Pawo Gaussa. Potencjał elektyczny. Wykład 3 Wocław Univesity of Technology 7-3- Inne spojzenie na pawo Coulomba Pawo Gaussa, moŝna uŝyć do uwzględnienia szczególnej symetii w ozwaŝanym zagadnieniu. Dla zagadnień elektostatyki jest ono w pełni ównowaŝne pawu Coulomba. Dla pawa Gaussa istotne jest wpowadzenie umownej zamkniętej powiezchni, zwanej powiezchnią Gaussa. MoŜe mieć ona dowolny kształt, ale najbadziej uŝyteczny jest wybó powiezchni naśladującej symetię ozwaŝanego zagadnienia. Dlatego powiezchnia Gaussa będzie często sfeą, powiezchnią walcową lub powiezchnią innej symetycznej były. Musi być ona zawsze powiezchnią zamkniętą, tak aby moŝna było wyaźnie ozóŝnić punkty wewnątz powiezchni, na powiezchni i na zewnątz powiezchni. Pawo Gaussa okeśla związek między natęŝeniem pola elektycznego w punktach na (zamkniętej) powiezchni Gaussa i całkowitym ładunkiem objętym tą powiezchnią.
Stumień Φ ( v cosθ ) S v S Stumień nie oznacza, Ŝe coś pzechodzi pzez tę powiezchnię - oznacza właściwie iloczyn pola powiezchni i pola pewnej wielkości, okeślonej na tej powiezchni. 3 Stumień pola elektycznego Stumienia pola elektycznego dla powiezchni Gaussa: Φ E S Lub dokładniej: Φ E ds Całkę naleŝy obliczyć po całej (zamkniętej) powiezchni. Stumień pola elektycznego jest skalaem i jego jednostką w układzie SI jest niuton azy met kwadatowy na kulomb (N m /C). Stumień elektyczny Φ pzenikający pzez powiezchnię Gaussa jest popocjonalny do całkowitej liczby linii pola elektycznego, pzechodzących pzez tę powiezchnię. 4
Pawo Gaussa Pawo Gaussa opisuje związek między stumieniem Φ pola elektycznego, pzenikającym pzez zamkniętą powiezchnię (powiezchnię Gaussa) i całkowitym ładunkiem q wewn, zawatym wewnątz tej powiezchni. ε Φ q wewn Lub kozystając z definicji stumienia moŝna zapisać: ε E ds q wewn Ładunek q wewn jest algebaiczną sumą wszystkich dodatnich i ujemnych ładunków zawatych wewnątz tej powiezchni i moŝe być dodatni, ujemny lub zeowy. Uwzględniamy znak ładunku, zamiast uŝywać tylko jego bezwzględnej watości, poniewaŝ znak zawiea istotną infomację o wypadkowym stumieniu pzenikającym pzez powiezchnię Gaussa. Jeśli ładunek q wewn Jest dodatni, to pzewaŝa stumień na 5 zewnątz; jeśli ładunek q wewn jest ujemny, to pzewaŝa stumień do wewnątz. Pawo Gaussa Powiezchnia S. We wszystkich punktach na tej powiezchni linie pola elektycznego wychodzą na zewnątz. Stąd stumień pola elektycznego pzenikający pzez tę powiezchnię jest dodatni, dodatni jest teŝ całkowity ładunek wewnątz powiezchni, jak wymaga tego pawo Gaussa. Powiezchnia S. We wszystkich punktach na tej powiezchni linie pola elektycznego wchodzą do wnętza. Stąd stumień pola elektycznego jest ujemny i taki jest teŝ całkowity ładunek wewnątz powiezchni, jak wymaga tego pawo Gaussa. Powiezchnia S 3. Ta powiezchnia nie otacza Ŝadnego ładunku i stąd q wewn. Powiezchnia S 4. Całkowity ładunek wewnątz tej powiezchni jest ówny zeu, bo otaczane ładunki, dodatni i ujemny, mają jednakowe watości. Pawo Gaussa wymaga, aby wypadkowy stumień pola elektycznego pzez tę powiezchnię był ówny zeu. Jest tak zeczywiście, bo tyle samo linii opuszcza powiezchnię S 4, co na nią pada. 6 3
