Szeregowanie zada« Przedmiot fakultatywny 15h wykªadu + 15h wicze« dr Hanna Furma«czyk. 7 pa¹dziernika 2013
|
|
|
- Marta Woźniak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przedmiot fakultatywny 15h wykªadu + 15h wicze«7 pa¹dziernika 2013
2 Zasady zaliczenia 1 wiczenia (ocena): kolokwium, zadania dodatkowe (implementacje algorytmów), praca na wiczeniach. 2 Wykªad (zal): zaliczone wiczenia, zadanie z wykªadu.
3 Motywacja : cz ± wielozadaniowego systemu operacyjnego, odpowiedzialna za ustalanie kolejno±ci dost pu zada«do procesora [jak rozdzieli czas procesora i dost p do innych zasobów pomi dzy zadania, które w praktyce zwykle o te zasoby konkuruj ] serwery baz danych, organizacja oblicze«rozproszonych, linie produkcyjne, plany zaje szkolnych, konferencji, itp. planowanie projektu, organizacja pracy.
4 Historia linia produkcyjna Henry'ego Forda (pierwsze lata XX w.), algorytm Jacksona (równie» dla produkcji przemysªowej),...
5 Przykªady 1 Pi zada«o czasach wykonania p 1,..., p 5 = 6, 9, 4, 1, 4 nale»y uszeregowa na trzech identycznych maszynach tak, by zako«czyªy si one mo»liwie jak najszybciej. M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z
6 Przykªady 1 Pi zada«o czasach wykonania p 1,..., p 5 = 6, 9, 4, 1, 4 nale»y uszeregowa na trzech identycznych maszynach tak, by zako«czyªy si one mo»liwie jak najszybciej. M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Czy ten harmonogram jest poprawny?
7 Zasady poprawno±ci harmonogramu - wst p»adne zadanie nie mo»e by jednocze±nie wykonywane przez ró»ne maszyny,
8 Zasady poprawno±ci harmonogramu - wst p»adne zadanie nie mo»e by jednocze±nie wykonywane przez ró»ne maszyny,»aden procesor nie pracuje równocze±nie nad ró»nymi zadaniami,
9 Zasady poprawno±ci harmonogramu - wst p»adne zadanie nie mo»e by jednocze±nie wykonywane przez ró»ne maszyny,»aden procesor nie pracuje równocze±nie nad ró»nymi zadaniami, ci g dalszy nast pi.
10 2 Jednodniowy plan zaj (K i - klasy, N j - nauczyciele) N 1 N 2 N 3 K K K N 1 K 2 K 1 K 3 N 2 K 1 K 2 K 3 N 3 K 3 K 1 K Procesory dedykowane - system otwarty (kolejno± operacji dowolna).
11 3 Ta±ma produkcyjna (wa»na kolejno± operacji) D 1 D 2 D 3 M M M M 1 D 1 D 3 D 2 M 2 D 1 D 3 D 2 M 3 D 1 D 3 D Procesory dedykowane - system przepªywowy (kolejno± operacji musi by zgodna z numeracj maszyn).
12 Dziedzina ta zajmuje si szeregowaniem (ukªadaniem harmonogramów) zada«(programów, czynno±ci, prac) na maszynach (procesorach, obrabiarkach, stanowiskach obsªugi).
13 Dziedzina ta zajmuje si szeregowaniem (ukªadaniem harmonogramów) zada«(programów, czynno±ci, prac) na maszynach (procesorach, obrabiarkach, stanowiskach obsªugi). Szukamy harmonogramu wykonania dla danego zbioru zada«w okre±lonych warunkach, tak by zminimalizowa przyj te kryterium oceny (koszt) uszeregowania.
14 Dziedzina ta zajmuje si szeregowaniem (ukªadaniem harmonogramów) zada«(programów, czynno±ci, prac) na maszynach (procesorach, obrabiarkach, stanowiskach obsªugi). Szukamy harmonogramu wykonania dla danego zbioru zada«w okre±lonych warunkach, tak by zminimalizowa przyj te kryterium oceny (koszt) uszeregowania. Model deterministyczny: parametry systemu i zada«s od pocz tku znane.
15 Sposoby obsªugi zada«1 Procesory równolegªe (ka»dy procesor mo»e obsªu»y ka»de zadanie):
16 Sposoby obsªugi zada«1 Procesory równolegªe (ka»dy procesor mo»e obsªu»y ka»de zadanie): procesory identyczne - wszystkie s jednakowo szybkie, procesory jednorodne - maj ró»ne szybko±ci, ale stosunki czasów wykonania zada«s niezale»ne od maszyn, procesory dowolne - pr dko±ci zale» od wykonywanych zada«.
17 2 Procesory dedykowane
18 2 Procesory dedykowane zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie ko«czy si wraz z wykonaniem swej najpó¹niejszej operacji,
19 2 Procesory dedykowane zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie ko«czy si wraz z wykonaniem swej najpó¹niejszej operacji, dopuszcza si sytuacje, gdy zadanie nie wykorzystuje wszystkich maszyn (operacje puste),
20 2 Procesory dedykowane zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie ko«czy si wraz z wykonaniem swej najpó¹niejszej operacji, dopuszcza si sytuacje, gdy zadanie nie wykorzystuje wszystkich maszyn (operacje puste),»adne dwie operacje tego samego zadania nie mog wykonywa si rownocze±nie,
21 2 Procesory dedykowane zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie ko«czy si wraz z wykonaniem swej najpó¹niejszej operacji, dopuszcza si sytuacje, gdy zadanie nie wykorzystuje wszystkich maszyn (operacje puste),»adne dwie operacje tego samego zadania nie mog wykonywa si rownocze±nie,»aden procesor nie mo»e rownocze±nie pracowa nad ró»nymi operacjami.
