Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C : z = w}. Stwierdzenie. Jednm pierwiastkiem kwadratowm z 0 jest 0. Jednmi pierwiastkami kwadratowmi z różnej od zera liczb zespolonej gdzie r R +, ϕ R, są liczb w = r(cos ϕ + j sin ϕ) C \ {0}, z 0 = ( r cos ϕ + j sin ϕ ), z = z 0 = ( r cos ϕ + j sin ϕ ). Uwaga. Interpretacja geometrczna tego stwierdzenia jest następująca: Pierwiastki kwadratowe z liczb w = r(cos ϕ + j sin ϕ) leżą na dwusiecznej kąta ϕ, leżą w odległości r od punktu (0, 0). 4 3 4 3 3 4 3 4 Przkład.. Dla dowolnej liczb rzeczwistej dodatniej > 0 mam = { ± }.. Dla dowolnej liczb rzeczwistej ujemnej < 0 mam = { ±j }.
Uwaga. W celu znalezienia pierwiastków kwadratowch z = + j z liczb w = a + bj można również rozwiązać równanie ( + j) = a + bj. Porównanie części rzeczwistch i urojonch obu stron tego równania daje układ równań: = a, = b,, R, któr, w nietrwialnm przpadku b 0, można rozwiązać przekształcając drugie równanie do postaci = b/() i wstawiając je do pierwszego równania. Otrzmujem łatw do rozwiązania układ: 4 a b 4 = 0, = b,, R \ {0}. Krótkie obliczenia doprowadzają do rozwiązań pierwszego równania = ± a + a + b. Po wstawieniu tch wartości do drugiego równania otrzmujem pierwiastki kwadratowe. Ćwiczenie. Znajdźm pierwiastki kwadratowe z liczb 5 + j.
Pierwiastki z liczb zespolonej Niech n N. Pierwiastkiem stopnia n z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z n = w. Zbiór wszstkich pierwiastków n-tego stopnia oznaczam smbolem n w. Innmi słow n w = {z C : z n = w}. Twierdzenie. Jednm pierwiastkiem n-tego stopnia z 0 jest 0. Jeśli z 0, to istnieje dokładnie n różnch pierwiastków stopnia n z liczb z. Pierwiastki stopnia n N z liczb w = r(cos ϕ + j sin ϕ), gdzie r R +, ϕ R, wrażają się wzorami: z k = n ( r cos ϕ + kπ n gdzie k {0,,..., n }. + j sin ϕ + kπ ), n Pierwiastkiem głównm stopnia n z liczb z nazwam pierwiastek stopnia n z liczb zespolonej z 0, któr ma najmniejsz nieujemn argument. Uwaga 3. Dla n = powższe twierdzenie pokrwa się ze Stwierdzeniem na temat pierwiastków kwadratowch. Istotnie, biorąc k = 0, dostajem z powższego wzoru: z 0 = ( r cos ϕ + j sin ϕ ), z = ( r cos ϕ + π + j sin ϕ + π ). Korzstając z faktu, że cos ( ϕ + π) = cos ϕ oraz sin ( ϕ + π) = sin ϕ ze Stwierdzenia : z 0 = ( r cos ϕ + j sin ϕ ), z = ( r cos ϕ + j sin ϕ ). otrzmujem wzor 3
Przkład Ćwiczenie. Znajdźm pierwiastki 3-ciego i 4-tego stopnia z liczb w =. Ćwiczenie 3. Znajdźm pierwiastki 3-ciego stopnia z liczb w = 8j. Ćwiczenie 4. Znajdźm pierwiastki 6-tego stopnia z liczb w = 64. 4
Pierwiastki na płaszczźnie zespolonej Uwaga 4. Interpretacja geometrczna Twierdzenia jest następująca: Pierwiastki stopnia n z liczb w C \ {0} leżą na okręgu o środku 0 i promieniu równm n w, są wierzchołkami n-kąta foremnego. dla w = oraz n = 3 dla w = oraz n = 4 dla w = oraz n = 6 Ćwiczenie 5. Przedstawm na płaszczźnie zespolonej wniki z Ćwiczeń 3 oraz 4. 5
