Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym wyrzem ciągu. Przykłd () wzór -ty wyrz ciągu ( wzór ogóly) () dl (wzór rekurecyjy) DEF. Ciągiem liczbowym skończoym k- wyrzowym zywmy odwzorowie :,,,...,k. k-elemetowego zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. Elemetre rodzje ciągów liczbowych Ciąg zywmy, jeżeli Przykłd stłym rosącym mlejącym cost (tz. dl kżdego wyrzu ciągu zchodzi rówość cost ) (tz. kżdy kolejy wyrz ciągu jest większy od poprzediego) > tz. kżdy kolejy wyrz ciągu jest miejszy od poprzediego),,,,,,,4,5,,,,,,,... 4 5 6 iemlejącym,,,,,,4,4, ierosącym,,,,,,, mootoiczym ciąg jest iemlejący lub ierosący -,,,,,,,7,9, przemieym (lub przemieym) ogriczoym z dołu ogriczoym z góry ogriczoym (tz. koleje wyrzy ciągu mją przemi zk ujemy i dodti) m m (tz. istieje liczb ie większ od dowolego wyrzu ciągu) M M (tz. istieje liczb ie miejsz od dowolego wyrzu ciągu) m M m,m mm (tz ciąg jest ogriczoy z góry i z dołu),-,4,-8,6,-,,,,4,5,6,7,,,,,-,-,-,,,,,,,,,, * Ciągiem (ieskończoym) zywmy kżdą fukcję określoą zbiorze liczb turlych. Jeśli wrtościmi ciągu są liczby rzeczywiste, to ciąg zywmy ciągiem liczbowym.
Ciąg rytmetyczy Ciąg zywmy ciągiem rytmetyczym, jeżeli różic r między dowolym wyrzem ciągu (oprócz r. pierwszego) i wyrzem poprzedim jest stł, tj. Liczbę r zywmy różicą ciągu rytmetyczego. Jeżeli r, to ciąg rytmetyczy jest rosący, jeżeli r<, to ciąg rytmetyczy jest mlejący, jeżeli r=, to ciąg rytmetyczy jest stły. -ty wyrz ciągu rytmetyczego wyrż się wzorem Kżdy wyrz r ciągu rytmetyczego, oprócz pierwszego jest średią rytmetyczą wyrzów sąsiedich, dl Sum początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego wyrż się wzorem Gric ciągu rytmetyczego Przykłdy i i S... dl r dl r dl r ) 6,,, -, -6, -9, 6, r ),,,,,,, r Ciąg geometryczy Ciąg, dl którego, zywmy geometryczym, jeżeli ilorz q dowolego wyrzu ciągu (oprócz pierwszego) i wyrzu bezpośredio go poprzedzjącego jest stły, tj. q. Liczbę q zywmy ilorzem ciągu geometryczego. q, to ciąg geometryczy jest rosący, Jeżeli q, to ciąg geometryczy jest mlejący, jeżeli < q <, to ciąg geometryczy jest mlejący, jeżeli < q <, to ciąg geometryczy jest rosący, q < to ciąg geometryczy jest przemiey, jeżeli Jeżeli, jeżeli q=, to ciąg geometryczy jest stły. -ty wyrz ciągu geometryczego wyrż się wzorem Kżdy wyrz q ciągu geometryczego, oprócz pierwszego spełi wruek, dl
Sum początkowych wyrzów ciągu geometryczego wyrż się wzorem Gric ciągu geometryczego Jeżeli q S q... i i dl q orz dl q orz dl q = dl q< brk dl q - dl q dl q= jest ieskończoym ciągiem geometryczym tkim, że q... S q, to istieje sum zw sumą szeregu geometryczego lub sumą ieskończoego ciągu geometryczego. Przykłdy ) 6, -, 4,-48,96, 6, q ),,,,,,, q ) Ciągi zbieże Mówimy, że ciąg,,,,,,... 4 8 6 N N jest zbieży do liczby g, jeżeli g - g, q, S (tz. liczb g jest gricą ciągu liczbowego, jeśli dl kżdego istieje tk liczb N, że dl kżdego N ierówość - g ; ztem poz przedziłem g, g Liczbę g zywmy gricą ciągu, Zmist zchodzi zjduje się co jwyżej skończo liczb wyrzów ciągu ciąg - zbieżym do liczby g. g piszemy rówież g [formlie g]. W szczególym przypdku ( g =) mmy N N ) Przykłd,,,,,... jest zbieży do g =; 4 5 Ciągi rozbieże Mówimy, że ciąg jest rozbieży do +, jeżeli + A A M M (tz. jeśli prwie wszystkie wyrzy ciągu są większe od dowolej zdej liczby; prwie wszystkie ozcz wszystkie z wyjątkiem skończoej ich liczby, zzwyczj początkowych wyrzów)
Mówimy, że ciąg jest rozbieży do, jeżeli B B M M (tz. jeśli prwie wszystkie wyrzy ciągu są miejsze od dowolej zdej liczby) Twierdzei o gricch ciągów zbieżych Jeżeli ciągi orz b są zbieże (tj. istieją ich grice skończoe) tkie, że b zś ) ciąg ) ciąg -b b,to: b jest zbieży orz b b +b jest zbieży orz b b b ) ciąg c jest zbieży orz c c c (*ptrz iżej gric stłej c) 4) ciąg 5) ciąg b jest zbieży orz b b b b jest zbieży, jeśli b i b orz b b b 6) jeśli 7) jeśli b c orz c g, to b g (tw. o trzech ciągch) Podto rówież: Ciąg stły jest zbieży i stąd jego gric c c. Jeśli ciąg jest zbieży do zer, ciąg b ogriczoy, to ciąg si si si ciąg ogriczoy. b jest zbieży do zer. p.: Ciągi rozbieże do ieskończoości Jeżeli, to, to Jeżeli, to Jeżeli ( ozcz w logice i, czyli koiukcję) Jeżeli, to b b 4
Ie tw. o ciągch rozbieżych do możemy zpisć symboliczie. [j.w.].. 4. 5. 6. 7. 8., gdy, gdy 9., gdy, gdy Wyrżei ieozczoe przy oblicziu gric, [stosuje się regułę ˆ de l'ospitl lub odpowiedio przeksztłc wyrz ogóly ciągu] [ b / b, co dje ieozczoość typu lub ],, [wyrżeie zlogrytmowć (co d ), potem j.w. lub gricę A, ostteczie zś gricę A e ] [ Grice iektórych ciągów b /, co dje ieozczoość typu ] b b e, 78888... e bo e!!!!! e e, dl,,! jeżeli l,, otrzymujemy stąd Czyli obliczyć gricę z logrytmu, tj. A l A, stąd e. 5
Przykłdy ) ciąg przemiey, -,, -,, -, ie m gricy (tz. ie jest zbieży; choć jest ogriczoy!, z góry przez, z dołu przez -), gdyż jeśli weźmiemy pod uwgę / 4, to żde przedził g,g (długości ½) ie może jedocześie zwierć liczb orz -; poz tym przedziłem leży więc ieskończeie wiele wyrzów dego ciągu; ) ciąg,,,,,,... m gricę w rówą ; 4 8 6 ) ciąg,,,4,5,... przy jest rozbieży do ; 4) Z defiicji: jest gricą ciągu /, gdyż dl dowolego istieje tkie N, że / N orz jeśli N, to N / /, czyli prwie wszystkie wyrzy ciągu (tj. ieskończeie wiele wyrzów) leżą w przedzile,, co zpiszemy stępująco 5) Z defiicji: Niech. Pokżemy, że gjest gricą ciągu przy. Sprwdźmy, dl jkich spełio jest stępując ierówość g Niech. Ztem dl / N mmy, że gric g Jk liczyć grice ciągów liczbowych ) b) c) 5 5 9 9 4 6 7 7 4 5 5 7 6
d) 9 9 5 5 e) Jeżeli jede z ciągów jest ogriczoy, zś gric drugiego jest rów zero, to gric ich iloczyu też jest rów zero. si si ogr f) Jeżeli jede z ciągów jest ogriczoy, zś gric drugiego jest rów zero, to gric ich iloczyu też jest rów zero. ogr ogr lub z tw. o trzech ciągch g) h) i) 7
j) k) l) m) 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 7 7 7 7 7 7 4 4 4 9 9 9 9 9 4 9 4 9 4 9 4 9 9 9 4 6 5 6 5 6 6 5 6 5 6 6 4 6 4 6 6 6 4 6 4 6 6 4 5 4 6 4 4 4 6, ) bo orz, bo 8
5 5 5, o) 7 7 7 5 7 5 7 7 bo orz 5, bo,, 5 7 5 7 p) z tw. o trzech ciągch 5 7 dl 7 7 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 7 7 q) r)!!!!!!!!!! z włsości f cji wykłdiczej s) t) u) l l l l v) e Sili :!...! 9
Gric i ciągłość fukcji Niech będzie d fukcj f : X, gdzie X. DEF. (gric fukcji w ieskończoości) Jeśli fukcj f jest określo w przedzile (, +) ;b gricę w., to możemy określić jej f g f g X, (tz. mówimy wówczs, że f m w + [] gricę rówą g lub, że zbieg symptotyczie do g w + []; prost y = g jest symptotą poziomą prwostroą [lewostroą] fukcji f ) y y y = f () y = f () DEF. (gric fukcji w pukcie) Powiemy, że g jest gricą fukcji f w pukcie (w sesie eiego [Cuchy ego]), jeżeli (G) f g f g X, (tz. dl dowolego ciągu tkiego, że dl kżdego zchodzi, X (dziedziy fukcji), jeśli, to f g ) g y y = f () (GC) f g f g X DEF. (gric iewłściw fukcji w pukcie) Jeśli fukcj f jest określo w pewym otoczeiu puktu f f X, y y = f () Twierdzei o gricch fukcji w pukcie f g f g f - g f g f g f g c f c f (*ptrz iżej gric stłej c) f f, jeżeli g g g Podstwowe wzory c c W smym pukcie ie musi być określo.
si si si si cos cos cos cos si DEF. (grice jedostroe fukcji w pukcie) Gricą lewostroą [prwostroą] fukcji f :Xw pukcie zywmy tki elemet g,, dl którego f g f g X (tz. mówimy wówczs, że fukcj f m gricę lewostroą [prwostroą] w pukcie rówą g; jeśli zś f g f, to mówimy, że fukcj f m gricę w pukcie rówą g f f X y y = f () (tz. jeśli grice f f, to mówimy, że f jest rozbież do w pukcie ; prost jest symptotą lewostroą (gdy ) [prwostroą (gdy )] fukcji f) Ciągłość fukcji w pukcie Powiemy, że f : X, X jest ciągł w pukcie (C) f f X f f (CC) X (tz. fukcj f jest ciągł w pukcie z dziedziy, jeśli jest w tym pukcie określo orz gric f istieje i jest rów f ) X(w sesie eiego[ Cuchy ego]), jeżeli UWAGA: Jeśli istieje tylko gric jedostro f f [lub f f pukcie ciągł lewostroie [prwostroie]. A Fukcję zywmy ciągłą w zbiorze X, jeśli jest ciągł w kżdym pukcie tego zbioru. Fukcję zywmy ciągłą, jeśli jest ciągł w kżdym pukcie swej dziedziy. Fukcj jest ciągłą w kżdym izolowym pukcie swej dziedziy. y f ( ) ], to mówimy, że fukcj f jest w y = f () y = f () Pukt izolowy Włsości fukcji ciągłych Tw. o dziłich rytmetyczych fukcjch ciągłych Jeśli fukcje f i g określoe zbiorze X są ciągłe w pukcie X, f f g, f g, f g, gdy g rówież są ciągłe w pukcie. g Złożeie fukcji ciągłych jest tkże fukcją ciągłą. to fukcje
Twierdzeie Weierstrss o osiągiu kresów Jeżeli fukcj f jest ciągł w przedzile domkiętym ;b, to jest w tym przedzile ogriczo i osiąg swoje kresy. Tz., że w przedzile ; b, istieją tkie pukty, ;b, ;b. Co moż zpisć stępująco f ciągł w ;b Włsość Drbou, ;b ;b f f f że f f f dl kżdego Fukcj ciągł w przedzile domkiętym ;b przyjmuje wszystkie wrtości pośredie między f i f b. Wiosek: Jeśli fukcj f jest ciągł w przedzile ;b i f f b, to istieje tkie c ;b, że f c. Tw. o loklym zchowiu zku Jeżeli fukcj f jest ciągł w przedzile otwrtym ;b i w pukcie ;b [ujemą], to istieje otoczeie puktu, w którym fukcj f jest dodti [ujem]. Jeśli istieje skończo gric y f i fukcj y przyjmuje wrtość dodtią h jest ciągł w pukcie y,to h f h f h y (tz możemy wejść z gricą pod zk fukcji) Jeśli fukcj f w przedzile ;b jest ciągł i różowrtościow, to jest w tym przedzile ściśle mootoicz (tj. rosąc lub mlejąc). ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- Reguł de l'ospitl ˆ Jeśli fukcje f i g są określoe w sąsiedztwie puktu (w smym ie muszą być określoe), są w im różiczkowle (tz. pochode f' i g' są skończoe), przy czym g' o f g lub f g o istieje gric f' g' to istieje rówież gric f g f' g' Regułę de l ospitl stosuje się zwsze w sytucji wyrżei ieozczoego postci lub., i spełioe są wruki Ztem jeśli w trkcie obliczi gricy fukcji po rz kolejy otrzym zostie ieozczoość powyższego typu, regułę stosuje się poowie. Reguł de l ospitl pozostje prwdziw w przypdku: gric w ieskończoości, gric w pukcie, gric jedostroych. Nieozczoości typów : lub.,,,, przeksztłc się tk, by otrzymć ieozczoość typu
Przykłdy ) ) 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 4 7 4 ) 4) 5) Spr., że jedocześie f 7, co ozcz ciągłość fukcji w pukcie = 6) 7) 8) 9) ) ) 5 4 5 4 5 6 9 9 8 5 5 4 4 4 4 7 7 tg si si cos cos tg si si si cos cos cos e
) si si si, poiewż si ) e e 4) e 5) 6) f, gdy, gdy jest określo dl / f f f f Ztem ie istieje gric f, gdyż f f. Podto fukcj jest ciągł w swej dziedziie /. (Uwg: ie rozwżmy ciągłości w pukcie, gdyż ie leży do dziedziy!!!) (dziedzi) Wyzcz gricę wykorzystując regułę de l ospitl 7) 8) 9) ) e e e e si cos l l l l e e e l e e si5 cos5 5 si5 4
9e 9 9 cos 5 5 5 si 5 5 5 5 ) si l si cos si ctg si cos si ogriczo si l si si ctg ) si si si ) cos si si cos cos cos si l l l 4) l l 5) l l l l e e e e e e e e 6) f e e f ie istieje, bo f tomist f (grice są róże) e e e e e e 7) e e e e 5
e e e e e... 8) 9) e e e e e ) ) ) ) 4) 5) 6) e e e si cos si cos si cos 6 6 6 l si si cos si cos ctg si cos cos si si cos si si si cos si cos ctg si cos si tg cos si cos cos si cos cos si 4 4 4 4 6
Wyzcz dziedzię i grice iewłściwe fukcji (tj. grice w ieskończoości) i puktch ieokreśloości (grice jedostroe) dej wzorem ) f D \, ) f D, / 7
4 ) f D \ 4 4 4 4 4 4 4) e f D \, e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e f 5) D \, 8
Zbdj ciągłość fukcji dl ) f, w pukcie dl Pukt leży do dziedziy fukcji (iymi słowy fukcj jest określo dl ) Podto przyjmuje wrtość f 4 Obliczjąc grice jedostroe w pukcie otrzymujemy Ztem ie istieje gric f i fukcj ie jest ciągł w pukcie. 4 dl ) f dl Fukcj jest ciągł w swej dziedziie D \. dl ) f dl Fukcj ie jest ciągł w pukcie, poiewż grice jedostroe w pukcie mją róże wrtości Stąd ie istieje gric w pukcie f. 9
dl 4) f dl dl Fukcj ie jest ciągł w pukcie. Mimo że grice jedostroe w pukcie mją rówe wrtości i tym smym gric f, to f. Stąd f f. 5 dl 5) f 5 dl dl 8 Fukcj jest ciągł w swej dziedziie D. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 i tym smym istieją grice f 5 orz f. Podto wrtości fukcji f 5 5 i f 6 4 4 5 Ztem f 5 f orz f f, co ozcz ciągłość fukcji w obu puktch. dl dl 6) f dl dl Fukcj jest ciągł w swej dziedziie D,,, poiewż kżd fukcj jest ciągł w puktch izolowych (tutj są to pukty dl i ) 5 4 4