Grawitacja. Fizyka I (Mechanika) Wykład XI:

Transkrypt

1 Grawitacja Fizyka I (Mechanika) Wykład XI: Prawo powszechnego ciażenia Ruch w polu siły centralnej Prawa Kepplera Pole odpychajace Doświadczenie Rutherforda Masa zredukowana

2 Prawo powszechnego ciażenia Prawo powszechnego ciażenia Newtona (1687): m F r F M F = G m M r 2 Opisuje zarówno spadanie jabłka z drzewa jak i ruchy Księżyca i planet. Grawitacja jest opisywana przez jeden parametr, stała Newtona: G Nm 2 kg 2 W warunkach laboratoryjnych potwierdzona przez doświadczenie Cavendisha (1798), w którym zmierzył oddziaływanie kul ołowianych masach m = 0.73 kg i M = 158 kg. A.F.Żarnecki Wykład XI 1

3 Prawo powszechnego ciażenia Prawo powszechnego ciażenia sformułowane zostało dla mas punktowych. Ale stosuje się także dla ddziaływań ciał sferycznie symetrycznych F = G m M r 2 m F F M r Siła ciażenia dla ciała przy powierzchni Ziemi: F = G m M Z R 2 Z g m g = G M Z R 2 Z A.F.Żarnecki Wykład XI 2

4 Ruch satelity Satelita na orbicie kołowej o promieniu R. Siła grawitacji R Z F V F = G m M Z R 2 jest siła dośrodkowa, konieczna do utrzymania satelity na orbicie: G m M Z R 2 = m V 2 R R V = G MZ Pierwsza prędkość kosmiczna (R = R Z ): R V 1 = 7.91 km/s prędkość pozioma konieczna do oderwania od Ziemi (zaniedbujac jej ruch wirowy) A.F.Żarnecki Wykład XI 3

5 Ruch satelity Okres obiegu dookoła Ziemi: R Z F V T = 2πR V Podstawiajac wyrażenie na prędkość: T = 2πR R = 2πR3/2 G M Z G MZ R Im wyższa orbita tym dłuższy okres obiegu... Odwracajac ta zależność: R = 3 G M Z T 2 4π 2 = 3 g RZ 2 T2 4π 2 Dla okresu obiegu równego okresowi obrotu Ziemi (23 h 56 m 4.09 s ): R = km Ø Ð Ø Ó Ø ÓÒ ÖÒÝ A.F.Żarnecki Wykład XI 4

6 Prawo powszechnego ciażenia Siła grawitacji (jak każda siła centralna) jest zachowawcza: W AB = B A F( r) d r = r B r A F(r) dr = E p E p = r B r A G M m r 2 dr = [ G M m r Energia potencjalna masy m w polu grawitacyjnym masy M: E p (r) = G M m r określona z dokladnościa do stałej. + C Zwyczajowo przyjmuje się C = 0, co jest równoważne ustaleniu E p ( ) = 0 ] rb r A A.F.Żarnecki Wykład XI 5

7 Siła centralna Rozważmy przypadek ogólny ruchu punktu materialnego o masie m w polu centralnej siły zachowawczej F = F(r) i r zasada zachowania energii: E = mv2 2 + E p (r) = const zasada zachowania momentu pędu: L = m r v = const Zachowanie momentu pędu ruch płaski (w płaszczyźnie r i v) v = i r dr dt + i θ r dθ dt v 2 = L = m r 2 ω v 2 = Wstawiajac do wyrażenia na energię kinetyczna ( ) dr 2 + r 2 ω 2 dt ( dr dt ) 2 + ( ) L 2 mr E = E k + E p = m ( ) dr 2 + L2 2 dt 2 m r 2 + E p(r) = m ( ) dr 2 + Ep eff (r) 2 dt równanie różniczkowe dla składowej radialnej problem jednowymiarowy A.F.Żarnecki Wykład XI 6

8 Ò Ö Ó ÖÓ ÓÛ Siła centralna Energia efektywna Efektywna energia potencjalna w polu siły centralnej: E eff p (r) = L 2 2 m r 2 + E p(r) Jeśli L 0 to zasada zachowania momentu pędu przeciwstawia się zbliżeniu ciała do źródła siły (r = 0). bariera centryfugalna energia odśrodkowa siła odśrodkowa F o = d dr ( L 2 2 m r 2 ) = L2 m r 3 = m r ω2 = m r ( dθ dt ) 2 A.F.Żarnecki Wykład XI 7

