Zasady zachowania. Fizyka I (Mechanika) Wykład V: Zasada zachowania pędu

Transkrypt

1 Zasady zachowania Wykład V: Zasada zachowania pędu izyka I (Mechanika) Ruch ciał o zmiennej masie Praca, moc, energia kinetyczna Siły zachowawcze i energia potencjalna Zasada zachowania energii

2 Przypomnienie II zasada dynamiki Druga zasada dynamiki Newtona w postaci klasycznej = m a Zależność słuszna dla ciał których masa jest stała, m = const Możemy to wykorzystać i przekształcić zależność do postaci: = m d v dt m=const = d(m v) dt = d p dt gdzie p = m v - pęd czastki = d p dt p = dt = I ¹ ÔÓÔ Ý t A..Żarnecki Wykład V 1

3 Zasada zachowania pędu Układ izolowany Każde ciało może w dowolny sposób oddziaływać z innymi elementami układu. III zasada dynamiki Siły z którymi działaja na siebie ciała i i j: ij = ji Suma sił działajacych ciało i: Σ i = j ji 2 4 Brak oddziaływań ze światem zewnętrznym 12 Suma sił działajacych na układ: tot = i = j Σ i i tot = 0 = i j ji ij = tot A..Żarnecki Wykład V 2

4 Zasada zachowania pędu II zasada dynamiki Pęd układu dp 1 1 d p i dt = Σ i 3 dp 3 Prawo ruchu układu: tot tot = 0 = i Σ i = d dt i = i i p i p i = ÓÒ Ø d p i dt dp dp 2 Dla dowolnego układu izolowanego, suma pędów wszystkich elementów układu pozostaje stała. izolowany układ inercjalny A..Żarnecki Wykład V 3

5 Zasada zachowania pędu Oddziaływanie dwóch ciał M 1 M 2 M 1 < M 2 Układ rozpada się pod wpływem sił wewnętrznych. Jeśli na poczatku wszystkie obiekty spoczywaja i p i = 0 to i po rozpadzie suma pędów musi być równa 0. Dwa ciała: (v i c) V 1 V 2 m 1 v 1 + m 2 v 2 = 0 v 2 = m 1 m 2 v 1 v 2 v 1 = m 1 m 2 A..Żarnecki Wykład V 4

6 Zasada zachowania pędu Oddziaływanie dwóch ciał a r g m M a α Równia rusza się bez tarcia po poziomym stole. Na równi kładziemy klocek, który może zsuwać się bez tarcia. Jak znaleźć przyspieszenia, z którymi będzie poruszał się klocek i równia? Jeśli masa klocka nie jest zaniedbywalna w porównniu z masa równi to równia będzie uciekać spod zsuwajacego się klocka. Wynika to z zasady zachowania pędu! Siły zewnętrzne (siła ciężkości i reakcji stołu) maja kierunek pionowy moga zmieniać tylko składowa pionowa pędu układu równia-klocek. Składowa pozioma pędu musi być zachowana! A..Żarnecki Wykład V 5

7 Zasada zachowania pędu Oddziaływanie dwóch ciał a r m R r M R a a x y a y x Na układ działaja siły zewnętrzne: siły ciężkości Q i Q r oraz siła reakcji stołu R r N Q r α Siła wypadkowa działa wzdłuż kierunku pionu (prostopadle do powierzchni stołu). Q Składowa pozioma pędu układu równia-klocek musi być zachowana. Uwzględniajac, że prędkość i przyspieszenie równi sa skierowane przeciwnie do osi X: mv r + MV x = const ma r = Ma x Kierunek przyspieszenia klocka nie jest równoległy do powierzchni równi! A..Żarnecki Wykład V 6

8 Zasada zachowania pędu Oddziaływanie dwóch ciał M R a r b α a Zagadnienie daje się łatwiej rozwiazać, gdy przejdziemy do układu nieinercjalnego zwiazanego z równia. W układzie tym na klocek działa dodatkowo siła bezwładności b = a r M Przyspieszenie klocka (wzdłuż równi!): Q a = g sin α + a r cos α Możemy teraz wyznaczyć składowa X tego przyspieszenia w układzie stołu, i porównać z wrtościa oczekiwana z zasady zachowania pędu: a x = a cos α a r = g sin αcos α a r sin 2 α M sin αcos α a r = g Ma x = ma r m + M sin 2 α A..Żarnecki Wykład V 7

