Kazmerz Korbel, Władyław Dąbrowk Flracja ygnału w pekromerycznym orze pomarowym Flry analogowe Preprn krypu uczelnanego AGH Nr 38 (Werja poprawona uzupełnona Kraków, 8 ISSN 39-64
. WSTĘP Deekory promenowana jonzującego anową w oce konwerery ygnału, generujące w procee przemany elekryczny ygnał wyjścowy w forme mpulów prądowych. Zależne od rodzaju deekora ładunek neony przez jego mpul prądowy je bądź nezależny od energ promenowana zaaborbowanego w deekorze w akce deekcj, bądź eż je z ną zwązany zależnoścą lnową. Rodzaj deekora w zaadnczy poób wpływa na loścowe relacje mędzy przejęą przez deekor porcją energ a parameram ampludowo-czaowym generowanego mpulu prądowego. W pekromerycznych yemach pomarowych znajdują zaoowane oczywśce ylko deekory wykazujące lnowy zwązek mędzy wzbudzonym ładunkem a energą promenowana. Można je klayfkować według ogólne przyjęego w prakyce pekromerycznej poobu podzału, żeby ogranczyć ę ylko do najbardzej rozpowzechnonych, w rzech grupach: - deekory półprzewodnkowe. - deekory gazowe (lcznk komory proporcjonalne oraz - deekory (lcznk cynylacyjne. Włanośc deekorów określone ą przez zepół charakeryyk paramerów znamonowych. Dla zgrubnego porównana ogranczymy ę do rzech najbardzej onych: - średnej energ W nezbędnej do uwolnena odpowedno pary (e-h elekron-dzura, pary elekron-jon (e-j lub fooelekronu, - wzmocnena wewnęrznego G oraz - wpółczynnka Fano F. Paramer Symbol Rodzaj deekora Półprzew. Gazowy Scynylac. Energa uwolnena pary (e-h, (e-j lub fooelek- W 3 3 3 ronu [ev] Wzmocnene wewnęrzne G 3 6 deekora Wpółczynnk Fano F,,3 Tabela. W Tabel. zeawono przyblżone warośc ych paramerów dobrane z myślą uwdocznena ławych do mnemoechncznego zapamęana wzajemnych proporcj. Z ego węc 3
względu podano wypośrodkowane warośc paramerów deekorów półprzewodnkowych oraz przyjęo za reprezenaywne deekory proporcjonalne z wypełnenem gazam weloaomowym, a w grupe deekorów cynylacyjnych lcznk z kryzałem NaJ(Tl foopowelaczem o wzmocnenu równym 6. Paramery znamonowe deekorów umożlwają wyznaczene warośc paramerów ygnałowych, akch jak ampluda wzbudzonego ładunku Q oraz napęca V na pojemnośc C deekora, jak równeż warośc średnch odchyleń andardowych ych welkośc uwarunkowanych ayycznym charakerem proceu generacj ładunku. Zakładając, dla uprozczena ujednolcena formuł, ałość wzmocnena wewnęrznego G deekorów, zależnośc opujące powyżze paramery ygnałowe przyborą poać: E Q q G (. W q E V G (. C W σ G q F E Q W (.3 σ G q F E V C W (.4 gdze: E energa promenowana jonzującego racona w deekorze, zaś q ładunek elekronu (.6x -9 C Tabela. Rodzaj deekora Paramer Symbol Półprzew. Gazowy Scynylac. Ładunek wygenerowanego mpulu Q ~5 x -6 ~5 x -4 ~5 x - [C] Ampluda mpulu napęcowego V ~ -5 ~ -3 ~ -4 [V] Średne odchylene andardowe Q σ Q ~3 x -8 ~,5 x -5 ~ - [C] Średne odchylene andardowe V σ V ~6 x -8 ~3 x -5 ~ x -4 [V] 4
Dla podanych w Tabel. przykładowych warośc W, G F oblczymy z kole warośc paramerów ygnałowych przyjmując nado E kev oraz C 5pF. Rezulay akch przyblżonych oblczeń zeawono w Tabel.. Nk pozom ygnału uzykwanego bezpośredno na zackach deekora oraz koneczność elekrycznego dopaowana deekora do yemu odborczego zmuza do zaoowana układu wzmocnena wępnego (przedwzmacnacza. Każdy rzeczywy układ wzmacnający wprowadza jednak dodakowe zakłócena flukuacyjne. W ermnach oowanych w pekromer promenowana jądrowego oznacza o pogorzene rozdzelczośc energeycznej yemu pomarowego. Generowany w przedwzmacnaczu zum ulega pewnej redukcj wkuek ogranczonej zerokośc pama przenozena oru analogowego pekromeru. Efek en, jak późnej pokażemy, zoał właśne wykorzyany do opymalzacj ounku ygnału do zumu. Sąd eż włanośc zumowe przedwzmacnaczy, określone przez ch producenów, odnozone ą do opymalnego pama przenozena, formowanego zrezą poza układem przedwzmacnacza. Wkład zumowy przedwzmacnacza przyjęo umowne wyrażać przy pomocy globalnych paramerów zumowych dla jednoznaczne zdefnowanych warunków flracj. Warośc ych paramerów odnozone (redukowane ą do wejśca przedwzmacnacza, a w zależnośc od rodzaju deekora, kóry dany przedwzmacnacz obługuje, wyrażane ą w jednokach energ (dla deekorów półprzewodnkowych, w jednokach ładunku (dla gazowych deekorów proporcjonalnych względne w jednokach napęca (dla deekorów cynylacyjnych. Odpowedne paramery globalne będzemy dalej oznaczać ymbolam A A, E Q, oraz A σ V. Z defncj określają one rozmyce zumowe monoenergeycznego pku wdmowego; w perwzych dwóch przypadkach - pełną zerokość rozmyca na połowe ampludy pku (FWHM - FULL WIDTH AT HALF MAXIMUM, w rzecm naoma połowę zerokośc na wyokośc równej 6% wyokośc pku (średne odchylene andardowe σ. W Tabel.3 podano, yułem przykładu, warośc podawowych paramerów w ym równeż globalnych paramerów zumowych klku wybranych ypów przedwzmanaczy,3,4. Dane doyczące zumów wyznaczono dla warunków opymalnej flracj zerowej pojemnośc wejścowej przedwzmacnaczy. Globalne paramery zumowe opują wypadkowy kuek dzałana ylko ej częśc zumów jaka je zawara w paśme przenozena oru pekromerycznego. Z ego powodu ne reprezenują one całego wdma zumów generowanych w przedwzmacnaczu. Ne zawerają one ym bardzej danych doyczących rukury ych zumów. Pełnej nformacj o włanoścach zumowych przedwzmacnacza doarcza jedyne rozkład gęośc wdmowej mocy zumów merzonych bezpośredno na jego wyjścu, a węc ne modyfkowany przepuowoścą obwodów kzałujących (flrów. Dla wyznaczena ego rodzaju charakeryyk nezbędne je jednak odpowedne wzbogacene bazy nrumenalnej laboraorum pekromerycznego. Znajomość rozkładu wdmowego zumów przedwzmacnacza anow podawę racjonalnej ynezy flru opymalzującego rozdzelczość energeyczną oraz/lub czaową pekromerów. Dla unaocznena wag problemów porównajmy dane zumowe przedwzmacnacza ładunkowego ypu 5 POLON z Tabel.3, odpowadające warunkom flracj opymalnej A E, kev, 5
Tabela.3 E z rozmycem zumowym zachodzącym w przypadku braku układu flrów. Oóż w drugm przypadku, gdy jedynym ogranczenem dla zumów je pamo przenozena przedwzmacnacza, A zumowa zerokość połówkowa wyno 35,5 kev. W jednokach ładunku je ono rów- A noważne średnemu odchylenu andardowemu σ Q 6,7 x -6 C, co dla rozważanego wcześnej przypadku (Tabela. dykwalfkuje ego rodzaju yem pomarowy. Przyoczony przykład uzaadna poglądowo neodzowność ogranczana przepuowośc oru pekromerycznego. Wynkają one z żądana oągnęca wyokej energeycznej zdolnośc rozdzelczej pekromeru, anowącego w ermnach paramerów elekrycznych kryerum makymalzacj ounku ygnału do zumu. Leraura Typ przed- Cza Rodzaj Czułość Szumy wzmacnaczy naraana deekora POLON 5 45 mv/mev, kev n S ORTEC VT A V/V µv rm n cynylac. 4 A 45mV/MeV,5 kev 5 n S 9 A 5mV/MeV 3, kev - S 4 PC µv/(e-h 3 el rm n proporcj. 93 V/V 5 µv rm,5 n cynylac. CANBERRA 5mV/MeV 6 ev < 4 n Ge 3 BT mv/mev, kev < 5 n S 5 4,5 mv/pc -5 C < 5 n cynylac. 6 35 mv/(e-h 35 el rm < n proporcj.. Glenn F. Knoll.: Radaon Deecon and Meauremen. John Wley and Son Inc., New York, 973. Przedwzmacnacz ładunkowy yp 5A. Inrukcja Obług. Zakład Technk Jądrowej, ZZUJ POLON, Warzawa 98 3. EG and G ORTEC Caalog 9/9 Deecor and Inrumen for Nuclear Specrocopy 4. CANBERRA Caalog, EDITION SEVEN. 6
