Matematka Element anali wektorowej c I Pole wektorowe
Literatura M.Gewert Z.Skoclas; Element anali wektorowej; Oficna Wdawnica GiS Wrocław 000 W.Żakowski W.Kołodiej; Matematka c II; WNT Warsawa 1984 W.Leksiński I.Nabiałek W.Żakowski; Matematka dla studiów espermentalnch; WNT Warsawa 1981 W.Stankiewic; Zadanie matematki dla wżsch ucelni technicnch c II; PWN Warsawa 1983
Pole skalarne Definicja 1. Polem skalarnm (polem skalarów) nawam funkcję która każdemu punktowi pewnego obsaru prporądkowuje określon skalar. Pole skalarne jest matematcnm abstraktem takich wielkości ficnch które w każdm punkcie obsaru charakterują się tlko licbą. Prkład
Pole wektorowe Definicja. Polem wektorowm (polem wektorów) nawam funkcję która każdemu punktowi pewnego obsaru prporądkowuje określon wektor. Pole skalarne jest matematcnm abstraktem takich wielkości ficnch które w każdm punkcie obsaru charakterują się licbą i skierowaniem tj. kierunkiem i wrotem. Prkład
Pole wektorowe na płascźnie i w prestreni Definicja 3. a) Polem wektorowe na obsare DR nawam funkcję wektorową określoną worem F F P gdie D b) Polem wektorowe na obsare VR 3 nawam funkcję wektorową określoną worem P R gdie V
Pole potencjalne Definicja 4. Polem wektorowe F określone na obsare D nawam potencjalnm gd istnieje funkcja U:DR taka że F gradv Funkcję U nawam potencjałem pola wektorowego F
Uwaga Dla pola wektorowego na płascźnie warunek ten ma postać Podobnie dla pola wektorowego w prestreni Pole potencjalne P F U U P P R F U R U U P
Pole potencjalne Prkład Sprawdić c podane funkcje są potencjałami wskaanch pól wektorowch a) U 10 F gdie R b) U F gdie R 3
Pole potencjalne Prkład Wnacć potencjał podanch pól wektorowch a) F 3 6 b) F c) F d) F
Pole potencjalne Twierdenie 1. (krterium potencjalności) a) Niech pole wektorowe F P będie różnickowalne w sposób ciągł na obsare wpukłm DR. Wówcas pole wektorowe F P jest potencjalne na D wted i tlko wted gd P D
Twierdenie 1. (krterium potencjalności) b) Niech pole wektorowe będie różnickowalne w sposób ciągł na obsare wpukłm VR 3. Wówcas pole wektorowe jest potencjalne na V wted i tlko wted gd Pole potencjalne R P F R P F R R P P V
Operator Hamiltona Definicja 5. Operator Hamiltona (nabla) określan jest worem i j k
Gradient funkcji Definicja 6. Niech funkcja f ma pochodne cąstkowe I rędu na obsare VR 3. Gradient funkcji f jest określon worem grad f f f f f
Gradient funkcji Prkład Wnacć gradient podanch funkcji a) f b) f arctg
Rotacja pola wektorowego Definicja 7. F P R Niech będie różnickowalnm polem wektorowm na obsare VR 3. Rotację pola wektorowego F określam worem i j k rot F F P R
Rotacja pola wektorowego Prkład Wnacć rotację wskaanch pól wektorowch a) F 3 b) F 5 34
Twierdenie 1. (krterium potencjalności) b) Niech pole wektorowe będie różnickowalne w sposób ciągł na obsare wpukłm VR 3. Wówcas pole wektorowe jest potencjalne na V wted i tlko wted gd Pole potencjalne - prpomnienie R P F R P F R R P P V
Rotacja pola wektorowego Fakt (krterium potencjalności) Pole wektorowe F P R jest potencjalne na obsare wpukłm VR 3 wted i tlko wted gd rot F 0
Dwergencja pola wektorowego Definicja 8. Niech pole wektorowe F P R będie polem wektorowm różnickowalnm w sposób ciągł na obsare VR 3. Dwergencję pola wektorowego F określam worem div F F P R
Dwergencja pola wektorowego Prkład Wnacć dwergencję podanch pól wektorowch a) F b) F c) F ln e arctg 3 4 5 e cos sin
Definicja 9. Laplasjanem funkcji f mającej drugie pochodne cąstkowe ciągłe onacam smbolem lub nawam funkcję określoną w układie kartejańskim OXYZ równością Operator Laplace a Laplasjan f f f f f f f
Element anali wektorowej c I Pole wektorowe