ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y 9z 8 ) ; (f) y y : y + y + y + y + ; Usunąć niewymierności z mianownika + ; (b) ; 7 (c) Napisać rozwinięcia potęg podanych dwumianów (y + z) ; (b) (x 4) ; (c) (g) 4 Wyznaczyć współczynnik rozwinięcia występujący przy t a + b a + ; b (b + 4) 5, t = b ; (b) (p q) 7, t = p q 5 ; (c) DZIAL ANIA NA MACIERZACH (h) 5 + ; (d) 6x 4 6y 4 x y + 5 ( x ) 4; ( (d) p + ) 5 x p ( x ) 6 ( ) 6 x x + x, t = x 0 5 Niech A = [ ] 4, B = 6 0 5, C = 0 0 Wyznaczyć, jeśli jest to możliwe, następujące macierze 4 4 0, D = 4 0, F = [ 7 ] A + C, AT + C, C AT, AB, BA, BC + BA T, B, D T F, DF, F 5D, CC T (CC T ) T 6 Obliczyć AB BA, jeśli A = [ ], B = [ ] 4 0 5 (b) Podać przykład dwóch różnych, niejednostkowych, niezerowych macierzy A, B stopnia takich, że AB = BA 7 Określić wymiar i wyznaczyć rzeczywistą macierz X spełniającą równanie macierzowe [ ] X = [ 6 7 ] [ ] [ ] ; (b) X = ; (c) X + X 4 0 0 6 T = X + I; (d) [ ] [ ] 0 6 9 X 0 0 T = ; (e) (XA) T = (A 4 5 T + I)X T, gdzie A jest macierzą

8 Niech [ A = ] 4, B = [ ] [ ] 4, C = 5 Obliczyć iloczyn AB a następnie rozwiązać równanie XA = C z niewiadomą X WYZNACZNIKI, MACIERZE ODWROTNE 9 Wiadomo, że a b c d e f g h i Znaleźć wartości wyznaczników g h i a b c d e f ; (b) g d a h e b i f c ; = 6 (c) a b c d e f 4g 4h 4i ; (d) a b c 4b d e f 4e g h i 4h 0 Niech A będzie rzeczywistą macierzą stopnia 7, której wyznacznik wynosi Ile wynosi wyznacznik macierzy A, 5A, A, A, (A T )? Napisać rozwinięcie Laplace a względem podanych wierszy/kolumn (nie obliczać podanych wyznaczników) 4 5 6, kolumna; 7 8 9 (b) 5 0 0, wiersz; π 6 (c) 4 0 8, kolumna 8 0 0 Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy [ ] 8 4 5 A = ; B = 7 4 7 4 6 7 D = 0 0 0 5 ; E = ; C = 4 0 4 0 4 0 0 ; F = λ 8 4 7 λ 4 ; 4 6 7 λ 4 4 4 5 Dla jakich wartości parametrów rzeczywistych c, h, k, λ poniższe macierze są odwracalne [ ] h k c (c) ; (h) h ; (k) 5 ; (l) c h 0 0 4 0 0 λ 0 0 4 Wykorzystując metodę obliczania dopełnień algebraicznych wyznaczyć macierze odwrotne, jeśli istnieją, do podanych macierzy [ ] 0 [ ] 0 0 0 5 0 ; 0 ; ; ; 0 0 4 0 4 4 0 0 0 ; 0 4 8 0 0 0 4?