22 2 Procesory dedykowane Przykªad 2 i 3. zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie ko«czy si wraz z wykonaniem swej najpó¹niejszej operacji, dopuszcza si sytuacje, gdy zadanie nie wykorzystuje wszystkich maszyn (operacje puste),»adne dwie operacje tego samego zadania nie mog wykonywa si rownocze±nie,»aden procesor nie mo»e rownocze±nie pracowa nad ró»nymi operacjami.
23 Procesory dedykowane cd. Trzy gªówne typy systemów obsªugi dla maszyn dedykowanych: system przepªywowy (ang. ow shop) - operacje ka»dego zadania s wykonywane przez procesory w tej samej kolejno±ci wyznaczonej przez numery maszyn (przykªad 3), system otwarty (ang. open shop) - kolejno± wykonania operacji w obr bie zada«jest dowolna (przykªad 2), system gniazdowy (ang. job shop) - dla ka»dego zadania mamy dane przyporz dkowanie maszyn operacjom oraz wymagan kolejno±.
24 Parametry zada«dane: n zada«z = {Z 1,..., Z n }; m maszyn (procesorów) {M 1,..., M m }.
25 Parametry zada«dane: n zada«z = {Z 1,..., Z n }; m maszyn (procesorów) {M 1,..., M m }. Czas wykonywania zadania Z j Dla procesorów identycznych jest on niezale»ny od maszyny i wynosi p j.
26 Parametry zada«dane: n zada«z = {Z 1,..., Z n }; m maszyn (procesorów) {M 1,..., M m }. Czas wykonywania zadania Z j Dla procesorów identycznych jest on niezale»ny od maszyny i wynosi p j. Procesory jednorodne M i charakteryzuj si wspóªczynnikami szybko±ci b i, wtedy czas dla M i to p j /b i.
27 Parametry zada«dane: n zada«z = {Z 1,..., Z n }; m maszyn (procesorów) {M 1,..., M m }. Czas wykonywania zadania Z j Dla procesorów identycznych jest on niezale»ny od maszyny i wynosi p j. Procesory jednorodne M i charakteryzuj si wspóªczynnikami szybko±ci b i, wtedy czas dla M i to p j /b i. Dla maszyn dowolnych mamy czasy p ij zale»ne od zada«i procesorów.
28 Parametry zada«cd. Moment przybycia zadania Z j : r j (ang. release time). Czas, od którego zadanie mo»e zosta podj te. Warto± domy±lna - zero.
29 Parametry zada«cd. Termin zako«czenia zadania Z j : d j. Opcjonalny parametr. Wyst puje w dwóch wariantach. Mo»e oznacza czas, od którego nalicza si spó¹nienie (ang. due date), lub termin, którego przekroczy nie wolno (ang. deadline).
30 Parametry zada«cd. Waga zadania Z j : w j. Opcjonalny parametr, okre±laj cy wa»no± zadania przy naliczaniu kosztu harmonogramu. Domy±lnie zadania s jednakowej wagi i wtedy w j = 1.
31 Parametry zada«cd. Moment przybycia zadania Z j : r j (ang. release time). Czas, od którego zadanie mo»e zosta podj te. Warto± domy±lna - zero. Termin zako«czenia zadania Z j : d j. Opcjonalny parametr. Wyst puje w dwóch wariantach. Mo»e oznacza czas, od którego nalicza si spó¹nienie (ang. due date), lub termin, którego przekroczy nie wolno (ang. deadline). Waga zadania Z j : w j. Opcjonalny parametr, okre±laj cy wa»no± zadania przy naliczaniu kosztu harmonogramu. Domy±lnie zadania s jednakowej wagi i wtedy w j = 1.
32 Zadania zale»ne Relacja cz ±ciowego porz dku W zbiorze zada«z mo»na wprowadzi ograniczenia kolejno±ciowe w postaci dowolnej relacji cz ±ciowego porz dku. Wówczas Z i Z j oznacza,»e zadanie Z j mo»e si zacz wykonywa dopiero po zako«czeniu Z i
33 Zadania zale»ne Relacja cz ±ciowego porz dku W zbiorze zada«z mo»na wprowadzi ograniczenia kolejno±ciowe w postaci dowolnej relacji cz ±ciowego porz dku. Wówczas Z i Z j oznacza,»e zadanie Z j mo»e si zacz wykonywa dopiero po zako«czeniu Z i (czemu?
34 Zadania zale»ne Relacja cz ±ciowego porz dku W zbiorze zada«z mo»na wprowadzi ograniczenia kolejno±ciowe w postaci dowolnej relacji cz ±ciowego porz dku. Wówczas Z i Z j oznacza,»e zadanie Z j mo»e si zacz wykonywa dopiero po zako«czeniu Z i (czemu? np. Z j korzysta z wyników pracy Z i ).
35 Zadania zale»ne Relacja cz ±ciowego porz dku W zbiorze zada«z mo»na wprowadzi ograniczenia kolejno±ciowe w postaci dowolnej relacji cz ±ciowego porz dku. Wówczas Z i Z j oznacza,»e zadanie Z j mo»e si zacz wykonywa dopiero po zako«czeniu Z i (czemu? np. Z j korzysta z wyników pracy Z i ). Je±li ograniczenia te nie wyst puj, mówimy o zadaniach niezale»nych (tak si przyjmuje domy±lnie), w przeciwnym razie s one zale»ne.
36 Zadania zale»ne Relacja cz ±ciowego porz dku W zbiorze zada«z mo»na wprowadzi ograniczenia kolejno±ciowe w postaci dowolnej relacji cz ±ciowego porz dku. Wówczas Z i Z j oznacza,»e zadanie Z j mo»e si zacz wykonywa dopiero po zako«czeniu Z i (czemu? np. Z j korzysta z wyników pracy Z i ). Je±li ograniczenia te nie wyst puj, mówimy o zadaniach niezale»nych (tak si przyjmuje domy±lnie), w przeciwnym razie s one zale»ne. acykliczny digraf (diagram Hassego)
37
38 M 1 Z 1 Z 10 Z 5 M 2 Z 2 Z 6 Z 8 M 3 Z 3 Z 4 Z 7 Z
39 M 1 Z 1 Z 10 Z 5 M 2 Z 2 Z 6 Z 8 M 3 Z 3 Z 4 Z 7 Z To nie jest uszeregowanie optymalne.
40 M 1 Z 1 Z 10 Z 6 Z 8 M 2 Z 2 M 3 Z 3 Z 4 Z 5 Z 7 Z
41 M 1 Z 1 Z 10 Z 6 Z 8 M 2 Z 2 M 3 Z 3 Z 4 Z 5 Z 7 Z To jest uszeregowanie optymalne (±cie»ka krytyczna).
42 Parametry zada«cd. Zadania mog by : niepodzielne - przerwy w wykonaniu s niedopuszczalne (domy±lnie),
43 Parametry zada«cd. Zadania mog by : niepodzielne - przerwy w wykonaniu s niedopuszczalne (domy±lnie), podzielne - wykonanie mo»na przerwa i podj ponownie, w przypadku maszyn równolegªych nawet na innym procesorze.
44 Parametry zada«cd. Zadania mog by : niepodzielne - przerwy w wykonaniu s niedopuszczalne (domy±lnie), podzielne - wykonanie mo»na przerwa i podj ponownie, w przypadku maszyn równolegªych nawet na innym procesorze. M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 3 Z 1 M 3 Z 3 Z
45 Zasady poprawno±ci harmonogramu (ju» w caªo±ci): w ka»dej chwili procesor mo»e wykonywa co najwy»ej jedno zadanie,
46 Zasady poprawno±ci harmonogramu (ju» w caªo±ci): w ka»dej chwili procesor mo»e wykonywa co najwy»ej jedno zadanie, w ka»dej chwili zadanie mo»e by obsªugiwane przez co najwy»ej jeden procesor,
47 Zasady poprawno±ci harmonogramu (ju» w caªo±ci): w ka»dej chwili procesor mo»e wykonywa co najwy»ej jedno zadanie, w ka»dej chwili zadanie mo»e by obsªugiwane przez co najwy»ej jeden procesor, zadanie Z j wykonuje si w caªo±ci w przedziale czasu [r j, ),
48 Zasady poprawno±ci harmonogramu (ju» w caªo±ci): w ka»dej chwili procesor mo»e wykonywa co najwy»ej jedno zadanie, w ka»dej chwili zadanie mo»e by obsªugiwane przez co najwy»ej jeden procesor, zadanie Z j wykonuje si w caªo±ci w przedziale czasu [r j, ), speªnione s ograniczenia kolejno±ciowe,
49 Zasady poprawno±ci harmonogramu (ju» w caªo±ci): w ka»dej chwili procesor mo»e wykonywa co najwy»ej jedno zadanie, w ka»dej chwili zadanie mo»e by obsªugiwane przez co najwy»ej jeden procesor, zadanie Z j wykonuje si w caªo±ci w przedziale czasu [r j, ), speªnione s ograniczenia kolejno±ciowe, w przypadku zada«niepodzielnych ka»de zadanie wykonuje si nieprzerwanie w pewnym domkni to-otwartym przedziale czasowym, dla zada«podzielnych czasy wykonania tworz sko«czon sum rozª cznych przedziaªów.
50 Kryteria kosztu harmonogramu Dla uszeregowanego zadania Z j mo»emy okre±li :
51 Kryteria kosztu harmonogramu Dla uszeregowanego zadania Z j mo»emy okre±li : moment zako«czenia C i (ang. completion time),
52 Kryteria kosztu harmonogramu Dla uszeregowanego zadania Z j mo»emy okre±li : moment zako«czenia C i (ang. completion time), czas przepªywu przez system Fi = C i r i (ang. ow time),
53 Kryteria kosztu harmonogramu Dla uszeregowanego zadania Z j mo»emy okre±li : moment zako«czenia C i (ang. completion time), czas przepªywu przez system Fi = C i r i (ang. ow time), opó¹nienie L i = C i d i (ang. lateness),
54 Kryteria kosztu harmonogramu Dla uszeregowanego zadania Z j mo»emy okre±li : moment zako«czenia C i (ang. completion time), czas przepªywu przez system Fi = C i r i (ang. ow time), opó¹nienie L i = C i d i (ang. lateness), spó¹nienie T i = max{c i d i, 0} (ang. tardiness),
55 Kryteria kosztu harmonogramu Dla uszeregowanego zadania Z j mo»emy okre±li : moment zako«czenia C i (ang. completion time), czas przepªywu przez system Fi = C i r i (ang. ow time), opó¹nienie L i = C i d i (ang. lateness), spó¹nienie T i = max{c i d i, 0} (ang. tardiness), znacznik spóxnienia U i = w(c i > d i ), a wi c odpowied¹ (0/1 czyli Nie/Tak) na pytanie czy zadanie si spó¹niªo?.
56 Kryteria kosztu harmonogramu Najcz ±ciej stosowane kryteria:
57 Kryteria kosztu harmonogramu Najcz ±ciej stosowane kryteria: dªugo± uszeregowania C max = max{c j : j = 1,..., n},
58 Kryteria kosztu harmonogramu Najcz ±ciej stosowane kryteria: dªugo± uszeregowania C max = max{c j : j = 1,..., n}, caªkowity (ª czny) czas zako«czenia zadania C j = n i=1 C i,
59 Kryteria kosztu harmonogramu Najcz ±ciej stosowane kryteria: dªugo± uszeregowania C max = max{c j : j = 1,..., n}, caªkowity (ª czny) czas zako«czenia zadania C j = n i=1 C i, ±redni czas przepªywu F = ( n F i=1 i )/n,
60 Kryteria kosztu harmonogramu Najcz ±ciej stosowane kryteria: dªugo± uszeregowania C max = max{c j : j = 1,..., n}, caªkowity (ª czny) czas zako«czenia zadania C j = n i=1 C i, ±redni czas przepªywu F = ( n F i=1 i )/n, Przykªad: uszeregowanie na trzech maszynach równolegªych zada«niezale»nych, niepodzielnych.
61 Kryteria kosztu harmonogramu Najcz ±ciej stosowane kryteria: dªugo± uszeregowania C max = max{c j : j = 1,..., n}, caªkowity (ª czny) czas zako«czenia zadania C j = n i=1 C i, ±redni czas przepªywu F = ( n F i=1 i )/n, Przykªad: uszeregowanie na trzech maszynach równolegªych zada«niezale»nych, niepodzielnych. M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z p 1 = 6, p 2 = 9, p 3 = 4, p 4 = 1, p 5 = 4
62 Kryteria kosztu harmonogramu Najcz ±ciej stosowane kryteria: dªugo± uszeregowania C max = max{c j : j = 1,..., n}, caªkowity (ª czny) czas zako«czenia zadania C j = n i=1 C i, ±redni czas przepªywu F = ( n F i=1 i )/n, Przykªad: uszeregowanie na trzech maszynach równolegªych zada«niezale»nych, niepodzielnych. M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z p 1 = 6, p 2 = 9, p 3 = 4, p 4 = 1, p 5 = 4 C max = 9
63 Kryteria kosztu harmonogramu Najcz ±ciej stosowane kryteria: dªugo± uszeregowania C max = max{c j : j = 1,..., n}, caªkowity (ª czny) czas zako«czenia zadania C j = n i=1 C i, ±redni czas przepªywu F = ( n F i=1 i )/n, Przykªad: uszeregowanie na trzech maszynach równolegªych zada«niezale»nych, niepodzielnych. M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z p 1 = 6, p 2 = 9, p 3 = 4, p 4 = 1, p 5 = 4 C max = 9 C j = = 34
64 Kryteria cd. Mo»na wprowadza wagi (priorytety) zada«: w 1 = 1, w 2 = 2, w 3 = 3, w 4 = 1, w 5 = 1 M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z
65 Kryteria cd. Mo»na wprowadza wagi (priorytety) zada«: w 1 = 1, w 2 = 2, w 3 = 3, w 4 = 1, w 5 = 1 M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z caªkowity wa»ony czas zako«czenia w j C j = n i=1 w i C i
66 Kryteria cd. Mo»na wprowadza wagi (priorytety) zada«: w 1 = 1, w 2 = 2, w 3 = 3, w 4 = 1, w 5 = 1 M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z caªkowity wa»ony czas zako«czenia w j C j = n i=1 w i C i w j C j = = 51
67 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i M 3 Z 3 Z
68 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i :
69 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : -1
70 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : -1 2
71 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i :
72 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i :
73 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i :
74 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : L max = 2
75 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} maksymalne spó¹nienie T max = max{t j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : L max = 2
76 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} maksymalne spó¹nienie T max = max{t j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : T i : L max = 2
77 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} maksymalne spó¹nienie T max = max{t j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : T i : 0 L max = 2
78 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} maksymalne spó¹nienie T max = max{t j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : T i : 0 2 L max = 2
79 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} maksymalne spó¹nienie T max = max{t j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : T i : L max = 2
80 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} maksymalne spó¹nienie T max = max{t j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : T i : L max = 2
81 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} maksymalne spó¹nienie T max = max{t j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : T i : L max = 2
82 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} maksymalne spó¹nienie T max = max{t j : j = 1,..., n} M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : T i : L max = 2 T max = 2
83 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} maksymalne spó¹nienie T max = max{t j : j = 1,..., n} caªkowite spó¹nienie T j = n i=1 T i M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : T i : L max = 2 T max = 2
84 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} maksymalne spó¹nienie T max = max{t j : j = 1,..., n} caªkowite spó¹nienie T j = n i=1 T i M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : T i : L max = 2 T max = 2 Tj = 4
85 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} maksymalne spó¹nienie T max = max{t j : j = 1,..., n} caªkowite spó¹nienie T j = n i=1 T i liczba spó¹nionych zada«u j = n i=1 U i M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : T i : L max = 2 T max = 2 Tj = 4
86 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} maksymalne spó¹nienie T max = max{t j : j = 1,..., n} caªkowite spó¹nienie T j = n i=1 T i liczba spó¹nionych zada«u j = n i=1 U i M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : T i : L max = 2 T max = 2 Tj = 4 Uj = 2
87 Kryteria oparte na wymaganych terminach zako«czenia maksymalne opó¹nienie L max = max{l j : j = 1,..., n} maksymalne spó¹nienie T max = max{t j : j = 1,..., n} caªkowite spó¹nienie T j = n i=1 T i liczba spó¹nionych zada«u j = n i=1 U i mo»na wprowadza wagi zada«, ª czy kryteria, np. ª czne wa»one spó¹nienie w j T j = n i=1 w i T i. M 1 Z 2 M 2 Z 1 Z 4 M 3 Z 3 Z Zadanie: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 d i L i : T i : L max = 2 T max = 2 Tj = 4 Uj = 2
88 Jak to opisa?
89 Jak to opisa? Notacja trójpolowa
90 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ
91 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe
92 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne
93 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne
94 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne R - proc. dowolne
95 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne R - proc. dowolne O - system otwarty (ang. open shop)
96 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne R - proc. dowolne O - system otwarty (ang. open shop) F - system przepªywowy (ang. ow shop)
97 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne R - proc. dowolne O - system otwarty (ang. open shop) F - system przepªywowy (ang. ow shop) J - system ogólny (ang. job shop)
98 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne R - proc. dowolne O - system otwarty (ang. open shop) F - system przepªywowy (ang. ow shop) J - system ogólny (ang. job shop) β - charakterystyka zada«
99 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne R - proc. dowolne O - system otwarty (ang. open shop) F - system przepªywowy (ang. ow shop) J - system ogólny (ang. job shop) β - charakterystyka zada«puste: zadania s niepodzielne, niezale»ne, z r j = 0, czasy wykonania i ewentualne wymagane terminy zako«czenia d j dowolne
100 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne R - proc. dowolne O - system otwarty (ang. open shop) F - system przepªywowy (ang. ow shop) J - system ogólny (ang. job shop) β - charakterystyka zada«puste: zadania s niepodzielne, niezale»ne, z r j = 0, czasy wykonania i ewentualne wymagane terminy zako«czenia d j dowolne pmtn - zadania podzielne (ang. preemption)
101 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne R - proc. dowolne O - system otwarty (ang. open shop) F - system przepªywowy (ang. ow shop) J - system ogólny (ang. job shop) β - charakterystyka zada«puste: zadania s niepodzielne, niezale»ne, z r j = 0, czasy wykonania i ewentualne wymagane terminy zako«czenia d j dowolne pmtn - zadania podzielne (ang. preemption) prec - zadania zale»ne
102 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne R - proc. dowolne O - system otwarty (ang. open shop) F - system przepªywowy (ang. ow shop) J - system ogólny (ang. job shop) β - charakterystyka zada«puste: zadania s niepodzielne, niezale»ne, z r j = 0, czasy wykonania i ewentualne wymagane terminy zako«czenia d j dowolne pmtn - zadania podzielne (ang. preemption) prec - zadania zale»ne r j - ró»ne warto±ci momentów przybycia
103 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne R - proc. dowolne O - system otwarty (ang. open shop) F - system przepªywowy (ang. ow shop) J - system ogólny (ang. job shop) β - charakterystyka zada«puste: zadania s niepodzielne, niezale»ne, z r j = 0, czasy wykonania i ewentualne wymagane terminy zako«czenia d j dowolne pmtn - zadania podzielne (ang. preemption) prec - zadania zale»ne r j - ró»ne warto±ci momentów przybycia p j = 1 lub UET - zadania jednostkowe
104 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne R - proc. dowolne O - system otwarty (ang. open shop) F - system przepªywowy (ang. ow shop) J - system ogólny (ang. job shop) β - charakterystyka zada«puste: zadania s niepodzielne, niezale»ne, z r j = 0, czasy wykonania i ewentualne wymagane terminy zako«czenia d j dowolne pmtn - zadania podzielne (ang. preemption) prec - zadania zale»ne r j - ró»ne warto±ci momentów przybycia p j = 1 lub UET - zadania jednostkowe p ij {0, 1} lub ZUET - operacje jednostkowe lub puste (procesory dedykowane)
105 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne R - proc. dowolne O - system otwarty (ang. open shop) F - system przepªywowy (ang. ow shop) J - system ogólny (ang. job shop) β - charakterystyka zada«puste: zadania s niepodzielne, niezale»ne, z r j = 0, czasy wykonania i ewentualne wymagane terminy zako«czenia d j dowolne pmtn - zadania podzielne (ang. preemption) prec - zadania zale»ne r j - ró»ne warto±ci momentów przybycia p j = 1 lub UET - zadania jednostkowe p ij {0, 1} lub ZUET - operacje jednostkowe lub puste (procesory dedykowane) C j d j - istniej wymagane i nieprzekraczalne terminy zako«czenia zada«
106 Jak to opisa? Notacja trójpolowa α β γ γ - kryterium optymalizacji α - ±rodowisko maszynowe P - procesory identyczne Q - proc. jednorodne R - proc. dowolne O - system otwarty (ang. open shop) F - system przepªywowy (ang. ow shop) J - system ogólny (ang. job shop) β - charakterystyka zada«puste: zadania s niepodzielne, niezale»ne, z r j = 0, czasy wykonania i ewentualne wymagane terminy zako«czenia d j dowolne pmtn - zadania podzielne (ang. preemption) prec - zadania zale»ne r j - ró»ne warto±ci momentów przybycia p j = 1 lub UET - zadania jednostkowe p ij {0, 1} lub ZUET - operacje jednostkowe lub puste (procesory dedykowane) C j d j - istniej wymagane i nieprzekraczalne terminy zako«czenia zada«
107 cd. warto±ci β: no-idle - procesory musza pracowa w sposób ciagªy, bez okienek
108 cd. warto±ci β: no-idle - procesory musza pracowa w sposób ciagªy, bez okienek no-wait - okienka mi dzy operacjami w zadaniach s zabronione (proc. dedykowane)
109 cd. warto±ci β: no-idle - procesory musza pracowa w sposób ciagªy, bez okienek no-wait - okienka mi dzy operacjami w zadaniach s zabronione (proc. dedykowane) intree, outtree, chains,... ró»ne szczególne postaci relacji zale»no±ci kolejno±ciowych (prec).
110 cd. warto±ci β: no-idle - procesory musza pracowa w sposób ciagªy, bez okienek no-wait - okienka mi dzy operacjami w zadaniach s zabronione (proc. dedykowane) intree, outtree, chains,... ró»ne szczególne postaci relacji zale»no±ci kolejno±ciowych (prec). in-tree out-tree
111 Przykªady - notacja trójpolowa P3 prec C max
112 Przykªady - notacja trójpolowa P3 prec C max Szeregowanie niepodzielnych zada«zale»nych na trzech identycznych maszynach równolegªych w celu zminimalizowania dªugo±ci harmonogramu.
113 Przykªady - notacja trójpolowa P3 prec C max Szeregowanie niepodzielnych zada«zale»nych na trzech identycznych maszynach równolegªych w celu zminimalizowania dªugo±ci harmonogramu. R pmtn, prec, r j U j
114 Przykªady - notacja trójpolowa P3 prec C max Szeregowanie niepodzielnych zada«zale»nych na trzech identycznych maszynach równolegªych w celu zminimalizowania dªugo±ci harmonogramu. R pmtn, prec, r j U j Szeregowanie podzielnych zada«zale»nych z ró»nymi czasami przybycia i terminami zako«czenia na równolegªych dowolnych maszynach (liczba procesorów jest cz ±ci danych) w celu minimalizacji liczby zada«spó¹nionych.
115 Przykªady - notacja trójpolowa P3 prec C max Szeregowanie niepodzielnych zada«zale»nych na trzech identycznych maszynach równolegªych w celu zminimalizowania dªugo±ci harmonogramu. R pmtn, prec, r j U j Szeregowanie podzielnych zada«zale»nych z ró»nymi czasami przybycia i terminami zako«czenia na równolegªych dowolnych maszynach (liczba procesorów jest cz ±ci danych) w celu minimalizacji liczby zada«spó¹nionych. 1 r j, C j d j
116 Przykªady - notacja trójpolowa P3 prec C max Szeregowanie niepodzielnych zada«zale»nych na trzech identycznych maszynach równolegªych w celu zminimalizowania dªugo±ci harmonogramu. R pmtn, prec, r j U j Szeregowanie podzielnych zada«zale»nych z ró»nymi czasami przybycia i terminami zako«czenia na równolegªych dowolnych maszynach (liczba procesorów jest cz ±ci danych) w celu minimalizacji liczby zada«spó¹nionych. 1 r j, C j d j Pytanie o istnienie (brak kryterium kosztu, wi c nic nie optymalizujemy!) uszeregowania zada«niepodzielnych i niezale»nych o ró»nych momentach przybycia na jednej maszynie, tak by»adne zadanie nie byªo spó¹nione.
Szeregowanie zada« Wykªad nr 5. dr Hanna Furma«czyk. 4 kwietnia 2013
Wykªad nr 5 4 kwietnia 2013 Procesory dedykowane Przypomnienie: zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie
Szeregowanie zada« Wykªad nr 4. dr Hanna Furma«czyk. 21 marca 2013
Wykªad nr 4 21 marca 2013 Minimalizacja ª cznego czasu zako«czenia zadania C j. Zadania niezale»ne krótkie zadania umieszczamy na pocz tku - reguªa SPT (ang. shortest Processing Time) Minimalizacja ª cznego
Szeregowanie zada« Wykªad nr 6. dr Hanna Furma«czyk. 11 kwietnia 2013
Wykªad nr 6 11 kwietnia 2013 System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. Dowód Redukcja PP O3 C max : bierzemy
Ekonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Plan wicze«1 Przykªad: ubieranie choinki 2 3 Programowanie liniowe w analizie czasowej i czasowo-kosztowej projektu
Lab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej
Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej Problem Komiwoja»era (PK) Dane: n liczba miast, n Z +, c ji, i, j {1,..., n}, i j odlegªo± mi dzy miastem i a miastem j, c ji = c ij, c ji R +. Zadanie:
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Programowanie wspóªbie»ne
1 Zadanie 1: Bar Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 6 monitory cz. 2 Napisz monitor Bar synchronizuj cy prac barmana obsªuguj cego klientów przy kolistym barze z N stoªkami. Ka»dy klient realizuje nast
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Sterowanie procesami dyskretnymi
Politechnika Rzeszowska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Katedra Informatyki i Automatyki Laboratorium Sterowanie procesami dyskretnymi Stanowisko 3 Algorytmy harmonogramowania zadań pakiet LiSA Rzeszów
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate
Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów
Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów 1 Wst p Przypomnijmy,»e komputer skªada si z procesora, pami ci, systemu wej±cia-wyj±cia oraz po- ª cze«mi dzy nimi. W procesorze mo»emy
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Szeregowanie zadań. Wykład nr 3. dr Hanna Furmańczyk
Wykład nr 3 27.10.2014 Procesory identyczne, zadania niezależne, podzielne: P pmtn C max Algorytm McNaughtona 1 Wylicz optymalną długość C max = max{ j=1,...,n p j/m, max j=1,...,n p j }, 2 Szereguj kolejno
Wektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a
Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska
Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Zasady zaliczenia przedmiotu Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to
Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Programowanie wspóªbie»ne
1 Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 5 monitory cz. 1 Zadanie 1: Stolik dwuosobowy raz jeszcze W systemie dziaªa N par procesów. Procesy z pary s nierozró»nialne. Ka»dy proces cyklicznie wykonuje wªasnesprawy,
Makroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 1 Stan ustalony i log-linearyzacja MZ 1 / 27 Plan wicze«1 Praca z modelami DSGE 2 Stan ustalony 3 Log-linearyzacja 4 Zadania MZ 2 / 27 Plan prezentacji 1 Praca z modelami
O pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
1. Odcienie szaro±ci. Materiaªy na wiczenia z Wprowadzenia do graki maszynowej dla kierunku Informatyka, rok III, sem. 5, rok akadem.
Materiaªy na wiczenia z Wprowadzenia do graki maszynowej dla kierunku Informatyka, rok III, sem. 5, rok akadem. 2018/2019 1. Odcienie szaro±ci Model RGB jest modelem barw opartym na wªa±ciwo±ciach odbiorczych
c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7
Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7 Tomasz Suchocki ANOVA Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania 3. ANOVA w pakiecie R Tomasz
Baza danych - Access. 2 Budowa bazy danych
Baza danych - Access 1 Baza danych Jest to zbiór danych zapisanych zgodnie z okre±lonymi reguªami. W w»szym znaczeniu obejmuje dane cyfrowe gromadzone zgodnie z zasadami przyj tymi dla danego programu
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.
Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych
Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Listy i operacje pytania
Listy i operacje pytania Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet l ski Instytut Informatyki pa¹dziernika 07 Który atrybut NIE wyst puje jako atrybut elementów listy? klucz elementu (key) wska¹nik
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Pakiety statystyczne - Wykªad 8
Pakiety statystyczne - Wykªad 8 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji
Spis tre±ci. 1 Podstawy termodynamiki - wiczenia 2. 2 Termodynamika - wiczenia 4. 3 Teoria maszyn cieplnych - wiczenia 6
Spis tre±ci 1 Podstawy termodynamiki - wiczenia 2 2 Termodynamika - wiczenia 4 3 Teoria maszyn cieplnych - wiczenia 6 4 Przenoszenie ciepªa/wymiana ciepªa i wymienniki - wykªad 7 5 Wymiana ciepªa i wymienniki
Analizy populacyjne, ªadunki atomowe
Dodatek do w. # 3 i # 4 Šadunki atomowe, analizy populacyjne Q A = Z A N A Q A efektywny ªadunek atomu A, Z A N A liczba porz dkowa dla atomu A (czyli ªadunek j dra) efektywna liczba elektronów przypisana
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Systemy operacyjne
Systemy operacyje 26.11.2010 Zasady poprawości harmoogramu w każdej chwili procesor może wykoywać tylko jedo zadaie w każdej chwili zadaie może być obsługiwae przez co ajwyżej jede procesor Zadaie Z j
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Rozwi zania klasycznych problemów w Rendezvous
Cz ± I Rozwi zania klasycznych problemów w Rendezvous 1 Producenci i konsumenci Na pocz tek rozwa»my wersj z jednym producentem i jednym konsumentem, dziaªaj cymi w niesko«czonych p tlach. Mechanizm komunikacji
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Przeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Przewodnik u»ytkownika
Opisywanie wygl du dokumentu 15 stycznia 2008 Akapity wystawione Skutkiem u»ycia otoczenia tworz cego akapit wystawiony jest zacz cie go od nowego wiersza, a tak»e zacz cie od nowego wiersza tekstu nast
Wzorce projektowe kreacyjne
Wzorce projektowe kreacyjne Krzysztof Ciebiera 14 pa¹dziernika 2005 1 1 Wst p 1.1 Podstawy Opis Ogólny Podstawowe informacje Wzorce kreacyjne sªu» do uabstrakcyjniania procesu tworzenia obiektów. Znaczenie
Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Programowanie i struktury danych 1 / 44
Programowanie i struktury danych 1 / 44 Lista dwukierunkowa Lista dwukierunkowa to liniowa struktura danych skªadaj ca si z ci gu elementów, z których ka»dy pami ta swojego nast pnika i poprzednika. Operacje
Zastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent
Systemy Wyszukiwania Informacji: Metoda list inwersyjnych
Systemy Wyszukiwania Informacji: Metoda list inwersyjnych dr agnieszka Nowak - Brzezi«ska Instytut Informatyki, Zakªad Systemów Informatycznych ul. Badzi«ska 39, Sosnowiec, Tel (+48 32) 368 97 65 e-mail:agnieszka.nowak@us.edu.al
Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym.
ZESTAWY A Zestaw 1 Organizacja plików: Wszystkie pliki oddawane do sprawdzenia nale»y zapisa we wspólnym folderze o nazwie b d cej numerem indeksu, umieszczonym na pulpicie. Oddajemy tylko ¹ródªa programów
Projekt systemy operacyjne 2 - Systemowe mechanizmy synchr
systemy operacyjne 2 - Systemowe mechanizmy synchronizacji procesów 19 lutego 2012 Wielow tkowo± Mechanizmy synchronizacji Wielow tkowo± Mechanizmy synchronizacji Klasyczne przykªady programów Wielow tkowo±
Aplikacje bazodanowe. Laboratorium 1. Dawid Poªap Aplikacje bazodanowe - laboratorium 1 Luty, 22, / 37
Aplikacje bazodanowe Laboratorium 1 Dawid Poªap Aplikacje bazodanowe - laboratorium 1 Luty, 22, 2017 1 / 37 Plan 1 Informacje wst pne 2 Przygotowanie ±rodowiska do pracy 3 Poj cie bazy danych 4 Relacyjne
Model obiektu w JavaScript
16 marca 2009 E4X Paradygmat klasowy Klasa Deniuje wszystkie wªa±ciwo±ci charakterystyczne dla wybranego zbioru obiektów. Klasa jest poj ciem abstrakcyjnym odnosz cym si do zbioru, a nie do pojedynczego
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
1. Wprowadzenie do C/C++
Podstawy Programowania :: Roman Grundkiewicz :: 014 Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub
Ekonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów
Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B.
EDUKARIS - O±rodek Ksztaªcenia
- O±rodek Ksztaªcenia Zabrania si kopiowania i rozpowszechniania niniejszego regulaminu przez inne podmioty oraz wykorzystywania go w dziaªalno±ci innych podmiotów. Autor regulaminu zastrzega do niego
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
MiASI. Modelowanie analityczne. Piotr Fulma«ski. 18 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
MiASI Modelowanie analityczne Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 18 stycznia 2010 Spis tre±ci 1 Czym jest modelowanie analityczne? 2 Podstawowe kategorie poj ciowe
Podstawy modelowania w j zyku UML
Podstawy modelowania w j zyku UML dr hab. Bo»ena Wo¹na-Szcze±niak Akademia im. Jan Dªugosza bwozna@gmail.com Wykªad 2 Zwi zki mi dzy klasami Asocjacja (ang. Associations) Uogólnienie, dziedziczenie (ang.
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
r = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
MODEL HAHNFELDTA I IN. ANGIOGENEZY NOWOTWOROWEJ Z UWZGL DNIENIEM LEKOOPORNO CI KOMÓREK NOWOTWOROWYCH
MODEL HAHNFELDTA I IN. ANGIOGENEZY NOWOTWOROWEJ Z UWZGL DNIENIEM LEKOOPORNO CI KOMÓREK NOWOTWOROWYCH Urszula Fory± Zakªad Biomatematyki i Teorii Gier, Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Wydziaª
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Przetwarzanie sygnaªów
Przetwarzanie sygnaªów Wykªad 8 - Wst p do obrazów 2D Marcin Wo¹niak, Dawid Poªap Przetwarzanie sygnaªów Pa¹dziernik, 2018 1 / 27 Plan wykªadu 1 Informacje wstepne 2 Przetwarzanie obrazu 3 Wizja komputerowa
Temat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting.
Temat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting.. Oznaczenia i załoenia Oznaczenia G = - graf skierowany z funkcj wagi s wierzchołek ródłowy t wierzchołek
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
P tle. Rozdziaª Wst p. 4.2 P tle P tla for(...);
Rozdziaª 4 P tle 4.1 Wst p Niniejszy rozdziaª zawiera opis p tli w j zyku C, wraz z przykªadowymi programami oraz ich obja±nieniem. 4.2 P tle P tla to element j zyka programowania, pozwalaj cy na wielokrotne,
Zarządzanie Zasobami by CTI. Instrukcja
Zarządzanie Zasobami by CTI Instrukcja Spis treści 1. Opis programu... 3 2. Konfiguracja... 4 3. Okno główne programu... 5 3.1. Narzędzia do zarządzania zasobami... 5 3.2. Oś czasu... 7 3.3. Wykres Gantta...
1. Wprowadzenie do C/C++
Podstawy Programowania - Roman Grundkiewicz - 013Z Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci
Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009
Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie
Ekonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Przedmiot: Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Nr ćwiczenia: 2 Temat: Problem transportowy Cel ćwiczenia: Nabycie umiejętności formułowania zagadnienia transportowego
2 Skªadnia polece«w pliku
Interpreter opisu dziaªa«platformy mobilnej wtyczki 1 Ogólny opis zadania Nale»y napisa program, który b dzie w stanie przeczyta z pliku tekstowego sekwencj polece«ruchu, a nast pnie zasymulowa dziaªanie
Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
Podstawy modelowania w j zyku UML
Podstawy modelowania w j zyku UML dr hab. Bo»ena Wo¹na-Szcze±niak Akademia im. Jan Dªugosza bwozna@gmail.com Wykªad 8 Diagram pakietów I Diagram pakietów (ang. package diagram) jest diagramem strukturalnym,
Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej.
Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej. Paulina Michta V Liceum Ogólnoksztaªc ce im. Augusta Witkowskiego w Krakowie Opiekun: dr Jacek Dymel 2 1 Wprowadzenie
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0