Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Wykład 6 RUCH DRGAJĄCY Opowiem ci o wiedzy. Uznać to, co znane, za znane, a to co nieznane, za nieznane, to jest wiedza. Konfucjusz (właściwie K ung Ch iu, 551 479 p.n.e.) Dialogi, II/17 6.1. Drgania harmoniczne 6.. Drgania tłumione 6.3. Drgania wymuszone 6.4. Drgania złożone 1
6.1. DRGANIA HARMONICZNE Pojęcia ogólne RUCH DRGAJĄCY Ruchem drgającym (drganiem lub oscylacją) ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Rozróżniamy ruchy drgające okresowe i nieokresowe. Drganie okresowe (periodyczne) powtarzanie zachodzi zawsze po tym samym czasie, zwanym okresem. Oznaczmy położenie punktu materialnego na osi w chwili t przez (t). Ruch jest okresowy, jeżeli: dla dowolnego t: t ( t T) T (6.1)
6.1. DRGANIA HARMONICZNE RUCH DRGAJĄCY Ruch drgający nazywamy ruchem harmonicznym (drgania harmoniczne), gdy wychylenie ciała z położenia równowagi opisane jest funkcją harmoniczną (sinus lub cosinus). t A t cos 0 (6.) gdzie: - A - to faza drgań (mierzona w radianach bądź stopniach); - to częstość kołowa (pulsacja) (rad/s). jest amplitudą drgań (maksymalną zmianą względem położenia równowagi); t 0 T 0 to faza początkowa; 3
Drganie opisane równaniem (6.) nazywamy drganiem harmonicznym. W ruchu harmonicznym: Położenie: RUCH DRGAJĄCY t A t cos 0 d dt Prędkość: vt A sint 0 (6.3) Przyspieszenie: a dv dt t A cos t ( t) 0 (6.4) T Wykres zależności (t), v(t), a(t) dla prostego ruchu harmonicznego Wielkością charakteryzującą ruch jest też częstotliwość drgań: f 1 T f T częstość kołowa (1Hz okres drgań 1 ) s (6.5) 4
RUCH DRGAJĄCY 6.1.1. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE DRGAŃ HARMONICZNYCH Rozważmy drgania prostego oscylatora harmonicznego ( masa m przyczepiony do sprężyny o stałej sprężystości k ), pod działaniem siły sprężystości. Fs k (6.6) Ruch drgającej masy jest ruchem harmonicznym prostym. F Po przekształceniach: Ruch harmoniczny to taki, dla którego siła jest proporcjonalna do Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona d dt wychylenia i przeciwnie do niego skierowana. k m 0 d dt m d dt F s ma k, zatem: otrzymujemy równanie różniczkowe drgań harmonicznych (swobodnych), gdzie: lub t Rozwiązaniem równania (6.8): t A t sin 0 t 0 (6.10) (6.7) (6.8) k m (6.9) 5
RUCH DRGAJĄCY Przykłady Drgania oscylatora harmonicznego. F k d dt k m t T m T (6.11) k Rys. źródło: http://www.if.pwr.edu.pl 6
Drgania wahadła matematycznego Wyznaczenie okresu drgań wahadła matematycznego (punkt materialny, zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici). Zał. Wahadło odchylone od pionu o kąt α 4. RUCH DRGAJĄCY T l g (6.1) N siła napięcia nici składowa siły ciężkości Powodująca ruch wahadła 1 (wyprowadzenie zależności na tablicy!) P siła ciężkości 7
Drgania wahadła fizycznego RUCH DRGAJĄCY Wahadło fizyczne: bryła sztywna, która pod działaniem własnego ciężaru waha się dookoła osi poziomej, nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała. Wyznaczenie okresu drgań dla wahadła fizycznego. Zał. Wahadło odchylone od pionu o kąt α 4. (6.13) T I mgl (wyprowadzenie zależności na tablicy!) C N L N 1 O Kąt wychylenia z położenia równowagi 8
RUCH DRGAJĄCY Obwód LC U C U L 0 q C di L dt 0 I dq dt d q dt 1 q LC 0 T LC (6.14) 9
ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM 6.1.. Energia ruchu harmonicznego prostego W przypadku jednowymiarowym przemieszczenie: t A t cos 0 Rys. Liniowy oscylator harmoniczny. Klocek porusza się bez tarcia po powierzchni. źródło: -Halliday,Resnick,Walker Fundamentals of Physics =A Energia oscylatora zmienia się z energii potencjalnej w kinetyczną i z powrotem, jednak ich suma, energia mechaniczna E =const. Energią potencjalną sprężyny obliczymy korzystając z zależności (6.6) oraz z ogólnego wzoru na pracę wykonywaną przez siłę zmienną (siłę sprężystości). Mamy: W Fd 0 1 ( k) d k d k (6.15) 0 10
ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM ENERGIĘ POTENCJALNĄ DRGAŃ HARMONICZNYCH można wyrazić w postaci: współczynnik proporcjonalności między siłą a wychyleniem masa drgającego ciała częstość (kołowa) drgań amplituda drgań E p k m ka cos ( t ) (6.16) energia potencjalna drgań dla siły F =-k wychylenie z położenia równowagi 11
ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM Jeżeli puścimy sprężynę to jej energia potencjalna będzie zamieniać się w energię kinetyczną masy m : =A Rys. Liniowy oscylator harmoniczny. Klocek porusza się bez tarcia po powierzchni. E- energia całkowita Ek 1 mv (6.17) E p k 1 Ek mv Ponieważ siła harmoniczna jest siłą potencjalną, dlatego też spełniona jest zasada zachowania energii mechanicznej dla ciała wykonującego drgania harmoniczne. Rys. źródło: -Halliday, Resnick,Walker Fundamentals of Physics. 1
ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM Korzystając z wyrażeń na (t) i v(t) uwzględniając, k m i zakładając, że nie ma tarcia ani innych sił oporu, energia całkowita E jest sumą energii kinetycznej oraz energii potencjalnej i ma wartość stałą. (6.17) E E K E p mv m m A m sin ( t 0) cos ( t 0) A Zatem energia całkowita drgającego ciała: E 1 ka (6.18) Wnioski: Całkowita energia mechaniczna oscylatora jest stała. Ze sprężystością związana jest energia potencjalna układu, a z bezwładnością jego energia kinetyczna. Rys. źródło: -Halliday, Resnick,Walker Fundamentals of Physics. 13
OCYLATOR TŁUMIONY 6.. DRGANIA TŁUMIONE Jeżeli ruch oscylatora (rys.) słabnie na skutek działania sił zewnętrznych, to taki oscylator nazywamy oscylatorem tłumionym, a jego drgania tłumionymi. Do klocka przyczepiony jest pręt zakończony łopatką zanurzoną w cieczy. W przypadku drgań łopatki, ciecz oddziałuje na nią (a w konsekwencji na cały układ drgający) siłą hamującą (oporu). Z upływem czasu energia mechaniczna układu klocek-sprężyna malejeprzekształca się w energię termiczną cieczy i łopatki. współczynnik oporu b Rys. Prosty oscylator tłumiony. źródło: -Halliday,Resnick,Walker Fundamentals of Physics. Siła tłumiąca (oporu) ma zwrot przeciwny do prędkości i jest do niej wprost proporcjonalna : F op ~ v. F t b d dt gdzie: b- współczynnik oporu ośrodka. (6.19) 14
DRGANIA TŁUMIONE Uwzględniając siłę tłumiącą ośrodka i działającą na klocek siłę sprężystości sprężyny. Zakładając, że siła ciężkości klocka jest znikomo mała w porównaniu z siłami F s i F o. współczynnik oporu b Wówczas II zasadę dynamiki Newtona dla składowej wzdłuż osi (F =ma ), zapisujemy: Równanie różniczkowe drgań tłumionych d Po przekształceniach: 0 dt b m β d dt Rozwiązaniem równania jest funkcja: k m o. lub d ma kb dt d dt d dt t A 0 e cos( 1 t ) o (6.) (6.0) 0 (6.1) 15
DRGANIA TŁUMIONE gdzie: - wielkość tłumienia określa współczynnik tłumienia β =b/m, (6.3) - częstość (lub pulsacja) drgań tłumionych 1 (6.4) - częstość drgań nietłumionych czyli częstość własna (6.5) Wnioski: 0 1) opór zmniejsza zarówno amplitudę z upływem czasu: 0 1 A( t) 0 A e t ) oraz częstość drgań, (6.7) 0 1 0 0 3) zwiększa okres Logarytmiczny dekrement tłumienia: Zależność przemieszczenia od czasu w ruchu harmonicznym tłumionym. Linie przerywane ilustrują wykładnicze tłumienie amplitudy tego ruchu. A( t) ln T A ( t T ) (6.8) 16
DRGANIA TŁUMIONE Oznaczmy przez odstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań zmniejszy się e - krotnie. Wtedy: 1 lub 1 (6.9) czyli: współczynnik tłumienia w ciągu którego amplituda zmniejsza się jest wielkością fizyczną równą odwrotności odstępu czasu e -razy. Czas nazywamy czasem relaksacji. Energia oscylatora tłumionego nie jest stała i maleje z czasem: (6.30) Energia-podobnie jak amplituda- maleje wykładniczo z czasem. 17
