Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015
cz.1: Charakterystyki częstotliwościowe
Wstęp Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu (układu) pod wpływem ciągłych sinusoidalnych sygnałów wejściowych, więc teoretycznie trwających od t =. W analizie układów liniowych charakterystyki częstotliwościowe są wykorzystywane do badania m.in. stabilności układów, a także określonych własności dynamicznych układów. Określają w funkcji częstotliwości: stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem Rozróżnia się następujące postacie charakterystyk częstotliwościowych: charakterystyka amplitudowo-fazowa tzw. wykres Nyquista, logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa (wykres Bode a) logarytmiczna charakterystyka amplitudowo- fazowa (wykres Blacka)
Charakterystyki częstotliwościowe Rysunek : Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych u(t) = A 1 sin[ωt] y(t) = A 2 sin[ω(t t ϕ )] gdzie: A i - amplituda sygnału, ω - częstotliwość sygnału (stała dla we/wy), t ϕ - opóźnienie fazy sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego. Odpowiednio t ϕ < 0 - ujemne przesunięcie fazowe, t ϕ > 0 - dodatnie przesunięcie fazowe, Rysunek : Sygnał wejściowy Rysunek : Sygnał wyjściowy, ujemne przesunięcie fazowe
Charakterystyki częstotliwościowe Przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego można wyrazić jako przesunięcie w czasie o czas t ϕ i wtedy sygnał wyjściowy opisywany jest funkcją y(t) = A 2 sin[ω(t t ϕ )] lub jako przesunięcie kątowe ϕ(ω) = ωt ϕ, wtedy y(t) = A 2 sin[ωt ϕ]
Charakterystyki częstotliwościowe Do opisu elementów lub układów, w których występują sygnały sinusoidalnie zmienne, wykorzystuje się tzw. transmitancję widmową G(jω). Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z przekształceniem Fouriera, które funkcji czasu f (t) przyporządkowuje transformatę F (jω) zgodnie z zależnością zwaną całką Fouriera: F (jω) = f (t)e jωt Transmitancja widmowa Transmitancja widmowa jest to stosunek transformaty Fouriera sygnału wyjściowego do transformaty Fouriera sygnału wejściowego. G jω = y(jω) x(jω)
Transmitancja widmowa Między transmitancją widmową, a transmitancją operatorową istnieje formalny związek G(jω) = G(s) s=jω wynikający ze związku pomiędzy transformatami Laplace a i Fouriera.
Transmitancja widmowa Z własności transformaty Laplace a - twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej L{f (t + τ)} = L{f (t)}e τs można napisać transmitancję widmową obiektu w przypadku sygnału sinusoidalnego na jego wejściu G(s) = L {A 2(ω)sin[ω(t + t ϕ )]} L {A 1 sin[ω(t)]} Ponieważ = A 2(ω) L {sin[ω(t)]} e tϕs A 1 L {sin[ω(t)]} G(jω) = Y (jω) U(jω), G(jω) = G(s) s=jω, t ϕ = ϕ(ω) ω = A 2(ω) e tϕs A 1 to G(jω) = A 2(ω) A 1 e tϕs s=jω = A 2(ω) A 1 e tϕjω = A 2(ω) e jϕ(ω) A 1
Transmitancja widmowa Transmitancję widmową zapisuje się następująco gdzie: M(ω) = A2(ω) A 1 G(jω) = A 2(ω) e jϕ(ω) = M(ω)e jϕ(ω) A 1 - moduł transmitancji widmowej ϕ(ω) - argument transmitancji widmowej W transmitancji można wyróżnić 2 składowe gdzie: G(jω) = M(ω)e jϕ(ω) = P(ω) + jq(ω) P(ω) - część rzeczywista transmitancji widmowej Q(ω) - część urojona transmitancji widmowej
Charakterystyka amplitudowo-fazowa Charakterystyka amplitudowo-fazowa Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest to krzywa wykreślona w płaszczyźnie zmiennej zespolonej, która jest miejscem geometrycznym końca wektora transmitancji widmowej G(jω) przy zmianach ω = 0 M(ω) = [P(ω)] 2 + [Q(ω)] 2 ϕ(ω) = arctg ( ) Q(ω) P(ω) Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa P(ω) = M(ω) cos[ϕ(ω)] Q(ω) = M(ω) sin[ϕ(ω)] M(ω) = P(ω) cos[ϕ(ω)] + Q(ω) sin[ϕ(ω)]
Charakterystyki częstotliwościowe Charakterystyki częstotliwościowe Częstotliwościowe charakterystyki amplitudowa i fazowa są przedstawiane na dwóch oddzielnych wykresach: charakterystyka amplitudowa L(ω) = G(jω) w zależności od częstości ω, charakterystyka fazowa ϕ = arg G(ω) w zależności od częstości ω. Moduł logarytmiczny (jednostka - decybel) Rysunek : Charakterystyki logarytmiczne L(ω) = 10log 10 M 2 (ω) = 20 log M(ω)[dB]
cz.2: Podstawowe człony dynamiczne
Wstęp W złożonych układach automatyki można często wyodrębnić szereg najprostszych niepodzielnych już elementów funkcjonalnych. Ich właściwości można przyporządkować z pewnym przybliżeniem zaledwie kilku podstawowym modelom matematycznym. Abstrakcyjne elementy o właściwościach odpowiadających tym modelom nazywamy podstawowymi (elementarnymi) liniowymi członami dynamicznymi. Opis: równanie ruchu, transmitancja operatorowa, charakterystyka statyczna, odpowiedź na wymuszenie skokowe, transmitancja widmowa, charakterystyka amplitudowo - fazowa (Nyquist) charakterystyki logarytmiczne (Bode)
Podstawowe człony dynamiczne y(t) = ku(t) człon proporcjonalny (bezinercyjny) T dy(t) + y(t) = ku(t) człon inercyjny T dy(t) T dy(t) T 2 d 2 y(t) = u(t), lub dy(t) y(t) = T du(t) + y(t) = T d du(t) + 2ξT dy(t) y(t) = u(t T 0 ) = ku(t) + y(t) = ku(t) człon całkujący człon różniczkujący idealny człon różniczkujący rzeczywisty człon oscylacyjny, jeżeli 0 < ξ < 1 człon opóźniający
Elementy bezinercyjne Rysunek : Przykłady elementów bezinercyjnych.: a) czwórnik, b) dźwignia, c) dźwig hydr. a) b) U 2 (t) = R 2 R 1 + R 2 U 1 (t) y(t) = b a x(t) Równanie ruchu y(t) = ku(t) c) F 2 (t) = d 2 2 d1 2 F 1 (t) gdzie: k - wzmocnienie
Człon proporcjonalny Równanie dynamiki y(t) = ku(t) Charakterystyka statyczna y = ku Transmitancja operatorowa Rysunek : Charakterystyka statyczna członu proporcjonalnego G(s) = Y (s) U(s) = k Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s k] = ku st Rysunek : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu proporcjonalnego
Człon proporcjonalny Transmitancja widmowa G jω = G(s) s=jω = k P(ω) = k, Q(ω) = 0 M(ω) = k L(ω) = 20 log k[db] ϕ(ω) = 0 Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Człon proporcjonalny Charakterystyka amplitudowa L(ω) = 20 log k[db] Charakterystyka fazowa ϕ(ω) = 0 Rysunek : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Elementy inercyjne Rysunek : Element inercyjny gdzie: p 1 - ciśnienie przed zwężką, p 2 - ciśnienie w zbiorniku, V - objętość zbiornika. Założenia: zmiany ciśnienia w zbiorniku są powolne i nie powodują zmian jego temperatury (zmiany ciśnienia wg przemiany izotermicznej), w zwężce występuje przepływ laminarny.
Elementy inercyjne Równanie stanu gazu (prawo Clapeyrona): pv = mrθ gdzie: m - masa powietrza, R - stała gazowa, Θ - temperatura. zakładając Θ = const m = p 2(t)V RΘ dm(t) G = dm(t) = V RΘ dp 2 (t) = α(p 1 (t) p 2 (t)) gdzie: G - strumień masy, α - współczynnik proporcjonalności. ostatecznie V dp 2 (t) = α(p 1 (t) p 2 (t)) = αp 1 (t) αp 2 (t) RΘ V dp 2 (t) + p 2 = p 1 αrθ
Elementy inercyjne Rysunek : Element inercyjny gdzie: R- współczynnik tarcia lepkiego w łożyskach J dω(t) t + Rω(t) = M(t) d J R dω(t) t + ω(t) = 1 d R M(t)
Elementy inercyjne Rysunek : Element inercyjny - czwórnik RL di (t) U 1 (t) = L + U 2 (t) I (t) = U 2(t) R L du 2 (t) + U 2 (t) = U 1 (t) R
Elementy inercyjne Równania ruchu przykładowych elementów inercyjnych a) b) J R c) V dp 2 (t) + p 2 = p 1 αrθ dω(t) t + ω(t) = 1 d R M(t) Równanie ruchu T dy(t) + y(t) = ku(t) gdzie: T - stała czasowa. L du 2 (t) + U 2 (t) = U 1 (t) R
Elementy inercyjne Wyznaczyć równanie ruchu tłumika hydraulicznego, którego wielkością wejściową jest przesunięcie x(t) końca sprężyny o sztywności C, a wyjściową przesunięcie tłoka y(t). Należy założyć: brak ściśliwości oleju, przepływy pomiędzy komorami tłumika mają charakter laminarny. Rysunek : Element inercyjny
Człon inercyjny Równanie dynamiki T dy(t) + y(t) = ku(t) Charakterystyka statyczna y = ku Transmitancja operatorowa Rysunek : Charakterystyka statyczna członu inercyjnego G(s) = Y (s) U(s) = k Ts + 1 Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 1 k [u st s Ts + 1 ] ) = u st k (1 e t T Rysunek : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu inercyjnego
Człon inercyjny Transmitancja widmowa G jω = G(s) s=jω = P(ω) = k Ts + 1 k s=jω = = P(ω) + jq(ω) Tjω + 1 k kt ω T 2 ω 2, Q(ω) = + 1 T 2 ω 2 + 1 Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa, ω s - częstotliwość sprzęgająca
Człon inercyjny charakterystyka amplitudowa k M(ω) = T 2 ω 2 + 1 L(ω) = 20 log k 20 log T 2 ω 2 + 1[dB] dla dla ω 1 T = ωs L(ω) = 20 log k[db] ω 1 T = ωs L(ω) = (20 log k 20 log charakterystyka fazowa ϕ = arctg(t ω) T 2 ω 2 + 1)[dB] Rysunek : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Elementy całkujące Rysunek : Elementy całkujące
Elementy całkujące a) { } 2 Q = αb ρ (p z p s ) x(t) = Bx(t) Równanie ruchu Q 1 = Q 2 = Bx(t) = A dy(t) A dy(t) = x(t) B b) T ϕ(t) = ω r x(t) lub T dy(t) dy(t) = u(t) = ku(t)
Człon całkujący Równanie dynamiki T dy(t) = u(t) Charakterystyka statyczna u = 0 Transmitancja operatorowa Rysunek : Charakterystyka statyczna członu całkującego G(s) = Y (s) U(s) = 1 Ts Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s 1 Ts ] = u t st T Rysunek : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu całkującego
Człon całkujący Transmitancja widmowa G jω = G(s) s=jω = 1 Ts s=jω = 1 Tjω = j 1 T ω P(ω) = 0, Q(ω) = 1 T ω Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu całkującego
Człon całkujący M(ω) = 1 T ω charakterystyka amplitudowa L(ω) = 20 log 1 T ω = 20 log T ω[db] charakterystyka fazowa ϕ(ω) = arctg 1 T ω 0 = arctg( ) = π 2 Rysunek : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Elementy różniczkujące - idealne a) Prądnica tachometryczna Rysunek : Element różniczkujący - prądnica tachometryczna b) Dozownik cieczy U y (t) = dθ(t) Rysunek : Element różniczkujący - dozownik cieczy Q(t) = A dx(t)
Człon różniczkujący - idealny Równanie dynamiki y(t) = T d du(t) Charakterystyka statyczna y = 0 Rysunek : Charakterystyka statyczna członu różniczkującego idealnego Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = T ds Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s T ds] = u st T d δ(t) Rysunek : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu różniczkującego idealnego
Człon różniczkujący - idealny Transmitancja widmowa G jω = T d s s=jω = jt d ω P(ω) = 0, Q(ω) = T d ω Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującego idealnego
Człon różniczkujący - idealny charakterystyka amplitudowa M(ω) = T d ω L(ω) = 20 log T d ω[db] charakterystyka fazowa ϕ(ω) = arctg T dω 0 = arctg( ) = π 2 Rysunek : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Elementy różniczkujące - rzeczywiste a) amortyzator [ du(t) A dy(t) ] = Q = k p pa = Cy(t), p = C A y A 2 dy(t) + y(t) = A2 du(t) kc kc T dy(t) + y(t) = T d du(t) Rysunek : Element różniczkujący - amortyzator
Elementy różniczkujące - rzeczywiste b) czwórnik RC Rysunek : Element różniczkujący - czwórnik RC RC du 2(t) T dy(t) + U 2 (t) = RC du 1(t) + y(t) = T d du(t)
Człon różniczkujący - rzeczywisty Równanie dynamiki T dy(t) du(t) + y(t) = T d, k d = T d T Charakterystyka statyczna y = 0 Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = T d s Ts + 1 Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s T d s Ts + 1 ] = T d ust T e T t Rysunek : Charakterystyka statyczna członu różniczkującego idealnego = u stk d e t T Rysunek : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu różniczkującego idealnego
Człon różniczkujący - rzeczywisty Transmitancja widmowa G jω = T ds Ts + 1 s=jω = T djω Tjω + 1 P(ω) = T dt ω 2 T 2 ω 2 + 1, Q(ω) = T dω T 2 ω 2 + 1 Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującego rzeczywistego
Człon różniczkujący - rzeczywisty charakterystyka amplitudowa M(ω) = T d ω T 2 ω 2 + 1 L(ω) = [20 log T d ω 20 log T 2 ω 2 + 1] charakterystyka fazowa ϕ(ω) = arctg 1 T ω = π arctg(t ω) 2 Rysunek : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Elementy oscylacyjne Rysunek : Elementy oscylacyjne: a) siłownik pneumatyczny, b) czwórnik RLC
Elementy oscylacyjne a) ustawnik pozycyjny m d 2 y(t) 2 + B dy(t) + Cy(t) = Ap(t) m d 2 y(t) C 2 + B dy(t) + y(t) = A C C p(t) Równanie ruchu T 2 d 2 y(t) 2 + 2ξ dy(t) + y(t) = ku(t)
Elementy oscylacyjne b) czwórnik RLC U 3 (t) = I (t)r di (t) U 4 (t) = L I (t) = C du 2(t) U 1 (t) = U 2 (t) + U 3 (t) + U 4 (t) LC d 2 U 2 (t) 2 + RC du 2(t) + U 2 (t) = U 1 (t) Równanie ruchu T 2 d 2 y(t) 2 + 2ξ dy(t) + y(t) = ku(t)
Człon oscylacyjny Równanie ruchu T 2 d 2 y(t) 2 1 ω 2 0 d 2 y(t) 2 + 2ξ dy(t) + y(t) = ku(t) + 2ξ dy(t) + y(t) = ku(t) ω 0 d 2 y(t) dy(t) 2 + 2ξω 0 + ω 2 0y(t) = kω0u(t) 2 gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω 0 - pulsacja drgań nietłumionych. Charakterystyka statyczna y = ku
Człon oscylacyjny Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = k T 2 s 2 + 2ξTs + 1 G(s) = Y (s) U(s) = kω 2 0 s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 Odpowiedź skokowa [ y(t) = L 1 1 kω 2 ] 0 u st s s 2 + 2ξω 0 s + ω 0 ] 1 = ku st [1 1 ξ 2 e ξω0t sin ω 0 1 ξ2 t + φ φ = arctg 1 ξ 2 ξ
Człon oscylacyjny Rysunek : Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego
Człon oscylacyjny Rysunek : Wpływ wartości współczynnika tłumienia ξ na charakter odpowiedzi skokowej członu oscylacyjnego
Człon oscylacyjny Transmitancja widmowa G(jω) = kω2 0 [(ω2 0 ω2 ) j2ξω 0 ω] (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 P(jω) = Charakterystyka amplitudowa kω 2 0 [(ω2 0 ω2 )] (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 k[2ξω0 3 Q(jω) = ω] (ω0 2 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 kω 2 0 M(ω) = (ω0 2 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 [ ] L(ω) = 20 log kω0 2 20 log (ω 20 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 Charakterystyka fazowa ϕ = arctg 2ξω 0ω ω 2 0 ω2
Człon oscylacyjny Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa Rysunek : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Element opóźniający Rysunek : Element opóźniający - transporter taśmowy gdzie: Q 1, Q 2 - strumienie masy odpowiednio, na końcu i na początku transportera. Q 2 (t) = Q 1 (t T 0 ), T 0 = L v Równanie ruchu y(t) = u(t T 0 )
Człon opóźniający Równanie dynamiki y(t) = u(t T 0 ) gdzie: T 0 - opóźnienie transportowe. Charakterystyka statyczna y = u Transmitancja operatorowa Rysunek : Charakterystyka statyczna członu opóźniającego G(s) = Y (s) U(s) = e T0s Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s e T0s ] = u st 1(t T 0 ) Rysunek : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu opóźniającego
Człon opóźniający Transmitancja widmowa G(jω) = e jt0ω P(ω) = cos ( T 0 ω) Q(ω) = sin ( T 0 ω) Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Człon opóźniający Charakterystyka amplitudowa M(ω) = 1, L(ω) = 0 Charakterystyka fazowa ϕ(ω) = T 0 ω Rysunek : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015