9 Zasada zachowania pędu Zderzenia nieelastyczne M 2 M 1 V =0 2 M 2 M 1 V 1 Zderzeniem całkowicie niesprężystym (całkowicie nieelastycznym) nazywamy zderzenie, w wyniku którego ciała pozostaja trwale złaczone (lub nie poruszaja się względem siebie) Gdy jedno z ciał spoczywa Pęd poczatkowy: p i = m 1 v 1 Pęd końcowy: p f = (m 1 + m 2 ) v 2 V 2 Zasada zachowania pędu: p i = p f m v 2 = 1 v 1 m 1 + m 2 A..Żarnecki Wykład V 8

10 Ruch ciał o zmiennej masie II zasada dynamiki w postaci = d p dt może być w szczególności wykorzystana do opisu ruchu ciała o zmiennej masie. W ogólnym przypadku: m = m( r, v, t) Rakieta Silnik rakietowy napędza rakietę na zasadzie odrzutu. Jej masa maleje. Rozważmy pracę silnika rakiety z punktu widzenia zasady zachowania pędu. w dm m v+dv W przedziale czasy dt masa rakiety maleje z m do m + dm (dm < 0 bo masa maleje) Od ciała o masie m dm poruszajacego się z prędkościa v odłacza się element dm > 0 poruszajacy się z prędkościa w A..Żarnecki Wykład V 9

11 Ruch ciał o zmiennej masie W wyniku odrzuty rakieta zmienia swoja prędkość o d v w dm m v+dv Z zasady zachowania pędu: (m dm) v = m ( v + d v) dm w d p = m d v = (m dm) v m v + dm w = dm ( w v) dm v odrz Siła odrzutu (siła ciagu rakiety): odrz = d p dt = dm dt v odrz dm dt < 0 A..Żarnecki Wykład V 10

12 Ruch ciał o zmiennej masie Równanie ruchu Ruch ciała pod wpływem siły odrzutu: d p dt = m d v dt Zaniedbujac wpływ sił zewnętrznych (np. pola grawitacyjnego): m d v dt m d v dm dm dt = dm dt v odrz = dm dt v odrz m d v dm = v odrz = zewn + dm dt v odrz Całkujac stronami: v k v d v v odrz = m k dm m m v k = v + v odrz ln wzór Ciołkowskiego ( ) mk m A..Żarnecki Wykład V 11

13 Ruch ciał o zmiennej masie Rakieta jednostopniowa Rakieta o masie m R ma wynieść satelitę o masie m S, zużywajac paliwo o masie m P : v odrz m m P R m S Aby uzyskać II prędkość kosmiczna v k 11 km/s (np. lot na Księżyc) przy silniku rakietowym o v = 3km/s Możliwa do uzyskania prędkość końcowa: ( ms + m v k = v odrz ln R + m P m S + m R v odrz ln(1 + f) f = m Þ P m s m R m R stosunek masy paliwa do masy rakiety ) f = exp ( ) vk v 1 38 Teoretycznie możliwe, praktycznie niewykonalne (?)... i nieopłacalne!... A..Żarnecki Wykład V 12

14 Rakieta dwustopniowa Ruch ciał o zmiennej masie Rakietę dzielimy na dwa człony o masach m R i m R, w których znajduje się paliwo o masie m P i m P : Prędkość końcowa: v k = v odrz [ ln v odrz m m ( ms + m R + m P R m S + m R + m P P ) m m " R " P m S + ln ( ms + m R + m P m S + m R W przybliżeniu m S m R m R : v k v odrz 2 ln(1 + f) Aby uzyskać II prędkość kosmiczna v k 11 km/s przy o v = 3 km/s: ( vk m R + m R = m R m P + m P = m P f = exp v Dla f 10 (dla obu członów) można wystrzelić w kosmos m S 0.6% (m R + m P ) przy optymalnym wyborze m R 7% m R A..Żarnecki Wykład V 13 ) )]