DRGANIA WYMUSZONE 6.3. DRGANIA WYMUSZONE (oscylatora harmonicznego) W ruchu harmonicznym tłumionym amplituda, a co za tym idzie i energia drgań maleje z czasem do zera. Jeżeli chcemy podtrzymać drgania to musimy działać odpowiednią siłą zewnętrzną F(t) przyłożoną do oscylatora. Siłę taką nazywamy siłą wymuszającą. W przypadku drgań harmonicznych zewnętrzna siła wymuszająca jest siłą okresowo zmienną postaci: (6.31) Równanie ruchu uwzględniające zarówno siłę wymuszającą, jak i tłumiącą drgania zapisujemy w postaci: (6.31) (6.3) Fot. J. H. Fragonard: "Huśtawka" ( Les hasards heureu de l escarpolette, 1767) 18
DRGANIA WYMUSZONE Rozwiązanie równania dla drgań wymuszonych: (6.33) WNIOSKI: Układ drga z częstością siły wymuszającej, a nie z częstością własną i jest ruchem nietłumionym (amplituda nie maleje z upływem czasu). Amplituda drgań zależy zarówno od współczynnika tłumienia, jak i od różnicy pomiędzy częstością drgań własnych układu i częstością siły wymuszającej. 19
REZONANS KONSEKWENCJE DRGAŃ WYMUSZONYCH Można dobrać taką częstość siły wymuszającej, aby amplituda drgań tego ciała była maksymalna., zjawisko to nazywamy rezonansem. Aby amplituda drgań ciała była maksymalna. (6.34) (6.35) Kiedy brak jest tłumienia, a częstość rezonansowa równa jest częstości drgań własnych Układu, amplituda dąży do nieskończoności! WARUNEK REZONANSU: 0 w (6.36) Krzywe zależności amplitudy drgań od częstości siły wymuszającej dla kilku wartości współczynników tłumienia β (β0<β1<β<β3<β4). 0
KONSEKWENCJE DRGAŃ WYMUSZONYCH Most Tacoma Narrows- 7 listopada 1940 r., wiatr wiejący z prędkością dochodzącą do 67 km/h wprawił konstrukcję w jej ostatni taniec. Konstrukcja pomostu wpadła w ruch skręcający z wychyleniem 8.5 m, przy skręcaniu dochodzącym do 45 stopni! Pół godziny później zaczęły się odrywać pierwsze elementy pomostu, a po godzinie zawalił się cały pokład. Fot. Most Tacoma Narrows USA http://www.atlasobscura.com/places Ta katastrofa dała wiele do myślenia architektom. Od tamtej pory pomosty usztywnia się kratownicami i nie projektuje się tak wąskich konstrukcji. 1
7. Ruch falowy RUCH FALOWY 7.1. Cząstka i fala 7.. Rodzaje fal 7.3. Rozchodzenie się fal w przestrzeni 7.4. Prędkość rozchodzenia się fal. Równanie falowe 7.5. Przenoszenie energii przez fale 7.6. Interferencja fal, fale stojące
RUCH FALOWY 7.1. Cząstka i fala Często zdarza się, że fala ucieka z miejsca powstania, podczas gdy woda pozostaje, podobnie jest z falami, jakie wiatr wywołuje na polu zboża-widzimy fale biegnące przez pole, podczas gdy zboże pozostaje w miejscu. Leonardo da Vinci Mamy dwa sposoby kontaktowania się z przyjacielem w innym mieście: możemy napisać list (sposób polega na wykorzystaniu jakichś cząstek- obiektów materialnych); skorzystać z telefonu (drugi sposób polega na wykorzystaniu fal). Cząstka oznacza malutkie skupienie materii zdolne do przenoszenia energii. Fala oznacza coś wręcz przeciwnego, tj. rozchodzące się w ośrodku zaburzenie. 3
RUCH FALOWY 7.. Rodzaje fal ( trzy główne rodzaje) 1. Fale mechaniczne, typowe przykłady to fale na wodzie, fale dźwiękowe lub sejsmiczne). Wszystkie te fale podlegają zasadom Newtona i mogą istnieć wyłącznie w ośrodku materialnym sprężystym ( gazy, ciała stałe, ciecze).. Fale elektromagnetyczne. Zaliczamy do nich światło widzialne i nadfioletowe, fale radiowe i telewizyjne, mikrofale, promieniowanie X. Fale te nie potrzebują żadnego ośrodka materialnego. Np. fale świetlne emitowane przez gwiazdy docierają do nas przez próżnię kosmiczną. Wszystkie fale poruszają się w próżni z tą sama prędkością światła c równą c = 99 79 458 m/s. 3. Fale materii. Są wykorzystywane we współczesnej technice, są to fale związane z elektronami, protonami i innymi cząstkami elementarnymi, a nawet z atomami i cząstkami. Ponieważ te obiekty uważamy za składniki materii, nazywamy je falami materii. 4
