. Euea e spółzędnch pzestzennch. Stan pzeeszczena odształcena napęŝena dan punce est oetn ne zaeŝ od ou uładu spółzędnch. W teo duŝch pzeeszczeń oa ops aą zastosoane []. Wpoadza sę oznaczena: eto odząc puntu ateanego P( ) onfguac początoe - eto odząc puntu ateanego P( ) onfguac zdefooane u - eto odząc pz pześcu cała ze stanu początoego do zdefooanego Weto oŝna zapsać doonuąc ozładu: [] M. ec M. Wzu E. eecz: Anaza nenoa tacz płt Potechna Gdańsa 995

2 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 I I I I (spółzędne ateane) e e e e (spółzędne pzestzenne) Wzaena oentaca ou uładó spółzędnch est oeśona etoe oaz osnusa euno ędz osa uładó tóe są oczna saan esoó ou uładó e I I e n n (.) Weto pzeeszczena u oŝna ozłoŝć ou uładach U U I (.) u u e (.) po noŝenu saan ónośc (.) pzez I otzue sę e n I (.) oaz U u stąd u u n I (.5) otzue sę pao tansfoac spółzędnch etoa pzeeszczena z uładu spółzędnch pzestzennch do uładu spółzędnch ateanch U n u. (.6) Punt ateane cała doznaącego naastaące defoac pouszaą sę po toach ędącch cąge puntó pzestzen o spółzędnch u () []. Datego uch oŝe ć opsan na da sposo za poocą etoa odzącego puntu ateanego u. Pesz sposó opsue uch puntu za poocą etoa (t). Weto odząc puntu P onfguac odształcone est funcą etoa. Mó sę ted o opse staconan agange a. Dug sposó to ops uchu puntu za poocą etoa (t). Mó sę ted o opse Euea. Wzaene zaeŝnośc ędz spółzędn ou uładó są funca zaene ednoznaczn óŝnczoan dooną czę az. Waune oneczn dostateczn tego postuatu est a znaczn det( ) ł óŝn od zea: det det( Do opsu defoac cała uładach spółzędnch atean pzestzenn poadza sę poęce gadentó defoac pzeeszczena. Matean gadente defoac naza sę tenso o aenc da: ). e I (.7) [] M. ec M. Wzu E. eecz: Anaza nenoa tacz płt Potechna Gdańsa 995

3 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 Repezentacą acezoą tego tensoa est (.8) ZaeŜnoścą odotną est pzestzenn gadent defoac e I H (.9) tóego epezentacą acezoą est H. (.) Maceze H zązane są eacą J J δ (.) co pozaa zapsać H. (.) Matean gadent pzeeszczena Y I I I I U Y (.) stosuąc zaps saźno I U I Y (.) Pzestzenn gadent pzeeszczena u e e (.5) zapse saźno u (.6) RóŜnczuąc ónane u zgęde spółzędnch ateanch otzue sę I I I I e Y δ I I (.7)

4 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 gdze I est tensoe etczn o epezentac acezoe ao acez ednostoa oŝe ć opsan detą onecea. RóŜnczoane ónana u zgęde spółzędnch pzestzennch poadz do nu. Ma odształcena I δe e II e I H. (.8) Pzęto poaące sę uład spółzędnch []. MoŜna ted stosoać ednote saźn. Defnue sę adat długośc etoa d óŝncza zupełna -te spółzędne nos ( d ) d d dd δd d (.9) d d (.) po ozpsanu d d d d u d (.) d d d d d d d d Hd (.) adat długośc (d) oŝna pzedstać taŝe ao oczn zaeŝnośc (.) pzez see: (.) ( d ) dd gdze C oaz C H H (.) ZaeŜność (.) est defncą tensoa defoac Cauch ego. adat długośc onfguac zdefooane (d) nos ( d ) d d δd d (.5) d d (.6) d d (.7) [] M. ec M. Wzu E. eecz: Anaza nenoa tacz płt Potechna Gdańsa 995

5 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 (.8) ( d ) d d G u nacze G. (.9) RóŜnca adató (d) (d) est óna: eś poadz oznaczene: (.) ( d ) ( d) δ dd to δ (.) ( d) ( d) d d d d. (.) enso o sładoch pz poadzenu ateanego gadentu defoac pze postać: ( I) ( G I) (.) naza sę tensoe odształceń sończonch agange a Geena. RóŜncę adató oŝna azć óneŝ pzez ząz (.) (.5) oznaczaąc (.) ( d ) ( d) δ d d otzue sę zaeŝność: E δ d d (.5) ( d) ( d) E dd d Ed. (.6) enso E o sładoch E pz poadzenu pzestzennego gadentu defoac opsan est zaeŝnoścą ( I H H) ( I C) E (.7) naza sę tensoe odształceń sończonch Euea Aansego. Odnos on zanę długośc ozpatanego odcna PQ do uładu zązanego z całe. 5

