MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0

Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 Odp. A B D B B A A B A D C D B C C D A D C C D C A D B Zadanie. (0 ) Rozwiąż nierówność Schemat oceniania zadań otwartych x x ( x )( x 8). Rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego x + x 8. Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej. x x + lub Pierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco: zapisujemy nierówność w postaci x + x 8 0 i obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego x + x 8 o obliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ= + = i stąd x = + = oraz x = = o stosujemy wzory Viète a: x x = 8 oraz x+ x =, stąd x = oraz x = przekształcamy nierówność do postaci ( x )( x+ 8) 0, skąd bezpośrednio odczytujemy pierwiastki: x =, x =, przekształcamy nierówność do postaci równoważnej x +, korzystając z własności wartości bezwzględnej, i odczytujemy te wartości x, dla których x + = : x =, x =. Drugi etap rozwiązania: Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (,, + ) lub (,, ) x +. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności Strona z 0

realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np. o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète a, np.: x + x = i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o błędnie zapisze nierówność z wartością bezwzględną, np. x i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności. Zdający otrzymuje... p. gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: (,, + ) lub x (,, + ) lub ( x lub x ) sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x, poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Uwagi. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci: x i x, x oraz x itp.. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x bez stosownego założenia, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x, rozważając dwa przypadki x > 0 oraz x < 0, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków, ale nie rozważy przypadku x = 0, to otrzymuje punkt.. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x =, x = i błędnie zapisze odpowiedź, np. (,, + ), popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje punkty. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Akceptujemy zapis przedziału nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej, np. (,, + ),, ) ( +,. Strona z 0

Zadania 7. (0 ) Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy, a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę. Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy, to otrzymamy liczbę 8. Wyznacz ten ułamek. 7 Rozwiązanie (I sposób) Niech x i y oznaczają odpowiednio licznik i mianownik szukanego ułamka nieskracalnego. Z treści zadania otrzymujemy układ równań x+ y = oraz x 8 y =, y x 7 = + oraz 7( x ) 8( y ) =, y = x+ oraz 7x 0 = 8y 8. Stąd 7x 5 = x+ 8, x = 8, x =, więc y = + =. Zatem y =. Szukany ułamek to. Jest to ułamek nieskracalny. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.: + = i 8 x y x y = 7 Zdający otrzymuje... p. gdy wyznaczy szukany ułamek:. Uwaga Jeżeli zdający obliczy licznik x = i mianownik y = szukanego ułamka, ale nie zapisze tego ułamka, to otrzymuje punkty. Rozwiązanie (II sposób) Dodając do licznika i do mianownika ułamka 8 7 liczbę, otrzymujemy ułamek. Jest to ułamek nieskracalny, a gdy do jego licznika dodamy liczbę, to otrzymujemy + = =. Zatem szukany ułamek to. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy doda do licznika i do mianownika ułamka 8 7 liczbę, zapisze, że szukanym ułamkiem jest i nie zapisze, że + = =, a więc, że spełnia on drugi z warunków podanych w treści zadania. Strona z 0

Zdający otrzymuje... p. gdy doda do licznika i do mianownika ułamka 8 liczbę, zapisze, że szukanym ułamkiem jest oraz sprawdzi, że + = =. Zadanie 8. (0 ) Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek abc =, to a + b + c = ab+ ac+ bc. Rozwiązanie Zauważmy, że bc + ac + ab a + b + c = + + =. a b c abc Wykorzystujemy warunek abc = i otrzymujemy zależność bc + ac + ab bc + ac + ab = = bc + ac + ab, abc co kończy dowód. Uwaga Tezę możemy też uzasadnić w inny sposób: ) Korzystamy z równości abc = a a + b + c = + + = bc ab + a b c a ) Z równości abc = otrzymujemy: bc =, a 7 c b ab c + = bc + ac + ab. c ac =, ab =. Zatem b c bc ac ab a b c a b c + + = + + = + +. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy wykorzysta definicję potęgi o wykładniku i zapisze lewą stronę podanej równości bc + ac + ab abc abc abc w postaci a + b + c = lub a + b + c = + + abc a b c wykorzysta definicję potęgi o wykładniku, pomnoży obie strony podanej równości przez iloczyn abc i zapisze równość w postaci równoważnej abc + abc + abc = ab abc + ac abc + bc abc, a b c wykorzysta założenie abc =, wyznaczając stąd iloczyny: ab =, ac =, bc = c b a oraz zapisze prawą stronę podanej równości w postaci ab + ac + bc = + + c b a Strona 5 z 0