. POJĘCIA PODSTAWOWE TERMINOLOGIA Spekromeryczny or pomarowy można rakować jako pewen zczególny przypadek yemu komunkacyjnego, kórego zadanem je PRZESYŁANIE (TRANSMISJA oraz OD- BIÓR (RECEPCJA ygnałów w obecnośc zakłóceń zumowych ndukowanych. Wydaje ę zaem właścwym zapożyczyć zereg pojęć zależnośc podawowych z ogólnej eor komunkacj, pomocnych przy formułowanu uogólnających werdzeń uławających korzyane z zaawanowanej leraury przedmou. W najbardzej ogólnym ujęcu zagadnena przedmoem TRANSMISJI RECEPCJI może być dowolnego ypu ZABURZENIE (elekryczne, akuyczne, opyczne, ermczne d.. Jeśl ZABURZENIE ake nee POŻĄDANĄ nformację zwane je SYGNAŁEM, jeśl naoma akej nformacj ne zawera, anow ono kładową NIEPOŻĄDANĄ, określaną manem SZUMÓW lub TŁA. Zachowując nadal ogólność rozważań dopuzczamy ż ygnał może meć charaker zarówno DETERMINISTYCZNY jak STOCHASTYCZNY, naoma SZUM, rozumany jako rezula proceów FLUKTUACYJNYCH, ma charaker STOCHASTYCZNY. Zauważmy, że wprowadzone równolegle z pojęcem zumu określene TŁO ma zerze znaczene obejmujące obok zakłóceń ypu ochaycznego akże zakłócena o charakerze deermnycznym. W ermnach eor komunkacj ayycznej ygnał opany je zależnoścą funkcyjną S( Am (, ε, Θ (. w kórej A m je marą mocy ygnału j. deermnuje kalę ampludową zaś ( anow znormalzowany kzał ygnału. Paramer ε określany manem EPOKA, wąże przebeg czaowy ygnału z przyjęym dowolne układem wpółrzędnych. Podaje on odległość czaową wybranego, zdefnowanego funkcyjne punku przebegu ygnału od począku przyjęego układu odneena czaowego, kóry z kole odpowada momenow rozpoczęca POMIARU. Częo oowanym ynonmam pojęć POMIAR oraz CZAS POMIARU ą określena OBSERWA- CJA odpowedno CZAS OBSERWACJI. Będą one, jako równoważne, używane w dalzej par wykładu. Na ryunku. przedawono wzajemne relacje mędzy przebegem ygnału (, epoką ε oraz okreem oberwacj T m. Symbolem Θ w formule (. oznaczono ogólne wzelke paramery DESKRYPTYWNE ygnału jak np. długość mpulu, częolwość repeycj nne. Według włanośc parameru ε ygnały dzelmy na dwe kaegore: - SYGNAŁY KOHERENTNE, dla kórych epoka przyjmuje warość ałą, - SYGNAŁY NIEKOHERENTNE, dla kórych ε je zmenną loową. W zczególnym przypadku, gdy za referencyjny punk przebegu ygnału przyjąć jego począek zwązać z nm układ wpółrzędnych, epoka ε, wobec czego ygnał będze zalczany do kaegor ygnałów koherennych. Tego rodzaju przypadk będą mały mejce w pomarach rozkładów ampludowych w yemach pekromerycznych promenowana jądrowego. 7
ε x ( T m Ry... Sygnał, epoka cza oberwacj Uyemayzujmy z kole pojęca zwązane z proceem RECEPCJI ygnału. W procee ym dokonywana je ocena ygnału według założonych, ścśle zdefnowanych kryerów eowana. Umowne wyróżna ę dwa pooby akej oceny określane odpowedno manem DE- TEKCJI EKSTRAKCJI ygnału. Ocena realzowana w procee DETEKCJI ma na ogół charaker jakoścowy prowadza ę do werdzena czy w OKRESIE OBSERWACJI na le zumów pojawa ę oczekwany SYGNAŁ względne / oraz czy wykazuje on określoną cechę lub zbór cech znamonowych. W polu nazych zanereowań będze domnować zw. DETEKCJA BINARNA, w wynku kórej uzykujemy w odpowedz ocenę ypu TAK lub NIE. Tego rodzaju układy DETEK- CJI BINARNEJ wchodzą właśne z reguły w kład andardowych zeawów radomerycznych jako progowe dykrymnaory ampludy mpulów. W procee EKSTRAKCJI dokonywana je ocena loścowa. Polega ona, mówąc ogólne, na eymacj welkośc opujących ygnał oowne do relacj formuły (.. W zakree porzeb analzy ampludowej mpulów problem EKSTAKCJI zawęzmy do yuacj, w kórej ygnał je zdeermnowany rukuralne j. funkcja ( ma ścśle zdefnowaną poać analyczną a paramerem podlegającym eymacj (pomarow je ampluda A m, zaś owarzyzący ygnałow zum je bałym zumem gauowkm. DETEKCJA EKSTRAKCJA ne anową alernaywnych operacj proceu RECEPCJI ygnału mogą być dokonywane równocześne, przy czym odpowedź deekora w ak złożonym yeme RECEPCJI warunkuje (akcepuje względne wzbrana dzałane EKSTRAKTO- RA. Przykładem yemu RECEPCJI z dwoma DETEKTORAMI BINARNYMI jednym EKSTRAKTOREM je konwencjonalny, welokanałowy analzaor ampludy wypoażony w dwa wpomagające dykrymnaory pozomu dolnego górnego. Realzowana w procee ekrakcj ygnału eymacja warośc paramerów znamonowych zachodz w warunkach konkrenych wzajemnych relacj mędzy ygnałem zumem. Wynka ąd neokreśloność warośc eymowanego parameru, wyrażana bądź o jako średne odchylene andardowe σ bądź jako pełna zerokość na połowe wyokośc (FWHM rozkładu ampludowego, uzykanego w pomarach doaeczne lcznego zboru analzowanych ygnałów (mpulów. 8
Warunek ałośc ampludy A m ych mpulów uożama w konekwencj warość średnego odchylena andardowego σ z waroścą średnokwadraową zumów, a w ferze nereujących na ygnałów zumów elekrycznych z waroścą średnokwadraową napęca zumów V z rm. Błąd względny pomaru, zdefnowany jako względne odchylene andardowe δ wyraża ounek σ A m σ V zrm δ A (. m Am Według bardzej rozpowzechnonego poobu noacj warość średnokwadraową napęca zumów oznacza ę ymbolem N (NOISE a ampludę mpulu ymbolem S (SIGNAL. Wygodnejzym w prakyce okazało ę wrezce oowane welkośc charakeryzującej dokładność pomaru, anowącej odwroność względnego odchylena andardowego oznaczanej ymbolam SNR (SIGNAL o NOISE RATIO względne S/N. Idealny EKSTRAKTOR ne wprowadzający żadnych dodakowych uchybów pomaru, dokonuje eymacj warośc wyznaczanego parameru z dokładnoścą uwarunkowaną ounkem ygnału do zumu na jego wyjścu. Dla zwękzena precyzj pomaru koneczne je zaem opracowane meod układów opymalzujących wzajemną relację ygnału zumu. Prowadzone w ym kerunku uda doprowadzły do ogólnej konkluzj, według kórej prawe każda ayyczne opymalna procedura pomaru ampludy mpulów ygnałów każonych addyywne gauowkm zumem bałym, meśc ę w klae POMIARÓW KOHE- RENTNYCH, prowadzających ę do oblczena całk ważonej,3 + [ S( + N( ] ( d G (.3 W realnych warunkach pomaru grance całkowana przyjmują warośc kończone, równe odpowedno oraz T m, zakładając że począek pomaru pokrywa ę ścśle z począkem merzonego mpulu z cza pomaru oberwacj wyno T m. Operację opaną formułą (.3 można zrealzować nrumenalne na dwa równoważne pooby. Perwzy poługuje ę zepołem bloków funkcjonalnych wykonujących ekwencyjne mnożene całkowane zgodne z relacją formuły (.3. Uwzględnając, że funkcja S( w równoważnym przypadku uprazcza ę do poac S( A ( (.4 m 9
nerudno zauważyć ż wyrażene (.3 reprezenuje funkcję korelacj wzajemnej mędzy zazumonym ygnałem wejścowym a jego nekażonym przebegem czaowym. Pomar dokonywany ą meodą zwany je przeo POMIAREM KORELACYJNYM Alernaywna meoda opera ę na wykorzyanu echnk flracj przy pomocy lnowego flru acjonarnego. Flr ego rodzaju o przepuowośc wdmowej zapewnającej oągnęce makymalnej warośc ounku ygnału do zumu no mano DOPASOWANEGO FIL- TRU OPTYMALNEGO. Na grunce przedawonej dalej analzy eoreycznej wykażemy zaadność wprowadzonej nazwy, oraz ogólną łuzność podanej uprzedno bez dowodu zależnośc (.3. Leraura. D. Mddleon.: An Inroducon o Sacal Communcaon Theory. McGraw-Hll, New York, 96. V. Radeka and N. Karlovač.: Lea-Square-Error Amplude Meauremen of Puly Sgnal n Preence of Noe. Nuclear Inrumen and Mehod, Vol. 53, 86, 967 3. C.W. Helrom.: Sacal Theory of Sgnal Deecon. Pergamon Pre Ld., England, 96 (w przekładze polkm: Sayyczna eora deekcj. WNT, Warzawa, 964.
3. DOPASOWANY FILTR OPTYMALNY Problem opymalnej flracj ygnału można rakować bardzo ogólne bez względu na rodzaj ygnału zakłóceń zumowych. W przedawonych dalej rozważanach ponechamy ak ogólnego podejśca, odnoząc je do yuacj właścwej dla pekromerycznego oru pomarowego. W konekwencj ygnał będze dany w poac przebegu napęcowego V ( mającego jednoznaczne określony rozkład wdmowy S (jω. Załóżmy nado, że owarzyzący mu zum je zumem bałym o równomernym wdme energeycznym W. Celem analzy będze zbadane, czy możlwa je yneza lnowego flru acjonarnego, kóry by makymalzował ounek ygnału do zumu, a jeśl ak, o jaka pownna być ranmancja akego flru opymalnego jego charakeryyka mpulowa. Zauważmy, że nauralnym poobam opu ygnału wejścowego oraz włanośc flru ą opy dokonywane odpowedno w domene czau częolwośc. Z fenomenologcznego punku wdzena dzałane flru na przenozony przezeń ygnał zachodz w domene częolwośc, wyrażając ę modyfkacją wdma przenozonego ygnału zgodne z relacją gdze S (jω wdmo ygnału na wejścu flru, S o (jω wdmo ygnału na wyjścu flru, oraz F(jω zepolona przepuowość wdmowa flru. S o ( jω S ( jω F( jω (3. Jak już powedzano, przebeg czaowy ygnału wejścowego V ( ma jednoznaczną reprezenację w domene częolwośc w forme rozkładu wdmowego S (jω. Analogczne rozkład wdmowy ygnału wyjścowego S o (jω je jednoznaczne odwzorowany w dzedzne czau jako funkcja V o (. Wynkający z analzy harmoncznej dualzm jego opu wyrażają dwe ranformacje Fourera - ranformacja proa, według kórej oraz - ranformacja odwrona anowąca, że S + jω ( jω V ( e d (3. j ω ω V ( S( j e dω (3.3 π
Załóżmy na raze, że rozparywany flr ne je opymalnym, a jego przepuowość wdmowa wyno j ϕ( ω F ( jω F( ω e (3.4 Odpowedzą na ygnał wejścowy V ( o rozkładze wdmowym j ψ( ω S ( jω S ( ω e (3.5 będze zaem ygnał opany zależnoścą + j [ ω +ψ ω +ϕ ω V S ω F ω e T m ( ( ] o ( ( ( dω (3.6 π Jeśl cza pomaru (oberwacj ygnału T m, równoznaczny z momenem odczyu, dobrać w ak poób, aby dla T m ygnał wyjścowy oągał warość makymalną, wówcza równane (3.6 przyjme poać + Vo max S ( ω F( ω e π j [ ωtm +ψ( ω +ϕ( ω] Z drugej rony gęość wdmowa mocy zumów wejścowych dω d V df N W je ranmowana na wyjśce flru z kwadraem jego przepuowośc, czyl (3.7 (3.8 d V df No W [ F( ω] (3.9 Relacje (3.8 oraz (3.9 doyczą zarówno dwuronnej (maemaycznej W m jak jednoronnej (fzycznej W f gęośc wdmowej. Przypomnjmy, że welkośc e zwązane ą znaną
zależnoścą [ W ( +ω + W ( ω ] W ( W ( ω ω (3. kf k k Równane (3.9 pozwala w proy poób oblczyć warość średnokwadraową napęca zumów ma wyjścu km V Norm W + om [ F( ω] dω π (3. Iloraz wyrażeń (3.7 (3. reprezenuje STOSUNEK SYGNAŁU DO SZUMU na wyjścu flru. Zaem π SNR + S( ω F( ω e W m π + j [ ωtm +ψ( ω +ϕ( ω] [ F( ω] dω dω (3. Na podawe powyżzej zależnośc można określć warunk jakm pownen odpowadać flr opymalny. Dokonamy ego w oparcu o nerówność Schwarza,, kórą w rozważanym przypadku można zapać w poac + j ( dω (3.3 + [ ω +ψ ω +ϕ ω S ω F ω e T m ( ( ] ( dω [ S( ω ] dω [ F( ω ] Aplkując ją z kole do formuły (3. uzykujemy nową nerówność π + S ( ω F( ω e W m π j [ ωtm +ψ( ω +ϕ( ω] [ F( ω ] + dω dω + [ S ( ω] πw m dω (3.4 3
Ławo zauważyć ż nerówność powyżza przechodz w równość w przypadku gdy SNR oąga warość makymalną. Z formalnego punku wdzena równość obu ron wyrażena (3.4 daje ę oągnąć jeśl przepuowość flru pełnać będze naępujące warunk ϕ( ω [ ωt + ψ( ω] (3.5 m oraz F ( ω B S ( ω (3.6 gdze B je dowolną ałą o wymarze równym odwronośc wymaru S. Flr o przepuowośc określonej zależnoścam (3.5 (3.6 je zaem FILTREM OP- TYMALNYM. W konekwencj możemy napać F op ( jω B S ( ω e B S ( jω e j [ ψ( ω +ωtm ] * j ωt m Jego charakeryykę mpulową wyznaczymy poprzez odwroną ranformację Fourera h op + (3.7 + jω B * fω( m F jω e dω S jω e T ( op ( ( dω (3.8 π π * Na drodze proych przekzałceń (podawając S ( jω S ( jω oraz wprowadzając nową zmenną ω ω uzykujemy h op B + jω ( Tm ( S ( jω e dω (3.9 π Jeśl porównać powyżzą zależność z przebegem ygnału wejścowego opanego według formuły (3.3 dochodzmy do konkluzj, że h op ( B V ( T (3. czyl, że charakeryyka mpulowa flru opymalnego anow lurzane odbce przebegu ygnału wejścowego, przeunęe w czae o okre oberwacj T m. Na ryunku 3. przedawono dla przykładu przebeg czaowy przyjęego dowolne ygnału wejścowego V ( (przy m 4
warośc ε, jego lurzane odbce V (, oraz charakeryykę mpulową flru opymalnego h op (. Ze względu na ymerę przebegów V ( h op ( Mddleon nadał ego rodzaju flrom nazwę FILTR DOPASOWANY 3. V (- V ( h op ( Zwęzłego choćby komenarza wymagają dwa zagadnena wążące ę po perwze z FI- ZYCZNĄ REALIZOWALNOŚCIĄ dopaowanego flru opymalnego, a po wóre z WYBO- REM CZASU POMIARU T m. Za realzowalny fzyczne układ o ałych kuponych uważa ę czwórnk zbudowany bądź o wyłączne z elemenów R, L, C bądź eż zawerający obok elemenów paywnych IDEALNY WZMACNIACZ LINIOWY. Według powyżzego kryerum podzału wyróżna ę dwe kaegore flrów, a manowce odpowedno FILTRY PASYWNE oraz FILTRY AKTYWNE. Warunk koneczne wyarczające realzowalnośc fzycznej flru zapzemy w poac 4 h( dla - (3. lm h( T m Ry. 3.. Przykładowe przebeg V (, V (- oraz h op ( (3. Warunek perwzy wyraża fzyczną nemożlwość uzykana odpowedz na wyjścu flru przed pojawenem ę ygnału wejścowego. Drug warunek uzupełnmy łowne wymaganem aby funkcja h( zdążała (możlwe zybko do zera dla zachowana ablnośc układu. Warunek en wyraża nerówność + h ( d < (3.3 5
Inną jezcze formą jego reprezenacj je kryerum Peley a-wenera 4,5, według kórego + [ F( jω ] log + ω dω < ω (3.4 Zagadnene czau pomaru T m wąże ę nerozdzelne z efekywnoścą flracj. Dla wykazana ego zwązku załóżmy, że dla pewnej, określonej warośc T m na wyjścu flru uzykujemy makymalną możlwą warość ampludy V o max Wyno ona Zauważmy, że wyrażene + + jωt B m Vo ( Tm S ( jω Fop ( jω e dω [ S ( ω ] dω (3.5 π π π + [ S ( ω ] dω E (3.6 podaje warość energ E ygnału wejścowego (wg w. Parevalla 4. Określa ją równeż jednoznaczne formułą E [ V ] + ( d (3.7 przy czym dla ygnału o kończonym czae rwana za górną grancę całkowana wyarczy przyjąć. Wynka ąd oczywy wnoek ż oągnęce makymalnego ounku ygnału do zumu możlwe je pod rygorem dopełnena warunku Tm (3.8 gdyż ylko wedy do formowana pku odpowedz wykorzyana je całkowa energa ygnału wejścowego. Kombnacja zależnośc (3.5, (3.6, (3. oraz (3.6 daje formułę określającą loścowo ounek ygnału do zumu na wyjścu dopaowanego flru opymalnego. 6