RUCH FALOWY 7..1. Ruch falowy Foto. Źródło: https://www.slideshare.net Do rozchodzenia się fal mechanicznych (np. dźwiękowych czy na wodzie) niezbędny jest ośrodek materialny (sprężysty). Ruch falowy polega na przenoszeniu zaburzeń w ośrodku sprężystym, w czasie i przestrzeni, np. w postaci drgań. W przypadku fal mechanicznych drgają cząsteczki ośrodka, natomiast w przypadku fal elektromagnetycznych, w danym punkcie drgają wektory natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej. 5
Ruch falowy jest związany z transportem energii przez ośrodek Podczas rozchodzenia się fali, cząsteczki ośrodka nie przesuwają się wraz z falą, a jedynie drgają wokół swoich położeń równowagi. Energia fal, to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka. Podstawową własnością wszystkich fal, niezależnie od ich natury, jest transport energii bez przenoszenia materii. Rys. Falowanie pojedynczych cząstek wody w głębokim zbiorniku. Falowanie- oscylacyjny ruch cząsteczek wody w pionie po orbitach kołowych lub eliptycznych. źródło: http://geographicforall.pl/ & https://pl.wikipedia.org 6
7... Rodzaje fal mechanicznych Falą mechaniczną nazywamy zaburzenie w postaci ruchu drgającego cząsteczek ośrodka rozchodzące się ze skończoną prędkością v. kierunek fali kierunek drgań Podział fal ze względu na kierunek drgań A. Fala podłużna Fala jest podłużna gdy kierunek drgań cząstek ośrodka jest równoległy do kierunku rozchodzenia się fali i zarazem kierunku transportu energii. Przykładem są tu fale dźwiękowe w powietrzu czy też drgania naprzemiennie ściskanej i rozciąganej sprężyny. B. Fala poprzeczna Kierunek drgań cząstek ośrodka jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali i zarazem kierunku transportu energii. Przykład. Drgania naprężonego sznura, którego końcem poruszamy cyklicznie w górę i w dół. kierunek fali kierunek drgań 7
RUCH FALOWY Podział fal ze względu na rodzaj zaburzenia: Impuls falowy powstaje gdy źródłem jest jednorazowe zaburzenie w ośrodku: np. gdy wrzucimy kamień do wody lub gdy jednorazowo odchylimy koniec napiętej liny (rys.1). Rys.1. Impuls falowy Fala harmoniczna powstaje gdy źródło wykonuje drgania harmoniczne: np. cyklicznie wychylamy koniec napiętej liny (rys. ) Rys.. Fala harmoniczna Zasada Huygensa: Każdy punkt ośrodka, do którego dociera fala, Staje się środkiem wtórnej fali kulistej. Obwiednia tych fal określa położenie frontu fali W chwili następnej. Promień fali Czoło fali 8
RUCH FALOWY Podział ze względu na kształt powierzchni falowej możemy wyróżnić fale płaskie i fale kuliste Rys.1. Powierzchnie falowe (płaszczyzny) i promienie fali płaskiej Rys.. Fala kulista rozchodząca się ze źródła Z; wycinki powłok sferycznych przedstawiają powierzchnie falowe 9
FALE W OŚRODKACH SPRĘŻYSTYCH W ośrodkach, które mają sprężystość postaci (np. stal), mogą rozchodzić się fale poprzeczne i fale podłużne. W ośrodkach, które mają tylko sprężystość objętości (np. gaz), mogą rozchodzić się tylko fale podłużne. Zdjęcie, źródło: :http://www.wrtos.org/whatis Powierzchnia cieczy (np. wody) zachowuje sprężystość postaci i fale powierzchniowe są falami poprzecznymi. W głębi cieczy występuje tylko sprężystość objętości i tam mogą rozchodzić się wyłącznie fale podłużne. 30
FALE 7.3. Rozchodzenie się fal w przestrzeni. Równanie poprzecznej fali harmonicznej (funkcją czasu oraz położenia) : y amplituda fali faza, t Acos t k (7.1) wychylenie z położenia równowagi drgającego punktu ośrodka częstość kołowa drgań źródła liczba falowa faza początkowa drgań źródła y Wielkości opisujące falę: λ -długość fali, to najmniejsza odległość między dwoma punktami drgającymi (w tej samej chwili) z fazami różniącymi się o : [m] (7.) Funkcję y, t y( vt) nazywa się (jednowymiarową ) funkcją falową. 31