Zdający otrzymuje... p. gdy poda pełne uzasadnienie. Uwaga Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość wzoru jedynie w wybranych przypadkach, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie 9. (0 ) Funkcja kwadratowa jest określona wzorem ( ) funkcji f w przedziale,. f x = x x. Oblicz najmniejszą wartość Rozwiązanie Wykresem funkcji f jest parabola o wierzchołku w punkcie, którego pierwsza współrzędna jest równa x = =. Ponieważ argument x = = 5 należy do przedziału,, w b a w więc najmniejszą wartością funkcji f w przedziale, jest ( ) 0 f = =. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli x 5 w =, zapisze, że xw, i na tym zakończy lub dalej popełni błędy popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwszej współrzędnej wierzchołka tej paraboli i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy najmniejszą wartość funkcji f w przedziale,. Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy i zapisze, że najmniejsza wartość funkcji f w przedziale, jest równa Uwagi ( ) 0 f =.. Jeżeli zdający zapisze jedynie trzy wartości funkcji: f ( ) = 0, f ( ) = 0 i ( ) f = 0 oraz sformułuje poprawną odpowiedź, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty. f = 0 oraz sformułuje poprawną odpowiedź, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty.. Jeżeli zdający zapisze tylko obliczenie jednej wartości ( ) Strona z 0

Zadanie 0. (0 ) W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC oraz BD przecinają się w punkcie S. 5 Wykaż, że jeżeli AS = AC, to pole trójkąta ABS jest 5 razy większe od pola trójkąta DCS. Rozwiązanie (I sposób) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. D S C Trójkąty ABS i DCS są podobne, gdyż kąty ASB i CSD są równe, jako kąty wierzchołkowe, natomiast naprzemianległe kąty SAB i SCD są równe, bo proste AB i CD są równoległe, podobnie kąty ABS i SDC są równe. Stąd, że AS = 5 AC, wynika równość CS = AC. Skala podobieństwa trójkąta ABS do trójkąta CDS jest równa 5 AS AC k = 5 CS = AC =. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, więc PABS = k, zatem PABS = 5 PCDS. PCDS To należało wykazać. Rozwiązanie (II sposób) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. A α D S ϕ ϕ C β B β A B Kąty ASB i CSD to kąty wierzchołkowe, więc są równe. Ponieważ AS = 5 AC, więc CS = AC. Proste AB i CD są równoległe, więc z twierdzenia Talesa otrzymujemy proporcję AS BS =. CS DS Strona 7 z 0

Stąd i ze wzoru na pole trójkąta z sinusem, otrzymujemy 5 P AS BS sinϕ ABS AS BS AS AC = = = 5 P sin CDS CS DS CS DS = = CS, ϕ AC czyli P = 5 P, co należało wykazać. ABS CDS Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze, że trójkąty ABS i CDS są podobne oraz wyznaczy skalę ich podobieństwa: k = 5 wyznaczy pola trójkątów ABS i CDS w zależności od sinusa tego samego kąta i zapisze proporcję wynikającą z twierdzenia Talesa: P = AS BS sinϕ, AS BS P CDS = CS DS sinϕ, = CS DS Zdający otrzymuje... p. gdy wykaże, że PABS = 5 P CDS. Uwaga Jeżeli zdający przyjmie konkretne długości odcinków, np. AC = i AS = 5, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie. (0 ) Ciąg arytmetyczny ( a n ) określony jest wzorem an = 0 n, dla n. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu. Rozwiązanie Pierwszy wyraz ciągu ( a n ) jest równy a = 0, a każdy inny wyraz tego ciągu jest o mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym o różnicy r =. Wyznaczmy liczbę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu ( a n ): a n > 0, 0 n > 0, n < 0, a stąd n < 7. Zatem a, a, a,, a 7 to wszystkie dodatnie wyrazy tego ciągu. Obliczmy ich sumę: a+ a7 S 7 = 7 i a 7 = 0 7 =, S 0 7 = + 7 = 7 8. Uwaga Możemy obliczyć sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu, korzystając ze wzoru: a + 70r S7 = 7. 0+ 70 ( ) S = 7 = 0 00 7 = 008 7 = 7 8. 7 Strona 8 z 0 ABS

Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu ( ) n a : a = 0 zapisze różnicę ciągu arytmetycznego ( a n ): r =, zapisze warunek pozwalający obliczyć liczbę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu ( a n ): np. 0 n > 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający obliczy pierwszy wyraz i ciągu ( a n ) oraz zapisze jego różnicę: a = 0 i r = zapisze warunek pozwalający obliczyć liczbę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu ( a n ): np. 0 n > 0 i zapisze różnicę ciągu arytmetycznego ( a n ): r =, zapisze warunek pozwalający obliczyć liczbę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu ( a n ): np. 0 n > 0 i obliczy pierwszy wyraz ciągu ( a n ): a = 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający a i obliczy liczbę wszystkich dodatnich wyrazów obliczy pierwszy wyraz ciągu ( ) n ciągu ( ) n a : a = 0, n = 7 obliczy pierwszy wyraz ciągu ( ) n wyraz tego ciągu:, obliczy pierwszy wyraz ciągu ( ) n równego 0: n = 7 a : a = 0 oraz wyznaczy najmniejszy dodatni a : a = 0 oraz wyznaczy numer wyrazu Rozwiązanie pełne... p. a : S 7 = 7 8. Zdający obliczy sumę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu ( ) n Uwagi. Jeżeli zdający zauważy, że wyraz a 7 = 0 i obliczy sumę S 7 = 7 8, to może otrzymać maksymalną liczbę punktów, o ile nie popełni błędu w przedstawionym rozwiązaniu.. Jeżeli zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu ( a n ), wyznaczy najmniejszy dodatni wyraz ciągu, ale błędnie ustali jego numer i konsekwentnie obliczy sumę 0 + 7 = 77 7, to otrzymuje punkty. Strona 9 z 0

Zadanie. (0 ) Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego ABC: A = (, ) i C = (,7) oraz prosta o równaniu y x trójkąta. 0 9 8 7 5 =, zawierająca przeciwprostokątną AB tego -5 - - - - 0 5 7 8 9 0 x - A - - - -5 y C Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta i długość odcinka AB. Rozwiązanie (I sposób) Współrzędne punktu B możemy obliczyć na kilka sposobów. Sposób a) Współczynnik kierunkowy prostej AC, a więc prostej przechodzącej przez punkty, C =,7, jest równy A = ( ) i ( ) a 7+ AC + = =. Prosta CB jest prostopadła do prostej AC i przechodzi przez punkt C = (,7) równanie postaci ( x ) y = + 7, czyli y = x+ 8., więc ma Współrzędne punktu B obliczymy rozwiązując układ równań y = x i y = x+ 8. Stąd otrzymujemy x = x + 8, Zatem B = ( 7, ). x = x+, 5x = 5 x = 7 oraz y = 7+ 8=. Sposób b) Wektory CA i CB są prostopadłe. Współrzędne wektora CA są równe CA = [, 7] = [ 5, 0]. Strona 0 z 0

Punkt B leży na prostej AB, więc jego współrzędne możemy zapisać w postaci B = ( x, x ). Zatem współrzędne wektora CB są równe CB = x, x. Z warunku prostopadłości wektorów CA i CB otrzymujemy CA CB = 0, [ 5, 0 ] x, x = 0, Zatem B = ( 7, ). ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 5 0 = 0, + = 0, 5 5 x = 0, 5x = 5, x = 7. Sposób c) Punkt B leży na prostej AB, więc jego współrzędne możemy zapisać w postaci B = x, x. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC otrzymujemy ( ) AB = AC + BC, ( ) ( ) ( ) ( x+ ) + ( x + ) = ( + ) + ( 7+ ) + x + x 7, ( x ) ( x 9) 5 0 ( x ) ( x ) + + + = + + +, 9 5 8 9 8 9 x x 9 x x 5 x x x x + + + + + = + + + +, Zatem ( 7, 7 ) ( 7, ) B = =. Długość odcinka AB jest równa x = 7. ( ) ( ) ( ) 00 5 5 5 AB = 7+ + + = 00+ 7 = + = = =. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AC: a AC = wyznaczy współrzędne wektora CA = [ 5, 0], wyznaczy współrzędne wektora CB w zależności od jednej zmiennej, np: CB = x, x, zastosuje twierdzenie Pitagorasa i zapisze AB = AC + BC oraz uzależni współrzędne punktu B od tej samej zmiennej: np.: B = ( x, x ) Strona z 0

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający wyznaczy równanie prostej BC: y = x+ 8 równanie z jedną niewiadomą wynikające z warunku prostopadłości wektorów pozwalające obliczyć współrzędne punktu B: np. [ 5, 0 ] x, x = 0 (lub układ równań [ 5, 0] [ x, y 7] = 0 i y = x ), równanie z jedną niewiadomą wynikające z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC: ( ) ( ) ( ) ( x+ ) + ( x + ) = ( + ) + ( 7+ ) + x + x 7 lub układ równań z dwiema niewiadomymi ( ( x+ ) + ( y+ ) ) = ( ( + ) + ( 7+ ) ) + ( ( x ) + ( y 7) ) y = x Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający obliczy współrzędne wierzchołka B: B = ( 7, ) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne... p. Zdający obliczy współrzędne wierzchołka B oraz długość odcinka AB: B = ( 7, ), 5 AB = =. Rozwiązanie (II sposób) Trójkąt ABC jest prostokątny, więc środek S okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem przeciwprostokątnej AB. Jednocześnie leży on na symetralnej boku AC. Wyznaczamy najpierw równanie symetralnej boku AC. Jest to prosta prostopadła do prostej AC i przechodzi przez środek M odcinka AC. Ponieważ A = (, ) i C = (,7), więc punkt M ma współrzędne: M + (, + 7 ) (,) = =, a współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy a 7 AC = + + =, więc prosta AC ma równanie postaci ( x ) y = +, czyli y = x+. Współczynnik kierunkowy symetralnej MS boku AC jest zatem równy a MS =, a symetralna MS ma równanie postaci ( x ) y = + +, x 7 y = +. Strona z 0

Współrzędne środka S okręgu opisanego trójkącie ABC obliczymy, rozwiązując układ równań y = x i y = 7 x+. Stąd 7 x = x+, x = x+ 7, 5x = 0 x = oraz y = + 7 =. Zatem (, ) S =. Ponieważ S jest środkiem boku AB, to ( + xb + yb S, ) (, ) Stąd Zatem B = ( 7, ). Długość odcinka AB jest równa = =. +x B = i +y B = + x B = i + y B = x B = 7 i y B =. ( ) ( ) ( ) 00 5 5 5 AB = 7+ + + = 00+ 7 = + = = =. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AC: a AC = wyznaczy współrzędne środka M odcinka AC: (,) M = i zapisze, że środek okręgu opisanego na trójkącie ABC to punkt przecięcia symetralnej boku AC i prostej AB. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający wyznaczy współrzędne środka S okręgu opisanego trójkącie ABC: (, ) tym zakończy lub dalej popełni błędy. S = i na Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający obliczy współrzędne wierzchołka B i nie obliczy długości boku AB: B = ( 7, ) obliczy długość boku AB i nie obliczy współrzędnych wierzchołka B: AB = AS = = Strona z 0

Rozwiązanie pełne... p. Zdający obliczy współrzędne wierzchołka B oraz długość odcinka AB: B = ( 7, ), 5 AB = =. Uwaga Jeżeli zdający błędnie zinterpretuje treść zadania, przyjmując, że wierzchołkiem kąta prostego trójkąta ABC jest B, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie. (0 5) Trójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS, w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 0, a krawędź boczna ma długość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa. S C A B Rozwiązanie I sposób Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. S H h 7 C A a O B 0 D Podstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o boku długości a, ostrosłup jest prawidłowy, więc spodek O wysokości SO tego ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego i opisanego na podstawie ostrosłupa. Strona z 0

Zatem a a AO = oraz OD =. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 0, stąd otrzymujemy H tg0 OD =, H =, a a H =, a H =. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, otrzymujemy AO + OS = AS, a a + = 7, a a + = 9, 7a = 9, a = 7, a =. Zatem H =. Objętość ostrosłupa jest więc równa ( ) a V = H = = = 7. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa zapisze, że długość odcinka AO: AO = a, gdzie a oznacza długość krawędzi podstawy ostrosłupa, zapisze, że długość odcinka OD: podstawy ostrosłupa OD = a, gdzie a oznacza długość krawędzi Strona 5 z 0

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający wyznaczy w zależności od jednej zmiennej, np. a długości krawędzi podstawy zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz długość odcinka AO: AO = a zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz długość odcinka OD: OD = a Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający wyznaczy wysokość ostrosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. a długości a krawędzi podstawy: H = Rozwiązanie prawie pełne... p. Zdający obliczy wysokość ostrosłupa oraz długość krawędzi podstawy ostrosłupa (lub bezpośrednio pole podstawy ostrosłupa): H =, a = i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne... 5 p. Zdający obliczy objętość ostrosłupa: V = 7. Uwaga Zdający nie musi zaznaczać kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, o ile z rozwiązania wynika, że poprawnie interpretuje ten kąt. Rozwiązanie II sposób Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. S x x 7 0 A x O x D a B Trójkąt DOS jest prostokątny, w którym jeden kąt ostry ma miarę 0. Wysokość SD ściany bocznej oznaczmy przez x. Zatem H = SO = x oraz OD = x. C Strona z 0

Podstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o boku długości a, ostrosłup jest prawidłowy, więc spodek O wysokości SO tego ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego i opisanego na podstawie ostrosłupa. Zatem AO = x oraz a= x. Dla trójkąta AOS zapisujemy twierdzenie Pitagorasa i obliczamy x: AO + OS = AS, ( x) ( x ) + = 7, x + x = 9, 7x = 9, x = 7. Zatem H = 7 = oraz a= x =. Objętość ostrosłupa jest więc równa ( ) a V = H = = = 7. Uwaga Zdający może podać wynik w postaci V 55,5. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa zapisze zależność między długościami odcinków OA i OD, np. OD = x, OA = x, gdzie x pół wysokości ściany bocznej, Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający wyznaczy w zależności od jednej zmiennej, np. x pół wysokości ściany bocznej, wysokość ostrosłupa SO: SO = H = x zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz zapisze zależność między długościami odcinków OA i OD, np. OD = x, OA = x Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający wyznaczy długość a krawędzi podstawy ostrosłupa w zależności od x: a= x Rozwiązanie prawie pełne... p. Zdający obliczy wysokość ostrosłupa oraz długość krawędzi podstawy ostrosłupa (lub bezpośrednio pole podstawy ostrosłupa): H =, a = i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne... 5 p. Zdający obliczy objętość ostrosłupa: V = 7. Strona 7 z 0

Uwaga Zdający nie musi zaznaczać kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, o ile z rozwiązania wynika, że poprawnie interpretuje ten kąt. Zadanie. (0 ) Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych {,,,, 5,, 7 } losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba 5. Rozwiązanie (I sposób) Niech zdarzeniami elementarnymi będą uporządkowane pary (, ) takie że a b Strona 8 z 0 ab liczb z podanego zbioru,. Jest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 7 Ω= =. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch liczb, z których większą jest liczba 5. Zdarzeniu A sprzyja osiem zdarzeń elementarnych A=, 5,, 5,, 5,, 5, 5,, 5,, 5,, 5,. {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe P A = =. ( ) 8 Rozwiązanie (II sposób) Niech zdarzeniami elementarnymi będą dwuelementowe podzbiory { ab, } liczb z podanego zbioru. Jest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 7 Ω= ( ) =. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch liczb, z których większą jest liczba 5. Zdarzenia A sprzyjają cztery zdarzenia elementarne A= {{,5,,5,,5,,5 } { } { } { }}. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe: P A =. ( ) Uwaga Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych oraz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A możemy też zapisać w tabeli. 5 7 5 7 Symbol użyty w tabeli oznacza zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A.

Wówczas Ω= 7 7= i 8 A =. Zatem ( ) 8 P A = =. Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy 7 obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω= 7 = (lub Ω= ( ) = ) obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzenia A : A = 8 (lub A = ). Zdający otrzymuje... p. P A = =. gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: ( ) 8 Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P( A ) > lub P( A ) < 0, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający popełni błąd przy zliczaniu w tabeli par, spełniających warunki zadania i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje punkt.. Jeżeli zdający zapisze tylko P( A ) = 8, to otrzymuje punkt. Rozwiązanie (III sposób) Niech A oznacza zdarzenie większa z wylosowanych liczb jest równa 5. Narysujmy drzewo zawierające tylko istotne gałęzie 7 7 7 7 7 7 7 5 7 5 5 5 5 Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe P A = + + + + = =. ( ) 8 7 7 7 7 7 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy narysuje pełne drzewo oraz przynajmniej na jednej gałęzi zapisze poprawne prawdopodobieństwo Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy i zapisze prawdopodobieństwo zdarzenia A: P ( A ) =. Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P( A ) > lub P( A ) < 0, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. Strona 9 z 0

. Jeśli zdający dodaje prawdopodobieństwa na gałęziach drzewa, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkt (pod warunkiem, że prawdopodobieństwa na gałęziach drzewa są zapisane prawidłowo).. Jeżeli zdający popełni błąd: przy przepisywaniu prawdopodobieństw z gałęzi drzewa lub w zapisaniu prawdopodobieństwa na jednej gałęzi drzewa, lub nie zaznaczy jednej istotnej gałęzi drzewa i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje punkt. Strona 0 z 0