6 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 Z zaeŝnośc u otzue sę óność: a po podstaenu do (.5) otza: u δ (.8) oaz u u δ u u u u δ δ δ δ δ (.9) u u δ δ δ stąd RóŜnczuąc zaeŝność ( U U U U ) (.) u po otzue sę eace u zapsane nacze u δ oaz ( u u u u ) E u δ stąd (.) E ( ) (.) W echance nenoe doonue sę ozładu tensoó odształceń sończonch na część noą nenoą. Sładoe tensoó tozą suę: E η (.) e η (.). Ops stanu napęŝena Ops stanu napęŝena poadzon est onfguac zdefooane cała []. a eeentaną poezchnę da otaczaącą punt P zoentoaną ednosto etoe noane zenętzne n n e dzała eeentana sła ontatoa d f df e to t ( n) f (.5) a est napęŝene Cauch ego punce P( ). Pzez punt P oŝna popoadzć nesończene ee pzeoó na aŝd z nch oeść eeentaną poezchnę da oaz [] M. ec M. Wzu E. eecz: Anaza nenoa tacz płt Potechna Gdańsa 995 6

7 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 oeść eto t (n). Zó szstch pa (t n) defnue stan napęŝena punce P. Wstacz ać tz zaene postopadłe pzeoe a zdefnoać ednoznaczne stan napęŝena punce P. Stan napęŝena punce oŝna zdefnoać pzez poadzene tensoa napęŝena Cauch ego σ. W teo duŝch pzeeszczeń stotn est doó onfguac cała. Stan napęŝena punce oeśan est na neznane onfguac cała po defoac. aeŝ ted odneść stan napęŝena onfguac zdefooane do onfguac początoe tóa est znana. RozaŜa sę poezchnę da onfguac początoe C tóa nu defoac pzechodz da. Jednosto eto stae sę onfguac C etoe n. Wpoadza sę sł ontatoe: Mędz poa da da zachodz ząze ( ) ( n) da t da (.6) gdze J det n da JH da (.7) t ( n) n σ n e (.8) enso napęŝena onfguac początoe C I tenso Po-chhoffa ( ) () t I (.9) () Po podstaenu (.8) (.9) do (.6) ozstanu zaeŝnośc (.7) oŝna oeść ząze ędz I tensoe Po-chhoffa a tensoe Cauch ego I zapsan nacze () JH (.5) t () JH σ (.5) Pesz tenso Po-chhoffa est oete nesetczn z uag na nesetczność pzestzennego gadentu defoac H. MoŜna zdefnoać zaeŝność odotną σ J t (.5) () Pochodna tensoa napęŝena Cauch ego oczana onfguac zdefooane pzue postać RóŜnczoane tensoa J oŝna zapsać onfguac początoe C t () σ (.5) () t oda sę onfguac początoe C. Rónana ónoag () t ρ (.5) 7

8 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 gdze ρ ρ J. W teo duŝch defoac a zastosoane óneŝ II tenso Po-choffa tó est opsan zaeŝnoścą u nacze () JHH (.55) t () JH σ H (.56) II tenso Po-chhoffa stępue ónanu pac tuane zapsaneu onfguac zdefooane tóa est pzenesona do onfguac początoe V () () () σ δε dv t δ dv (.57) () I II tenso Po-chhoffa zązane są zaeŝnoścą V () u nacze () () (.58) t t (.59) () () gdze u δ (.6). Zgnane płt cench.. Anaza geoetczne nenoa Pz duŝch defoacach punt płaszczzn śodoe doznaą pzeeszczeń u oaz v gdze pzeeszczena u v ołane są stane taczo. Pzeeszczeno t odpoadaą napęŝena ónoene ozłoŝone po guośc płt σ σ τ. Sł pzeooe opsuące stan taczo: σ t σ t (.) τ t Maą duŝego pzeeszczena oŝe ć guość płt t. RozaŜa sę uaoane duŝe pzeeszczena. a stan sł płce o duŝch pzeeszczenach sładaą sę M M M oaz. Sł taczoe ogą ć ezutate ocąŝena zenętznego stcznego 8