15 Ruch ciał o zmiennej masie Rakieta wielostopniowa Rakieta składa się z wielu członów. W każdym z nich stosunek masy paliwa do obudowy wynosi f v odrz W granicy wielu bardzo małych członów: m d v = dm v odrz f f + 1 Aby uzyskać II prędkość kosmiczna dla m S 100 kg przy rakiecie o f = 10: m R = m S 1 + f [ exp m R 500 kg ( vk (1 + f) v f m P 5000 kg ) 1 ] Co sprowadza się do: v k = v odrz f f + 1 ln ( 1 + m R m S (1 + f) Przy rakiecie jednoczłonowej, przy tych samych m ) S i m R potrzebaby kg paliwa!!! Dla rakiety dwuczłonowej: m R 1600 kg, m P kg A..Żarnecki Wykład V 14

16 Praca i energia Praca Najprostszy przypadek: P Stała siła działa na ciało P powodujac jego przesunięcie wzdłuż kierunku działania siły o s. Praca jaka wykona przy tym siła A s B W AB = s A P n s Θ B W przypadku siły działajacej pod katem w stosunku do przesunięcia praca jaka wykonuje W AB = s cos θ = s t Składowa prostopadła nie wykonuja pracy! Liczy się tylko równoległa składowa siły... A..Żarnecki Wykład V 15

17 Praca i energia dr P Θ n dr dr dr dr dr 1 2 t Praca Dowolna siła działa na punkt materialny P Praca jaka wykonuje siła przy przesunięciu o d r dw = d r = cos θds = t ds Aby policzyć pracę siły dla dowolnej drogi, musimy posumować wkłady od kolejnych małych przesunięć całkowanie. Praca siły ( r) na drodze między A i B W AB = B A ( r) d r Siły prostopadłe do przesunięcia nie wykonuja pracy! siła Lorenza, siła Coriolisa, siły reakcji więzów... A..Żarnecki Wykład V 16

18 Praca i energia Praca s Przykład: Rozciagnięcie sprężyny wymaga wykonania pracy przeciwko sile sprężystości: (x) = kx (x) Wykonana praca: W W = s 0 (x) dx s x = s 0 kx dx = [ ] 1 s 2 kx2 0 = 1 2 ks2 A..Żarnecki Wykład V 17

19 l 1 B Praca i energia Praca W ogólnym przypadku praca W AB jaka wykonujemy podczas ruchu punktu z A do B może zależeć od: A l 2 przebytej drogi l np. praca sił tarcia będzie proporcjonalna do l dw = ds l 1 l B 2 toru ruchu np. jeśli siły oporu zależa od wyboru toru prędkości siły oporu w ośrodku zależa od prędkości A czasu jeśli działajace siły zależa od czasu ds s A..Żarnecki Wykład V 18

20 Praca i energia Energia kinetyczna Przyjmijmy, że siła jest siła wypadkowa działajac a na ciało P. Zmiana prędkości w ruchu jednostajnie przyspieszonym: P v B v A = m t A s B = m s v = m 2s v A + v B Gdzie skorzystaliśmy z wyrażenia na prędkość średnia: v = v A+v B 2 Otrzymujemy: v 2 B v2 A = (v B v A )(v B + v A ) = 2 m s = 2 m W AB W AB = mv2 B 2 mv2 A 2 = E B k EA k = E k Pracę możemy wyrazić poprzez zmianę energii kinetycznej ciała E k = mv2 2 A..Żarnecki Wykład V 19

21 Praca i energia Energia kinetyczna Praca jaka wykonuje siła przy przesunięciu P o ds dv dt ds = dv ds dt dw = t ds = m a t ds = m dv dt ds = m ds dv = m v dv dt Praca siły ( r) na drodze między A i B W AB = B A t (s) ds = B A mv dv = mv2 B 2 mv2 A 2 = E B k EA k = E k Niezależnie od postaci siły i drogi praca siły jest równa zmianie energii kinetycznej ciała E k = mv2 2 na ciało nie działaja inne siły, układ inercjalny A..Żarnecki Wykład V 20

