ABC matematyki dla początkujących fizyków. Elementy analizy wektorowej

Transkrypt

1 AB matematyki dla początkujących fizyków Elementy analizy wektorowej polewektoroweipoleskalarne różniczkowaniefunkcjiwektorowej operatornabla gradient, dywergencja,rotacja gradient,laplasjanwukładziesferycznym strumieńpolawektorowego krążenie twierdzenieostrogradskiego-gaussa twierdzenietokes a natężeniepolawektorowego ipotencjał Pole wektorowe i pole skalarne Jeśli w przestrzeni każdemu punktowi x, y, z przypisany jest wektor fx,y,z) to mamy do czynienia z polemwektorowymwektor fmożemynazwaćnatężeniem pola Linie styczne do wektorów pola nazywane są liniami pola Podobnie, jeśli punktom x, y, z przypiszemy funkcję skalarnąfx,y,z)tomówimyopoluskalarnym Przykładami pierwszego jest pole prędkości v cząstek wodywrzece,czypolesiłygrawitacji Fr)Przykładem pola skalarnego jest temperatura powietrza Tx, y, z) w różnych punktach atmosfery Powierzchnia ekwiskalarna to miejsce geometryczne punktówwktórychfunkcjaskalarnafx,y,z)nataką samą wartośćnp powierzchnie na której temperatura wynosiwszędzie0 o )Równaniepowierzchniekwiskalarnej:fx,y,z)=const 2 Różniczkowanie funkcji wektorowej Funkcja jednej zmiennej W przypadku wektorowej funkcji jednej zmiennej, np t, o składowych f x t), f y t), f z t),obliczeniepochodnejwektoraft) sprowadza się do obliczeniu pochodnych poszczególnych składowych ) d f= dt dfx dt,df y dt,df z dt Różniczka dfjestwektoremokreślającymprzyrostwektora f, df= ft+dt) ft)wyrażasięonprzezróżniczki poszczególnych składowych df=df x,df y,df z )=df x î+df y ĵ+df zˆk Przykład: Rozpatrzmy promień wodzący poruszającego się punktu czyli funkcję wektorową rt) = xt),yt),zt)) Pochodna: dr dt = dx dtî+dy dtĵ+dz dtˆk Różniczka:dr=dx,dy,dz)=dxî+dyĵ+dzˆk Funkcja wektorowa wielu zmiennych Wiele takich funkcji spotykamy opisując zjawiska fizyczne zęsto będzie to zależność od położeniawspółrzędne x,y,z) i czasu t) Na przykład: wektor prędkości cząstek wody w rzece zależy zarówno od położenia jak i od czasu Mamy więc funkcję wektorową vx,y,z,t) = v x x,y,z,t),v y x,y,z,t),v z x,y,z,t) ) zasemzamiastvx,y,z,t)piszesięskrótowovr,t) Współrzędne przestrzenne nie muszą być współrzędnymi układu kartezjańskiego, można stosować każdy inny Zarówno funkcje skalarne jak i wektorowe można różniczkować po dowolnej zmiennejtraktując pozostałe zmienne jako stałe) jest to wtedy tzw pochodna cząstkowa Przykładowo, pochodną składowej x-owej wektoraprędkościv x x,y,z,t)pozmiennejzzapiszemytak: v x z Pochodna cząstkowa całego wektora v po zmiennej z: ) v z = vx z,v y z,v z z Podobnie oblicza się v x, v y 3 Operatornabla Określamy go tak, że w zapisie matematycznym jest symbolicznym wektorem o trzech składowych, w związku z czym stosują sie do niego wszystkie reguły algebry wektorów, min mnożenia W układzie kartezjańskim wektor nabla wyraża się tak: ) = x, y,, z

2 =î x +ĵ y +ˆk z Takioperatorjakkażdyoperator)samwsobieniema sensu, nabiera realnego sensu dopiero wtedy jeśli podziała na jakąś funkcjęskalarną lub wektorową) Należy przy tym pamiętać aby stawiać operator po lewej stronie obiektu na który ma działać Podnosząc do kwadratu operator, ) czyli mnożąc ) skalarniewektory = x, y, z x, y, z,uzyskujemy inny ważny operator zwany operatorem Laplace a,lublaplasjanem,oznaczanymsymbolem 2 lub W układzie kartezjańskim: 2 = 2 x y z 2 Laplasjan jest jak widać operatorem skalarnym Działając operatorem nabla na funkcję zmiennych położenia x, y, zformalnie mnożąc funkcję przez wektor ) uzyskujemy trzy użyteczne funkcje: fx,y,z) gradientfunkcjiskalarnejf