9 Siła centralna Ruch radialny Jednowymiarowe zagadnienie ruchu radialnego: dr = dt t = 2 r m ( E E eff p (r)) dr ( r 2 eff E E p (r ) ) m E eff p (r) = L2 2 m r 2 + E p(r) Ruch może się odbywać tylko w obszarze E E eff p (r) 0 dla L 0 istnieje ograniczenie na odległość najmiejszego zbliżenia: r r min teoretycznie można wymyśleć siłę centralna silniejsza od siły odśrodkowej jeśli E < E eff p ( ) to ciało nie może dowolnie oddalić się od centrum siły: r r max ruch w ograniczonym obszarze A.F.Żarnecki Wykład XI 8

10 Ruch katowy Siła centralna Zachowany moment pędu: L = m r 2 ω ω = dθ dt θ θ = = L m r 2 t 0 L m r 2 dt Możemy wyprowadzić równanie na tor ciała porównujac zależności od czasu: dt = 2 m dr ( eff E E p (r) ) = θ θ = m r 2 L dθ m r 2 2 m L dr ( eff E E p (r) ) równanie toru we współrzędnych biegunowych A.F.Żarnecki Wykład XI 9

11 Ruch katowy Siła centralna Zmiana kata biegunowego przy przejściu ciała od r min do r max θ = r max r min m r 2 2 m L dr ( eff E E p (r) ) Θ Tor będzie krzywa zamknięta, jeśli θ = 2π m n m, n - liczby całkowite Warunek ten spełniony jest tylko dla dwóch pól: (niezależnie od warunków poczatkowych) E p (r) 1 r - siła grawitacyjna, siła kulombowska ( θ = π) E p (r) r 2 - siły sprężystości ( θ = π 2 ) A.F.Żarnecki Wykład XI 10

12 Ruch w polu grawitacyjnym energia efektywna E (r) p Pole grawitacyjne Ogólne wyrażenie na energię potencjalna: eff ods. Ε 1 E p (r) = k r k > 0 siła przyciagaj aca wybieramy E p ( ) = 0 r graw. Ε 2 Ε 3 Charakter ruch zależy od energii całkowitej: E 1 > 0 - tor otwarty E 2 < 0 - tor zamknięty E 3 = E min - ruch po okręgu A.F.Żarnecki Wykład XI 11

13 Ruch w polu grawitacyjnym Model Dwuwymiarowy ruch ciała po zakrzywionej powierzchni. Profil wysokości odpowiada energii potencjalnej pola: h(x, y) E p (r) A.F.Żarnecki Wykład XI 12

14 Ruch w polu grawitacyjnym Równanie toru Rozwiazujemy: θ θ = = m r 2 2 m d ( 1 r ) L dr ( eff E E p (r) ) = 2mE L 2 + 2mk L 2 ( 1r ) ( 1r ) 2 = 2m L 2 Gdzie wprowadziliśmy parametry: p = mk L2 oraz ε = 1 + 2EL2 mk 2 Otrzymaliśmy całkę postaci: dr r 2 ( E + k r ) d ( 1 r 1 p ε 2 p 2 ( 1 r 1 p ) L2 2mr 2 dx = arccos(x) = r = p 1 x ε cos(θ θ ) ) 2 A.F.Żarnecki Wykład XI 13

15 Równanie toru Otrzymaliśmy równanie krzywej stożkowej (we współrzędnych biegunowych) r(θ) = ε - mimośród orbity ε = 1 + 2EL2 mk 2 Ruch w polu grawitacyjnym p 1 + ε cos(θ θ ) p = L2 mk ε = 0 - ruch po okręgu o promieniu p ε < 1 - ruch po elipsie E < 0 ε = 1 - ruch po paraboli E = 0 ε > 1 - ruch po hiperboli E > 0 Osie elipsy: 2a = 2p 1 ε 2 = k 2 E - zależy tylko od energii 2b = 2p 1 ε 2 = L 2m E - zależy także od momentu pędu A.F.Żarnecki Wykład XI 14

16 Ruch w polu grawitacyjnym Ruch po okręgu E (r) p Przypadek szczególny: ε = 0 r r E = E min = m k2 2 L 2 minimalna energia całkowita przy ustalonym L Ε 3 y x Inny przypadek szczególny: Dla L = 0 mamy ruch po odcinku o długości 2a = k 2 E ;b = 0 A.F.Żarnecki Wykład XI 15

17 Ruch w polu grawitacyjnym Ruch po elipsie Warunek: E min < E < 0 E (r) p r min rmax Ε 2 r Ruch ograniczony do: r min < r < r max Ep eff (r min ) = Ep eff (r max ) = E Źródło siły znajduje się w jednym z ognisk elipsy. Długa półoś zależy wyłacznie od energii; spłaszczenie zależy od momentu pędu y x A.F.Żarnecki Wykład XI 16