5 Wykorzystując metodę bezwyznacznikową (przekształceń elementarnych na wierszach) wyznaczyć macierze odwrotne, jeśli istnieją, do podanych macierzy [ ] 4 6 0 4 ; ; 0 0 0 ; ; 0 0 0 0 0 0 4 0 6 Znaleźć rozwiązania podanych równań macierzowych [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 X = ; (b) X = ; 4 0 0 0 0 0 (c) (X T + 5I) = 0 0 ; (d) X = 0 0 X + ; 0 0 0 ( [ ]) [ ] [ ] ( [ ]) 5 5 (e) X = ; (f) I X = I 8 UKL ADY RO WNAN LINIOWYCH 7 Korzystając ze wzorów Cramera, jeśli to możliwe, wyznaczyć wskazane niewiadome z układów równań liniowych { x + y = x + y + z = x + y + z =, x, y; 5x + 7y = 6 (b) x y z =, y; (c) x + y = α, z; x + z = y + z = β (d) x + x + x + x 4 = 5 x +x +x + 4x 4 = 0 6x + x + 4x + 8x 4 = 4 5x +6x + 7x 4 =, x x x + 4x 4 = 9 4 ; (e) 9x + 0x 4 = 0 x x 4x 4 = 4 x 4 =, x, x 8 Rozwiązać podane układy równań liniowych wykorzystując metodę eliminacji Gaussa x + y + z + w = 5 x z = 0 x + y z w = x x = 0 x + y = ; (b) ; (c) x 4x + 5y + z = 7 x + x = 0 ; x + y + z = 4 x 5x + 7y w = 4 4x + 5x = 0 (d) x + x x + 4x 4 = 4x + 6x x + 0x 4 = 6x 9x + 7x 8x 4 = ; (e) x + x x + 4x 4 = 4 6x 8x + 6x x 4 = 4x + 4x 4x x 4 = 7 9 Znaleźć rozwiązanie poniższego układu równań obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej a następnie wykorzystując mnożenie macierzy 4x 6x + x = 7 x + x x = 4 x 5x + x = Podać dwa inne sposoby rozwiązania tego układu

0 Dla jakich wartości parametru λ układ równań { x + y = λx 4x + 5y = λy ma rozwiązanie inne niż x = y = 0? Przedyskutować ilość rozwiązań układu równań w zależności od parametru a R (4 a)x + y z = x + ( a)y + z = x + y + (4 a)z = Wykorzystać metodę eliminacji Gaussa do rozwiązania układu równań, którego macierz rozszerzona ma postać 6 5 6 8 Gdzie jest błąd w poniższej metodzie rozwiązania? 6 5 w w 6 5 w w w 0 4 4 9 w w w 6 8 6 8 0 4 4 9 w w + w w w +w 0 5 5 5 0 4 4 9 0 0 0 0 0 w w 0 5 5 5 0 4 9 4 w 4 w w \ Stąd x = 5 + 5 x + 5x 4, x = 9 4 + 4 x + x 4, x, x 4 R LICZBY ZESPOLONE Obliczyć ( 7 + i) ( 6i) + ( + i); (c) ( + i)( + i); (e) i 09 + i 5 + ( i) + ( i) 7 ; ( ) 6 ( ) 8 + i i (g) + ; i + i (b) ( + i)( + i)( i); (d) ( i) ; (f) i i i i 08 ; (h) 5 + 5i ( ) 0 4i + ; 4 i (i) [ αi 0 0 βi ], α, β R ; (j) [ αi 0 0 βi ], α, β R \ {0} 4 Znaleźć rozwiązania poniższych równań 4 + 5i = z ( i); (b) z + z = + 4i; (c) z = i; (d) ( + i) z = iz; (e) 4z + 8 z = 8; (f) z + i = + i ; (g) z = z; (h) + z z = i 4

5 Korzystając min z interpretacji geometrycznej modułu liczby zespolonej opisać i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej następujące zbiory spełniające poniższe warunki z = ; (b) z + i < ; (c) z + i ; (d) z + = z 5 + i ; (e) iz + 4 8; (f) 0 < Re(iz) ; (g) < Im(z + 5) < ; (h) Re 6 Przedstawić w postaci trygonometrycznej/wykładniczej liczby zespolone ( z ) = 0 z 4i ; (b) i ; (c) sin a + i cos a, a R ; (d) i ( i) 7 Korzystając ze wzoru de Moivre a obliczyć ( i) 44 ; (b) ( + i) + ( i) ; (c) ( i) 8 ; (d) ( i)0 ( + i) 5 ( i ) 0 Wynik podać w postaci algebraicznej 8 Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej zbiory spełniające poniższe warunki na argument główny arg( +i)< arg z < arg( i) ; (b) π 4 arg(z ) < π ; (c) arg(π) < z+ 8 π arg(i) ; (d) π arg( iz) < π ; (e) arg(z + i) = π 6 ; (f) arg(z4 ) = π z < 9 Znaleźć i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki 7 ; (b) 5 i ; (c) 4 + i ; (d) i ; (e) 6 + i ; (f) ( i ) 9 ; (g) 4 ( i) 4 ; (h) ( i) 6 0 W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania z +4z + = 0; (b) z (+i)z +4+i = 0; (c) z 8i = 0; (d) z +z +z + = i; (e) iz + ( + i)z + = 0; (f) z 4 z + 4 = 0; (g) e z = ; (h) z 6 ( + i)z + i = 0 WIELOMIANY Wypisać wszystkie możliwe pierwiastki całkowite/wymierne wielomianów 6x 4 + 5x x + 6; (b) x 5 9 x4 + 6x 7 x x ; (c) x 8 6x + x + 0 Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne wielomianów x 4 + x + x + x + ; (b) x 5 + x 4 7x + x ; (c) x 4, x +, x + 0, 6x ; (d) x 5 6 + 5x 5 x + 4x ; (e) x5 + x 4 + 0x + 0x + 9x + 9 Znaleźć wszystkie (rzeczywiste i zespolone) pierwiastki wielomianów x 4 x ; (b) x 5 + x 4 + 0x + 0x + 9x + 9; 5