FALE v- prędkość rozchodzenia się fal prędkość fazowa fali v f T częstotliwość drgań punktów ośrodka k częstość kołowa (7.3) T okres drgań punktów ośrodka k liczba falowa Prędkość v nazywa się prędkością fazową, gdyż jest to prędkość z jaką porusza się stała faza fali. 3
FALE Prędkość rozchodzenia się fal. W zależności od rodzaju ośrodka i jego własności rozchodzenia się fal są bardzo różne. W ciele stałym mogą się rozchodzić fale podłużne i poprzeczne. Prędkość fal podłużnych w ciele stałym wynosi: gdzie E- moduł Younga materiału, w którym porusza się fala, a jego gęstość. Prędkość fali poprzecznej w ciele stałym wynosi: G- moduł sztywności (moduł sprężystości poprzecznej). Ponieważ E > G, to fale podłużne rozchodzą się w ciele stałym szybciej niż poprzeczne. W głębi cieczy są możliwe tylko fale podłużne, których prędkość rozchodzenia się wynosi: Prędkość fali mechanicznej w gazie wyrażą się zależnością: gdzie μ jest masą molową gazu, χ=c p /c v -wykładnik adiabaty, cp- ciepło właściwego w przemianie izobarycznej, cv-ciepło właściwe w p. izochorycznej, R- stałą gazową, a T- temperaturą. 33
RUCH FALOWY Czas, w którym fala przebiega odległość równą λ nazywamy okresem T: (7.4) Równanie fali harmonicznej (7.) wyraża się poprzez dwie inne wielkości: liczbę falową k (radian/m) i częstość kołową ω : (7.5) lub k f f v (7.6) fala w t=δt fala w t=0 s Rys. Dwa ujęcia fali w t=0 s. i t=δt. Fala porusza się z prędkością v. Punkt odpowiadający maksimum podróżuje razem z falą ale element liny porusza się tylko w górę i w dół. 34
RUCH FALOWY Gdy faza początkowa drgań źródła =0, równanie fali harmonicznej płaskiej (7.1) : y, t Acos t k Łatwo zauważyć, fala jest okresowa w przestrzeni i czasie: - w danej chwili t taka sama faza jest w punktach, + λ, + λ, itd., - w danym miejscu faza powtarza się w chwilach t, t + T, t + T, itd. (7.7) Równanie fali harmonicznej płaskiej (7.7), poruszającej się w ujemnym kierunku osi, otrzymamy zmieniając znak przy wielkości. Mamy wówczas: y, t Acos( k t) (7.8) 35
RUCH FALOWY Jeśli zamiast liczby falowej k wprowadzimy wektor falowy k, to możemy uogólnić wzór (7.7) na przypadek fali poruszającej się w przestrzeni w dowolnym kierunku: ( r, t) Acos k r t (7.9) gdzie: r jest wektorem wodzącym punktu w przestrzeni. 7.3. PRĘDKOŚĆ ROZCHODZENIA SIĘ FAL. ( wyprowadzenie) Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali v, to śledzimy z jaką prędkością przemieszcza się w czasie wybrana część fali, tj. argument harmonicznej funkcji falowej, czyli faza fali. Dla wybranej fazy fali: y, t Acos vt faza vt ( kt Pochodna fazy względem czasu daje częstość kołową fali: a względem położenia- liczbę falową: d k d (7.1) d dt (7.10) (7.11) 36
Ich iloraz: czyli prędkość fazowa fali d d dt d d dt v RUCH FALOWY f k k T lub v f k T v (7.13) (7.14) Prędkość fali, którą wprowadziliśmy na samym początku, była prędkością z jaką przemieszczała się określona faza fali (w układzie poruszającym się z prędkością v faza w danym punkcie jest stała) (7.13) 37
RUCH FALOWY Zasada superpozycji fal Ustalono doświadczalnie, że ten sam obszar przestrzeni mogą przebiegać dwie (lub więcej) fal. Oznacza to, że przemieszczenie dowolnej cząstki w ustalonej chwili czasu jest sumą przemieszczeń, które wywołałyby poszczególne fale. M 1 M w punkcie P mamy nakładanie się fal ze źródeł M 1 i M Odległych o r 1 i r. 38
PRĘDKOŚĆ PACZKI FAL PRĘDKOŚĆ GRUPOWA W przypadku gdy zaburzenie falowe jest złożeniem fal o różnych częstotliwościach to prędkość przenoszenia energii (prędkość fali modulowanej) może być inna niż prędkości fal składowych. Taką prędkość nazywa się prędkością grupową. t k cos t k ] [cos 1 1 Nakładamy na siebie dwie fale harmoniczne o jednakowej amplitudzie i zbliżonych częstotliwościach i : 1 y, t Acos 1t k1 Acos t k 39
PRĘDKOŚĆ GRUPOWA Superpozycja dwu fal harmonicznych rozchodzących się w przestrzeni o jednakowej 1 k1 y, t Acos t k A t k 1 1 cos (7.16) amplitudzie i zbliżonych częstotliwościach i oraz zbliżonych liczbach falowych, : Fala wypadkowa : y t Acos( t k ) cos t k, mod mod k (7.17) gdzie: mod 1 1 Funkcja modulująca jest równa: mod Z jaką prędkością porusza się grzbiet modulowanej fali? ( mod t kmod ) const Różniczkując (7.0) ( moddt kmodd) 0 względem t i : mod 1 1 vmod k mod k1 k k k k Acos( modt kmod ) 1 (7.0) k (7.19), otrzymujemy: k 1 k wyrażenie na prędkość grupową v mod d dk (7.18) (7.1) vg 40
FALE 7.4 Przenoszenie energii przez fale Fale przenoszą dostarczoną ze źródła energię poprzez ośrodek dzięki przesuwaniu się zaburzenia w ośrodku. Na przykład wprawiając koniec struny w drgania poprzeczne (rysunek) źródło wykonuje pracę, która objawia się w postaci energii kinetycznej i potencjalnej punktów struny (ośrodka). Siła F jaka działa na koniec struny porusza struną w górę i w dół wprawiając jej koniec w drgania w kierunku y. Do wyznaczenia szybkości przenoszenia energii przez falę posłużymy się wyrażeniem na moc: (7.31) Z rysunku prędkość poprzeczna jest równa: (7.3) a składowa siły F w kierunku y wynosi (7.33) Podstawiając otrzymujemy: (7.34) 41
FALE Dla małych kątów θ możemy przyjąć sinθ = y / (znak minus wynika z ujemnego nachylenia struny). Stąd: (7.35) Obliczamy teraz pochodne równania fali harmonicznej: dy dt A cos( kt) oraz i podstawiamy do wyrażenia na moc: dy d y, t Asinkt Ak cos( kt) (7.36) (7.37) (7.38) Korzystając z zależności (,48) oraz z zalezności na prędkość fali harmonicznej rozchodzącej się wzdłuż naprężonego sznura (struny): ; μ- masa przypadającej na jednostkę długości sznura. otrzymujemy ostatecznie: Podsumowanie: Moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Ponadto, szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal. (7.39) 4
FALE 7.5. INTERFERENCJA FAL INTERFERENCJĄ FAL nazywamy zjawisko fizyczne polegające na nakładaniu się dwóch lub więcej fal, prowadzące do zwiększenia lub zmniejszenia amplitudy fali wypadkowej. Rys. Animation Dr. Dan Russell, Kettering University; http://sdsu-physics.org/ Warunkiem interferencji fal jest ich spójność (koherencja), czyli korelacja faz, amplitudy i częstotliwości. 43
Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY 7.5.1. Interferencja fal o jednakowej amplitudzie i długości Rozważmy w przestrzeni przemieszczające się dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach, ale o fazach różniących się o φ. Jeżeli te fale rozchodzą się w kierunku, z jednakowymi prędkościami, to możemy je opisać równaniami: (a) Interferencja konstruktywna (7.40) (b) Interferencja destrukcyjna W wyniku nałożenia się fal (zasada superpozycji) powstaje fala wypadkowa: y y 1 y w efekcie, po przekształceniach.(tab.), otrzymujemy: Animation Dr. Dan Russell, Kettering University; http://sdsu-physics.org/ (7.41) 44
INTERFERENCJA FAL Interferencja (7.41) Interferencja konstruktywna Interferencja destrukcyjna 45
INTERFERENCJA FAL Równanie powstałej fali : y A'sin( kt ) (7.41) czynnik jest amplitudą fali wypadkowej. Amplituda ta zależy tylko od przesunięcia fazowego φ. WNIOSKI: Wynik nakładania się fal (interferencji) zależy wyłącznie od przesunięcia fazoweg φ (różnicy faz ). Jeżeli nie ma przesunięcia fazowego φ = 0, to A =A. Następuje maksymalne wzmocnienie (amplituda A osiąga maksimum)- interferencja konstruktywna. Jeżeli przesunięcie fazowe wynosi φ = 180 (fale są przeciwne w fazie), to amplituda A = 0 i następuje wygaszenie fali interferencja destruktywna. Dla pozostałych wartości φ otrzymujemy pośrednie wyniki nakładania się fal. 46
