Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112
Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B. Wright; Matematyka dyskretna. 4 M. Sysªo, N. Deo; Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo Pascalu. 5 M. Libura, J. Sikorski; Wykªady z matematyki dyskretnej. Cz. I: Kombinatoryka. 6 M. Libura, J. Sikorski; Wykªady z matematyki dyskretnej. Cz. II: Teoria grafów. 7 J. Kurose, K. Ross; Sieci komputerowe. Od ogóªu do szczegóªu z Internetem w tle. 8 J. Harris, J. Hirst, M. Mossingho; Combinatorics and Graph Theory. 9 D. Medhi, K. Ramasamy; Network Routing: Algorithms, Protocols and Architectures. 10 D. Jungnickel, Graphs; Networks and Algorithms. 11 B. Korte, J. Vygen; Combinatorial optimization. 2 / 112
grafu nieskierowanego Grafem nieskierowanym nazywamy uporz dkowan trójk : G = V, E, γ gdzie: V niepusty zbiór wierzchoªków grafu G, E zbiór kraw dzi grafu G, γ funkcja ze zbioru E w zbiór {{u, v} : u, v V } wszystkich podzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V. 3 / 112
grafu nieskierowanego Grafem nieskierowanym nazywamy uporz dkowan trójk : G = V, E, γ gdzie: V niepusty zbiór wierzchoªków grafu G, E zbiór kraw dzi grafu G, γ funkcja ze zbioru E w zbiór {{u, v} : u, v V } wszystkich podzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V. Je»eli e E oraz γ (e) = {v 1, v 2}, to elementy v 1 i v 2 nazywamy ko«cami kraw dzi e. 4 / 112
Przykªad W praktyce cz sto wykorzystujemy graczn reprezentacj grafu 1 a d b c 3 m l k 2 f 8 4 h 5 6 g 7 5 / 112
Przykªad W praktyce cz sto wykorzystujemy graczn reprezentacj grafu 1 a d b c 3 m l k 2 f 8 4 Niech G = V, E, γ, gdzie: h 5 6 g 7 V = {1, 2,...8}, E = {a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m}, 6 / 112
Przykªad W praktyce cz sto wykorzystujemy graczn reprezentacj grafu 1 a d b c 3 m l k 2 f 8 4 Niech G = V, E, γ, gdzie: h 5 6 g 7 V = {1, 2,...8}, E = {a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m}, za± funkcja γ okre±lona jest za pomoc tabeli e a b c d f g h γ (e) {1, 2} {2} {2, 3} {4} {3, 6} {6, 7} {5, 6} k l m {2, 5} {1, 5} {1, 5} 7 / 112
Kraw dzie grafu 1 a m l k d b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Je»eli γ (e) = {v, v} = {v}, to kraw d¹ e nazywamy p tl. 8 / 112
Kraw dzie grafu 1 a m l k d b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Je»eli γ (e) = {v, v} = {v}, to kraw d¹ e nazywamy p tl. Na rysunku p tlami s kraw dzie b i d, poniewa» γ (b) = {2} i γ (d) = {4}. 9 / 112
Kraw dzie grafu 1 a m l k d b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Je»eli kraw dzie e i f s ró»ne (e f ) i γ (e) = γ (f ), to nazywamy je kraw dziami wielokrotnymi (równolegªymi) 10 / 112
Kraw dzie grafu 1 a m l k d b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Je»eli kraw dzie e i f s ró»ne (e f ) i γ (e) = γ (f ), to nazywamy je kraw dziami wielokrotnymi (równolegªymi) Na rysunku kraw dziami wielokrotnymi s kraw dzie m i l, bowiem γ (l) = γ (m) = {1, 5} 11 / 112
Kraw dzie grafu 1 a m l k d b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Je»eli kraw dzie e i f s ró»ne (e f ) i γ (e) = γ (f ), to nazywamy je kraw dziami wielokrotnymi (równolegªymi) Na rysunku kraw dziami wielokrotnymi s kraw dzie m i l, bowiem γ (l) = γ (m) = {1, 5} Uwaga W przypadku, gdy nie ma w grae G kraw dzi wielokrotnych, to funkcja γ jest ró»nowarto±ciowa. 12 / 112
Je»eli w grae G, a i b nie s kraw dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy,»e: 13 / 112
Je»eli w grae G, a i b nie s kraw dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy,»e: 1 Kraw dzie a i b s kraw dziami s siednim lub przylegªymi (maj wspólny wierzchoªek y). 14 / 112