22 Praca i energia Moc Moc średnia opisuje średnia pracę wykonywana na jednostkę czasu: P Öµ Moc chwilowa P = lim t 0 = W t W t Wstawiajac dw = d s: P = v = dw dt Moc siły jest proporcjonalna do prędkości ciała! Jednostka pracy jest Dżul: 1J = 1N 1m = 1 Jednostka mocy jest Wat: 1W = 1J 1s kg m2 s 2 = 1 kg m2 s 3 Kiedyś używano jako jednostki mocy konia mechanicznego: 1 KM = W A..Żarnecki Wykład V 21

23 Praca i energia Energia potencjalna Ruch w stałym i jednorodnym polu grawitacyjnym g. Siła ciężkości działajaca na masę m: = m g = m (0, g,0) W AB = r = ( r B r A ) = m g ( r A r B ) = m g (y A y B ) Możemy wprowadzić energię potencjalna dla jednorodnego pola grawitacyjnego E p ( r) = m g r = m g y Pracę możemy wtedy wyrazić przez zmianę energii potencjalnej W AB = E p ( r A ) E p ( r B ) = E p Mówimy, że siła ciężkości jest siła zachowawcza. A..Żarnecki Wykład V 22

24 Praca i energia Energia potencjalna Siła ( r) jest zachowawcza (konserwatywna), jeśli praca przez nia wykonana zależy tylko od położenia punktów poczatkowego (A) i końcowego (B) można ja wyrazić przez zmianę energii potencjalnej W AB = B A ( r) d r = E p ( r A ) E p ( r B ) = E p Siła zachowawcza nie może zależeć od czasu ani od prędkości. Jeśli droga jest zamknięta to praca jest równa zeru A ( r) d r = ( r)d r = 0 A Siłami zachowawczymi sa też wszystkie siły centralne, zależne tylko od odległości = (r) i r siła kulombowska, siła grawitacyjna, siły sprężystości... ÝÖ ÙÐ Ö Ò µ A..Żarnecki Wykład V 23

25 Praca i energia Siła a energia potencjalna Praca wykonana przy infintezymalnym przesunięciu d r = (dx, dy, dz) dw = ( r) d r = de p ÞÑ Ò Ò Ö ÔÓØ Ò ÐÒ = E p x dx E p y dy E p z dz Otrzymujemy: = ( E ) p x, E p y, E p z Znajomość potencjału siły zachowawczej jest rownoważna znajomości samej siły. Energia potencjalna jest określona z dokładnościa do stałej, istotne sa tylko jej zmiany. A..Żarnecki Wykład V 24

26 Praca i energia Siła a energia potencjalna E (x) p x spr Przykład: Rozciagnięcie sprężyny wymaga wykonania pracy. W = s 0 (x) dx = 1 2 ks2 Kosztem tej pracy rośnie energia potencjalna: E p (x) = 1 2 kx2 Siła sprężystości: spr x (x) = de p(x) = kx x dx W momencie puszczenia sprężyny energia potencjalna zamienia się na kinetyczna... A..Żarnecki Wykład V 25

27 Praca i energia Gradient Gradient wskazuje kierunek w którym następuje największa zmiana wartości funkcji skalarnej f(x, y, z). Wartość gradientu odpowiada wartości pochodnej funkcji f(x, y, z) wzdłuż tego kierunku. grad f = f = i x f x + i y f y + i z f z = Ò Ð = i x x + i y y + i z z f = i n f n ( f x, f y, f ) z n ¹ Û ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒÝ Ó f ÓÒ Ø Siłę zachowawcza wyrażamy jako gradient energii potencjalej: = E p ( r) A..Żarnecki Wykład V 26

28 Zasada zachowania energii Zasada zachowania energii Praca siły zachowawczej ( r) pomiędzy A i B wyraża się przez energię potencjalna W AB = B ( r) d r = E A p EB p A Z drugiej strony, praca siły działajacej na ciało zmienia energię kinetyczna: W AB = E B k EA k E B k EA k = E A p EB p E B k + EB p = E A k + EA p E = E p + E k = ÓÒ Ø W ruchu pod działaniem sił zachowawczych energia całkowita jest zachowana. A..Żarnecki Wykład V 27

29 Zasada zachowania energii Wahadło Galileusza Wysokość na jaka wznosi się wahadło nie zmienia się przy zmianie długości nici: Koło Maxwella h E p + E k = E ÓÒ Ø = E k = 0 m g h = E siły reakcji więzów nie wykonuja pracy Przemiana energii potencjalnej w energię kinetyczna ruchu obrotowego. A..Żarnecki Wykład V 28

30 Zasada zachowania energii Spadek swobodny g W jednorodnym polu g ciało spada swobodnie z wysokości h ( v(0) = 0). g Prędkość końcowa z zasady zachowania energii: h V E k m v 2 2 v = = E p = m g h 2 g h h V Taka sama prędkość uzyska wahadło puszczone z wysokości h A..Żarnecki Wykład V 29

31 Zasada zachowania energii Siły sprężystości Ruchu pod wpływem sił sprężystości: V V=0 E = E p (x) + E k ÓÒ Ø (x) = 1 2 kx mv2 = ÓÒ Ø Ruch harmoniczny ω = km : m V=0 E p x = A sin(ωt + φ) E p (x) = 1 2 ka2 sin 2 (ωt + φ) E k v = ω A cos(ωt + φ) E k (x) = 1 2 m ω2 A 2 cos 2 (ωt + φ) t E = E p + E k = 1 2 ka2 A..Żarnecki Wykład V 30

32 Zasada zachowania energii Równania ruchu Znajomość energii potencjalnej jest rownoważna znajomości siły (zachowawczej): = E p Czy znajac E p ( r) możemy rozwiazać równania ruchu ciała? Możemy wyznaczyć zależność ( r) i skorzystać z II zasady dynamiki... albo Możemy wykorzystać zasadę zachowania energii: E = E k ( r) + E p ( r) = const W zależności od zagadnienia jeden albo drugi sposób może być bardziej użyteczny... A..Żarnecki Wykład V 31

33 Zasada zachowania energii Dla ruchu prostoliniowego pod działaniem siły zachowawczej (x), energia potencjalna E p = E p (x) ( ) dx 2 + E p (x) = const E = m 2 dt dx 2 = dt m (E E p(x)) Rozdzielajac zmienne i całkujac otrzymujemy: dt = dx 2m (E E p (x)) t = x dx 2m ( x E Ep (x ) ) Znajac E p (x) możemy zawsze znaleźć zwiazek między x i t. A..Żarnecki Wykład V 32

34 Zasada zachowania energii Przykład: = i x = const E p (x) = x x = de p dx Przyjmujac, że x = 0 w chwili t = 0 mamy: 2 m t = 2 [ E + x ] x 0 t = m 2 x 0 dx E + x = 2 2 E + x E 2m t + E = E + x x = 1 2 ( m ) t 2 + 2E m t 1 2 a t2 + v t v - predkość w chwili t = 0 energia całkowita E = mv2 2 > 0 A..Żarnecki Wykład V 33

35 Egzamin Przykładowe pytania testowe: 1. W wyniku czołowego zderzenia ciężarówki o masie 4 ton jadacej z prędkościa 30 km/h z samochodem osobowym o masie 800 kg oba pojazdy zatrzymały się. Samochód osobowy poruszał się z prędkościa: A 80 km/h B 120 km/h C 150 km/h D 180 km/h 2. Prędkość jaka może uzyskać jednostopniowa rakieta zależy od masy końcowej m k i masy poczatkowej rakiety m 0 jak ( ) 2 A m 0 m k 1 B ln m 0 m m k C 0 m k D m0 m k 3. Dwa kamienie o różnej masie wystrzeliwane z tej samej procy (tak samo naciagniętej) będa miały równe A prędkości B zasięgi C energie kinetyczne D pędy 4. Dla ciała, poruszajacego się w polu sił zachowawczych, zachowana(y) jest A moment pędu B pęd C energia kinetyczna D energia całkowita 5. Ciało A spuszczono swobodnie z wysokości cztery razy większej niż ciało B: h A = 4h B. Uzyskane prędkości A v A = 2 v B B v A = 2 v B C v A = 4 v B D v A = 2 2 v B A..Żarnecki Wykład V 34

36 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego unduszu Społecznego