18 Ruch w polu grawitacyjnym Prawa Keplera I. Każda planeta kraży po elipsie ze Słońcem w jednym z jej ognisk II. Promień wodzacy każdej planety zakreśla równe pola w równych czasach III. Kwadrat okresu obiegu każdej planety wokół Słońca jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej elipsy Okres obiegu możemy wyznaczyć z prędkości polowej Podnoszac do kwadratu T = ( S ) ds = π a b L dt 2m = πk T 2 = π2 k 2 m 2 E 3 = 4π2 m k ds dt = L 2m, 2a = k 2 E, 2b = m 2 E 3 a 3 L 2m E A.F.Żarnecki Wykład XI 17

19 Ruch w polu grawitacyjnym Ruch po paraboli E (r) p Przypadek szczególny: E = 0 y r min Ε 1 r Ruch jest nieskończony, ciało nie jest zwiazane przez centrum siły. Jednak oddalajac sie do nieskończoności ciało będzie poruszać się coraz wolniej. Asymptotycznie zatrzyma się. x A.F.Żarnecki Wykład XI 18

20 Ruch w polu grawitacyjnym Ruch po hiperboli E (r) p Dla E > 0 Ε 1 Ruch jest nieskończony. r min r Asymptpotycznie prędkość ciała daży do v = 2E m > 0 y x orbity komet nieperiodycznych Im mniejsze L tym mniejsza odległość zbliżenia r min A.F.Żarnecki Wykład XI 19

21 Ruch w polu grawitacyjnym Rodzaje orbit Kształt orbity zależy od energii całkowitej E i momentu pędu ciała L ε = 1 + 2EL2 mk 2 E = 0 E < 0 E > 0 Orbity o tej samej wartości L, lecz o różnych wartościach E A.F.Żarnecki Wykład XI 20

22 Ruch satelity Jak powinien się zachować kosmonauta w rakiecie na orbicie kołowej, jeśli chce zbliżyć się do powierzchni Ziemi? B V Odpalenie silników w kierunku Ziemi daje efekt przeciwny do zamierzonego! L = const, E rośnie Średnia odległość od Ziemi rośnie! F E (r) p ods. A eff r B A graw. A.F.Żarnecki Wykład XI 21

23 Ruch satelity Lepszym sposobem na przejście na niższa orbitę jest właczenie silników hamujacych L maleje, E maleje Średnia odległość od Ziemi maleje B E (r) p V F B A r C C graw. A Powtórne hamowanie po połowie obiegu umożliwia przejście na niższa orbitę kołowa. A.F.Żarnecki Wykład XI 22

24 Ruch w polu sił Potencjał odpychajacy E p (r) = + k r k > 0 A.F.Żarnecki Wykład XI 23

25 Ruch w polu sił Potencjał odpychajac E (r) p eff Ε Uzyskane rozwiazanie pozostaje słuszne, z dokładnościa do zmiany znaku k zmiana znaku p ods. graw. r(θ) = p ε cos(θ θ ) 1 r min r Jak porzednio ε = 1 + 2EL2 mk 2 y Teraz jednak zawsze E > 0 x Im większe ε, tym większy kat rozwarcia hiperboli A.F.Żarnecki Wykład XI 24

26 Doświadczenie Rutherforda Model Thomson Po odkryciu elektronu (1897), J.J.Thomson zaproponował model atomu w postaci ciastka z rodzynkami. Cała objętość atomu była jednorodnie naładowana dodatnio ( ciastko ), a wewnatrz pływały elektrony ( rodzynki ). α Ponieważ ładunek był rozłożony równomiernie w dużej objętości, nie powinien silnie zakłócać ruchu przechodzacy czastek α. Oczekujemy jedynie niewielkich odchyleń toru... E Wpływ elektronów można zaniedbać ze względu na mała masę. R A.F.Żarnecki Wykład XI 25

27 Doświadczenie Rutherforda W modelu Thomsona można było oszacować maksymalny kat rozproszenia czastki α i był on mały θ max π. Doświadczenie Rutherforda Rozpraszanie czastek α na cienkiej złotej folii Odpowiada to sytuacji rozproszenia pocisku na dużo lżejszej tarczy. Masa przypadajaca na jednostkę rozmytego ładunku atomu wynosiła ok. 8 1 masy czastki α. Obserwowano błyski wywoływane przez padajace czastki na ekranie scyntylacyjnym A.F.Żarnecki Wykład XI 26

