Zasada zachowania pędu Fizyka I (B+C) Wykład XIII: Zasada zachowania pędu Zasada zachowania oentu pędu Ruch ciał o ziennej asie
Zasada zachowania pędu Układ izolowany Każde ciało oże w dowolny sposób oddziaływać z innyi eleentai układu. III zasada dynaiki Siły z któryi działaja na siebie ciała i i j: F ij = F ji F 21 1 3 Sua sił działajacych ciało i: F Σ i = j F ji 2 4 Brak oddziaływań ze świate zewnętrzny F 12 Sua sił działajacych na układ: F tot = i = j F Σ i i = i F ij F tot = 0 j F ji = F tot A.F.Żarnecki Wykład XIII 1
Zasada zachowania pędu II zasada dynaiki Pęd układu 1 d p i = F Σ i 3 dp 3 Prawo ruchu układu: F tot = i F Σ i = d = i i p i d p i dp 1 F tot = 0 i p i = dp 4 4 2 dp 2 Dla dowolnego układu izolowanego, sua pędów wszystkich eleentów układu pozostaje stała. izolowany układ inercjalny A.F.Żarnecki Wykład XIII 2
Zasada zachowania pędu Oddziaływanie dwóch ciał M M 1 2 M 1 < M 2 Układ rozpada się pod wpływe sił wewnętrznych. Jeśli na poczatku wszystkie obiekty spoczywaja i p i = 0 to i po rozpadzie sua pędów usi być równa 0. Dwa ciała: (v i c) V 1 V 2 1 v 1 + 2 v 2 = 0 v 2 = 1 2 v 1 v 2 v 1 = 1 2 A.F.Żarnecki Wykład XIII 3
Zasada zachowania pędu Oddziaływanie dwóch ciał Zderzenie całkowicie niesprężyste (po zderzeniu ciała trwale złaczone) M 2 M 1 Pęd poczatkowy: p i = 1 v 1 Pęd końcowy: p f = ( 1 + 2 ) v 2 V=0 V 1 Zasada zachowania pędu: M 2 M 1 p i = p f v 2 = 1 v 1 1 + 2 V 2 A.F.Żarnecki Wykład XIII 4
Zasada zachowania oentu pędu Siły centralne Jeśli układ ciał (lub pojedyńcze ciało) działa jakaś siła zewnętrzna F tot 0 to pęd układu usi się zieniać: p i const. Siły które działaja na układ często sa siłai centralnyi - działaja w kierunku ustalonego źródła siły. Jeśli położenie źródła przyjiey za środek układu F tot = F (r,...) i r Przykład: siła grawitacyjna F (r) = G 1 2 r 2 siła kulobowska F (r) = Q 1Q 2 4πɛ r 2 siła spężysta F (r) = k r Czy ożna coś uratować z zasady zachowania pędu?... A.F.Żarnecki Wykład XIII 5
Zasada zachowania oentu pędu Moent pędu Zdefiniujy dla punktu aterialnego: L = r p oent pędu względe O zależy od wyboru poczatku układu Dla v c L = r v L = r v sin θ A.F.Żarnecki Wykład XIII 6
Moent pędu Zasada zachowania oentu pędu Ruch po płaszczyźnie: L = r ( v r + v θ ) L = r v θ L = r 2 dθ = r2 ω Przypadek szczególny: ruch po okręgu - r=const Moent bezwładności I = r 2 oent pędu ożey przedstawić w ogólnej postaci L = I ω A.F.Żarnecki Wykład XIII 7
Zasada zachowania oentu pędu Moent siły M = r F oent siły względe O Równanie ruchu d L = = d r d( r p) p + r d p = v p + r F = 0 + M M = 0 L = A.F.Żarnecki Wykład XIII 8
Zasada zachowania oentu pędu Czastka swobodna Siła centralna Moent siły: (względe źródła) M = r F = r i r F (r,...) = 0 Moent pędu względe dowolnego punktu 0 pozostaje stały: L = v r sin θ = v b = L = const Moent pędu, liczony względe źródła siły centralnej pozostaje stały. b - paraetr zderzenia odległość najniejszego zbliżenia do O A.F.Żarnecki Wykład XIII 9