SNR op W π m B E [ B S ( ω ] + dω W B E m B E E W m (3.9 Nerzadko, a w pekromerycznych yemach pomarowych z reguły, zachodz koneczność ogranczena czau pomaru T m do warośc one mnejzej od czau rwana ygnału. W akch przypadkach użyeczne je pojęce WZGLĘDNEGO STOSUNKU SYGNAŁU DO SZUMU zdefnowanego jako SNRT, η m E Tm, (3.3 SNR E gdze SNR oznacza warość ounku ygnału do zumu przy nekończene długm czae pomaru, zaś SNR Tm odpowedno warość SNR uzykwaną w czae rzeczywym pomaru T m. Charakeryycznym przykładem obcnana ygnału je pomar ampludy mpulów o zanku ekponencjalnym V ( A exp (3.3 W akm przypadku każdy dowolne przyjęy, rzeczywy cza pomaru T m będze krózy od pełnego czau rwana mpulu. Energa równoważnego ygnału zawara w przedzale <,T m > będze węc równa E Tm T m, T m > A exp d A e (3.3 < a oągalna warość ounku ygnału do zumu SNR Tm wynee SNR Tm W A f T m e (3.33 7
W równanu powyżzym w mejce maemaycznej gęośc wdmowej wprowadzono zgodne z relacją (3. nrumenalne merzalną, fzyczną gęość wdmową mocy zumów. Bezwzględna, makymalna warość ounku ygnału do zumu w danym przypadku wyno SNR A (3.34 W f wobec czego względny ounek ygnału do zumu według defncj (3.3 wyraz zależność T m η e (3.35 Charaker powyżzej zależnośc funkcyjnej wkazuje, że dla warośc T m relaywne blkch warośc ałej czaowej względny ounek ygnału do zumu newele odbega od jednośc. Wynka o z faku, że wobec ounkowo zybkego padku pozomu ygnału wejścowego w jego częśc począkowej, newelka ylko część jego energ pozoaje newykorzyana w procee formowana odpowedz flru. Momen obcęca ygnału wejścowego j. prowadzene go do pozomu zerowego w chwl zakończena pomaru (-T m manfeuje ę na wyjścu flru oągnęcem warośc zczyowej V o max, po czym naępuje ekponencjalny padek odpowedz ze ałą czaową flru równą ałej czaowej mpulu wejścowego. Przebeg odpowedz przyjmuje charakeryyczny kzał półkężycowy ( CUSP. Jego analyczny op daje całka plou funkcj V ( oraz h op (. przy czym w rozważanym przypadku Vo ( V ( ξ h( ξ dξ (3.36 ( ξ V ( ξ A exp (3.37 oraz ( Tm ξ h op ( ξ B exp (3.38 Dla uprozczena przyjmjmy B. Rozwązane (3.36 daje wówcza: 8
9 - w przedzale czau <-,T m > ( exp ( m o T A V (3.39 - w przedzale czau <T m,+ > ( exp ( m o T A V (3.4 oraz warość makymalną odpowedz (dla T m równą ( max A V T V o m o (3.4 Opana formułam (3.39, (3.4 (3.4 odpowedź flru, choć formalne poprawna, pozbawona je enu fzycznego wobec nedopełnena warunku realzowalnośc fzycznej. Odpowedź flru rzeczywego ne może wyprzedzać w czae wymuzena, wobec czego koneczne je ualene dolnej grancy całkowana całk plou (3.36 na warośc zerowej zama -. Orzymujemy wedy odpowedno rozwązana: < < T T o e e e A V m m ( (3.4 m m T T o e A V max (3.43 < < T T T o e e e A V m m ( (3.44 Ryunek 3. przedawa rodznę odpowedz opanych powyżzym równanam dla klku warośc czau pomaru T m. W procedurze projekowana flrów dopaowanych należy na równ z warunkem realzowalnośc fzycznej uwzględnć warunk realzowalnośc echncznej. Wynkają one, mówąc najogólnej, z ogranczeń rukuralnych oraz nedokonałośc ubukładów elemenów kładowych flrów, W rezulace ych ogranczeń perwze propozycje układowe 6 ze względu na opeń złożonośc komplkacj ne znalazły prakycznego zaoowana.
V o exp( T m T m T m3 T m4 T m5 Ry. 3.. Rodzna odpowedz flru dopaowanego na wymuzene ypu exp (-/ Możlwość ounkowo ławej realzacj flru dopaowanego prześledzmy, dla przykładu, przy założenu wymuzena andardowym mpulem prookąnym o ampludze A, czae rwana oraz ε. V ( Jego rozkład wdmowy opuje równane A dla dla < > jω ( e (3.45 jω A S ( jω A e d (3.46 jω Skończony cza rwana mpulu wejścowego pozwala w pełn wykorzyać jego energę do formowana odpowedz, co zachodz dla T m. Przepuowość wdmowa, zgodne z relacją formuły (3.7 przyjmuje zaem poać wobec czego F op jω jωt B A m jω ( e e ( e B A ( jω (3.47 jω jω
BA dla h op ( (3.48 dla > Z porównana wyrażeń (3.45 (3.47 wdać, że charakeryyka mpulowa flru dopaowanego pokrywa ę werne z przebegem ygnału wejścowego. Syneza flru dopaowanego prowadza ę węc w ym przypadku do realzacj czwórnka lnowego, kóry w odpowedz na mpul drakowk da na wym wyjścu mpul prookąny. Jedną z możlwych konfguracj akego układu przedawono na ryunku 3.3. V ( V x ( DL V o ( WE B Û x T D Ry. 3.3. Schema blokowy flru dopaowanego o charakeryyce mpulowej (3.48 Zawera on czery dealne podzepoły funkcjonalne: wzmacnacz lnowy o wzmocnenu B, negraor, lnę opóźnającą o opóźnenu T D oraz ubrakor. Jeśl na wejśce ego układu podać mpul drakowk V ( A δ ( o w rezulace dealnego całkowana zoane on przekzałcony do poac funkcj kokowej A H (. Sygnał en z kole, dwoma oram: bezpośrednm poprzez lnę opóźnającą, przekazywany je na odpowedne wejśca układu odejmującego (ubrakora, dając w efekce na jego wyjścu mpul prookąny o ampludze A zerokośc T D. Oznacza o, że charakeryyka mpulowa h ( całego układu odpowada poawonym wymaganom. W ope funkcjonalnym układu z ryunku 3.3 mocno podkreślano włanośc zaoowanych podzepołów, rakując je jako dealne. Układy rzeczywe mnej lub bardzej odbegają od powyżzego założena, ąd węc uzykane efeky będą odpowedno gorze od eoreyczne przewdywanych. Przepzmy eraz zależność (3.36 w jej poac równoważnej WY o V V ( ( ξ h ( ξ dξ (3.49 op Dla ygnału wejścowego opanego ogólne formułą V ( S( A ( (3.5 m
charakeryyka mpulowa dopaowanego flru opymalnego będze opana wzorem zaś odpowedź flru h op ( B S( T T A B ( T (3.5 m m V ( S( ξ B S( T [ ξ] dξ (3.5 o m W chwl T m ygnał wyjścowy oąga eoreyczne wą bezwzględne makymalną warość równą + V o ( A B S( ( d (3.53 Jeśl przyjąć, że B wówcza zależność (3.53 prowadz ę do poac formuły (.3 odneonej wyłączne do ygnału. Zważywzy ż poza oczywśce dopuzczalną dowolnoścą doboru warośc ałej B ne wprowadzono żadnych nnych warunków an ogranczeń, zależność (3.53 je ogólne łuzną. Tym amym wykazano równeż ogólną łuzność formuły (.3. W doychczaowych rozważanach zakładalśmy, że wdmo zumu owarzyzącego ygnałow je nezależne od częolwośc. Je o przypadek zczególny, na ogół bowem będzemy mel do czynena z zumem kolorowym o dowolnym w zaadze rozkładze gęośc wdmowej mocy zumu W n (ω. Przeprowadzona uprzedno analza opymalnego flru dopaowanego wymaga zaem uogólnena. Dokonamy go w oparcu o równoważny układ blokowy flru przedawony chemayczne na ryunku 3.4. W n (ω WE S (ω F W S (ω F /3 F F 3 * S ( jω k e W ( ω n WY jωt m Ry. 3.4. Schema blokowy flru dopaowanego z układem wybelana
3 Układ zawera zepół rzech czwórnków lnowych, z kórych perwzy ma za zadane ranformację wdma zumów W n (ω w wdmo bałe W, zaś dwa kolejne pełną łączne funkcję flru dopaowanego do ygnału wyjścowego perwzego czwórnka. Zgadne z założenem przepuowość wdmowa perwzego czwórnka pownna wynoć ( ( ω ω W n W F (3.54 Powoduje ona oprócz wybelana zumu wejścowego W n (ω zmanę wdma ygnału wejścowego według relacj ( ( ( ω ω ω j F j S j S (3.55 a ym amym odpowedną zmanę przebegu czaowego ygnału wejścowego. Przepuowość wdmową drugego czwórnka przyjmujemy za równą odwronośc przepuowośc wdmowej czwórnka perwzego, j. ( ω j F F (3.56 zaś wypadkowa przepuowość wdmowa czwórnków drugego rzecego, oowne do przyjęego kryerum opymalzacj, pownna wynoć T m j e j B S j F j F j F ω ω ω ω ω ( ( ( ( * 3 3 / (3.57 Kombnacja zależnośc (3.54, (3.55 (3.56 prowadz do wynku m T m j n T j e W j S BW j F e j B S j F j F ω ω ω ω ω ω ω ω ( ( ( ( ( ( * * * 3 (3.58 Wypadkowa przepuowość wdmowa całego układu F o (jω określa loczyn przepuowośc czwórnków kładowych.
F o jω F ( jω F ( jω F ( j (5.59 ( 3 ω Z mocy poczynonego założena (3.56 dzałana dwóch perwzych czwórnków w kakadze wzajemne ę kompenują, co je równoznaczne z ch zupełnym pomnęcem. W przedawonej wyżej analze dopuzczono ch nene ylko z przełanek formalnych, mających na celu uławene wyznaczena przepuowośc flru opymalnego F op ( (jω F 3 (jω pracującego w warunkach dowolnego zumu kolorowego. Zaępując wrezce loczyn ałych welkośc B W nową ałą k, orzymamy wyrażene opujące przepuowość powyżzego flru w częo poykanej poac F op * S ( jω ( jω k e W ( ω n jωt m (3.6 Koncepcja wydzelana w rukurze dopaowanego flru opymalnego członu wybelającego zoała kueczne wykorzyana w realzacjach prakycznych. W ego rodzaju konfguracj opymalzacja ounku ygnału do zumu dokonywana je w drugej częśc flru o przepuowośc określonej zależnoścą (3.57. Dla luracj możlwośc ynezy flru wybelającego połużymy ę chemaem zaępczym układu deekor przedwzmacnacz przedawonym na ryunku 3.5. Załóżmy eż, dla uprozczena, że obydwa wyodrębnone na chemace zaępcze źródła zumów prądowe napęcowe generują wyłączne zumy bałe, a ygnał deekora, reprezenowanego przez zaępcze, prądowe źródło ygnałowe, dany je w forme drakowkch mpulów prądowych noących ładunek Q. I D I P C V S W n (ω V o ( Ry. 3.5. Zaępczy chema zumowy układu deekor - przedwzmacnacz Przyjmemy nado, że równoległa mpedancja na wejścu przedwzmacnacza określona je wyłączne przez pojemność C. Założena powyżze w welu przypadkach okazują ę dobrą aprokymacją warunków rzeczywych. Zapzemy je oowne do oznaczeń wprowadzonych na chemace. 4
d P q I df eq a (3.6 d vs 4 k T df R eq b (3.6 D ( Q δ ( (3.63 Z ( ω (3.64 ωc Gęość wdmowa mocy zumów na wyjścu przedwzmacnacza przy k v będze równa d VN d P d vs a Wn ( ω [ Z ( ω ] + + b (3.65 df df df ω C Dla wygody wprowadźmy nowe oznaczena Wówcza W n (ω wyraz ę jako a α oraz b C β (3.66 a W n ( ω β + (3.67 Przepuowość czwórnka (flru wybelającego według formuły (3.54 pownna wynoć ω ( ω F (3.68 α β W + β W zczególnym przypadku, gdy dopuścmy aby pozom wyjścowego zumu bałego był równy pozomow kładowej bałej zeregowego zumu napęcowego przedwzmacnacza, j. 5
dla W b β zależność (3.68 przyberze formę β ω F ( ω α (3.69 β ω + α wykazującą rukuralną denyczność z formułą opującą przepuowość wdmową proego układu różnczkującego C-R. Funkcję flru wybelającego zum o rozkładze wdmowym (3.65 może węc pełnć czwórnk ypu C-R o warośc ałej czaowej T c RC β/α. W ermnach paramerów perwonych a, b C ę ałą czaową określa zwązek b T C C (3.7 a Odwroność T c wyznacza warość częolwośc kąowej ω N, dla kórej obydwe kładowe zumu W n (ω ą obe równe. Na dagramach charakeryyk wdmowych przy warośc ω N naępuje ch wzajemne przecęce, worzące charakeryyczne naroże, co dało aump do nazwana T c manem SZUMOWEJ NAROŻNEJ STAŁEJ CZASOWEJ (NOISE CORNER TIME CONSTANT. W warunkach zadanych chemaem z ryunku 3.5 wejścowy drakowk mpul prądowy (3.63 daje na pojemnośc wejścowej C mpul napęcowy Q V ( H ( (3.7 C Flr wybelający ranformuje go naępne w mpul o zanku ekponencjalnym V ( Q V ( exp (3.7 C Tc Dla akego eż kzału ygnału wyznaczono uprzedno przebeg odpowedz dopaowanego flru opymalnego [formuły (3.39 (3.44]. Oznacza o, że charakeryyka mpulowa całego flru obejmującego opeń wępnego całkowana, obwód różnczkujący oraz właścwy flr dopaowany, pokrywa ę ścśle z charakeryyką mpulową oanego z wymenonych członów kładowych. Można ją oczywśce wyznaczyć w poób bezpośredn, pod warunkem prowadzena wzykch źródeł zumu do poac ekwwalennych źródeł prądowych, dzałających w ukła- 6
dze równoległym ze źródłem ygnału. Wymóg en w odneenu do chemau z ryunku 3.5 doyczy zeregowego źródła napęcowego V S. Równoważne mu źródło prądowe ne będze już generować zumu bałego lecz zum o wdme ypu f a manowce d C df ω d v C df b ω (3.73 Ryunek 3.6 przedawa rukurę zmodyfkowanego według powyżzej koncepcj zaępczego chemau zumowego. I D Sygnałow pomarowemu (3.63 owarzyzy w ym podejścu zum kolorowy o kładnkach opanych wzoram (3.6 (3.73 W I P d df C Ry. 3.6. Zmodyfkowany, zaępczy chema zumowy I S d v df P S ( ω + C ω a + b C ω (3.74 Zauważmy, że odpowedź mpulowa flru ma obecne charaker hybrydowy wobec różnomennośc wymuzena odpowedz (ygnał wejścowy prądowy, ygnał wyjścowy napęcowy. Oznaczmy ją z ego względu ymbolem k δ (, zaś jej ranformaę fourerowką odpowedno jako K δ (jω. Dla wygody oblczeń zwążmy wpółrzędną czaową makmum odpowedz mpulowej z począkem układu wpółrzędnych, kładąc T m. Odpowedź flru na ygnał (3.63 wyrazmy ym razem przy pomocy konuowej formy przekzałcena Fourera Q + Vo ( K δ ( jω co( ω dω (3.75 π 7
W chwl T m Q + Vo ( Tm Vo max K δ ( jω dω (3.76 π Szumy, jak wemy, przenozone ą na wyjśce flru z kwadraem jego przepuowośc wdmowej, a ch gęość wdmowa na wyjścu przyjmuje znaną nam poać d V df π No W m [ ( ω ] ( ω K δ dω (3.77 Uwzględnając zwązek mędzy maemayczną fzyczną gęoścą wdmową mocy zumów (3., dla rozważanego przypadku możemy napać Q SNR π + W + K f δ ( ω ( ω dω [ K ( ω ] δ dω (3.78 Dla określena warunków zapewnających makymalzację powyżzej funkcj połużymy ę andardową meodą rachunku waracyjnego 7. W ym celu funkcję K δ (ω w równanu (3.78 zaąpmy przez umę K δ ( ω + ε G( ω, czynąc (3.78 funkcją dwóch zmennych: ω ε. Warunek makymalzacj funkcj (3.78 orzymamy w rezulace przyrównana do zera pochodnej ej funkcj względem ε kładąc z kole ε. Przyjmuje ona poać + + K ( ω dω W ( ω K ( ω G( ω dω δ f δ + + f δ G( ω dω W ( ω [ K ( ω ] dω (3.79 Powyżza równość mu zachodzć dla dowolnej funkcj G(ω, co pocąga za obą wymagane aby K δ ( ω (3.8 ( ω W f 8
Proe podawena prowadzą do wyrażena na (SNR ( SNR Q π + dω Q W ( ω π f + dω ( a + bc ω (3.8 Korzyając z podawena prowadzmy równane (3.8 do dogodnejzej poac kóra po całkowanu daje ( SNR b x C ω (3.8 a Q dx π C a b ( + x Q + Q ( SNR arc g( x π C a b C a b + (3.83 (3.84 W ermnach zdefnowanych przez (3.66 ounek ygnału do zumu wyraz ę zaem wzorem Q ( SNR (3.85 C α β Jak należało oczekwać, uzykany wynk je ożamoścowo zgodny z SNR opanym formułą (3.34 jeśl uwzględnć zwązk: Q A C Wo f b β T c C a α C b a (3.86 9
Odpowedź mpulową flru w warunkach opymalnych orzymamy podawając do równana (3.75 zależnośc (3.8 (3.74 przy założenu jednokowego wymuzena (j. dla Q + co ω + k δ ( dω ( e + ( e (3.87 π ( a + bc ω Jeżel momen zadzałana wymuzena zwązać z punkem zerowym o czau, makmum odpowedz wyąp w chwl T m, a kładowe równana (3.87 przyborą poac δ < < Tm Tm zgodne z brzmenem formuł (3.9 (3.4. Leraura Tm k ( e oraz k ( e (3.88 δ Tm < <. Ron Bracewell.: The Fourer Tranform and Applcaon. McGraw-Hll, Inc., 965 (w przekładze polkm: Przekzałcene Fourera jego zaoowana, WNT, Warzawa, 968. F. Leja.: Rachunek różnczkowy całkowy. PZWS, Warzawa, 949 3. D. Mddleon.: An Inroducon o Sacal Communcaon Theory. McGraw-Hll, Inc., New York, 96 4. J. Oowk.: Zary rachunku operaorowego. WNT, Warzawa, 98 5. R.E. Paley, N. Wener.: Fourer Tranform n he Complex Doman. Amer. Mah. Soc. Coll, Publ. 9, New York, 9777734 6. R. Wlon.: Noe n Ionzaon Chamber Pule Amplfer. PhloophcL Magazne 4, No.3, 66, 95 7. K. von Halbach.: Berechnung lnearer, realerbarer Nezwerke zur Erzelung opmaler Sgnal/Rauchverhälne. Helv. Phy. Aca. Vol. 6, 953. 3
4. STACJONARNE, SUBOPTYMALNE FILTRY PASYWNE W wynku eoreycznej analzy opymalzacyjnej uzykalśmy przep określający wymaganą przepuowość flru, kóry zapewnałby oągnęce makymalnego ounku ygnału do zumu. Zadanem wórnym w procedurze projekowana było naoma zaproponowane konkrenej konfguracj flru oparej na doępnych elemenach podzepołach układowych. Na ym eape pojawają ę wzakże one rudnośc wynkające z omawanych uprzedno warunków realzowalnośc fzycznej echncznej. W krajnym przypadku nemożlwośc dopełnena ych warunków zadowalamy ę na ogół użycem flrów o włanoścach neznaczne odbegających od włanośc flru opymalnego. Flry ake w leraurze przedmou zwane ą FILTRA- MI QUASI-OPTYMALNYMI. Zalczają ę one do kaegor flrów SUBOPTYMALNYCH, w yneze kórych procedura opymalzacyjna poprzedzona je arbralnym w zaadze wyborem rukury flru, a przedmoem opymalzacj je ylko dobór warośc elemenów flru. Podawę analzy opymalzacyjnej wzelkego rodzaju flrów anow znajomość globalnego wdma zumów W n (ω oraz przebegu czaowego ygnału V (, dzałających na wejścu flru. W analze wybranych konfguracj flrów ubopymalnych korzyamy z ych amych założeń uprazczających jakm połużylśmy ę w przypadku flru wybelającego, a manowce oraz α W n ( ω + β (4. ω Q V ( H ( (4. C Należy jednak pamęać ż w konkrenej yuacj pomarowej mogą one okazać ę nezadowalającym a czaem wręcz nedopuzczalnym. W perwzym rzędze uwaga a doyczy zanedbana zumu nadmarowego o gęośc wdmowej odwrone proporcjonalnej do częolwośc (zw. zum ypu f w układze napęcowego zumu zeregowego (3.6. 3
4.. Flr ypu CR-RC Flr złożony z dwóch elemenarnych rezyywno-pojemnoścowych obwodów formujących: różnczkującego C-R całkującego R-C, anow najprozą konfgurację w kaegor nerekurywnych flrów ubopymalnych. Obwody formujące ą rozdzelone przy pomocy akywnego opna eparującego, ne wywerającego nemal żadnego wpływu na przepuowość układu, a zapobegającego wzajemnemu ch oddzaływanu (ry. 4.. V ( C d d Tranmancja ego układu wyno R d Ry. 4.. Schema rukury flru CR RC F( (4.3 + + d Dla oblczena opymalnych warośc op d op należy uprzedno w oddzelnych procedurach wyznaczyć warość zczyową odpowedz flru na ygnał (4. oraz warość średnokwadraową napęca zumów na wyjścu V No rm a naępne określć warunk makymalzacj ch ounku (SNR jako funkcj d. V o ( Korzyając z dogodnośc rachunku operaorowego możemy napać R C Q Vo ( V ( F( (4.4 C + + d gdze C oznacza pojemność źródła wejścowego mpulu prądowego (deekora. 3
33 W dzedzne czau orzymujemy zaem d e e C Q V d d o ( (4.5 Funkcja powyżza oąga makmum dla max równego d d d ln max (4.6 Wyno ono d d d d d d d o C Q V max (4.7 Dla krócena zapu wprowadźmy oznaczene Θ d. Wówcza równane (4.7 przyjme poać Θ Θ max C Q V o (4.8 Gęość wdmowa mocy zumów wejścowych przenozona je na wyjśce flru z kwadraem modułu jego przepuowośc wdmowej, równym w rozważanym przypadku [ ] ( ( ( d F + ω + ω ω ω (4.9 Warancja zumów będze węc równa * ω + ω Θ + ω Θ ω + β ω α π ( ( d V No (4. * Alernaywny poób wyznaczena warancj zumów wyjścowych (w domene czau podano w DODATKU A.
Wprowadzając paramer Θ, wyrugowano w powyżzym równanu explce ałą czaową d. Jego całkowane w zadanych grancach daje Θ β V No + α Θ I 4 Θ + I (4. Z warunku mnmalzacj powyżzej funkcj względem wyznaczymy z kole opymalną warość ej ałej czaowej j. op. β op (4. α Θ Podawene (4. do (4. daje w wynku wyrażene opujące warancję zumów wjścowych w funkcj parameru Θ Θ V No α β Θ (4.3 Θ + Dyponując zależnoścam (4.8 (4.3 możemy wyznaczyć opymalną warość parameru Θ op, co pozwol w proej konekwencj oblczyć warośc obu ałych czaowych flru. Drogą do ego celu je wyrażene ounku ygnału do zumu jako funkcj parameru Θ. ( Q Θ Θ SNR Θ G f ( Θ (4.4 C αβ Θ 4 Θ Θ + Funkcja f (Θ oąga makmum przy Θ Θ op wykazując relaywne płak przebeg w okolcy makmum. Jej przebeg w zakree czerech dekad warośc parameru Θ pokazuje ryunek 4.. Z przeprowadzonej analzy wynka, że dla uzykana makymalnej warośc ounku ygnału do zumu, rozważany flr pownen meć denyczne warośc ałych czaowych, równe wg wzoru (4. 34 β d (4.5 α
f (Θ.55.5.45.4.35.3... Θ Ry. 4.. Grafczne odwzorowane funkcj f(θ Jak ławo zauważyć, odpowadają one warośc zumowej narożnej ałej czaowej T c (3.7. Należy u rowneż zwrócć uwagę na ważną właścwość omawanego flru zwazaną z równoścą ałych czaowych. Oóż przy Θ ampluda mpulu wyjścowego je nezależna od wpólnej wówcza warośc ałych czaowych wyno Warość makymalna ounku ygnłu do zumu wynee wedy Q Vo max. 368 (4.6 C Q SNR.736 (4.7 C αβ Zauważmy, że bezwzględne makymalna warość ounku ygnału do zumu opymalnego flru dopaowanego w denycznych warunkach pomaru j. dla wyno Q A, C SNR β T c oraz α Q C β / α β W o f Q C αβ β (4.8 35
Wypływa ąd wnoek ż względny ounek ygnału do zumu flru CR RC odneony do wyżej formułowanego pozomu referencyjnego oąga warość η.736 (4.9 Względny ounek ygnału do zumu można wyrazć równeż ounkem ekwwalennych ładunków zumu ENC, przy czym SNRop ENC η (4. SNR ENC op Słuzność powyżzego zwązku ławo wykazać wyznaczając odpowedno ENC (dla referencyjnego flru dopaowaego oraz ENC op (dla flru CR-RC w warunkach opymalnych. Przypomnjmy, że według defncj ekwwalenny ładunek zumów (EQUIVALENT NOISE CHARGE określony je jako ładunek, kóry podany na wejśce układu w forme drakowkego mpulu prądowego daje na jego wyjcu odpowedź o warośc makymalnej równej warośc średnokwadraowej napęca zumów na wyjścu. Dla przypadku układu zawerającego flr CR-RC możemy napać kąd ENC op.368 α β (4. C ENC op. 355 C α β (4. W analogczny poób wyznaczymy ekwwalenny ładunek zumów dopaowanego flru opymalnego. Określa go zwązek ENC C α β (4.3 loraz wyrażeń (4.3 (4. daje warość lczbową równą.736, co dowodz łuznośc relacj (4.. W oparcu o zależność (3.35 możemy wrezce werdzć, że rozparywany flr CR-RC daje dneyczne rezulay jak realzowalny flr dopaowany, jeśl przyjąć cza pomaru T m.39 T c. Relację ę uwdzaczna ryunek 4.3. 36
η..736.5...39.5..5 Tm/ /Tc Ry. 4.3. Przebeg funkcj η(t m /Tc Wyznaczona z powyżzej charakeryyk warość zaępcza czau pomaru zwana je EFEKTYWNYM CZASEM POMIARU, oznaczanym ymbolem T m (eff. Jej ounek do czau marewego T d, rozumanego jako nerwał czau nezbędny na o, aby ygnał wyjścowy flru opadł do założonego umowne pozomu, określa zw. CZASOWY WSKAŹNIK JAKOŚCI TFM (ang. TIME FIGURE of MERIT. TFM T ( eff m (4.4 Td W pomarach pekromerycznych bardzo wyokej rozdzelczośc energecznej T d przyjmuje ę na pozome. % ampludy m[ulu, co wyraża ę w konekwencj waroścą TFM dla flru CR-RC równą.4. W oczywy poób rozcągłość czaowa odpowedz flru decyduje o ROZDZIELCZOŚ- CI CZASOWEJ pekromeru. Innym łowy, CZAS ROZDZIELCZY pekromeru pozoaje w ścłym zwązku z parameram czaowym ygnału wyjścowego. Bardzo częo je on uożamany z czaem marwym T d ; w pekromerach gorzej rozdzelczośc energeycznej za pozom odneena przyjmuje ę % ampludy mpulu. Inny poób defnowana czau rozdzelczego T R poługuje ę METODĄ MOMENTÓW. Meoda a korzya z formalzmu maemayk ayycznej, rakując przebeg ygnału wyjścowego V o ( jako rozkład gęośc prawdopodobeńwa zmennej loowej. Warość średną o zmennej określa formuła a jej dyperję σ Vo ( d o (4.5 V ( d 37
σ ( o V ( d V ( d o o (4.6 Oznaczając przez H k momen k-ego rzędu funkcj V o ( k H k Vo ( d (4.7 nerudno prowadzć wyrażene (4.6 do poac (4.8 wążącej na zaadze konwencj dyperję czaową σ z czaem rozdzelczym T R. H H T def π σ π R (4.8 H H W laach 6-ych ubegłego uleca dużą popularność zykała defncja czau rozdzelczego opara na koncpecj RÓWNOWAŻNEGO IMPUILSU PROSTOKĄTNEGO. Uożama ona cza rozdzelczy T R z zerokoścą zaępczego mpulu prookąnego o wyokośc równej ampludze rozparywanego mpulu oraz akej amej powerzchn zawarej pod obwednam ych mpulów. Przyjęe umowne uzależnena ukazuje wzór V ( d V (4.9 T R max Dla porównana rozdzelczośc czaowej różnych flrów używane je pojęce WZGLĘD- NEGO CZASU ROZDZIELCZEGO T w określanego relacją T R T w (4.3 TR op gdze T Rj oraz T r op reprezenują odpowedno czay rozdzelcze rozparywanego -ego flru oraz referencyjnego, fzyczne realzowalnego flru opymalnego. W zczególnośc dla flrów dających ygnał wyjścowy zankający w nekończonośc, za flr referencyjny przyj- 38
memy flr ypu INFINITE WIDTH CUSP 3, kórego odpowedź opują rownana (3.4 (3.434 (przy T m T c. Dla flrów o kończonym czae rwana odpowedz flrem referencyjnym będze naoma flr ypu FINITE WIDTH CUSP o czae rwana odpowedz równym T m (przy T m T c. Warośc czaów rozdzelczych obu flrów referencyjnych według defncj (4.9 wynozą odpowedno - w perwzym przypadku - w przypadku drugm T. 463T (4.3 R op c T. 94T (4.3 R op m W oparcu o powyżze konwencje wyznaczymy BEZWZGLĘDNY WZGLĘDNY CZAS ROZDZIELCZY przeanalzowanego uprzedno flru CR-RC. Wcześnej korygujemy wyjścowe równane (4.3 dla dopełnena warunku opymalzacyjnego (4.5. Przyberze ono eraz formę F ( (4.33 + W konekwencj odpowedź V o ( oraz jej warość makymalna V o max opane będą odpowedno wzoram (4.34 (4.6 Q Vo ( exp (4.34 C Q Q Vo max. 368 (4.6 e C C Podawene obu powyżzych wyrażeń do formuły defncyjnej (4.9 prowadz do wynku CRRC TR. 78 T c (4.35 39
W konekwencj CRRC.78 T w.86 (4.36.46 Dodajmy, że warośc czau marwego T d oblczone według kryerum % oraz.% reduum ygnału wynozą odpowedno Td % 7. 63T c (4.37 Td.% 9. 3T c (4.38 Względny ounek ygnału do zumu oraz bewzględny cza rozdzelczy anową podawowe paramery znamonowe fnlrów, decydujące o ch prakycznej przydanośc w pekromerycznym yeme pomarowym. Przydaność flrów można równeż ocenać na podawe kzału odpowedz na wymuzene kokowe. Na ej drodze, zakładając docelowy kzał odpowedz, można z góry przewdywać ogólną rukurę flru. Oczywśce w marę zaorzana wymogów podobeńwa do kzału opymalnego (CUSP wzraać będze złożoność flru opeń rudnośc analzy maemaycznej. Według ak właśne przyjęej yemayk przedykuujemy klka wybranych flrów nerekurywnych, oowanych w mpulowych, lnowych wzmacnaczach kzałujących. 4.. Flr ypu CR-(RC Flr ego ypu je drugm w kolejnośc pod względem prooy układowej flrem acjonarnym RC. Przyjęy u poób noacj oznacza, że flr je złożony z jednego czwórnka różnczkującego CR oraz dwóch czwórnków całkujących RC. Przepuowość operaorowa ego flru je opana równanem 4 F ( (4.39 + + d a jego odpowedź na wymuzene kokowe zadane formułą (4. przyjmuje w domene czau poać.
Q Vo ( C Θ Θ e Θ Θ + Θ e (4.4 przy czym Θ oznacza uaj, jak poprzedno, ounek ałych czaowych d /. Warość makymalną odpowedz w funkcj paramerów flru określa zależność x Θ x Q Θ Θ Θ V o max e ( x e (4.4 C Θ przy czym paramer x wyznacza warunek: e x Θx +. Oblczena opymalzacyjne flru, jak o pokazano na przykładze flru CR-RC, przebegają dwuopnowo. Perwze dzałane, przy nezdeermnowanej jezcze warośc parameru Θ, zmerza do ualena zwązku jednej ze ałych czaowych flru (np. z parameram zumowym zumów wejścowych. W rozważanym przypadku V opuje formuła Θ V No 8 Θ β No + (Θ + α Funkcja powyżza wykazuje mnmum dla warośc op równej (4.4 β op (4.43 Θ + α Odpowadająca powyżzym warunkom średnokwadraowa warość napęca zumów na wyjścu flru wynee węc Θ Θ 4 V No αβ Θ + (4.44 Iloraz wyrażeń (4.4 (4.44 z mocy defncj daje ogólną poać zależnośc SNR od parameru Θ x Θx Q Θ 4 Θ Θ SNR (Θ + e ( + x e (4.45 C αβ Θ 4
Równane (4.45 anow podawę drugego eapu analzy opymalzacyjnej. Celem jego je po perwze zbadane czy funkcja SNR(Θ poada makmum, a po wóre, oblczene warośc parameru Θ Θ op, dla kórej o ewenualne makmum wyępuje. Udzelene odpowedz na ak formułowane pyane je możlwe na drodze oblczeń numerycznych. Uzykane w en poób rezulay pokazują, że one ounek ygnału do zumu oąga warość makymalną dla warośc parameru Θ opr.6, zaś przebeg badanej funkcj w okolcy makmum je relaywne płak. Uwzględnając zwązek (4.43 możemy w konkluzj zapać warunk opymalnego zdymenjonowana flru CR-(RC Θ opr.6.57 T c (4.46 d.6 T c Mając na uwadze łabą zmenność SNR w ąedzwe makmum oraz warość Θ opr bardzo blką jednośc, można oczekwać, że przyjęce denycznych warośc d ne powoduje zauważalnej degradacj ounku ygnału do zumu. Ionemu uprozczenu ulegną naoma procedury oblczenowe. W zczególnośc równane (4.4 zoane prowadzone do poac a wyrażene (4.4 przyjme formę Q Vo ( C exp (4.47 Q Q Vo max. 7 (4.48 e C C W mejce warunku wążącego paramery x Θ moglśmy w ym przypadku oblczyć w ławy poób warość wpółrzędnej czaowej oągnęca makmum max. max (4.49 Warancja zumów na wyjścu wyraz ę zależnoścą β V No + 3α 3 (4.5 4
zaś ała czaowa op warunkująca mnmalzację V będze równa No β op.58t c (4.5 3 α W wynku proych dzałań orzymujemy oaeczne dla flru CR-(RC 3 V No α β. 8 αβ 6 Q SNRop. 84 C αβ η.84 TR. 3T c (4.5 T w.46 T 5. 66 d % T c w.% 7. T c T 48 4.3. Flry R-C wyżzych rzędów Jak wkazują formuły (4.6 (4.48 ampludy odpowedz flrów CR-RC oraz CR-(RC ą nezależne od warośc. Je o ogólna cecha flrów ypu CR-(RC n, w kórych warośc ałych czaowych wzykch czwórnków kładowych ą ake ame. Ze względu na kzał odpowedz na wymuzene kokowe flry ego rodzaju zwane ą FILTRAMI QUASI-GAUS- SOWSKIMI. Ich ranmancje w poac ogólnej podaje wzór n F ( (4.53 n+ + Dla ygnału wejścowego oraz owarzyzących mu zumów określonych odpowedno formułam (4. (4. orzymujemy 43
n Q Vo ( exp (4.54 C n! max n (4.55 V n Q n o max (4.56 C n! e β [ ( n ]! α (n! VNo + (4.57! n n ( n! n! 4 ( n β op (4.58 n α W marę zwękzana lośc czwórnków całkujących n przebeg odpowedz aje ę coraz bardzej ymeryczny względem wpółrzędnej max. W zczególnośc dla bardzo dużych warośc n (j. dla n przebeg ygnału wyjścowego (4.54 przybera kzał krzywej Gaua. gdze σ π. ( π σ Q lm V o ( e (4.59 n C π n Z oczywych względów echncznych flr odwzorowujący werne funkcję Gaua je nerealzowalny. Pożyecznym wydaje ę jednak oblczyć, dla celów porównawczych. warośc względnego ounku ygnału do zumu czaów rozdzelczych (bezwzględnego oraz względnego akego flru. Tak węc z kombnacj zależnośc (4.56, (4.57 (4.58 orzymamy wyrażene na SNR. W opującej go formule połużono ę przyblżenem Srlnga 4 uzykując n n lm (4.6 n e n! π n 44
Q π n SNR n C αβ Q π n n C αβ [( n ]! n ( n ( n! (n! n ( n! + (n! (n!( n! (4.6 W dealzowanym przypadku grancznym orzymujemy a w konekwencj Q Q SNR 4.893 π C αβ C αβ (4.6 η.89 T R.77 T c T w. (4.63 T d Warośc η T w bardzo blke dealnym (4.63 daje w ej klae flrów układ zawerający ylko czery czwórnk całkujące. Włanośc akego flru j. CR-(RC 4 opuje zepół welkośc znamonowych (4.64. Q Vo max. 95 C.38 op T c V. 7 No αβ Q SNR.858 C αβ η.858 (4.64 T. 95 R T c T w.3 Td % 5. 87T c Td.% 6. 7T c 45
Podane wyżej dane ukazują, że flr pąego rzędu, zawerający jedną ekcję różnczkującą czery całkujące R-C, można uznać za zadowalający dla porzeb ruynowej pekromer promenowana gamma. W proej realzacj echncznej pozczególne ekcje flru muzą być rozdzelone opnam eparującym, z reguły wórnkam, zapewnającym mulyplkaywność ranmancj. Ich ounkowo duża lość oraz zwązany z nm yem przełączana ałych czaowych je dość kłopolwy w wykonanu prakycznym. Z ego eż powodu ake konfguracje ne ą oowane w przypadku flrów wyżzych rzędów nż drugego. Wpółczene rozwązana lnowych wzmacnaczy kzałujących korzyają naoma nemal z reguły z flrów akywnych. Wykazalśmy, że opymalne warunk flracj w pekromer ampludowej zapewnają flry dające ymeryczne przebeg odpowedz na wymuzene kokowe. Były o: opymalny flr dopaowany oraz dealny flr gauowk. Jak pokażemy dalej, pośredne mejce mędzy nm zajmuje flr o rójkąnym kzałce odpowedz, zwany z ego powodu FILTREM TRÓJ- KĄTNYM. 4.4. Flry R-C kompenowane ndukcyjnoścą Mając na uwadze rozdzelczość czaową flru, pownen on prócz opymalzacj ounku ygnału do zumu zapewnać odpowedną mukłość ygnału wyjścowego V o (. W konwencjonalnych flrach nkego rzędu efekywne zwękzene mukłośc odpowedz daje ę uzykać w układze z kompenacją ndukcyjnoścą L, włączoną w zereg z rezyorem kompenowanej komórk C-R lub R-C 5. Rozważmy oddzelne ego rodzaju rukury, przedawone chemayczne na ryunku 4.4. C V ( V o ( L R I ( C R L V o ( Ry. 4.4. Przykłady kompenowanych układów C-R R-C. Perwza wąże napęcowy ygnał wyjścowy V o ( z wymuzenem napęcowym V (, podcza gdy druga daje odpowedź napęcową na wymuzene prądowe I (. O kzałce odpowedz decydują odpowedno: ranmancja czwórnka różnczkującego F d ( oraz mpedancja dwójnka całkującego Z (. Wynozą one odpowedno: 46