Pierwiastki z jedności Uwaga 5. Uogólniając powższe obserwacje, pierwiastki stopnia n z liczb mają postać ω k = cos kπ n kπ + j sin (cos n = π n + j sin π n dla k {0,... n }, gdzie (napiszm dla jasności) ω = cos π n + j sin π n. ) k = ω k, Należ zauważć, że wartości ω k zależą od wboru liczb n N. Nie mniej jednak, prz ustalonm n N, pierwiastki n-tego stopnia z będziem, tak jak powżej, umownie oznaczać smbolami ω k, k {0,... n }. Uwaga 6. Zbiór wszstkich pierwiastków stopnia n z oznaczam C n. Algebra (C n, ) jest grupą. Uwaga 7. Dla pierwiastków stopnia n z jedności zachodzą następujące własności: ω 0 + ω +... + ω n = ω 0 + ω +... + ωn = ω ωn = ω = 0 ω ω ω 0 ω... ω n = ω 0++...+(n ) = ω (n )n = ((ω ) n ) (n ) = (n ) = Stwierdzenie. Niech z C będzie dowolnm pierwiastkiem stopnia n z liczb w C \ {0}. Wówczas n w = {z ωk : k {0,... n }}, gdzie ω k, k {0,..., n }, są pierwiastkami n-tego stopnia z. Ćwiczenie 6. Znajdźm pierwiastki 4-tego stopnia z liczb w = ( + j) 8. 4 3 4 3 3 4 3 4 6
Wielomian Algebra wielomianów Niech K będzie ciałem (na nasze potrzeb wstarcz zakładać, że K {Q, R, C}). Wielomianem stopnia n N 0 nad ciałem K (lub o współcznnikach z ciała K) nazwam funkcję w : K K określoną wzorem w(t) = a 0 + a t +... + a n t n, gdzie a 0, a,..., a n K, a n 0. Współcznnikami wielomianu w nazwam liczb a 0, a,..., a n. Stopień wielomianu w K[t] oznaczm przez deg w. Wielomianem zerowm nazwam wielomian tożsamościowo równ 0, czli w(t) 0, co oznacza, że t K w(t) = 0. Przjmujem, że stopień wielomianu zerowego jest równ. Wielomianami stałmi nazwam wielomian stopnia mniejszego niż. Zbiór wszstkich wielomianów nad ciałem K oznaczam przez K[t]. Sumę wielomianów w, w K[t] definiujem jako wielomian w + w K[t], taki że t K (w + w )(t) = w (t) + w (t). Iloczn wielomianów w, w K[t] definiujem jako wielomian w w K[t], taki że t K (w w )(t) = w (t) w (t). Stwierdzenie 3. Dla dowolnch wielomianów w, w K[t] zachodzi deg(w w ) = deg w + deg w, deg(w + w ) ma{deg w, deg w }. 7
Pierścień wielomianów Stwierdzenie 4. Dla dowolnego ciała K, algebra (K[t], +, ) ma następujące własności:. dodawanie + jest działaniem łącznm i przemiennm;. wielomian zerow jest elementem neutralnm dodawania; 3. elementem odwrotnm do w K[t] względem dodawania jest wielomian w; 4. mnożenie jest działaniem łącznm i przemiennm; 5. mnożenie jest rozdzielne względem dodawania +; 6. wielomian w(t) jest elementem neutralnm mnożenia; 7. zbiór elementów odwracalnch względem mnożenia składa się z wielomianów stopnia 0; dla wielomianu w(t) a 0 elementem odwrotnm jest v(t) a 0 ; 8. (K[t], +, ) jest pierścieniem przemiennm z jednością; 9. (K[t], +, ) nie jest ciałem. Rozkład wielomianów Rozkładalnm nad ciałem K nazwam wielomian w K[t], jeśli w, w K[t] o dodatnich stopniach, takie że w = w w. Nierozkładalnm nazwam wielomian w K[t], któr nie jest rozkładaln. Ćwiczenie 7. Cz wielomian jest rozkładaln: (a) nad Q, (b) nad R, (c) nad C? t + t t 3 8 (a)............................................................... (b)............................................................... (c)............................................................... 8