Zasada zachowania oentu pędu Prędkość polowa II prawo Keplera Pole jakie wektor wodzacy punktu zakreśla w jednostce czasu: ds ds = 1 2 r v = L 2 = W ruchu pod działanie sił centralnych prędkość polowa jest stała. ds OAB = 1 2 r rdθ = 1 2 r dr = 1 2 r v A.F.Żarnecki Wykład XIII 10
Ruch ciał o ziennej asie Rozważy ruch ciała o ziennej asie. W ogólny przypadku: = ( r, v, t) d w v+dv Z zasady zachowania pędu: Od ciała o asie d poruszajacego się z prędkościa v odłacza się eleent d > 0 poruszajacy się z prędkościa w (d < 0 bo asa ciała aleje) ( d) v = ( v + d v) d w d p = d v = ( d) v v + d w = d ( w v) d v odrz Siła odrzutu (siła ciagu rakiety): F odrz = d p = d v odrz d < 0 A.F.Żarnecki Wykład XIII 11
Ruch ciał o ziennej asie Równanie ruchu Ruch ciała pod wpływe siły odrzutu: d p = d v Zaniedbujac wpływ sił zewnętrznych (np. pola grawitacyjnego): d v d v d d = d v odrz = d v odrz d v d = v odrz = F zewn + d v odrz Całkujac stronai: v k v d v v odrz = k d v k = v + v odrz ln wzór Ciołkowskiego ( ) k A.F.Żarnecki Wykład XIII 12
Ruch ciał o ziennej asie Rakieta jednostopniowa Rakieta o asie R a wynieść satelitę o asie S, zużywajac paliwo o asie P : v odrz P R S Aby uzyskać II prędkość kosiczna v k 11 k/s (np. lot na Księżyc) przy silniku rakietowy o v = 3 k/s Możliwa do uzyskania prędkość końcowa: v k = ( S + v odrz ln R + P S + R v odrz ln(1 + f) f = P s R R stosunek asy paliwa do asy rakiety ) f = exp ( ) vk v 1 38 Teoretycznie ożliwe, praktycznie niewykonalne (?)... i nieopłacalne!... A.F.Żarnecki Wykład XIII 13
Rakieta dwustopniowa Ruch ciał o ziennej asie Rakietę dzieliy na dwa człony o asach R i R, w których znajduje się paliwo o asie P i P : Prędkość końcowa: v k = v odrz [ ln v odrz ( S + R + P R S + R + P P ) " R " P S + ln ( S + R + P S + R W przybliżeniu S R R : v k v odrz 2 ln(1 + f) Aby uzyskać II prędkość kosiczna v k 11 k/s przy o v = 3 k/s: ( vk R + R = R P + P = P f = exp 1 5.3 2 v Dla f 10 (dla obu członów) ożna wystrzelić w kosos S 0.6% ( R + P ) przy optyalny wyborze R 7% R A.F.Żarnecki Wykład XIII 14 ) )]
Ruch ciał o ziennej asie Rakieta wielostopniowa Rakieta składa się z wielu członów. W każdy z nich stosunek asy paliwa do obudowy wynosi f v odrz W granicy wielu bardzo ałych członów: d v = d v odrz f f + 1 Aby uzyskać II prędkość kosiczna dla S 100 kg przy rakiecie o f = 10: R = S 1 + f [ exp R 500 kg ( vk (1 + f) v f P 5000 kg ) 1 ] Co sprowadza się do: v k = v odrz f f + 1 ln ( 1 + R S (1 + f) Przy rakiecie jednoczłonowej, przy tych saych ) S i R potrzebaby 228 000 kg paliwa!!! Dla rakiety dwuczłonowej: R 1600 kg, P 16 000 kg A.F.Żarnecki Wykład XIII 15