(c) x 4 x 5x + x + 4; (d) x 6x + x 0 4 Sprawdzić, że x jest pierwiastkiem wielomianu P a następnie znaleźć pozostałe pierwiastki x = i, P (x) = x 4 4x + 4x 4x + ; (b) x = i, P (x) = x ( i)x + x + ( + i); (c) x = + i, P (x) = x 4 4x 6x 6 5 Znaleźć rozkład wielomianu W na czynniki rzeczywiste nierozkładalne W (x) = x 4 + ; (b) W (x) = x x 9x 0; (c) W (x) = x 6x 9 6 Zaproponować rozkład na sumę rzeczywistych ułamków prostych (bez wyznaczania stałych w liczniku) x x (x + 9) ; (b) (x + ) 4 (x + 4x + ) ; (c) 4x5 x 4 + x 8x x (x x )(x + x + ) 7 Podane funkcje wymierne rozłożyć na sumę rzeczywistych ułamków prostych (e) x + 7x + 7 x(x + )(x + ) ; (b) 8x x + ; (c) 6x + x 9 ; (d) x + x + ; x + x x (x + ) x(x + ) x + 4 4x + x + 9 ; (f) x + x + ; (g) x 7 x + x ; (h) 8x 4x + 8 x 4 + 4 8 Nie wykonując dzielenia, znaleźć resztę z dzielenia wielomianu P przez Q P (x) = (x + ) 8 + (x + ) 0 + (5x + 9) 07, Q(x) = x + ; (b) P (x) = x 00, Q(x) = (x )(x ); (c) P (x) = x 8 + x 49 + x 5 + x 9 + x, Q(x) = x x GEOMETRIA ANALITYCZNA 9 Dla wektorów u = (,, ), v = (,, ), w = (,, 5) obliczyć podane wyrażenia, jeśli mają one sens v ; (b) u w; (c) ( u v) w; (d) u v w; (e) w v w; (f) u v w; (g) u w v; (h) u ( w v); (i) ( u v) w; (j) ( u v) w 40 Bez wyznaczania równania prostej, sprawdzić czy punkty P = (,, 4), Q = (5, 4, 6) i R = ( 4,, 0) leżą na jednej prostej 4 Znaleźć wektor u współliniowy z wektorem v = (,, ) i spełniający warunek v u = 4 Znaleźć wszystkie wektory jednostkowe, które są prostopadłe jednocześnie do wektorów u = (,, ) i v = (4,, ) 4 Obliczyć pole powierzchni trójkąta o wierzchołkach w punktach A = (,, 0), B = (, 0, ) i C = (5,, 6); 6