7.5.. FALE STOJĄCE Są szczególnym przypadkiem interferencji jest fala stojąca. ozn.: w- tzw. węzły fali stojącej; s- tzw. strzałki fali stojącej. Powstaną wówczas, gdy interferują ze sobą dwie fale spójne przemieszczające się w jednym kierunku, ale w przeciwne strony. Ma to miejsce, gdy np. fala odbija się bez strat energii od przeszkody i następuje interferencja fali padającej i odbitej. W równaniach takich fal znaki + i - określają kierunek propagacji fali. Fale nazywamy spójnymi, jeżeli mają taką samą długość ( i częstotliwość) oraz stałą w czasie różnicę faz. 47
Równanie wypadkowej fali stojącej (7.46) W wyniku interferencji dwóch fal stojących: y y 1 Asin[ ( t )] v Asin[ ( t ) ] v (7.45) y y 1 y Uwzględniając zależność sin sin sin cos otrzymujemy: y Acos( v )sin( t ) (7.46) 48
Amplituda wypadkowej fali stojącej : A' nie zależy od czasu, ale od położenia. Acos( v ) (7.47) Cechy charakterystyczne:, powstaje strzałka fali stojącej., powstaje węzeł fali stojącej. (7.48) (7.49) pamiętając: k v (7.50) Zauważmy, że nie ma propagacji drgań; położenia węzłów i strzałek fali stojącej nie ulegają zmianie. 49
FALE STOJĄCE Przykład częstości rezonansowe struny. Pierwsza harmoniczna Druga harmoniczna Trzecia harmoniczna W strunie o długości L (rys.), przy pewnych częstościach w wyniku interferencji powstaje fala stojąca o dużej amplitudzie. Fala stojąca powstała w wyniku rezonansu, o strunie zaś mówimy, iż rezonuje przy pewnych częstościach, zwanych częstościami rezonansowymi (lub częstościami własnymi). Gdy struna drga z inną częstością, fala stojąca się nie pojawia. Ogólnie, fala stojąca w strunie o długości L (rys): gdzie n=0,1,.3, (n 1) L (7.51) Rys. Struna zamocowana między dwoma końcami i wprawiona w drgania. 50
FALE STOJĄCE Jeżeli teraz uwzględnimy: vt v f (7.5) Częstości rezonansowe odpowiadające tym długościom fali, zgodnie ze wzorem (7.51), wynoszą : gdzie v jest prędkością fali biegnącej w strunie. v f n ( n 1) L (7.53) Z wyrażenia (7.54) wynika, że częstości rezonansowe są całkowitymi wielokrotnościami najniższej częstości rezonansowej (n=0): f v l Drganie własne o najniższej częstości rezonansowej nazywamy drganiem (modem) podstawowym lub pierwszą harmoniczną. Zbiór wszystkich możliwych drgań własnych nazywamy szeregiem harmonicznym, a liczbę n liczbą harmoniczną dla n-tej harmonicznej. 51
7.6. DRGANIA ZŁOŻONE 7.6.1. Składanie drgań równoległych Dodatek: zasada superpozycji Zasada superpozycji: Jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm drganiom, to jego wychylenie jest sumą wychyleń, wynikających z każdego ruchu. Rozpatrzymy ruch punktu materialnego wynikający ze złożenia dwóch drgań harmonicznych równoległych (zachodzących wzdłuż jednej prostej), z jednakową częstością, ale są przesunięte w fazie o Δφ. 1 A1 cos t 1 (6.35) w 1 Aw cost w (7.55) A cos t gdzie: - amplituda A A A A cos A w 1 1 1 - faza Wypadkowa jest drganiem z tą samą częstością! tg w A1 sin 1 A A cos A 1 1 sin cos (7.56) Złożenie dwu drgań harmonicznych równoległych o jednakowych częstościach 5
SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH C.D. Amplituda drgania wypadkowego zależy tylko od różnicy początkowych faz 1 drgań składowych. Jeśli różnica faz dwóch drgań nie zależy od czasu, to takie drgania nazywamy spójnymi ( lub koherentnymi). Przypadki szczególne: 1) Różnica faz drgań składowych równa się zeru albo całkowitej wielokrotności : drgań 1 k k 0,1,,... Maksymalna amplituda drgań jest sumą amplitud drgań składowych. ) Różnica faz drgań składowych równa się nieparzystej wielokrotności : 1 k 1 k 0,1,,... Maksymalna amplituda drgań jest różnicą amplitud drgań składowych. 53
Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY 3) SKŁADANIE DRGAŃ RÓWNOLEGŁYCH - DUDNIENIA:, drgania których częstości różnią się nieznacznie i odbywają się w tym samym kierunku i są opisane równaniami : 1 Acos t Acos t w Acos t Acos t Acos t cos t (7.57) 54
Jeśli różnica faz t Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY t 1 drgań składowych zmienia się z upływem czasu w sposób dowolny, to amplituda drgań wypadkowych zmienia się z upływem czasu i nie ma sensu w ogóle mówić o składaniu amplitud, jest to tzw. niekoherentne składanie drgań. Drgania typu: t At t t cos nazywamy modulowanymi. 1) modulowana faza (częstość) FM: A const ) modulowana amplituda AM: const ; ; t da dt A ma ANALIZA HARMONICZNA Analiza harmoniczna to sposób na przedstawienie złożonych drgań modulowanych w postaci szeregu prostych drgań harmonicznych. 55
DRGANIA G. Fourier: dowolne drganie złożone można przedstawić jako sumę prostych drgań harmonicznych o wielokrotnościach pewnej podstawowej częstości kątowej : N t An cosn t n n0 (7.58) W ogólnym przypadku, liczba wyrazów w szeregu Fouriera jest nieskończona (możemy wtedy przejść do całek zamiast sum), ale istnieją takie drgania, dla których szeregi Fouriera nie zawierają pewnych wyrazów. 7.6.. SKŁADANIE DRGAŃ PROSTOPADŁYCH-KRZYWE LISSAJOUS: Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch drgań harmonicznych odbywających się z jednakowymi częstościami, zachodzących w płaszczyźnie wzdłuż kierunków prostopadłych względem siebie: t A cos t y t A t y cos (7.59) (7.60) 56
DRGANIA z z ) 1) y t A cos t cos t Ponieważ cos( ) cos równaniu możemy zapisać: t A cos t cos t y A y A cos sin cos y A y A y cos( ) sin( ), czyli sin( t) 1 A, to stosując odpowiednie podstawienia w drugim Po uporządkowaniu znajdujemy równanie toru ruchu cząstki poruszającej się pod wpływem dwu drgań wzajemnie prostopadłych ( równanie ogólne elipsy): 1 A A y A y y A A y cos( ) sin ( ) (7.61) Jest to równanie elipsy nachylonej pod kątem do osi układu odniesienia. Mówimy, że punkt materialny wykonujący oba te drgania jednocześnie, zakreśla na płaszczyźnie pewną krzywą. 57
PRZYPADKI SZCZEGÓLNE ELIPSY: 1) Początkowe fazy obu drgań są jednakowe: Można tak ustawić odczyt czasu, żeby różnica faz była równa zeru: y 0 A y Dzieląc stronami: y A - linia prosta (6.44) Będą to również drgania harmoniczne, : a ruch wypadkowy będzie odbywał się wzdłuż prostej. ) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa y Wtedy: y y A A - linia prosta (6.45) 58
Składanie drgań c.d. 3) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa Wtedy: t A cos t i yt Ay sin t (7.6) i ostatecznie: 1 A A y y (7.63) Punkt porusza się po tej elipsie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara; 4) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa 3 również elipsa, ale o obiegu zgodnym z ruchem wskazówek zegara; Elipsa 59
Składanie drgań - PODSUMOWANIE Drgania prostopadłe o takich samych częstościach A y A y y A A y cos( ) sin ( ) 60
FIGURY LISSAJOUS przypadek ogólny Podana relacja pomiędzy ruchem harmonicznym i ruchem po okręgu jest jednak tylko przypadkiem szczególnym składania harmonicznych drgań prostopadłych. Kiedy częstości drgań w obu kierunkach różnią się, to tor punktu tworzy skomplikowane figury zwane figurami Lissajous. Figury te mieszczą się w prostokącie o wymiarach, i. Przykłady figur Lissajous: Rys. 1a. Złożenie drgań prostopadłych o jednakowych częstościach Rys. 1a. Złożenie drgań prostopadłych o różnych częstościach i jednakowych amplitudach. Stosunek liczby punktów stycznych do obu boków prostokąta wyznacza stosunek częstości obu ruchów składowych: 61
Dziękuję za uwagę! 6