fx,y,z) dywergencjafunkcjiwektorowej f fx,y,z) rotacjafunkcjiwektorowej f 4 Gradientfunkcji Wektor mnożony przez skalar jest dalej wektorem, a więc gradient funkcji, który obliczamy mnożąc wektor przez funkcję skalarną fx, y, z) jest wektorem Zgodnie z regułą mnożenia wektora przez skalar gradient funkcji przedstawia się następująco f= î x +ĵ y +ˆk y ) f=î f x +ĵf f +ˆk y y Zamiastpisowni fczęstopiszesiegradf ) Zapamiętaj: gradfx,y,z)= f x,f y,f z Jeśli funkcja zależy tylko od jednej zmiennej kartezjańskiej, np x, to wtedy gradient jest wyrażony przez zwykłą pochodną: gradfx)= df dxî Własności gradientu )Każdazpochodnychcząstkowych f x i wewzorzena gradientmówiotymjakszybkozmieniasięfunkcjaf w danym kierunku, wektor gradf jest wypadkową tych zmian i pokazuje kierunek, w którym funkcja zmienia się najsilniej 2) Wektor gradf jest prostopadły do powierzchni ekwiskalarnej Uzasadnić to można następująco Rozpatrzmy powierzchnię będącą miejscem geometrycznym punktów, w których funkcja fx,y,z) ma taką samą wartość nazwijmy tę powierzchnię powierzchnią ekwiskalarną) Równanie tej powierzchni: fx, y, z)=const Przyrost funkcji f wynosi zero jeśli będziemy się przemieszczać po tej powierzchni o dr w dowolnym kierunku Matematycznie: weźmy różniczkę z obu stron równania:dfx,y,z))=dconst),codaje f x dx+f y dy+f z dz=0 Powyższe wyrażenie jest, jak widać, iloczynem skalarnymgradientu f iwektoradx,dy,dz)czyliprzemieszczenia dr wektora wodzącego r Z zerowania iloczynu skalarnego wnioskujemy o prostopadłości wektorówgradf idr,atozkoleiimplikujeprostopadłość gradf do powierzchni ekwiskalarnej Przykłady: )Ilewynosigradr),gdzier = x 2 +y 2 +z 2 jest długością promienia wodzącego? Obliczmy x-ową składową gradientu: x x2 +y 2 +z 2 x = = x x 2 +y 2 +z 2 r Pozostałe składowe będą wyglądać podobnie, czyli gradr)= r x,y,z)=r r =ˆr Wykonując obliczenie w układzie sferycznym patrz rozdz7,strona3)tenwynikuzyskujesięodrazu: gradr)= d dr r)û r= û r = r r 2)Obliczyćgrad r) kładowa x-owa: x x 2 +y 2 +z 2= x = x x2 +y 2 +z 23 r 3 Zatemgrad ) r = rx,y,z)= 3 r 2ˆr Podobnie jak w poprzednim przykładzie taki wynik można było otrzymać prościej, obliczając gradient w układziesferycznym:grad r )= dr d r)ûr = rû 2 r = r r 2 r 3) Gradient temperatury w atmosferze Przypuśćmy, że temperatura T nad powierzchnią Ziemi zmienia się tylko wkierunkupionowymnpmaleje)t=tz)gradient temperaturygradtz)=0,0, dt dz )jestwięcwektorem o kierunku pionowymprostopadłym do powierzchni ekwiskalarnej, którą jest powierzchnia Ziemi), a jego wartość dt dz podajeoilestopnizmieniasiętemperatura przy wzniesieniu się o jednostkową wysokość 5 Dywergencja funkcji wektorowej Jeśli funkcję wektorową fx,y,z) o składowych f x x,y,z),f y x,y,z),f z x,y,z)pomnożymyskalarnie przez wektor to otrzymamy w wyniku funkcję skalarną,zwanądywergencjąfunkcji f: fx,y,z)= f x x +f y y +f z z div f= fx x +fy y +fz z Przykład: Obliczyć dywergencję wektora wodzącego r Wektorrmaskładower x =x, r y =y, r z =z,czyli divr= x x +y y +z z =3 2

3 6 Rotacja funkcji wektorowej Mnożenie wektorowe operatora nabla i funkcji wektorowej fx,y,z)dajewwynikuwektorfunkcjęwektorową)nazywanyrotacjąwektora fzgodniezregułami mnożenia wektorowego obliczamy ją następująco: rotfx,y,z)= î ĵ ˆk x y f x f y f z z rotf= ) fz y fy z,fx z fz x,fy x fx y 7 Gradient, dywergencja, rotacja, laplasjan w niekartezjańskich układach współrzędnych Pomocny jest tekst: układy współrzędnychpdf W przypadku rozpatrywania pól cechujących się symetriąnp sferyczną, cylindryczną) układ kartezjański nie jest wygodnym układem W układach współrzędnych innych niż kartezjański wzory na gradient, dywergencję, rotację i laplasjan różnią się od podanych powyżej Wyrażają się one poprzez pochodne cząstkowe względem zmiennych właściwych dla danego układui przez odpowiednie wektory bazowe układu, jeśli dotyczy to gradientu i rotacji) Wzory te niezostanąpodanetutajleczłatwojeodszukaćwpodręcznikach lub internecie Warte są jednak przytoczenia wzory dla gradientu pola skalarnego i operatora Laplace alaplasjanu) w układzie sferycznym Oto one: Układ sferyczny Gradient,poleskalarnefr,θ,ϕ) v d α d v α dcosα Rozpatrzmy strugę wody przepływającą przez pewną powierzchnię Ilośćobjętość) wody przepływającej w sekundzie przez wybrany element powierzchni d wynosidφ=v djeślielementdjestprostopadły dokierunkuprzepływuv sjestdrogąprzebytąw s),adφ=v d cosαjeślipowierzchniajestnachylona pod kątem αpatrz rysunek) Wprowadzimy wektor d, który jest wektorem o długości d i prostopadłym do powierzchni wypływuzwrot na zewnątrz powierzchni) Wtedy elementarny strumień wypływającej przez d wody wyrazimy w postaci iloczynu skalarnego dφ=v d, a całkowity strumień wypływający przez powierzchnię wyrazi się poprzez całkę po całej powierzchni Φ= v d Prawa strona wyrażenia jest całką powierzchniową ałkę powierzchniową wyraża się na ogół dwoma symbolamicałkowania, jako że powierzchnia jest tworem dwuwymiarowym, choć często można spotkać i pojedyńczysymbol Powyższa definicja strumienia dotyczy oczywiście każdegoinnegopolawektorowego F,ogólnie: gradf= f f f rûr+ r θûθ+ rsinθ ϕûϕ W szczególności, gdy funkcja f zależy tylko od r: gradfr)= df drûr Laplasjan 2 = r 2 r 2 ) + r r r 2 sinθ sinθ ) + θ θ r 2 sin 2 θ 8 trumień wektora pola 2 ϕ 2 Zaczniemy od poglądowego przykładu dla wektorowego pola prędkości v cząstek płynącej cieczy 3 Φ F = F d d F d Pole bezźródłowe Rozpatrzmy pole wektorowe F Jeśli weźmiemy powierzchnię zamkniętą, a wewnątrz niej nie ma ani źródeł ani absorbentów polanp w wyżej omówionym przykładzie nie ma dodatkowego źródła wody w obszarze zamkniętym powierzchnią ) to tyle samo wpływa do wewnątrz powierzchni, ile z niej wypływa na zewnątrz, a więc całkowity strumień jest równy zero Φ= F d=0

4 cooznaczakółkonasymbolucałki patrzprzypis ) Takie pole nazywamy bezźródłowym Zwróć uwagę, że strumień może być zarówno dodatni, jak i ujemny, w zależności od znaku iloczynu skalarnego podcałką,czyliwzależnościodtegoczypolewpływa dowewnątrzpowierzchniφ<0),czyzniejwypływa Φ>0) 9 Krążenie wektora pola KrążeniempolawektorowegoFpokonturzezamknię- tym nazywamy całkę krążenie = F dr Taka całka po konturze nosi nazwę całki krzywoliniowej Wyrażenie pod znakiem całki jest iloczynem skalarnym wektorapola Fiwektora dr,przedstawiającegoelementarne przemieszczenie wzdłuż krzywej dr F F dr Ażeby dać fizyczny przykład spotykaliśmy się z taką całką przy okazji obliczania pracy wykonanej na drodze niekonieczniezamkniętej)przezsiłypolafprzy czym, jeśli kontur był krzywą zamkniętą, a rozpatrywane pole sił było polem zachowawczym, to wykonana praca po drodze zamkniętej wynosiła zero F dr=0 Takiepole Fktóregokrążeniepodowolnejkrzywejzamkniętej jest równe zero nazywamy polem bezwirowym 0 Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa To twierdzenie pozwala zamienić całkę po dowolnej powierzchni zamkniętej na całkę po objętości V ograniczonej tą powierzchnią: F d= V div FdV Kółkonasymbolucałkioznacza,żeobszarcałkowania jest obszarem zamkniętym, np w tym przypadku jest to zamknięta powierzchnia Podobnie jest, jeśli całkowania dokonuje sie po krzywej zamkniętej Lewa strona równości przedstawia całkowity strumień polaf przepływającyprzezwszczególnymprzypadku, w