Pawo Gaussa a pawo Coulomba Z właściwości symetii wynika, Ŝe w kaŝdym punkcie natęŝenie pola elektycznego E ównieŝ jest postopadłe do powiezchni i skieowane na zewnątz. Kąt θ między E i ds jest ówny zeu, więc moŝemy zapisać: ε ε E ds EdS ε E ds q qwewn Całka jest teaz tylko sumą po polach powiezchni ds elementów sfey i jest ówna polu powiezchni 4π. Po podstawieniu tej watości otzymujemy: ε E 4π q E q 7 Zastosowanie pawa Gaussa Nieskończenie długi walcowy pęt plastikowy, naładowany jednoodnie dodatnio z gęstością liniową λ. Pole powiezchni bocznej walca wynosi πh, poniewaŝ długość obwodu podstawy jest ówna π, a wysokość jest ówna h. Stumień natęŝenia E pzez powiezchnię walca wynosi: Φ ES cosθ E πh cos E πh Ładunek objęty ozwaŝaną powiezchnią wynosi λh i pawo Gaussa: ε Φ q wewn ε E πh λh E λ πε 8 4
Zastosowanie pawa Gaussa płyta niepzewodząca Ładunek jest dodatni, to natęŝenie E jest skieowane od płyty i stąd linie pola elektycznego pzecinają denka powiezchni Gaussa, wychodząc na zewnątz. Linie pola nie pzecinają powiezchni bocznej, dlatego teŝ stumień elektyczny pzez tę część powiezchni Gaussa jest ówny zeu. Na powiezchni denek E. ds wynosi po postu EdS i pawo Gaussa: E ds ε Pzyjmuje postać: q wewn ( ES + ES ) σs ε gdzie σs jest ładunkiem objętym pzez powiezchnię Gaussa. Ostatecznie: σ E ε 9 Zastosowanie pawa Gaussa dwie pzewodzące płyty Płyty są pzewodnikami, dlatego teŝ po ównoległym ich ustawieniu ładunek nadmiaowy na jednej płycie pzyciąga ładunek nadmiaowy na dugiej i cały nadmiaowy ładunek pzesunie się na wewnętzne powiezchnie płyt (ys. c). Pzy dwukotnie większym ładunku nowa gęstość powiezchniowa ładunku σ na kaŝdej wewnętznej powiezchni jest ówna σ. Stąd natęŝenie pola elektycznego w dowolnym punkcie między płytami ma watość: E ε σ σ ε 5
Potencjał elektyczny JeŜeli w polu elektostatycznym znajduje się ciało póbne, posiadające ładunek q, wówczas doznaje ono działania siły: F qe JeŜeli to ciało ulega pzesunięciu, wówczas siła wykonuje pacę. Gdy ciało zostanie pzesunięte o odległość l, wówczas paca wynosi W Fo l F l cosα Paca jest dodatnia, jeŝeli α < π/, ujemna, gdy α > π/. Potencjał elektyczny Ciało pzesuwamy z punktu () do punktu (). Kzywoliniową dogę moŝna podzielić na kilka elementanych odcinków l, wówczas paca dana jest wzoem: W i F i l i cosαi Zmniejszając długość odcinków l do badzo małych, otzymujemy wzó lub inaczej W () () W q F cosαdl () () E cosαdl 6
Potencjał elektyczny Dla kzywej zamkniętej, paca pola elektostatycznego jest zawsze ówna zeo, stąd Dla dowolnych dwóch punktów A i na kzywej zamkniętej, otzymujemy ale A() E cosαdl E cosαdl W q A E cosαdl + E cosαdl A () () E cosαdl A() E cosαdl 3 Potencjał elektyczny Wobec tego A() E cosαdl E cosαdl A() Ostatecznie otzymujemy E cosαdl A() A() E cosαdl Watość całki zaleŝy jedynie od połoŝenia punktów A i a nie zaleŝy od dogi pomiędzy tymi punktami. Watość tej całki nazywa się napięciem lub óŝnicą potencjałów pomiędzy punktami A i : U A E cosαdl A A Edl 4 7
Potencjał elektyczny Odsuwamy punkt w nieskończoność. Napięcie elektyczne pomiędzy punktem A a nieskończonością nazywamy potencjałem elektycznym w punkcie A i oznaczamy V A (potencjał w nieskończoności jest ówny zeo). Wtedy U A V czyli moŝemy pzejść od A do nieskończoności i wócić z nieskończoności do. Paca jaką wykonuje pole elektyczne, gdy odpowadzamy ładunek z dowolnego punktu M pola do nieskończoności, jest ówna: stąd otzymujemy elację: A W V M V Q W V M Q Potencjał w danym punkcie ówna się stosunkowi pacy W wykonanej pzez pole pzy 5 odpowadzanie dowolnego ładunku z tego punktu do nieskończoności, do watości tego ładunku. Potencjał elektyczny jednostką potencjału w układzie SI jest dŝul na kulomb. Taka jednostka pojawia się tak często, Ŝe uŝywa się specjalnej nazwy wolt (w skócie V) dla tej jednostki i stąd: wolt dŝul na kulomb. Ta nowa jednostka pozwala pzyjąć inną jednostkę natęŝenia pola elektycznego E, któe dotąd miezyliśmy w niutonach na kulomb. Po dwóch pzekształceniach jednostek otzymujemy: N V C J N / C V / m C J N m ev e 9 9 ( V ) (.6 C)( J / C).6 J 6 8