Dzielenie wielomianów Stwierdzenie 5. Dla dowolnch wielomianów w, p K[t], gdzie p nie jest wielomianem zerowm, istnieją jednoznacznie określone wielomian q, r K[t], takie że dla każdego t K zachodzi równość w(t) = p(t) q(t) + r(t) oraz deg r < deg p. Resztą z dzielenia wielomianu w K[t] przez wielomian p K[t] nazwam wielomian r K[t] z powższego stwierdzenia. Ćwiczenie 8. Znajdźm resztę z dzielenia z 4 z 3 + jz przez z 3 + j. Twierdzenie (o dzieleniu z resztą). Dla dowolnch wielomianu w K[t] i a K, reszta z dzielenia wielomianu w przez wielomian (t a) jest równa w(a), czli istnieje q K[t] taki, że w(t) = (t a) q(t) + w(a). Ćwiczenie 9. Jaka jest reszta z dzielenia w(z) = (z + ) 08 (z jz ) 08 przez (z + j)? 9
Zasadnicze twierdzenie algebr Pierwiastkiem wielomianu w K[t] nazwam element t 0 K, jeśli w(t 0 ) = 0 Ćwiczenie 0. Znajdźm pierwiastki zespolone wielomianu z 4 + 4. Wielomian w K[t] jest podzieln przez wielomian p K[t], jeśli reszta z dzielenia w przez p jest wielomianem zerowm. Twierdzenie 3 (Bézout). Dla każdego wielomianu w K[t] następujące zdania są równoważne:. Element t 0 K jest pierwiastkiem wielomianu w.. Wielomian w jest podzieln przez wielomian (t t 0 ). 3. Istnieje q K[t] taki, że w(t) = (t t 0 ) q(t). Niech k N. k-krotnm pierwiastkiem wielomianu w K[t] nazwam element t 0 K, jeśli istnieje wielomian q K[t], taki że dla każdego t K zachodzi w(t) = (t t 0 ) k q(t) oraz q(t 0 ) 0. Twierdzenie 4 (Zasadnicze twierdzenie algebr). Każd wielomian w C[z] dodatniego stopnia ma pierwiastek z 0 C. Wniosek. Każd wielomian w C[z] stopnia n N ma dokładnie n pierwiastków zespolonch (uwzględniając pierwiastki wielokrotne). Wniosek. Każd wielomian w C[z] stopnia n N można rozłożć na cznniki liniowe (które ewentualnie mogą w rozkładzie wstąpić więcej niż raz), czli w postaci w(z) = a n (z z )(z z ) (z z n ), gdzie, a n, z,..., z n C. Ćwiczenie. Znajdźm rozkład wielomianu z 4 + 4 nad ciałem C. 0
Uwaga 8. Pierwiastki wielomianu kwadratowego nad ciałem C znajdujem analogicznie jak nad ciałem R z uwzględnieniem faktu, że jest zawsze zbiorem niepustm. Zatem dla a C \ {0}, b, c C, pierwiastkami wielomianu az + bz + c są liczb zespolone b + δ, gdzie δ b a 4ac. Ćwiczenie. Znajdźm pierwiastki zespolone wielomianu w() = + +. Twierdzenie 5. Jeżeli wszstkie współcznniki wielomianu w C[z] są liczbami rzeczwistmi i liczba z 0 C jest pierwiastkiem wielomianu w, to z 0 jest również pierwiastkiem wielomianu w. Uwaga 9. Zauważm, że biorąc z 0 C, otrzmam (z z 0 )(z z 0 ) = z (z 0 + z 0 )z + z 0 z 0 = z Re z 0 z + z 0, czli wielomian o współcznnikach rzeczwistch. Wniosek 3. Każd wielomian w R[] dodatniego stopnia można rozłożć na iloczn wielomianów pierwszego stopnia oraz nierozkładalnch wielomianów drugiego stopnia. Ćwiczenie 3. Znajdźm rozkład wielomianu z 4 + 4 nad ciałem R.
Przkład rozkładania wielomianów Ćwiczenie 4. Znajdźm rozkład wielomianu z 4 + 3z 4 nad ciałami R i C. Ćwiczenie 5. Znajdźm rozkład wielomianu z 3 z + 9z 9 nad ciałami R i C. Ćwiczenie 6. Znajdźm rozkład wielomianu z 3 + jz z j nad ciałem C.