Je»eli w grae G, a i b nie s kraw dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy,»e: 1 Kraw dzie a i b s kraw dziami s siednim lub przylegªymi (maj wspólny wierzchoªek y). 2 Wierzchoªki x, y (oraz y i z) s wierzchoªkami s siednimi. 15 / 112
Je»eli w grae G, a i b nie s kraw dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy,»e: 1 Kraw dzie a i b s kraw dziami s siednim lub przylegªymi (maj wspólny wierzchoªek y). 2 Wierzchoªki x, y (oraz y i z) s wierzchoªkami s siednimi. 3 Wierzchoªek x (a tak»e y) jest incydentny do kraw dzi a (jest ko«cem tej kraw dzi) 16 / 112
Graf prosty Graf bez kraw dzi wielokrotnych i p tli nazywamy grafem prostym. 17 / 112
Graf prosty Graf bez kraw dzi wielokrotnych i p tli nazywamy grafem prostym. Przykªadem grafu prostego jest graf G przedstawiony na rysunku 3 f b a d 4 e c 1 2 18 / 112
W przypadku grafów bez kraw dzi wielokrotnych (w szczególno±ci w przypadku grafów prostych) denicja grafu sprowadza si do podania zbioru wierzchoªków V i kraw dzi w postaci {p, q}, gdzie p, q V, np. na rysunku zamiast pisa γ (a) = {1, 3} b dziemy pisa a = {1, 3}. 19 / 112
W przypadku grafów bez kraw dzi wielokrotnych (w szczególno±ci w przypadku grafów prostych) denicja grafu sprowadza si do podania zbioru wierzchoªków V i kraw dzi w postaci {p, q}, gdzie p, q V, np. na rysunku zamiast pisa γ (a) = {1, 3} b dziemy pisa a = {1, 3}. Uwaga W dalszej cz ±ci graf bez kraw dzi wielokrotnych (w szczególno±ci graf prosty) b dziemy zapisywali jako G = V, E pami taj c,»e E = {{p, q} : p, q V }. 20 / 112
Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae nieskierowanym Liczb kraw dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p tlami liczonymi podwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy deg(v). 21 / 112
Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae nieskierowanym Liczb kraw dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p tlami liczonymi podwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy deg(v). Liczb wierzchoªków stopnia k oznaczamy D k (G). 22 / 112
Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae nieskierowanym Liczb kraw dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p tlami liczonymi podwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy deg(v). Liczb wierzchoªków stopnia k oznaczamy D k (G). Dla ka»dego grafu deniujemy ci g stopni wierzchoªków grafu G (D 0 (G), D 1 (G), D 2 (G),...). 23 / 112
Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae nieskierowanym Liczb kraw dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p tlami liczonymi podwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy deg(v). Liczb wierzchoªków stopnia k oznaczamy D k (G). Dla ka»dego grafu deniujemy ci g stopni wierzchoªków grafu G (D 0 (G), D 1 (G), D 2 (G),...). Stopniem grafu G nazywamy liczb (G) := max deg (v). v V Stopie«grafu jest wi c równy najwy»szemu ze stopni jego wierzchoªków. 24 / 112
Wierzchoªek stopnia zerowego nazywamy wierzchoªkiem izolowanym. 25 / 112
Wierzchoªek stopnia zerowego nazywamy wierzchoªkiem izolowanym. Wierzchoªek stopnia pierwszego nazywamy wierzchoªkiem ko«cowym lub wisz cym. 26 / 112
Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 27 / 112
Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 28 / 112
Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 29 / 112
Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchoªki wisz ce to x 4 i x 6 30 / 112
Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchoªki wisz ce to x 4 i x 6 3 ponadto deg (x 1) = 2 i deg (x 2) = 5, deg (x 3) = 4 i deg (x 8) = 3 31 / 112
Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchoªki wisz ce to x 4 i x 6 3 ponadto deg (x 1) = 2 i deg (x 2) = 5, deg (x 3) = 4 i deg (x 8) = 3 4 ci g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast puj cy (2, 2, 1, 1, 1, 1) 32 / 112
Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchoªki wisz ce to x 4 i x 6 3 ponadto deg (x 1) = 2 i deg (x 2) = 5, deg (x 3) = 4 i deg (x 8) = 3 4 ci g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast puj cy (2, 2, 1, 1, 1, 1) 5 stopie«tego grafu wynosi wi c (G) = 5 33 / 112
Kraw dzie szeregowe Mówimy,»e dwie nierównolegªe kraw dzie s kraw dziami szeregowymi, je»eli ich wspólny wierzchoªek jest stopnia drugiego. 34 / 112
Kraw dzie szeregowe Mówimy,»e dwie nierównolegªe kraw dzie s kraw dziami szeregowymi, je»eli ich wspólny wierzchoªek jest stopnia drugiego. f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 35 / 112
Kraw dzie szeregowe Mówimy,»e dwie nierównolegªe kraw dzie s kraw dziami szeregowymi, je»eli ich wspólny wierzchoªek jest stopnia drugiego. f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 W grae kraw dzie a i b s szeregowe, natomiast kraw dzie b i c s przylegªe ale nie s poª czone szeregowo, bowiem ich wspólny wierzchoªek jest stopnia trzeciego. 36 / 112
Izomorzm grafów Niech dane b d grafy G 1 = V 1, E 1 oraz G 2 = V 2, E 2 (bez kraw dzi wielokrotnych). 37 / 112
Izomorzm grafów Niech dane b d grafy G 1 = V 1, E 1 oraz G 2 = V 2, E 2 (bez kraw dzi wielokrotnych). Mówimy,»e grafy G 1 i G 2 s izomorczne, je»eli istnieje wzajemnie jednoznaczne przeksztaªcenie α : V 1 V 2 takie,»e kraw d¹ {u, v} jest kraw dzi grafu G 1 ({u, v} E 1) wtedy i tylko wtedy, gdy 38 / 112
Izomorzm grafów Niech dane b d grafy G 1 = V 1, E 1 oraz G 2 = V 2, E 2 (bez kraw dzi wielokrotnych). Mówimy,»e grafy G 1 i G 2 s izomorczne, je»eli istnieje wzajemnie jednoznaczne przeksztaªcenie α : V 1 V 2 takie,»e kraw d¹ {u, v} jest kraw dzi grafu G 1 ({u, v} E 1) wtedy i tylko wtedy, gdy {α (u), α (v)} jest kraw dzi grafu G 2 ({α (u), α (v)} E 2). 39 / 112
Izomorzm grafów Dla grafów z kraw dziami wielokrotnymi sytuacja nieco si komplikuje 40 / 112
Izomorzm grafów Dla grafów z kraw dziami wielokrotnymi sytuacja nieco si komplikuje Niech dane b d grafy G 1 = V 1, E 1, γ 1 oraz G 2 = V 2, E 2, γ 2 Mówimy,»e grafy G 1 i G 2 s izomorczne, je»eli istniej przeksztaªcenia α : V 1 V 2 i β : E 1 E 2 wzajemnie jednoznaczne, takie,»e kraw d¹ e E 1 ª czy wierzchoªki u, v V 1 (γ 1 (e) = {u, v}) wtedy i tylko wtedy, 41 / 112
Izomorzm grafów Dla grafów z kraw dziami wielokrotnymi sytuacja nieco si komplikuje Niech dane b d grafy G 1 = V 1, E 1, γ 1 oraz G 2 = V 2, E 2, γ 2 Mówimy,»e grafy G 1 i G 2 s izomorczne, je»eli istniej przeksztaªcenia α : V 1 V 2 i β : E 1 E 2 wzajemnie jednoznaczne, takie,»e kraw d¹ e E 1 ª czy wierzchoªki u, v V 1 (γ 1 (e) = {u, v}) wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadaj ca jej kraw d¹ β (e) E 2 ª czy wierzchoªki α (u) i α (v) tzn. γ 2 (β (e)) = {α (u), α (v)}. 42 / 112
Izomorzm grafów Dla grafów z kraw dziami wielokrotnymi sytuacja nieco si komplikuje Niech dane b d grafy G 1 = V 1, E 1, γ 1 oraz G 2 = V 2, E 2, γ 2 Mówimy,»e grafy G 1 i G 2 s izomorczne, je»eli istniej przeksztaªcenia α : V 1 V 2 i β : E 1 E 2 wzajemnie jednoznaczne, takie,»e kraw d¹ e E 1 ª czy wierzchoªki u, v V 1 (γ 1 (e) = {u, v}) wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadaj ca jej kraw d¹ β (e) E 2 ª czy wierzchoªki α (u) i α (v) tzn. γ 2 (β (e)) = {α (u), α (v)}. Zapis G 1 G 2 czytamy: grafy G 1 i G 2 s izomorczne. 43 / 112
Izomorzm grafów 44 / 112
Izomorzm grafów 45 / 112
Niezmienniki izomorzmu grafów Z denicji izomorzmu wynika,»e grafy izomorczne musz mie 1 t sam liczb wierzchoªków 2 t sam liczb kraw dzi 3 t sam liczb p tli 4 t sam liczb wierzchoªków ko«cowych 5 t sam liczb wierzchoªków izolowanych 6 równ liczb wierzchoªków tego samego stopnia 7 ten sam ci g stopni wierzchoªków (D 0 (G), D 1 (G),...) Powy»sze warunkami s warunkami koniecznymi izomorzmu dwu grafów, ale nie s warunkami wystarczaj cymi. 46 / 112
Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. 47 / 112
Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to 48 / 112
Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku 49 / 112
Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku 50 / 112
Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku o ªuku e mówimy równie»,»e 51 / 112
Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku o ªuku e mówimy równie»,»e ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka q 52 / 112
Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku o ªuku e mówimy równie»,»e ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka q ªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka q 53 / 112
Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku o ªuku e mówimy równie»,»e ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka q ªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka q ªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q 54 / 112
Graf skierowany Analogicznie, jak w przypadku grafu nieskierowanego mamy Je»eli γ(e) = (p, p), to e nazywamy p tl. 55 / 112
Graf skierowany Analogicznie, jak w przypadku grafu nieskierowanego mamy Je»eli γ(e) = (p, p), to e nazywamy p tl. Je»eli e, k E oraz γ(e) = (p, q) i γ(k) = (p, q), to kraw dzie e i k nazywamy równolegªymi lub wielokrotnymi. 56 / 112
Graf skierowany Analogicznie, jak w przypadku grafu nieskierowanego mamy Je»eli γ(e) = (p, p), to e nazywamy p tl. Je»eli e, k E oraz γ(e) = (p, q) i γ(k) = (p, q), to kraw dzie e i k nazywamy równolegªymi lub wielokrotnymi. Je»eli G jest grafem prostym (bez p tli i kraw dzi równolegªych), to przeksztaªcenie γ jest ró»nowarto±ciowe a graf G mo»emy oznacza jako G = V, E. 57 / 112
Przykªad We¹my graf G = V, E, γ, w którym dane s zbiory: V = {u, w, x, y, z} zbiór wierzchoªków, E = {(a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m} zbiór ªuków 58 / 112
Przykªad We¹my graf G = V, E, γ, w którym dane s zbiory: V = {u, w, x, y, z} zbiór wierzchoªków, E = {(a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m} zbiór ªuków oraz funkcja γ postaci: e a b c d e f g γ(e) (x, y) (z, y) (z, y) (u, y) (u, x) (z, u) (x, z) h k l m (y, y) (z, w) (w, x) (x, w) 59 / 112
Przykªad We¹my graf G = V, E, γ, w którym dane s zbiory: V = {u, w, x, y, z} zbiór wierzchoªków, E = {(a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m} zbiór ªuków oraz funkcja γ postaci: e a b c d e f g γ(e) (x, y) (z, y) (z, y) (u, y) (u, x) (z, u) (x, z) h k l m (y, y) (z, w) (w, x) (x, w) w k z m g f c b l e u d x a y h 60 / 112
Przykªad w k z m g f c b l e u d x a y h kraw d¹ h jest p tl 61 / 112
Przykªad w k z m g f c b l e u d x a y h kraw d¹ h jest p tl kraw dzie c i b s wielokrotne (równolegªe) 62 / 112
Przykªad w k z m g f c b l e u d x a y h kraw d¹ h jest p tl kraw dzie c i b s wielokrotne (równolegªe) kraw dzie l i m nie s wielokrotne (równolegªe) 63 / 112
Stopie«wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w grae skierowanym w k z Liczb kraw dzi skierowanych g wychodz cych z wierzchoªka x m nazywamy stopniem wyj±ciowym l tego wierzchoªka i oznaczamy degout(x). x a e f u c d b y h 64 / 112
Stopie«wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w grae skierowanym w k z Liczb kraw dzi skierowanych g wychodz cych z wierzchoªka x m nazywamy stopniem wyj±ciowym l tego wierzchoªka i oznaczamy degout(x). x a e f u c d b y h degout(x) = 3, degout(u) = 2, degout(z) = 4, degout(w) = 1, degout(y) = 1, 65 / 112
Stopie«wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w grae skierowanym w k z m g f c b l e u d x a y h Liczb ªuków wchodz cych do wierzchoªka x nazywamy stopniem wej±ciowym wierzchoªka x i oznaczamy degin(x). degout(x) = 3, degout(u) = 2, degout(z) = 4, degout(w) = 1, degout(y) = 1, 66 / 112
Stopie«wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w grae skierowanym w k z m g f c b l e u d x a y h Liczb ªuków wchodz cych do wierzchoªka x nazywamy stopniem wej±ciowym wierzchoªka x i oznaczamy degin(x). degout(x) = 3, degin(x) = 2, degout(u) = 2, degin(u) = 1, degout(z) = 4, i degin(z) = 1, degout(w) = 1, degin(w) = 2, degout(y) = 1, degin(y) = 5, 67 / 112
Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae skierowanym Stopniem wierzchoªka deg(x) w grae skierowanym nazywamy sum stopni wej±ciowych i wyj±ciowych wierzchoªka x. deg(x) = degout(x) + degin(x) 68 / 112
Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae skierowanym Stopniem wierzchoªka deg(x) w grae skierowanym nazywamy sum stopni wej±ciowych i wyj±ciowych wierzchoªka x. deg(x) = degout(x) + degin(x) Stopie«grafu (G) okre±lamy jako maksymalny stopie«wierzchoªka w tym grae, czyli (G) = max u V deg(u) 69 / 112
ródªo i uj±cie w grae skierowanym W digrafach wyró»niamy szczególnie dwa typy wierzchoªków, które nie wyst puj w grafach nieskierowanych, s to ¹ródªa i uj±cia. 70 / 112
ródªo i uj±cie w grae skierowanym W digrafach wyró»niamy szczególnie dwa typy wierzchoªków, które nie wyst puj w grafach nieskierowanych, s to ¹ródªa i uj±cia. ródªem w digrae nazywamy nieizolowany wierzchoªek, do którego nie wchodzi»aden ªuk. Wierzchoªek u jest w digrae ¹ródªem wtedy i tylko wtedy gdy degin(u) = 0 degout(u) > 0 71 / 112
ródªo i uj±cie w grae skierowanym W digrafach wyró»niamy szczególnie dwa typy wierzchoªków, które nie wyst puj w grafach nieskierowanych, s to ¹ródªa i uj±cia. ródªem w digrae nazywamy nieizolowany wierzchoªek, do którego nie wchodzi»aden ªuk. Wierzchoªek u jest w digrae ¹ródªem wtedy i tylko wtedy gdy degin(u) = 0 degout(u) > 0 Nieizolowany wierzchoªek digrafu, który nie jest pocz tkiem»adnego ªuku nazywamy uj±ciem. Wierzchoªek t jest uj±ciem wtedy i tylko wtedy, gdy degout(t) = 0 degin(u) > 0 72 / 112
Przykªad a b c d e 73 / 112
Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : 74 / 112
Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1 75 / 112
Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3 76 / 112
Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2 77 / 112
Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2 78 / 112
Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2 deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2 79 / 112
Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2 deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2 Stopie«grafu wynosi: (G) = max u V deg(u) = 3 80 / 112
Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2 deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2 ródªem w grae G s wierzchoªki a i c. Stopie«grafu wynosi: (G) = max u V deg(u) = 3 81 / 112
Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2 deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2 Stopie«grafu wynosi: ródªem w grae G s wierzchoªki a i c. Uj±ciem jest wierzchoªek e. (G) = max u V deg(u) = 3 82 / 112
Grafy wa»one, sieci Grafem wa»onym nazywamy graf, w którym ka»dej kraw dzi przyporz dkowana jest liczba rzeczywista (czasami tylko nieujemna) zwana wag tej kraw dzi. 83 / 112
Grafy wa»one, sieci Grafem wa»onym nazywamy graf, w którym ka»dej kraw dzi przyporz dkowana jest liczba rzeczywista (czasami tylko nieujemna) zwana wag tej kraw dzi. 7 16 6 12 5 10 11 1 14 9 8 17 6 4 2 3 84 / 112
Wa»nym zastosowaniem grafów wa»onych s sieci. W teorii grafów terminami okre±laj cymi w zeª jest wierzchoªek, a ª cze jest kraw dzi. 85 / 112
Wa»nym zastosowaniem grafów wa»onych s sieci. W teorii grafów terminami okre±laj cymi w zeª jest wierzchoªek, a ª cze jest kraw dzi. 86 / 112
Wa»nym zastosowaniem grafów wa»onych s sieci. W teorii grafów terminami okre±laj cymi w zeª jest wierzchoªek, a ª cze jest kraw dzi. W sieci, któr wykorzystujemy do rozwi zywania problemów praktycznych waga kraw dzi mo»e oznacza dªugo± odcinka drogi, czas przejazdu, koszt budowy tego odcinka drogi, przepustowo± (w sieci gazowej lub wodoci gowej), prawdopodobie«stwo przej±cia sygnaªów, niezawodno± poª czenia (w sieci telekomunikacyjnej lub komputerowej) albo dowoln inn cech mierzaln ilo±ciowo przyporz dkowan danej kraw dzi. 87 / 112
Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 88 / 112
Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 droga efkhk jest drog w grae G 89 / 112
Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 droga efkhk jest drog w grae G γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} 90 / 112
Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 droga efkhk jest drog w grae G Mówimy,»e droga e 1e 2...e n jest drog dªugo±ci n od wierzchoªka x 1 do wierzchoªka x n+1. γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} 91 / 112
Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 droga efkhk jest drog w grae G jest to droga dªugo±ci 5, od wierzchoªka x 5 do wierzchoªka x 3 Mówimy,»e droga e 1e 2...e n jest drog dªugo±ci n od wierzchoªka x 1 do wierzchoªka x n+1. γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} 92 / 112
Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 droga efkhk jest drog w grae G jest to droga dªugo±ci 5, od wierzchoªka x 5 do wierzchoªka x 3 γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} Mówimy,»e droga e 1e 2...e n jest drog dªugo±ci n od wierzchoªka x 1 do wierzchoªka x n+1. Wierzchoªek x 1 nazywamy wierzchoªkiem pocz tkowym, x n+1 - wierzchoªkiem ko«cowym drogi. 93 / 112
Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 droga efkhk jest drog w grae G jest to droga dªugo±ci 5, od wierzchoªka x 5 do wierzchoªka x 3 x 5 jest wierzchoªkiem pocz tkowym, x 3 jest wierzchoªkiem ko«cowym γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} Mówimy,»e droga e 1e 2...e n jest drog dªugo±ci n od wierzchoªka x 1 do wierzchoªka x n+1. Wierzchoªek x 1 nazywamy wierzchoªkiem pocz tkowym, x n+1 - wierzchoªkiem ko«cowym drogi. 94 / 112
Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 Ci g kraw dzi ec nie jest drog w grae G, poniewa» γ(e) = {x 5, x 5} a γ(c) = {x 1, x 3} Mówimy,»e droga e 1e 2...e n jest drog dªugo±ci n od wierzchoªka x 1 do wierzchoªka x n+1. Wierzchoªek x 1 nazywamy wierzchoªkiem pocz tkowym, x n+1 - wierzchoªkiem ko«cowym drogi. 95 / 112
Droga w grae Je»eli w drodze wierzchoªek pocz tkowy pokrywa si z wierzchoªkiem ko«cowym, to tak drog nazywamy drog zamkni t. e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 96 / 112
Droga w grae Je»eli w drodze wierzchoªek pocz tkowy pokrywa si z wierzchoªkiem ko«cowym, to tak drog nazywamy drog zamkni t. e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 Droga degba jest drog zamkni t. Droga zaczyna si i ko«czy w wierzchoªku x 1. 97 / 112
Droga prosta (±cie»ka) Drog prost lub ±cie»k nazywamy drog, w której wszystkie kraw dzie s ró»ne. 98 / 112
Droga prosta (±cie»ka) Drog prost lub ±cie»k nazywamy drog, w której wszystkie kraw dzie s ró»ne. e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 Droga degbac jest drog prost x 1, x 5, x 5, x 3, x 2, x 1, x 3 99 / 112
Droga prosta (±cie»ka) Drog prost lub ±cie»k nazywamy drog, w której wszystkie kraw dzie s ró»ne. e f g k x 4 h e f g k x 4 h x 5 x 3 x 5 x 3 d c b d c b x 1 x a 2 x 1 x a 2 Droga degbac jest drog prost x 1, x 5, x 5, x 3, x 2, x 1, x 3 Droga fkhkc nie jest drog prost, poniewa» kraw d¹ k powtarza si dwa razy. 100 / 112
Cykl w grae Zamkni t drog prost, której odpowiada ci g wierzchoªków x 1x 2...x nx 1, nazywamy cyklem je±li wszystkie wierzchoªki x 1x 2...x n s ró»ne. 101 / 112
Cykl w grae Zamkni t drog prost, której odpowiada ci g wierzchoªków x 1x 2...x nx 1, nazywamy cyklem je±li wszystkie wierzchoªki x 1x 2...x n s ró»ne. e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 Droga dgba jest drog prost, zamkni t. Ci g wierzchoªków, które jej odpowiadaj jest postaci x 1, x 5, x 3, x 2, x 1, a wi c wszystkie wierzchoªki x 1, x 5, x 3, x 2 s ró»ne. 102 / 112
Cykl w grae Zamkni t drog prost, której odpowiada ci g wierzchoªków x 1x 2...x nx 1, nazywamy cyklem je±li wszystkie wierzchoªki x 1x 2...x n s ró»ne. e f g k x 4 h e f g k x 4 h x 5 x 3 x 5 x 3 d c b d c b x 1 x a 2 x 1 x a 2 Droga dgba jest drog prost, zamkni t. Ci g wierzchoªków, które jej odpowiadaj jest postaci x 1, x 5, x 3, x 2, x 1, a wi c wszystkie wierzchoªki x 1, x 5, x 3, x 2 s ró»ne. Droga degba nie jest cyklem, chocia» jest drog prost, zamkni t, poniewa» w ci gu wierzchoªków, odpowiadaj cych tej drodze x 1, x 5, x 5, x 3, x 2, x 1 wierzchoªek x 5 powtarza si. 103 / 112
Graf acykliczny Graf nie zawieraj cy cykli nazywamy grafem acyklicznym. 104 / 112
Graf acykliczny Graf nie zawieraj cy cykli nazywamy grafem acyklicznym. Graf acykliczny. 105 / 112
Graf acykliczny Graf nie zawieraj cy cykli nazywamy grafem acyklicznym. e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 Graf acykliczny. Graf posiada cykle np. fgh, acb itd. 106 / 112
Odlegªo± wierzchoªków Odlegªo±ci pomi dzy wierzchoªkiem u i wierzchoªkiem v nazywamy dªugo± najkrótszej drogi od u do v i oznaczamy j symbolem d(u, v). e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 107 / 112
Odlegªo± wierzchoªków Odlegªo±ci pomi dzy wierzchoªkiem u i wierzchoªkiem v nazywamy dªugo± najkrótszej drogi od u do v i oznaczamy j symbolem d(u, v). e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 Odlegªo± pomi dzy wierzchoªkami x 2 i x 4 wynosi d(x 2, x 4) = 2. 108 / 112
Odlegªo± wierzchoªków Odlegªo±ci pomi dzy wierzchoªkiem u i wierzchoªkiem v nazywamy dªugo± najkrótszej drogi od u do v i oznaczamy j symbolem d(u, v). e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 Odlegªo± pomi dzy wierzchoªkami x 2 i x 4 wynosi d(x 2, x 4) = 2. Ka»da inna droga ª cz ca te wierzchoªki ma dªugo± wi ksz ni» 2 np. droga x 2x 3x 1x 5x 4 ma dªugo± 4. 109 / 112
Graf spójny Graf G nazywamy spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy, ka»da para jego ró»nych wierzchoªków jest poª czona drog w tym grae. 110 / 112
Drzewo Graf spójny i acykliczny nazywamy drzewem. w u t v m s k l y x z n 111 / 112
Dzi kuj za uwag!!! 112 / 112