Powiezchnie ekwipotencjalne Sąsiadujące ze sobą punkty, któe mają taki sam potencjał elektyczny, twozą powiezchnię ekwipotencjalną, któa moŝe być albo wyobaŝoną powiezchnią, albo zeczywistą powiezchnią fizyczną. Jeśli cząstka pousza się między dwoma punktami początkowym i końcowym po tej samej powiezchni ekwipotencjalnej, to pole elektyczne nie wykonuje nad cząstką naładowanąŝadnej pacy W, zgodnie z któym W, jeśli V konc V pocz. 7 Powiezchnie ekwipotencjalne Powiezchnie ekwipotencjaine są zawsze postopadłe do linii pola elektycznego i stąd do natęŝenia E, któe jest zawsze styczne do tych linii. Jeśli natęŝenie E nie byłoby postopadłe do powiezchni ekwipotencjalnej, to miałoby składową leŝącą wzdłuŝ tej powiezchni. Składowa ta wykonywałaby więc pacę nad cząstką naładowaną, pzy jej uchu po powiezchni. 8 9
Obliczanie potencjału na podstawie natęŝenia pola elektycznego RóŜnicę potencjałów między dowolnymi dwoma punktami początkowym P i końcowym K w polu elektycznym moŝemy obliczyć, jeśli znamy wekto natęŝenia pola elektycznego E wzdłuŝ jakiejkolwiek dogi łączącej te punkty. Paca dw, wykonana nad cząstką pzez siłę F, pzy pzesunięciu ds wynosi: dw Fo ds q Eo ds Całkowita paca wynosi: dw q kon pocz Eo ds V kon V pocz kon pocz Eo ds Jeśli wybiezemy potencjał V pocz w punkcie początkowym ówny zeu, wtedy kon V Eo ds pocz 9 Potencjał pola ładunku elektycznego Pzesuwamy dodatni ładunek póbny q z punktu P do nieskończoności. Eo ds E cosθds NatęŜenie pola elektycznego E jest skieowane adialnie od wybanej cząstki. Stąd pzesunięcie ds cząstki póbnej wzdłuŝ jej tou ma ten sam kieunek co E, stąd kąt θ i cosθ. To jest adialny, a więc moŝna napisać ds d. V kon V pocz R Ed Pzyjmijmy, Ŝe ( w ) i V pocz V oaz, Ŝe V kon q E
Potencjał pola ładunku elektycznego V q q q d R R R Ostatecznie wyaŝenie na potencjał V pola wytwozonego pzez cząstkę o ładunku q, w dowolnej odległości od cząstki. otzymujemy: V q Cząstka dodatnio naładowana wytwaza dodatni potencjał elektyczny. Cząstka ujemnie naładowana wytwaza ujemny potencjał elektyczny. Potencjał pola układu ładunków punktowych Wypadkowy potencjał układu ładunków punktowych w jakimś punkcie moŝemy obliczyć, kozystając z zasady supepozycji. V n V i i 4 πε n i gdzie q i jest watością i-tego ładunku, a i jest odległością danego punktu od i-tego ładunku. q i i Suma we wzoze jest sumą algebaiczną, a nie sumą wektoową, jak suma pzy obliczaniu natęŝenia pola elektycznego dla układu ładunków punktowych.
Potencjał pola dipola elektycznego W punkcie P dodatni ładunek punktowy (znajdujący się w odległości (+) ) wytwaza potencjał V (+) i ujemny ładunek punktowy (w odległości (-) ) wytwaza potencjał V (-) Wypadkowy potencjał w punkcie P wynosi: V q ( ) ( + ) V i V( + ) + V( ) + 4 i πε ( + ) ( ) ( ) ( + ) Dla duŝych odległości od dipola, >> d, gdzie d jest odległością między ładunkami: Wtedy ( ) ( + ) d cosθ ( ) ( + ) q q d cosθ V gdzie kąt θ jest miezony od osi dipola. 3