(b) objętość czworościanu o wierzchołkach w punktach A = (,, ), B = (5, 5, 4), C = (,, ) i D = (4,, ); (c) pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach u = (, 4, ), v = (, 6, 0); (d) pole powierzchni równoległościanu rozpiętego na wektorach u = (, 5, ), v = (0,, ), w = (,, ) 44 Dane są wierzchołki czworościanu: A = (0, 0, ), B = (, 0, 5), C = (,, 0), D = (4,, ) Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka D 45 Napisać równania ogólne i parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (0,, ), B = (, 0, ) i C = (,, ); (b) punkt P = (,, ), której wektor normalny to n = (,, ); (c) punkt (, 4, 5) i równoległej do dwóch wektorów a = (,, ) i b = (,, ); (d) punkt (,, 4) i równoległej do płaszczyzny Oxz; (e) punkt (4,, ) i przez oś Ox; (f) punkty P = (,, ), P = (,, ) i równoległej do osi Oy; (g) środek odcinka AB, gdzie A = (,, 7) a B = (,, ) i prostopadłej do tego odcinka 46 Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostej przechodzącej przez dwa punkty (,, ) i (,, 0); (b) punkt P = (,, ), której wektor kierunkowy to n = (,, ); (c) punkt M = (, 0, ) i równoległej do wektora a = (,, 5); (d) punkt M = (, 0, ) i równoległej do osi Oy; (e) punkt M = (,, 5) i równoległej do prostej { x y + z 7 = 0 x + y z + = 0 ; (f) przez punkt P = (,, 0) i prostopadłej do prostych x = + t k : y = + 4t z = 4 + 5t, t R, i l : x = y = z (g) punkt P = (,, ), prostopadłej do wektora a = (6,, ) i przecinającej prostą x = y + = z 5 47 Zaleźć punkty przecięcia x = t dwóch prostych k : y = t z = 4t + 6 (b) prostej k : x = y +, t R, l : x = s + 5 y = 4s z = s 4 = z z płaszczyzną π : x y + z = 0 7 ;, s R;

48 Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkt M = (,, ) i prostą {(x, y, z) = (,, ) + t(,, ): t R} 49 Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez proste { { x y + z = 5 x + y + z + 7 = 0 k : i l : x y 4z = 5x y + z + 5 = 0 ; (b) k : x = y + 50 Wyznaczyć odległość = z i l : x = y punktu P = (,, ) od prostej l : x + = z + = y + = z 8 ; (b) punktu M = (,, ) od płaszczyzny przechodzącej przez punkty M = (,, ), M = (,, ), M = (4, 5, ); { x + y z 0 = 0 (c) między prostymi równoległymi k : i l : x + 7 = y 5 x y z = 0 = z 9 4 ; (d) między prostymi nierównoległymi k : x + 7 = y + 4 4 = z + i l : x 6 (e) między płaszczyznami π : x y + z + 9 = 0 i π : 4x y + 4z = 0 5 Wyznaczyć kąt między prostymi x = y + = z i x + = y = z + 5 ; (b) {x = t, y = 0, z = t +, t R} i {x = s, y = 0, z = s, s R}; = y + 5 4 = z ; (c) { x + y z = 0 x y 9z = 0 i { x + y + z + 5 = 0 x y z + = 0 5 Wyznaczyć kąt między płaszczyznami x y + z = 0 i x + y z + = 0; (b) x + y z = i x y z = 5; (c) 6x + y z = 0 i x + y + 6z = 0; (d) x z + = 0 i x 6z 7 = 0 5 Wyznaczyć wartości a i b, dla których płaszczyzny mają punkt wspólny; x y + z = 0, x + y z + b = 0, x + ay 6z + 0 = 0 (b) przechodzą przez jedną prostą; (c) przecinają się w trzech różnych prostych 54 Wyznaczyć rzut prostokątny prostej k na płaszczyznę π, gdzie k : (x, y, z) = (, 0, 0)+r(,, ), π : (x, y, z) = (,, )+s(,, 0)+t(,, ), r, s, t R; (b) k : x + = y = z, π : x + y z + = 0; 8

(c) k : x + = y = z, π : x y + z 5; 4 { 5x y + z 5 = 0 (d) k :, π : 4x y + 7z 7 = 0 x y z = 0 55 Wyznaczyć rzut punktu P = (,, ) na prostą x = y + 7 5 = z w kierunku wektora u = (,, ); (b) punktu P = (,, ) na płaszczyznę π : x + y z = 0 w kierunku wektora u = (,, ); (c) prostej l : x = y = z na płaszczyznę π : x+y+z 5 = 0 w kierunku wektora u = (,, ) 56 Określić czy punkt Q = (,, ) i początek układu współrzędnych leżą po tej samej stronie płaszczyzny 5x y + z 8 = 0; (b) x + 7y + z + = 0; (c) x + 5y + z = 0 57 Prawda czy fałsz? Jeśli to prawda należy uzasadnić stwierdzenie, a jeśli fałsz - podać kontrprzykład W przestrzeni R równanie y = x przedstawia prostą przechodzącą przez punkt (,, 0) Opracowanie: Karina Olszak 9