sytuacji gdy wewnątrz dowolnie wybranej zamkniętej powierzchni nie ma źródel lub absorbentów pola to, jak już była mowa, strumienie wpływający i wypływający są równe co do wartości ale przeciwne co do znaku i w efekcie strumień wypadkowy jest równy zerotoimplikujezerowaniecałki divfdvdlakaż- degoobszaruv,cojestmożliwewtedyitylkowtedy gdy funkcja podcałkowa jest równa zero Tak więc warunek div F=0 stanowi kryterium pola bezźródłowego Twierdzenietokes a Twierdzenie tokes a pozwala zamienić całkę po krzywej zamkniętej na całkę po powierzchni ograniczonej tą krzywą: F dr= V rot F d To twierdzenie jest prawdziwe dla każdej powierzchni,którejbrzegiemjestkrzywaniemusitobyćpowierzchnia płaska, wyobraź sobie, że jest to błonka rozpięta na ramce, dowolnie wybrzuszona) W szczególnym przypadku gdy pole jest zachowawcze, lewastronaprzedstawiającapracęwektorafpokrzy- wej zamkniętej) jest równa zero To znów implikuje zero- waniecałki rotf d dla każdego obszaru całkowania ograniczonego konturem, a to jest możliwe wtedy itylkowtedygdyfunkcjapodcałkowarot Fjestrówna zero Tak więc zerowanie rotacji wektora pola rot F=0 jest warunkiem koniecznym i wystarczającym zachowawczościpola F 2 Natężenie pola wektorowego i potencjał skalarny Jeślirozpatrujemydowolnepolewektorowe Fx,y,z)to wektor Fprzypisanydopunktux,y,z)=rnazywamy natężeniem pola w tym punkcie Załóżmy,żepoleFr)jestpolemzachowawczymTakie założenie jest równoważne stwierdzeniu, że praca wektorafprzyprzemieszczeniupomiędzydwomapunktamiaibczyli B Fdr,patrzrys)niezależyodtego A po jakiej drodze realizowane jest to przemieszczenie 4

5 y A r o pole F r W przypadku pola zachowawczegoi tylko wtedy) można dobrać takie pole skalarne ϕr), którego gradient ze znakiem ujemnym jest w każdym punkcie r równy natężeniupola Fr)Funkcjęskalarnąϕr)nazywamy potencjałempola Fr) B x Znajdź samodzielnie wzór na potencjał, jeśli przyjąć zero potencjału na powierzchni Ziemi Będzie się on różnił od otrzymanego powyżej, ale różnica potencjałów w dwóchpunktachr ir 2 będzietakasamawobuprzypadkachpokaż!) 2) Znaleźć pole sił, któremu odpowiada potencjał ϕr)= 2 kr2 kjeststałą) Mamy do czynienia z symetrią sferyczną, wygodnie jest liczyć w układzie sferycznym F = ϕ = r 2 kr2 û r )= krû r = kr 3) Uzasadnij, że dla pola sił tarcia nie istnieje potencjał Fr)= gradϕr) Uzasadnienie: ObliczmycałkęzfunkcjiFr)podowolnejdrodzepo- międzypunktamir o ir r r r Fdr= gradϕ dr= ϕ x dx+ϕ y dy+ϕ z dz) r o r o r o Wyrażenie w nawiasie pod całką jest różniczką zupełną funkcji ϕr), mamy więc r r Fdr= dϕr)= ϕr)+ϕr o ) r o r o r Przepiszmy: ϕr)=ϕr o ) Fdr r o Potencjał ϕ dla danego pola zachowawczego zależy tylko odpunktupoczątkowegoikońcowegoponieważϕr o ) jest stałą całkowania, można ją dobrać w sposób dowolny,jesttokwestiaumowywjakimpunkcier o przyjmiemypotencjałrównyzero,ϕr o )=0częstozero potencjałuprzyjmujesięwnieskończonościr o )) Wtedy ϕr)= Fdr r o Przykłady ) Znajdź potencjał pola grawitacyjnego Fr) = G mmz r û 2 r nadpowierzchniąziemi 2 Przyjmiemyzero potencjału w nieskończoności Potencjał w odległości r odśrodkaziemidlar>r Z,zastanówsiędlaczego?), cotrzebabyzmienićabydostaćrezultatdlar<r Z?): ϕr)= r r G mmz r 2 û r ) dr Powykonaniuobliczeńzwróćuwagę,żeû r dr=dr) otrzymujemyϕr)= G mmz r Tęwielkośćnazywamy zwyczajowoenergiąpotencjalnąioznaczamye p r)fizycznie jest to praca jaką wykonamy aby równoważąc siłęgrawitacjidziałającsiłą F)przemieścićciałoo masiemz dopunktur 2 ziemskie pole grawitacyjne jest przykładem pola centralnego:wektorpola Fzależytylkoododległościrod centrum pola, nie zależy od kierunku 5