9 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 pzłoŝonego zdłuŝ eunó os u ne ugęć ęszch nŝ do % guośc płt. Watośc tch sł osną aę naastana ugęć płt []. d d d d d d d d d d dd z Rs.. Po zsuoanu zutu sł na eune os z ( ) ( ) ( ) dd d (.) Po ponęcu atośc Ŝszego zędu otzue sę sładoe ponoe sł taczoch ( ) ( ) oaz ( ). Załada sę Ŝe. Sładoe ponoe sł eanoch dodae sę do pae ston ónana płt ( ) D ( ) ( ) pz (.) Et gdze D est sztnoścą płt D p z est ocąŝene ozłoŝon po poezchn ( ν ) płt na eunu os z. Załada sę Ŝe stnee funca ( ) σ t taa Ŝe σ (.) t [] M. ec M. Wzu E. eecz: Anaza nenoa tacz płt Potechna Gdańsa 995 9

10 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 t τ ted p z D ( ) ( ) ( ) t (.5) W ónanu (.5) są de neadoe: funca ugęca funca napęŝeń. Wozstue sę ząze neozdzenośc odształceń da płaszczzn śodoe płt ε ε ε (.6) do tóego naeŝ podstać sładoe tensoa odształceń agange a. W pzpadu duŝch ugęć płt długość eeentanego odcna poezchn śodoe płaszczźne z nos d d ds (.7) po ugęcu ) ( ) ( d d ds (.8) część nenoa tensoa odształcena płaszczźne z ds ds ds η η (.9) η stąd u η v η (.) v u η

11 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 W płaszczźne śodoe płt odształcena te ołane są to sła taczo ( ) E E ν νσ σ ( ) E E ν νσ σ (.) ( ) ( ) E E ν τ ν Wpoadzene zązó (.) (.) do ónana neozdzenośc odształceń (.6) poadz do zaeŝnośc E (.) ZaeŜnośc (.5) (.) są ónana nenoe teo duŝch ugęć płt zaese spęŝst ateału. Ścsłe ozązana ogóne tch ónań ne stneą. Gd ugęca płt są ałe ónana (.5) (.) ozpzęgaą sę staąc sę nezaeŝn. Ząze (.) pzechodz ónane haonczne tacz a (.5) stae sę asczn ónane płt cene.. Zastosoane etod eeentó sończonch Do anaz nueczne ozstano postoątn eeent poezchno (płtoo- -taczo) o pęcu stopnach sood ęźe. Eeent połoo est złoŝene eeentu taczoego czteoęzłoego o dóch stopnach sood ęźe z eeente płto o tzech stopnach sood ęźe.. Ops postoątnego czteoęzłoego eeentu taczoego Poe pzeeszczeń enątz eeentu oŝe ć aposoane za poocą eoanó: a a a a v a a a a u (.)

12 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 a a ' W zapse acezo Rs.. a. u u. Pa (.) v. a8 Po podstaenu do zązó (.) znanch spółzędnch ęzłó (-tego ęzła ) u a a a a v a5 a6 a7 a8 (.5) zapse acezo Ca (.6) oŝna oczć neznane spółcznn a a C (.7) gdze est etoe stopn sood ęzłó (pzeeszczeń ęzłoch). Stąd u Pa PC (.8) est acezą func ształtu opsuącch poe pzeeszczeń enątz eeentu func pzeeszczeń ęzłó. unce ształtu są postac a a a (.9) a

13 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 Inn podeśce est sfoułoane zopaaetczne gdze funce ształtu są aŝone e spółzędnch znoazoanch oŝna pzedstać pzeeszczena u v oaz zenne. ξ η. Wted za poocą tch sach func ształtu oaz α α ' α ' α α α (.) u v α α ' α ' α u v α α (.) e sae funce ształtu opsuą poe pzeeszczeń enątz eeentu oaz ego geoetę.. Ops postoątnego czteoęzłoego eeentu płtoego η θ z a a ξ p z θ Rs.. aŝd ęzeł posada tz stopne sood α θ α θ ( α ). Weto pzeeszczeń α ęzłoch eeentu a postać { } { θ θ... θ θ } (.) Poe pzeeszczeń oŝna opsać eoane a a a a a5 a6 a7 a 8 a9 a a a (.)

14 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 W zapse acezo a. [ ]. Pa (.). a uzgędnaąc ząz θ oaz podstaaąc do (.) (.5) pzeeszczena ęzłoe atośc a stąd Macez func ształtu ędze nosła θ (.5) a α oŝna znaczć neznane Ca (.6) C (.7) gdze PC [ ] (.8) (.9) gdze ξ ξ ξ ( ξ )( η )( ξ η ξ η ) α aξα ( ξ ) ( ξ )( η ) (.) ηα ( ξ )( ξ ) ( η ) { } η η η α. α α Zgodne z hpotezą chhoffa otzue sę zaeŝnośc u z z v z z (.) Macez noa func ształtu odształceń a postać z z (.) z

15 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a Da duŝch ugęć płt oaz pz uzgędnenu ugęca początoego naeŝ uzgędnć sładoe nenoe η η η η (.) Jeś poe pzeeszczeń początoch opsze sę za poocą tch sach func ształtu tóe opsuą ugęca postałe od dzałaącch ocąŝeń óczas eto nenoch odształceń η ędze ał postać η (.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.5) Macez a taą saą postać a acez. Pz ałch ugęcach płt atośc eeentó acez są poane ałe poónanu z. Poe pzeeszczeń enątz eeentu połooego tó a zastosoane anaze duŝch ugęć płt est opsane pzez zsuoane poa pzeeszczeń eeentu taczoego płtoego z z v u (.6) Macez func ształtu odształceń da eeentu połooego est suą acez func ształtu odształceń tacz płt η η η (.7) (.8) gdze

16 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a (.9) (.) (.).5 Sfoułoane aacne pzostoch ónań ónoag zaese geoetczne neno Rónane pac tuane a postać: V V A t da dv dv t d d σ δ δ δ (.) gdze d ) ( ) ( stąd d δ δ oaz δ δ óczas ónane (.) oŝna zapsać postac V dv p σ (.) V A t dv tda p (.) acez p est etoe sł ęzłoch. W zaese spęŝst pz załoŝenu Ŝe stneą napęŝena początoe σ atość etoa napęŝena nos σ D σ (.5) Jeś zdefnue sę pzost no p dv V σ σ p (.6) oaz σ ta Ŝe D σ σ e p ) ( (.7) óczas otzue sę σ D p dv V p e (.8)

17 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 Macez e p D est acezą stczna stałch spęŝstośc zaese spęŝsto-pastczn ateału. Da ateału zaese noo spęŝst acez e p D pzechodz acez stałch spęŝstośc D. Rónane (.8) stano ogóna pzostoą postać stanu ónoag cała pz załoŝenu fzczne geoetczne nenoośc. Łącząc eeent taczo płto oŝna zapsać [ ]] [ [ [( ) ]] ( ) ( ) ( ) ( ) (.9) (.5) ( ) (.5) Po podstaenu (.9) (.5) (.5) do (.8) otzue sę [ [ ]] D[ [ ]] dv σ [ [( ) ]] dv p V Inacze zapsane ónane (.5) a postać V (.5) p (.5) gdze ( ) ( σ). Macez nos nazę stczne acez sztnośc. [ [ ]] D[ [ ]] ( ) dv (.5) V ( σ) σ [ [( ) ]]dv (.55) V Pz załoŝenu ałch ugęć au ugęć początoch acez stczna pzechodz noą acez sztnośc. Sładn ( ) oŝe ć ponęt gd sładoe eanoe etoa napęŝena są óne zeo. Waune ten zachodz pz ałch ugęcach au napęŝeń taczoch. σ Pzład oczeń Anazoan pzłade est płta cena adatoa z otoe. Anazę nenoą pzepoadzono pz uŝcu pogau etod eeentó sończonch AAQUS. Osza płt podzeono na eeent sończone połooe czteoęzłoe o pęcu stopnach 7

18 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 sood czteech puntach Gaussa. Eeent ten stano połączene eeentu taczoego płtoego opsanch p... Podzał na eeent sończone oaz a płt poazano na s... W poŝu aędz otou zagęszczono satę eeentó sończonch. Pzęto następuące łasnośc ateałoe: oduł Younga E 5 GPa spółcznn Possona ν. oaz guość płt h.. a D C. 5.. A Rs.. Waun zegoe: aędze A-D oaz -C są podpate soodne z oadą pzeeszczeń na eunach (u v ). aędze A- C-D oaz aędze otou są soodne... Płta z otoe poddana ocąŝenu ónoene ozłoŝoneu Płta została poddana ocąŝenu ónoene ozłoŝoneu o ntensnośc q 5/. a s pzedstaono ugęca płt pzeoach zaznaczonch na s.. otzane na dodze anaz geoetczne nenoe oaz odpoadaące ozązane noe asczne teo płt. a s podano pzeeszczena eanoe u v. a s podano pzeeszczena eanoe u v a na s es oentó zgnaącch asane ugęca oaz napęŝena σ σ. sęcaącch postac astc. aea. pzedstaa 8

19 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 Ugę ce a ę dz A- Ugęce Dsta ns [ ] nc nc nc nc 6 n Rs... Ugęce pzeou - Ugęce Dstans [] nc nc nc nc 6 n Rs... Ugęce pzeou - Ugęce Dstans [] nc nc nc nc 6 n Rs... 9

20 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 Ugęce pzeou - Ugęce Dstans [] nc nc nc nc 6 n Rs... Ugęce pzeou - Ugęce Dstans [] nc nc nc nc 6 n Rs...5 Ugęce pzeou 5-5 oz. noe Ugęce neent 6 Rs...6 Odegłość []

21 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 Pzeeszczene v aędz A- Pzeeszczene nc nc nc nc Dstans [] Rs...7 Pzeeszczene 6 5 Pzeeszczene u pzeou Dstans [] nc nc nc nc 6 Rs...8 Pzeeszczene u pzeou - Pzeeszczene Dstans [] nc nc nc nc 6 Rs...9

22 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 Pzeeszczene u pzeou 5-5 neent 6 Pzeeszczene Odegłość [] Rs... aea. Rozązane noe Rozązane nenoe a. zeg. g. s.. Rozązane nenoe u -C v -C D/pa [-] σ [/ 5 ] σ [/ 898 ] Płta z otoe poddana ocąŝenu ozłoŝoneu noo zdłuŝ aędz soodnch a płtę pzłoŝono ocąŝene ozłoŝone ónoene noo zdłuŝ zenętznch aędz o ntensnośc q 5 /. a s pzedstaono ugęca płt pzeoach zaznaczonch na s.. otzane na dodze anaz geoetczne nenoe oaz odpoadaące ozązane noe asczne teo płt. a s podano pzeeszczena eanoe u v a na s es oentó zgnaącch sęcaącch postac astc. aea. pzedstaa asane ugęca oaz napęŝena σ σ.

23 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 Ugęce aędz A- 5 nc Ugęce 5 nc nc nc 6 5 n Dstans [] Rs... Ugęce pzeou - Ugęce nc nc nc nc 6 n Dstans [] Rs... Ugęce pzeou - Ugęce nc nc nc nc 6 n Dstans [] Rs...

24 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 Ugęce pzeou - Ugęce Dstans [] nc nc nc nc 6 n Rs... Ugęce pzou - Ugęce Dstans [] nc nc nc nc 6 n Rs...5 Ugęce pzeou 5-5 Ugęce oz. noe neent 6 Rs...6 Odegłość []

25 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 Pzeeszczene v aędz A- Pzeeszczene Dstans [] nc nc nc nc 6 Rs...7 Pzeeszczene u pzeou - Pzeeszczene Dstans [] nc nc nc nc 6 Rs...8 Pzeeszczene u pzeou - Pzeeszczene nc nc nc nc Dstans [] Rs...9 5

26 M. Guna Metod oczenoe echan nenoe n a. 778 Pzeeszczene u pzeou 5-5 neent. 6 Pzeeszczene Odegłość [] Rs... aea. Rozązane noe Rozązane nenoe a. zeg. g. s.. Rozązane nenoe u -C v -C D/pa [-] σ [/ ] σ [/ 975 ] Da pzętego aunu zegoego postac oad pzeeszczeń u v na ou pzecegłch aędzach ozązane geoetczne nenoe dae nesze atośc ugęć nŝ ozązane noe. Pzczną tego są napęŝena eanoe doczne pz ugęcach płt sch atośc % e guośc. Schodzące sę aędze płt pz otoze są esce oncentac napęŝeń. Masane ugęca otzano pzeou 5-5. Watośc podano taeach... teatua ateał źódłoe [] Roz. M. ec M. Wzu E. eecz : Anaza nenoa tacz płt Potechna Gdańsa 995 [] Roz. W. aańs Z. Węcos: Metod oczenoe echan nenoe-ład da studu dotoancego [] Roz. J. Raos: eoa spęŝstośc pastcznośc-ateał ddatczne Potechn Poznańse 6