28 Doświadczenie Rutherforda Pokaz Przed wsunięciem tarczy czastki α obserwujemy tylko dla Θ 0. Wiazka czastek ze źródła jest dobrze skolimowana. zrodlo α Au Oddziaływanie z strumień czastek tarcza lecacych zmniejsza do przodu (Θ 0) detektor Θ Rozproszone czastki α obserwujemy w szerokim zakresie katów rozproszenia, także dla θ π 2 A.F.Żarnecki Wykład XI 27

29 Doświadczenie Rutherforda Wyniki pomiarów Przeprowadzonych przez H.Geigera i E.Marsdena (1911): Oczekiwane Uzyskane A.F.Żarnecki Wykład XI 28

30 Doświadczenie Rutherforda Wyniki pomiarów Przeprowadzonych przez H.Geigera i E.Marsdena: Zliczenia 4 10 Zaobserwowano rozproszenia czastek α pod bardzo dużymi katami, θ θth max, czego nie można było wyjaśnić w modelu Thomsona To było tak jakbyście wystrzelili piętnastocalowy pocisk w kierunku kawałka bibułki, a on odbił się i was uderzył º ÊÙØ Ö ÓÖ Θ [ ] A.F.Żarnecki Wykład XI 29

31 Doświadczenie Rutherforda Model Rutherforda α E Rutherford zaproponował jadrowy model atomu. Cały dodatni ładunek atomu (10 10 m) skupiony jest w praktycznie punktowym (10 14 m) jadrze Przechodzaca czastka zawsze czuje cały ładunek dodatni katy rozproszenia sa dużo większe. R A.F.Żarnecki Wykład XI 30

32 Doświadczenie Rutherforda Model Rutherforda Ponieważ czastka α rozprasza się na jadrze jako całości, a masa jadra M Au M α brak ograniczeń na kat rozproszenia czastki α możliwe nawet (choć mało prawdopodobne) rozproszenie o θ > π/2. Rozkład katowy Obserwowany rozkład katowy rozproszonych czastek α proporcjonalna do tzw. rózniczkowego przekroju czynnego dσ dω N(θ) dσ dω = Z 2 α 2 4E 2 sin 4 2 θ Wzór Rutherforda Skończone prawdopodobieństwo rozproszenia θ = π! Θ [ ] A.F.Żarnecki Wykład XI 31

33 Ruch względny Oddziaływanie dwóch ciał Dotychczasowe rozważania prowadziliśmy przyjmujac, że centrum siły jest nieruchome. Odpowiada to założeniu, że M Slonca M Ziemi ÐÙ M Ziemi M Satelity Układ izolowany + III zasada dynamiki m 1 a 1 = m 2 a 2 Względne położenie (np. ciała 2 względem 1): v 1 r 12 = r 2 r 1 F 12 F 21 v 2 Srodek masy Względna prędkość: v 12 = v 2 v 1 = d r 12 dt Przyspieszenie względne: a 12 = d v 12 dt = a 2 a 1 = a 2 + m 2 m 1 a 2 A.F.Żarnecki Wykład XI 32

34 Masa zredukowana Przyspieszenie w ruchu względnym: Oddziaływanie dwóch ciał a 12 = m 1 + m 2 m 1 a 2 = m 1 + m 2 m 1 F 12 m 2 Możemy sprowadzić równania ruchu do postaci: µ a 12 = µ d2 r 12 dt 2 = F 12 ( r12 ) gdzie µ = m 1 m 2 - masa zredukowana ( 1 m 1 + m 2 µ = ) m 1 m 2 Problem względnego ruchu dwóch oddziałujacych ciał możemy sprowadzić do problemu ruchu jednego ciała o masie µ w polu siły F 12 ( r 12 ) Ścisłe w przypadku klasycznym (nierelatywistycznym) dla układu izolowanego. Prawa Kepplera pozostaja słuszne także gdy nie zaniedbujemy masy planety/satelity! A.F.Żarnecki Wykład XI 33

35 Oddziaływanie dwóch ciał Przykład Układ Ziemia-Księżyc m K : m Z 1 : 81 µ m K Ziemia i Księżyc kraż a wokół wspólnego środka masy, który znajduje się ok km od środka Ziemi. mk Częstość obiegu jest raza większa niż gdyby Ziemia była nieruchoma (0.6%) µ przy danych masach i odległości Ziemia-Księżyc : µ ω 2 r 12 = F(r 12 ) Ruch Ziemi dookoła Słońca: m Z : m S 1 : A.F.Żarnecki Wykład XI 34

36 Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego