AUTOMATYKA. Materiały dydaktyczne dotyczące zagadnień przewidzianych w I pracy kontrolnej
|
|
- Teresa Domagała
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Dr inż. Michał Chłędowski AUTOMATYKA Materiały dydaktyczne dotyczące zagadnień przewidzianych w I pracy kontrolnej Zakres tematyczny: Podstawowe człony automatyki, opis własności statycznych i dynamicznych, transmitancja operatorowa, charakterystyka skokowa, charakterystyka częstotliwościowa Treść zadania:w pracy należy zrealizować następujące zadania: 1. Wybrać dowolny element automatyki. Narysować go schematycznie oraz narysować jego schemat blokowy z zaznaczeniem sygnału wejściowego i wyjściowego a także przyjąć liczbowe wartości parametrów charakteryzujących ten element. 2. Wyprowadzić równanie opisującego właściwości dynamiczne i statyczne elementu automatyki w dziedzinie czasu. 3. Określić transmitancję przejścia opisywanego elementu z równania operatorowego uzyskanego w wyniku zastosowania przekształcenia Laplace a do równania w dziedzinie czasu. 4. Wyznaczyć wzór na charakterystykę skokową korzystając z odwrotnego przekształcenia Laplace a i tablic przekształceń Laplace a. Narysować wykres charakterystyki skokowej korzystając z dowolnego programu komputerowego (Matlab, Scilab, Codas, Origin). Sprawdzić wybrane punkty wykresu wykonując obliczenia h(t) ze wzoru dla odpowiednich wartości czasu. Wyniki obliczeń zamieścić w tabelce. 5. Wyznaczyć wzory na charakterystykę częstotliwościową (amplitudowo-fazową) badanego elementu oraz na charakterystyki logarytmiczne: amplitudową i fazową. Narysować wykresy tych charakterystyk. Sposób rysowania i sprawdzania jak w pkt Wszystkie punkty pracy kontrolnej należy wykonać ze zrozumieniem realizowanych czynności i operacji, podchodząc krytycznie do otrzymywanych wyników i przeprowadzić analizę ich poprawności. Tok postępowania: 1. Wybrać dowolny element automatyki. Może to być element mechaniczny, elektryczny, pneumatyczny, hydrauliczny a także mieszany, np. mechaniczno-elektryczny. Warto w tym celu przeglądnąć kilka pozycji literatury z zakresu automatyki i znaleźć przykład, który przynajmniej częściowo będziemy mogli wykorzystać. Ważnym jest, aby wybrany przykład elementu automatyki był zrozumiały z punktu widzenia jego budowy, zasady działania i przeznaczenia. Rozważnym jest wybieranie przykładu o średniej skali trudności. W szczególności chodzi o to, aby był to element liniowy a równanie opisujące właściwości dynamiczne było równaniem różniczkowym (całkowym) 1-go lub 2-go rzędu (chociaż oczywiście może być i wyższego). Nie będą akceptowane przykłady z elementem proporcjonalnym jako zbyt proste. Tak więc odpadają elementy w postaci np. belki dwuramiennej czy dzielnika napięcia. Wybrany element należy przedstawić graficznie w postaci prostego ale zrozumiałego rysunku a także jako schemat blokowy elementu automatyki w postaci prostokąta z wyraźnym zaznaczeniem wielkości fizycznych, które w naszym przykładzie będą pełnić rolę sygnału wejściowego i sygnału wyjściowego. Proszę
2 podać miana tych sygnałów a także przyjąć przykładowe (ale rozsądne!) wartości liczbowe parametrów występujących w opracowywanym przykładzie. 2. Dla tak zdefiniowanego elementu automatyki wyznaczyć opis matematyczny jego właściwości. Przeprowadzając analizę pracy elementu oraz wykorzystując wiedzę ze stosownych, mających w danym przypadku zastosowanie dziedzin, należy napisać równanie w dziedzinie czasu (najczęściej różniczkowe), wiążące sygnał wyjściowy z sygnałem wejściowym i parametrami charakteryzującymi badany element. Tak napisane równanie da nam opis właściwości dynamicznych elementu. Przyrównując do zera wszystkie pochodne występujące w równaniu otrzymamy tzw. równanie statyki, czyli zależność sygnału wyjściowego od wejściowego w stanie ustalonym. 3. Zastosowanie przekształcenia Laplace'a do równania różniczkowego pozwoli napisać równanie operatorowe. Równanie to powinno być równaniem algebraicznym a zmienną niezależną będzie operator Laplace'a s. Korzystając z definicji transmitancji operatorowej, którą najprościej można zapisać jako: transmitancją operatorową G(s) nazywamy stosunek transformaty sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty sygnału wejściowego X(s) przy zerowych warunkach początkowych, przekształcimy równanie operatorowe tak, aby napisać wzór na transmitancję operatorową G(s)=Y(s)/X(s). 4. Charakterystyka skokowa h(t) jest odpowiedzią badanego członu (układu) na wymuszenie skokowe. Wymuszenie skokowe matematycznie zapisujemy jako a 1(t), gdzie a jest amplitudą wymuszenia a pogrubiona jedynka charakteryzuje skokową zmianę funkcji wymuszającej. Transformata wymuszenia skokowego ma postać: a/s. Transformatę charakterystyki skokowej możemy wyznaczyć bezpośrednio ze wzoru na G(s) wstawiając w miejsce ogólnie zapisanego sygnału wejściowego X(s) transformatę wymuszenia skokowego. Otrzymamy: H s =G s a. W celu znalezienia wzoru na charakterystykę s skokową badane elementu w dziedzinie czasu należy zastosować odwrotne przekształcenie Laplace'a. Zapiszemy to następująco: h t = L 1 [G s a s ]=a L 1 [G s 1 s ]. Oryginał wyrażenia z nawiasu kwadratowego znajdziemy w tablicach przekształceń Laplace'a. Korzystając z dowolnego graficznego programu komputerowego należy narysować wykres charakterystyki skokowej. Dla sprawdzenia poprawności wyniku należy wyliczyć przynajmniej 3-4 wartości h(t) dla wybranych wartości czasu i porównać z wykresem. 5. Charakterystyki częstotliwościowe rozpatrywać będziemy w oparciu o pojęcie transmitancji widmowej, którą definiujemy następująco: jest to transmitancja operatorowa, w której za operator Laplace'a s będący liczbą zespoloną, podstawiamy tylko część urojoną tej liczby, czyli jω, gdzie ω pulsacja zmieniająca się w zakresie od 0 do +. Czyli G j =G s s= j. Będziemy rozpatrywać dwa rodzaje charakterystyk: - charakterystykę amplitudowo-fazową, - logarytmiczne charakterystyki: amplitudową i fazową. Dla znalezienia wzoru a następnie narysowania na jego podstawie wykresu ch-ki a-f konieczne jest wydzielenie części rzeczywistej P(ω) i części urojonej Q(ω) z ogólnej postaci charakterystyki amplitudowo-fazowej G(jω). Dla wyznaczenia charakterystyk logarytmicznych: amplitudowej i fazowej należy wyznaczyć wzory na te charakterystyki. Wyznaczamy je korzystając z definicji. Amplitudową charakterystykę logarytmiczną definiujemy następująco: L(ω)=20logM(ω), gdzie M = P 2 Q 2, zaś fazową charakterystykę logarytmiczną: φ(ω)=arctan Q(ω). Charakterystyki P (ω) amplitudową i fazową rysujemy jedna pod drugą. L(ω) wyrażamy w [db] zaś φ(ω) najczęściej w stopniach, rzadziej w radianach. Na osi poziomej odkładamy pulsację ω w skali logarytmicznej (jednakowym odcinkom na tej osi odpowiada dziesięciokrotny wzrost pulsacji). Zakres zmian ω dobieramy w zależności od parametrów i własności badanego elementu. Wybieramy przedział w którym zachodzą istotne zmiany. Charakterystyki
3 częstotliwościowe (amplitudowo-fazową i logarytmiczne) rysujemy wykorzystując odpowiedni program komputerowy. W celu sprawdzenia poprawności przeprowadzonych działań liczymy dla wybranych wartości ω (w tym dla 0 i ) poszczególne parametry badanych charakterystyk, czyli: P(ω), Q(ω), L(ω) oraz φ(ω), zapisujemy w tabelce i porównujemy z otrzymanymi wykresami. Przykład rozwiązania: obcowzbudny silnik prądu stałego (DC) Krok I wybór elementu do badań Jako przedmiot badań wybierzemy obcowzbudny silnik elektryczny prądu stałego. Konstrukcję takiego silnika przedstawia rys.1 a jego zasadę działania rys. 2. Rys. 1. Budowa silnika DC Rys. 2. Zasada działania silnika DC Dla napisania równań opisujących dynamiczne własności silnika wygodnie jest przedstawić schematycznie obwody elektryczne i model mechaniczny wirnika (rys. 3). Schemat blokowy silnika DC jako elementu automatyki przedstawia rys. 4. Rys. 3. Uproszczony schemat silnika DC Rys. 4. Schemat blokowy silnika DC Wartości liczbowe parametrów charakteryzujących silnik prądu stałego przyjmiemy po wyprowadzeniu wzorów. Wówczas będzie znany pełny zestaw tych parametrów.
4 Krok II Model matematyczny silnika DC Analizę tego układu przeprowadzimy przy założeniu, że dynamikę silnika obcowzbudnego prądu stałego można, z wystarczającym przybliżeniem, opisać za pomocą równania różniczkowego pierwszego rzędu. Dokładniejsza analiza wymagałaby uwzględnienia szeregu zjawisk (chociażby indukcyjność obwodu twornika), które poprawiają jakość odzwierciedlenia rzeczywistego zachowania silnika ale znacznie komplikują model. Tutaj ograniczymy się opisem wynikającym z rys.3. Wielkością sterowaną jest prędkość obrotowa silnika n a wielkością sterującą napięcie U s przyłożone do obwodu twornika (rys. 4.). Uzwojenie wzbudzenia zasilane stałym napięciem U w wytwarza stałe pole magnetyczne pomiędzy nabiegunnikami, stąd nazwa silnik obcowzbudny (nie ze stałymi magnesami). Obwód elektryczny twornika uwzględnia oporność twornika R t oraz siłę elektromotoryczną indukcji e. Wartość siły elektromotorycznej możemy wyrazić zależnością: gdzie: c stała konstrukcyjna maszyny elektrycznej, Φ strumień pola magnetycznego wzbudzenia, n - prędkość obrotowa silnika. e=c n (1) Ponieważ napięcie wzbudzenia U w jest stałe to wytwarzany strumień pola magnetycznego wzbudzenia Φ jest również stały. Możemy zatem napisać: e=k e n (2) gdzie: k e - stała elektromechaniczna silnika. Z prawa Kirchhoffa zastosowanego do obwodu twornika otrzymamy równanie: e=k e n=u s i t R t (3) Z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego wynika, że: J dn dt =M M e (4) gdzie: J - całkowity moment bezwładności (wszystkich elementów wirujących), M e - elektromagnetyczny moment obrotowy wytwarzany przez wirnik silnika, M - moment sił hamujących (obciążenie silnika). Moment obrotowy wytwarzany przez silnik możemy wyliczyć z zależności: M e =c m Φi t =k m i t (5) gdzie: k m =c m Φ - stała momentowa. Ostatecznie, podstawiając do równania (4) zależności (3) i (5) otrzymujemy równanie dynamiki silnika prądu stałego: JR t dn k m k e dt n= 1 U k s R t M (6) e k e k m Widzimy, że w równaniu (6) występują dwie wielkości wejściowe: napięcie sterujące U s oraz moment obciążenia M. W układzie tym sterujemy prędkością obrotową n(t) za pomocą napięcia twornika U s t przy występowaniu zakłóceń w postaci zmiennego obciążenia M(t). Mając wszystkie parametry występujące w opisie własności dynamicznych silnika możemy określić ich wartości liczbowe. Wykorzystamy dane silnika wykonawczego produkcji krajowej PZTK88-35TRR. Producent dostarcza następujących danych: Moment długotrwały (dla n=0) 0,55 Nm, Napięcie maksymalne zasilania 35 V,
5 Prędkość maksymalna obr/min, Moment maksymalny - 2,8 Nm, Prąd maksymalny - 27 A, Stała momentowa - k m =c m Φ = M e i t =0,105 Nm/ A, Stała elektromechaniczna silnika - k e =cφ = e n =11V /1000obr /min, Rezystancja twornika - R t =0,56, Indukcyjność twornika - L t =0,9 mh, Moment bezwładności - J =1, kgm 2. Równanie (6) warto zapisać w skróconej postaci: T dn t n t =k dt u U s t k o M t (7) gdzie: T = JR t = 1, ,56 k m k e 0,105 0,011 =0,07, k u = 1 = 1 k e 0,011 =90,91, k o = R t 0,56 = k e k m 0,105 0,011 =484,85. Lewa strona tego równania opisuje własności silnika. Jak widzimy, w tym przypadku jest to równanie różniczkowe I-go rzędu. Bardziej szczegółowa analiza silnika jako obiektu sterowania (uwzględniająca indukcyjność obwodu twornika) prowadzi do równania II-go rzędu. Pojawia się wówczas w tym równaniu druga stała czasowa, tzw. elektryczna, która jest przynajmniej o dwa rzędy wielkości mniejsza aniżeli stała mechaniczna (T) co powoduje, że współczynnik przy drugiej pochodnej jest bardzo mały i można go przy mniej dokładnej analizie zaniedbać. Po prawej stronie równania występuje sygnał sterujący (napięcie twornika) i sygnał zakłócający (zmienny moment obciążenia). Strukturę sterowania silnika prądu stałego w pętli otwartej można przedstawić jak na rys. 5. Rys. 5. Schemat blokowy sterowania silnika w otwartej pętli Obliczymy transmitancję operatorową silnika przyjmując zgodnie z rys. 4 za sygnał wejściowy napięcie U s t a za sygnał wyjściowy - prędkość obrotową n(t). Moment obciążający M(t) w tym przypadku jest stały, w szczególności równy zero. Równanie (7) w takim przypadku przyjmie postać: T dn t n t =k dt u U s t (8) Z równania (8) opisującego własności dynamiczne silnika łatwo uzyskać równanie statyki.
6 Charakterystyka statyczna to zależność sygnału wyjściowego od wejściowego w stanach ustalonych. W stanach ustalonych wielkości wejściowe i wyjściowe nie zmieniają się (mamy przecież stan ustalony). A jeśli tak, to wszystkie pochodne są równe zeru. Przyrównanie do zera członów równania w których występują pochodne daje nam równanie statyki. W omawianym przypadku równanie to przyjmie postać: n 0 =k u U s0 (9) gdzie indeks 0 oznacza wartość danej zmiennej w stanie ustalonym. Krok III Określenie transmitancji operatorowej G(s) Równanie operatorowe otrzymamy stosując znane reguły przekształcenia Laplace'a. Symbol d różniczkowania zastępujemy operatorem Laplace'a s, zmienne uzależniamy również od dt s i piszemy dużą literą, parametry stałe nie ulegają zmianie (nie podlegają przekształceniu). W naszym przypadku, po zastosowaniu opisanych reguł do równania (8) otrzymamy równanie algebraiczne: T sn s N s =k u U s s (10) Teraz możemy napisać transmitancję operatorową badanego silnika DC. Przypomnimy definicję: transmitancją operatorową G(s) układu lub członu automatyki nazywamy stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych. Rolę sygnału wyjściowego pełni prędkość obrotowa n(t) a jej transformata to N(s). Rolę sygnału wejściowego pełni napięcie twornika, zwane napięciem sterującym U s t. Jego transformata to U s s. Tak więc: G s = N s U s s = k u Ts 1 = 90,91 (11) 0,07 s 1 Krok IV Charakterystyka skokowa W pkt. Tok postępowania (str.2) mamy podane podstawowe informacje na temat charakterystyki skokowej (więcej w poz. [1], str.71) i w szczególności przytoczony jest wzór: h t = L 1 [G s a s ]=a L 1 [G s 1 s ] (12) Przeanalizujemy tok postępowania zmierzający do otrzymania charakterystyki skokowej zarówno w postaci analitycznej (tabelka) jak i graficznej (wykres) w oparciu o wzór (12). W badanym silniku maksymalne napięcie zasilające wynosi U s =35[V ]. Przyjmiemy zatem, że parametr a w równaniu (12) oznaczający amplitudę skoku wymuszającego równy będzie 35. Wzór (12) przyjmie postać: k h t = L 1 [ u a Ts 1 s ]=a k 1 u L 1 [ s Ts 1 ]=3181,85 1 L 1 [ s 0,07 s 1 ] (13) Symbol L 1 oznacza odwrotne przekształcenie Laplace'a. Oznacza on, że poszukujemy oryginału z wyrażenia znajdującego się w nawiasie kwadratowym za tym symbolem. Do tego celu wykorzystujemy tablice transformat Laplace'a. W każdym podręczniku do automatyki powinna znajdować się taka, mniej lub bardziej rozbudowana tablica. Jeśli korzystamy z pozycji [1] to na stronie 412 znajdziemy rozdział DODATEK a w nim bardzo rozbudowaną tablicę. Korzystanie z takiej tablicy w celu znalezienia odwrotnego przekształcenia Laplace'a polega na znalezieniu w drugiej kolumnie wyrażenia identycznego jak nasze wyrażenie w nawiasie kwadratowym i odczytaniu w trzeciej kolumnie oryginału, który będzie poszukiwanym wzorem charakterystyki
7 1 skokowej. Poszukujemy zatem w drugiej kolumnie tablicy wyrażenia [ s 0,07 s 1 ]. Ponieważ rozpatrywany przykład jest stosunkowo prostym przykładem nie powinno być problemu ze znalezieniem takiego wyrażenia. W przypadkach bardziej złożonych, kiedy nie udaje się nam znaleźć odpowiedniego wyrażenia stosujemy zabieg rozkładu takiego wyrażenia na ułamki proste, przedstawiamy go więc jako sumę prostszych wyrażeń, w tablicy znajdujemy te prostsze wyrażenia a wynik uzyskujemy jako sumę oryginałów poszczególnych prostszych wyrażeń. Więcej szczegółów o toku przedstawionego postępowania można znaleźć w pozycji [1], str.76. Występujące w naszym przykładzie wyrażenie znajdujemy bez większego problemu w drugim wierszu tablicy. Odczytujemy oryginał: 1 e t gdzie = 1. Tak więc wzór (13) na T charakterystykę skokową w naszym przypadku przyjmie postać: t t h t = L 1 k [ u a Ts 1 s ]=a k 1 e T u =3181,85 1 e 0,07 (14) Dokonajmy odpowiedniej interpretacji otrzymanego wzoru. Przypomnijmy, że rozpatrywanym obiektem jest silnik prądu stałego (rys. 3 i 4). Wielkością wyjściową jest prędkość obrotowa w [obr/min] a wielkością wejściową napięcie zasilające w [V]. Wzór (14) wyraża zmiany prędkości obrotowej badanego silnika w czasie po podłączeniu go do napięcia 35 [V]. Silnik przed podłączeniem do zasilania miał prędkość obrotową zerową (zerowe warunki początkowe). Należy sprawdzić, czy po podstawieniu do (14) t=0 h(t) reprezentujące obroty będzie równe zero. Po odpowiednio długim czasie (ok. 3-4 stałe czasowe) prędkość obrotowa silnika obcowzbudnego (przy braku zmian jego obciążenia) ustali się na stałej wartości. Jakiej? Należy wyliczyć wartość (14) przy t= (stan ustalony). Tym sposobem określimy wartość początkową i końcową prędkości obrotowej. Natomiast dla określenia przebiegu jej zmian konieczne jest policzenie wartości (14) dla kilku wartości t z przedziału od 0 do (3-4)T. Najwygodniej wyniki tych obliczeń przedstawić w odpowiedniej tabelce. Tabela 1. Wybrane wartości h(t) t[s] 0 0,001 0,002 0,003 0,01 0,01 0,02 0,05 0,1 0,5 h(t)[obr/min] 0 45,13 89,62 133,48 219,35 423,57 790, ,2 2419, , ,85 Dokładny wykres charakterystyki skokowej można uzyskać wykorzystując dowolny program graficzny. W ramach ćwiczeń laboratoryjnych istnieje możliwość narysowania wykresu h(t) przy pomocy programu MATLAB. Poniżej podane są instrukcje ogólnodostępnego programu SciLAB pozwalające narysować wykres h(t) badanego silnika. -->s=poly(0,'s'); -->sl=syslin('c', /(0.07*s+1)); -->instants=0:0.01:1; -->y=csim("step",instants,sl); -->plot2d(instants',y'); Po wykonaniu tych instrukcji w programie SciLAB otrzymamy wykres jak na rys. 6.
8 Rys. 6. Wykres charakterystyki skokowej silnika prądu stałego Krok V - Charakterystyki częstotliwościowe W pkt. 5 Tok postępowania (str. 2) przytoczone są podstawowe pojęcia i wzory mające zastosowanie w analizie częstotliwościowej. Więcej informacji można znaleźć w rozdziale 3 pozycji [1], str. 88. W ramach pracy kontrolnej należy rozpracować dwa rodzaje charakterystyk częstotliwościowych: charakterystykę amplitudowo-fazową oraz charakterystyki logarytmiczne. Charakterystyka amplitudowo-fazowa (a-f) Dla narysowania charakterystyki a-f na płaszczyźnie fazowej konieczne jest rozdzielenie transmitancji widmowej G(jω) na część rzeczywistą P(ω) i część urojoną Q(ω): G j =P jq (15) W rozpatrywanym silniku DC, którego transformata operatorowa ma postać określoną równaniem (11), transmitancję widmową zapiszemy jako: k u G j = 1 j T W celu wydzielenia części rzeczywistej i urojonej z równania (16) pomnożymy jego licznik i mianownik przez liczbę zespoloną, sprzężoną do liczby znajdującej się w mianowniku. Jak pamiętamy, liczba sprzężona do danej liczby zespolonej to taka, która ma część rzeczywistą taką samą a część urojoną z odwrotnym znakiem. Tak więc w naszym przypadku pomnożymy licznik i mianownik równania (16) przez 1- jωt. Wykonamy kolejne przekształcenia i otrzymamy: (16)
9 i dalej k G j = u 1 j T 1 j T 1 j T = k u 1 j T 1 j T j k u T 1 j T 1 j T G j = k u 1 2 T j k u T = P jq T Ostatecznie, dla potrzeb narysowania charakterystyki amplitudowo-fazowej, obliczymy części rzeczywistą i urojoną transmitancji: k u 2 P = 1 2 T = 90, ,0049 (17) Q = k T u 1 2 T = 6, , (18) W celu narysowania ch-ki a-f wygodnie jest wykonać obliczenia części rzeczywistej P(ω) i części urojonej Q(ω) dla ω zmieniającej się w zakresie od 0 do. Wyniki tych obliczeń dla wybranych wartości ω zamieścimy w tabeli 2. Tabela 2. Wyniki obliczeń charakterystyki amplitudowo-fazowej ω 0 0,01 0,1 0,25 0, P(ω) 90,91 90,9 90,9 90,88 90, ,01 30,71 1,82 0 Q(ω) 0-0,06-0,06-1,59-3,18-6,33-28,35-42, ,73 0 Pełny wykres charakterystyki można również otrzymać korzystając z odpowiednich graficznych programów komputerowych. W ramach zajęć laboratoryjnych była możliwość wykorzystania do tego celu programu MATLAB. Poniżej podany jest zestaw instrukcji pozwalających narysować charakterystykę amplitudowofazową (tzw. ch-kę Nyquista) przy pomocy programu SciLAB. -->s=poly(0,'s'); -->h=syslin('c',90.91/(0.07*s+1)); -->nyquist(h,0.01,100); Sam wykres otrzymany w wyniku realizacji zaprezentowanych instrukcji przedstawiony jest na rys. 7. Charakterystyki logarytmicznej Analizujemy dwie charakterystyki logarytmiczne: amplitudową i fazową. Charakterystykę amplitudową wyznaczymy z zależności: którą najwygodniej zapisać w postaci: L =20 log P 2 Q 2 =20log k u 1 T 2 2 (19) L =20log k u 20log 1 T 2 2 (20) Wykres L(ω) można uprościć, pomijając we wzorze (20) dla ω<1/t składnik T 2 2, a dla ω>1/t składnik 1 pod pierwiastkiem. Otrzymamy wówczas tzw. asymptotyczną charakterystykę amplitudową: dla ω<1/t L =20 log k u, (21)
10 dla ω>1/t L =20 log k u 20log T (22) Rys. 7. Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej silnika DC uzyskany przy pomocy programu SciLAB Pulsacja (częstotliwość kątowa) ω=1/t nazywa się pulsacją sprzęgającą i oznacza się ją symbolem s lub czasami 0. Logarytmiczną charakterystykę fazową wyznaczamy z zależności: =arctg Q =arctg T = arctg T (23) P Bardziej szczegółowe informacje na omawiane tematy można znaleźć w [1], str.100. Na rys. 8 przedstawione zostały wykresy charakterystyki amplitudowej i fazowej uzyskane przy pomocy programu SciLAB. Dla ich otrzymania wystarczy w programie SciLAB następujęce instrukcje: -->s=poly(0,'s'); -->h=syslin('c',90.91/(0.07*s+1)); -->bode(h,0.01,100); W ramach ćwiczeń laboratoryjnych przedstawiane było wykorzystanie programu MATLAB do takich zadań. W pracy kontrolnej w przypadku rysowania dokładnych charakterystyk logarytmicznych z wykorzystaniem programu komputerowego, na otrzymany wykres charakterystyki amplitudowej proszę nanieść przybliżoną charakterystykę (patrz: asymptotyczna charakterystyka amplitudowa wzór (21) i (22)).
11 Rys. 8. Charakterystyki logarytmiczne silnika CD Literatura 1. Wykłady z automatyki dla mechaników, M. Chłędowski, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów Podstawy automatyki w ćwiczeniach i zadaniach, M. Chłędowski, J. Pieniążek, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 2009
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoSterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi
Bardziej szczegółowoSterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe
Wstęp teoretyczny Ćwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji oraz korekta nastaw regulatora na
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. Analiza w dziedzinie czasu i częstotliwości dla elementarnych obiektów automatyki.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI Analiza w dziedzinie czasu i częstotliwości dla elementarnych obiektów automatyki. Materiały pomocnicze do
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe
Bardziej szczegółowoTransmitancje układów ciągłych
Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów
ĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów. Cel ćwiczenia Badanie układów pierwszego rzędu różniczkującego, całkującego
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne
. Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty
Bardziej szczegółowoProcedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Bardziej szczegółowoW celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,
Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 1b. Silnik prądu stałego jako element wykonawczy Modelowanie i symulacja napędu CZUJNIKI POMIAROWE I ELEMENTY WYKONAWCZE
Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych 90-924 Łódź, ul. Wólczańska 221/223, bud. B18 tel. 42 631 26 28 faks 42 636 03 27 e-mail secretary@dmcs.p.lodz.pl http://www.dmcs.p.lodz.pl
Bardziej szczegółowoĆwiczenie: "Silnik prądu stałego"
Ćwiczenie: "Silnik prądu stałego" Opracowane w ramach projektu: "Wirtualne Laboratoria Fizyczne nowoczesną metodą nauczania realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia: Zasada
Bardziej szczegółowoRys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik
Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik gdzie: m-masa bloczka [kg], ẏ prędkośćbloczka [ m s ]. 3. W kolejnym energię potencjalną: gdzie: y- przemieszczenie bloczka [m], k- stała sprężystości, [N/m].
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 część 1: Charakterystyki częstotliwościowe Wstęp Charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 4 WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest doświadczalne
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 Badanie własności podstawowych liniowych członów automatyki opartych na biernych elementach elektrycznych
Ćwiczenie 3 Badanie własności podstawowych liniowych członów automatyki opartych na biernych elementach elektrycznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych własności członów liniowych
Bardziej szczegółowoELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013
SIMULINK część pakietu numerycznego MATLAB (firmy MathWorks) służąca do przeprowadzania symulacji komputerowych. Atutem programu jest interfejs graficzny (budowanie układów na bazie logicznie połączonych
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 7 BADANIE ODPOWIEDZI USTALONEJ NA OKRESOWY CIĄG IMPULSÓW 1. Cel ćwiczenia Obserwacja przebiegów wyjściowych
Bardziej szczegółowoPRZED PRZYSTĄPIENIEM DO ZAJĘĆ PROSZĘ O BARDZO DOKŁADNE
ĆWICZENIE 5) BADANIE REGULATORA PI W UKŁADZIE STEROWANIA PRĘDKOŚCIĄ OBROTOWĄ SILNIKA PRĄDU STAŁEGO PRZED PRZYSTĄPIENIEM DO ZAJĘĆ PROSZĘ O BARDZO DOKŁADNE ZAPOZNANIE SIĘ Z TREŚCIĄ INSTRUKCJI CEL ĆWICZENIA:
Bardziej szczegółowoLaboratorium z podstaw automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium z podstaw automatyki Analiza stabilności obiektów automatyzacji, Wpływ sprzężenia zwrotnego na stabilność obiektów Kierunek studiów: Transport,
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy
Automatyka i robotyka ETP2005L Laboratorium semestr zimowy 2017-2018 Liniowe człony automatyki x(t) wymuszenie CZŁON (element) OBIEKT AUTOMATYKI y(t) odpowiedź Modelowanie matematyczne obiektów automatyki
Bardziej szczegółowoSymulacja pracy silnika prądu stałego
KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN POLITECHNIKA OPOLSKA MECHATRONIKA Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Symulacja pracy silnika prądu stałego Opracował: Dr inż. Roland Pawliczek Opole 016
Bardziej szczegółowoLaboratorium z automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium z automatyki Algebra schematów blokowych, wyznaczanie odpowiedzi obiektu na sygnał zadany, charakterystyki częstotliwościowe Kierunek studiów:
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 3 - Charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 3 -, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp określają zachowanie się elementu (układu) pod wpływem ciągłych sinusoidalnych sygnałów wejściowych. W analizie
Bardziej szczegółowoWłasności dynamiczne przetworników pierwszego rzędu
1 ĆWICZENIE 7. CEL ĆWICZENIA. Własności dynamiczne przetworników pierwszego rzędu Celem ćwiczenia jest poznanie własności dynamicznych przetworników pierwszego rzędu w dziedzinie czasu i częstotliwości
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:
Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 cz.1: Charakterystyki częstotliwościowe Wstęp Charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoTransmitancja operatorowa członu automatyki (jakiego??) jest dana wzorem:
PoniŜej przedstawiono standardowy tok otrzymywania charakterystyk częstotliwościowych: 1. Wyznaczenie transmitancji operatorowej. Wykonanie podstawienia s ωj. Wyznaczenie Re(G(jω )) oraz Im(G(jω ))-najczęściej
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza
Bardziej szczegółowoĆwiczenie - 1 OBSŁUGA GENERATORA I OSCYLOSKOPU. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ I FAZOWEJ NA PRZYKŁADZIE FILTRU RC.
Ćwiczenie - 1 OBSŁUGA GENERATORA I OSCYLOSKOPU. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ I FAZOWEJ NA PRZYKŁADZIE FILTRU RC. Spis treści 1 Cel ćwiczenia 2 2 Podstawy teoretyczne 2 2.1 Charakterystyki częstotliwościowe..........................
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych
Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z metodą wyznaczania odpowiedzi skokowych oraz impulsowych podstawowych obiektów regulacji.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Podstawy Automatyki laboratorium
Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest uzyskanie wykresów charakterystyk skokowych członów róŝniczkujących mechanicznych i hydraulicznych oraz wyznaczenie w sposób teoretyczny i graficzny ich stałych czasowych.
Bardziej szczegółowoUkład regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności
Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA II rok Kierunek Transport Temat: Transmitancja operatorowa. Badanie odpowiedzi układów automatyki. Opracował
Bardziej szczegółowoSterowanie Serwonapędów Maszyn i Robotów
Wykład 3.1 - Modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje,
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 cz.1: Charakterystyki częstotliwościowe Wstęp Charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowo2.2. Metoda przez zmianę strumienia magnetycznego Φ Metoda przez zmianę napięcia twornika Układ Ward-Leonarda
5 Spis treści Przedmowa... 11 Wykaz ważniejszych oznaczeń... 13 1. Badanie silnika prądu stałego... 15 1.1. Elementy maszyn prądu stałego... 15 1.2. Zasada działania i budowa maszyny prądu stałego... 17
Bardziej szczegółowoZ-ZIP-103z Podstawy automatyzacji Basics of automation
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 01/013 Z-ZIP-103z Podstawy automatyzacji Basics of automation A. USYTUOWANIE MODUŁU
Bardziej szczegółowo1. Transformata Laplace a przypomnienie
Transformata Laplace a - przypomnienie, transmitancja operatorowa, schematy blokowe, wprowadzenie do pakietu Matlab/Scilab i Simulink, regulatory PID - transmitancja, przykłady modeli matematycznych wybranych
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC
Ćwiczenie 3 3.1. Cel ćwiczenia BADANE OBWODÓW PRĄD SNSODANEGO Z EEMENTAM RC Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych z elementów RC. Poznanie zasad rysowania wykresów
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoKatedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji
Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Opracowanie: mgr inż. Krystian Łygas, inż. Wojciech Danilczuk Na podstawie materiałów Prof. dr hab.
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 7 - obiekty regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 7 - obiekty regulacji Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Obiekty regulacji Obiekt regulacji Obiektem regulacji nazywamy proces technologiczny podlegający oddziaływaniu zakłóceń, zachodzący
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoĆwiczenie EA1 Silniki wykonawcze prądu stałego
Akademia Górniczo-Hutnicza im.s.staszica w Krakowie KATEDRA MASZYN ELEKTRYCZNYCH Ćwiczenie EA1 Silniki wykonawcze prądu stałego Program ćwiczenia: A Silnik wykonawczy elektromagnetyczny 1. Zapoznanie się
Bardziej szczegółowoTransmitancje i charakterystyki częstotliwościowe. Krzysztof Patan
Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe Krzysztof Patan Transmitancja systemu czasu ciągłego Przekształcenie Laplace a systemu czasu ciągłego jest superpozycją składowych pochodzących od wymuszenia
Bardziej szczegółowoTechnika regulacji automatycznej
Technika regulacji automatycznej Wykład 2 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 56 Plan wykładu Schematy strukturalne Podstawowe operacje na schematach
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE CZŁONY DYNAMICZNE
PODSTAWOWE CZŁONY DYNAMICZNE Człon podstawowy jest to element przetwarzający wprowadzony do niego sygnał wejściowy x(t) na sygnał wyjściowy y(t) w sposób elementarny. Przetwarzanie elementarne oznacza,
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI Badanie silnika bocznikowego prądu stałego
Ćwiczenie 3 Wydział Geoinżynierii, Górnictwa i Geologii LABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI Badanie silnika bocznikowego prądu stałego Opracował: Grzegorz Wiśniewski Zagadnienia do przygotowania Urządzenia
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze do egzaminu Dynamika Systemów Elektromechanicznych
Materiały pomocnicze do egzaminu Dynamika Systemów Elektromechanicznych Studia Magisterskie IIgo stopnia Specjalności: PTiB, EiNE, APiAB, Rok I Opracował: dr hab. inż. Wiesław Jażdżynski, prof.nz.agh Kraków,
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoInstytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 6 Model matematyczny elementu naprawialnego Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia:
Bardziej szczegółowo1 Dana jest funkcja logiczna f(x 3, x 2, x 1, x 0 )= (1, 3, 5, 7, 12, 13, 15 (4, 6, 9))*.
EUROELEKTRA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 0/0 Odpowiedzi do zadań dla grupy elektronicznej na zawody II stopnia (okręgowe) Dana jest funkcja logiczna f(x 3, x,
Bardziej szczegółowoPAiTM. materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż.
PAiTM materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia.
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Automatyka Automatics Forma studiów: studia stacjonarne Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba
Bardziej szczegółowoAutomatyka i sterowanie w gazownictwie Modelowanie
Automatyka i sterowanie w gazownictwie Modelowanie Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH Modele matematyczne Własności układu
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Sterowanie ciągłe. Teoria sterowania układów jednowymiarowych
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Sterowanie ciągłe Teoria sterowania układów jednowymiarowych 1 Informacja o prowadzących zajęcia Studia stacjonarne rok II Automatyka i Robotyka
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoZadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej
Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej Rozwiązane zadania należy dostarczyć do prowadzącego w formie wydruku lub w formie odręcznego
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoObliczenia polowe silnika przełączalnego reluktancyjnego (SRM) w celu jego optymalizacji
Akademia Górniczo Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Studenckie Koło Naukowe Maszyn Elektrycznych Magnesik Obliczenia polowe silnika
Bardziej szczegółowoPOMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH
POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMST Semestr letni Wykład nr 3 Prawo autorskie Niniejsze
Bardziej szczegółowoAutomatyka i sterowanie w gazownictwie Modelowanie
Automatyka i sterowanie w gazownictwie Modelowanie Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH Modele matematyczne Własności układu
Bardziej szczegółowoA-2. Filtry bierne. wersja
wersja 04 2014 1. Zakres ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zrozumienie propagacji sygnałów zmiennych w czasie przez układy filtracji oparte na elementach rezystancyjno-pojemnościowych. Wyznaczenie doświadczalne
Bardziej szczegółowoPodstawy inżynierii sterowania Ćwiczenia laboratoryjne
Podstawy inżynierii sterowania Ćwiczenia laboratoryjne Laboratorium nr 4: Układ sterowania silnika obcowzbudnego prądu stałego z regulatorem PID 1. Wprowadzenie Przedmiotem rozważań jest układ automatycznej
Bardziej szczegółowoBadanie prądnicy prądu stałego
POLTECHNKA ŚLĄSKA WYDZAŁ NŻYNER ŚRODOWSKA ENERGETYK NSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH LABORATORUM ELEKTRYCZNE Badanie prądnicy prądu stałego (E 18) Opracował: Dr inż. Włodzimierz OGULEWCZ 3 1. Cel
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 6 - Odpowiedź częstotliwościowa Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 37 Plan wykładu Wprowadzenie Podstawowe człony
Bardziej szczegółowo13 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J
3 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A P O D S T A W E L E K T R O T E C H N I K I I E L E K T R O N I K I Ćw. 3. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu Wprowadzenie Obwód złożony
Bardziej szczegółowoNapędy urządzeń mechatronicznych
1. Na rysunku przedstawiono schemat blokowy układu wykonawczego z napędem elektrycznym. W poszczególne bloki schematu wpisać nazwy jego elementów oraz wskazanych sygnałów. Napędy urządzeń mechatronicznych
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowoTemat ćwiczenia: Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych podstawowych członów dynamicznych realizowanych za pomocą wzmacniacza operacyjnego
Automatyka i pomiar wielkości fizykochemicznych ĆWICZENIE NR 3 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych podstawowych członów dynamicznych realizowanych za pomocą wzmacniacza operacyjnego
Bardziej szczegółowo3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Zapoznanie studentów z własnościami
Bardziej szczegółowoWykład 2 Silniki indukcyjne asynchroniczne
Wykład 2 Silniki indukcyjne asynchroniczne Katedra Sterowania i InŜynierii Systemów 1 Budowa silnika inukcyjnego Katedra Sterowania i InŜynierii Systemów 2 Budowa silnika inukcyjnego Tabliczka znamionowa
Bardziej szczegółoworezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym
Lekcja szósta poświęcona będzie analizie zjawisk rezonansowych w obwodzie RLC. Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC przy którym prąd i napięcie są ze sobą w fazie. W stanie rezonansu przesunięcie
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ eoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2016/2017
Bardziej szczegółowoCzęść 1. Transmitancje i stabilność
Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Z. Krzysztof Patan
Przekształcenie Z Krzysztof Patan Wprowadzenie Przekształcenie Laplace a można stosować do sygnałów i systemów czasu ciągłego W przypadku sygnałów czy systemów czasu dyskretnego do wyznaczenia transmitancji
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Elektromechaniczne przetwarzanie energii Rok akademicki: 2012/2013 Kod: EEL-1-403-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Elektrotechnika
Bardziej szczegółowoDrgania wymuszone - wahadło Pohla
Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowo