Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a <, gdzie a jest parametrem Wykazać, że a) a < dla każdego N, ; b) ciag a ) jest rosacy; c) ciag a ) jest zbieży Obliczyć jego graice Rozwiazaie Mamy a + a a 9 3a 6 a 9 3a ) a 9 3 9 a a ) Jeśli a <, to 9 a > 5, wi 0 < 3 9 a < 3, zatem 5 a > 3 a 5 ) > a + > 0 i wob tego > a + > a Udowodiliśmy w te sposób łatwiutka idukcja!), że ciag a ) jest rosacy i ograiczoy Jest wi zbieży Z otrzymaych ierówości wyika, że a Nih a g Mamy g a + a a 9 g g 9, bo graica podciagu jest taka sama jak graica ciagu i spełioe sa założeia twierdzeia o arytmetyczych własościach graicy ciagu Spełioa jest wi rówość 0 g g g 9 g 0g + g 9 g )g 3) g 9 Z iej wyika, że g lub że g 3, a poieważ g, wi g Uwaga Gdy już wiemy, że 0 < a + < 3 a 5 ), to stwierdzić możemy, że 0 < a < ) 3 5 a ) 3 5) a) dla każdego >, zatem 0 < a < a a 9) a), wi a ) 0 Stad, z twierdzeia o trzh ciagach i zbieżości do 0 ciagu geometryczego o ilorazie z przedziału otwartego, ) wyika, że a ) 0 Nie musimy wi rozwiazywać rówaia, aby zaleźć graice Nih A { 3+7k zbioru A 3k+7 :, k N, 06, k 07} Wyzaczyć kres góry i kres doly Rozwiazaie Mamy 7 3+7k 7 3 ) > 0, wi 7 3 3k+7 33k+7) jest ograiczeiem górym zbioru A 3 ) Żada miejsza liczba ograiczeiem górym ie jest, bo jeśli ε > 0 i k > 7 3 ) 7, 3 3ε to 7 > 3+7k > 7 ε St ad 3 3k+7 3 wyika, że sup A 7 3+7k Dalej 3 7 3 )k > 0, wi 3 3k+7 7 73k+7) 3 jest ograiczeiem dolym zbioru A Wi 7 ) ekszego ograiczeia dolego ie ma, bo jeśli ε > 0 i > 7 3 )k 3k, to 3 < 3+7k < 3 3 + ε Wob tego if A 7 7ε 7 3k+7 7 7 Uwaga Moża bez trudu udowodić, że zwiekszeie k powoduje wzrost liczby 3+7k, a z tego 7+3k 3+7k wyika, że w celu zalezieia kresu górego warto zaleźć, a zwi ekszeie 7+3k powoduje zmiejszeie liczby 3+7k, wi 3+7k 7+3k tym razem warto obliczyć 7+3k
3 Wykazać ierówość 4 5 + dla N, 5 Rozwiazaie Nierówość, która ależy udowodić jest rówoważa ierówości 4 5 + 5 5 5 5, a ta ierówości ) 4 5 5 Ostatia wyika z ierówości Beroulliego: 5 każdej liczby aturalej, wi 5 ) 4 ) + 4 5 5 > dla 4 Nih a ) bedzie takim ciagiem, że Wykazać, że istieje podciag a k ) ci Rozwiazaie a + a ) 0, supa > 0, if a < 0 agu a ) zbieży do 0 Ciag a ) zawiera podciagi a l ) i a m ) zbieże do sup a > 0 oraz do if a < 0, wi istieje ieskończeie wiele takich, że a > 0 i ieskończeie wiele takich, że a < 0 Zdefiiujemy teraz liczby < < Nih ozacza ajmiejszy umer wyrazu ciagu a ), dla którego a > 0 Nih bedzie ajmiejsza z tych liczb >, dla których a 0 Teraz defiiujemy 3 jako ajmiejsza z tych liczb aturalych >, dla których a > 0, co pozwala a zdefiiowaie liczby 4 jako ajmiejszej liczby aturalej > 3, dla której a 0 Kotyuujemy defiiowaie kolejych k Otrzymujemy ściśle rosacy ciag liczb aturalych k ) przy czym koleje wyrazy ciagu a k )zajduja sie po różych stroach liczby 0 te o parzystych umerach moga być rówe 0) Poieważ a k+ > 0 i a k+ 0, wi 0 < a k+ a k+ a k+, zatem z twierdzeia o trzh ciagach wyika, że a k+ 0 Podobie 0 a k > a k a k, wi z twierdzeia o trzh ciagach wyika, że a k 0 Z twierdzeia o scalaiu wyika, że a k 0, co kończy dowód 5 Należy wybrać jedo z zadań: a) lub b) a) Obliczyć obie graice 5 + 3, b) Obliczyć obie graice + 3)! + ) / 3 + + +, H + + +, H + ) / Rozwiazaie a) Mamy 5 + 3 6 3 dla każdej liczby aturalej, wi 5 + 3 6 ) 3 Poieważ 6, wi z twierdzeia o trzh ciagach wyika, że 5 + 3 Mamy 3)! < 3) 3, bo 3)! jest iloczyem 3 czyików, z których 3 to liczby miejsze od 3, a 3) 3 to iloczy 3 czyików rówych 3 Oczywiście < 3) 3 Wob tego dla > 3 mamy < 3)! + 3) 3 + 3) 3 3) 3 ) 3 ) 6 Wyika stad ierówość < ) 6 3)! + 6, a poieważ graica podciagu ciagu zbieżego jest rówa graicy ciagu, wi zachodza rówości i Wob tego z twierdzeia o trzh ciagach wyika, że! + 3 b) Mamy H + + + St ad wyika, że H, zatem z rówości oraz z twierdzeia o trzh ciagach wyika, że H Ciag + ) jest ściśle rosacy Jego graica jest +, wi moża spróbować zastosować
twierdzeie Stolza Mamy + + graice + + + + ++ +) + + + + ) + + + + ) + Obliczamy + + ) ) + + Wyika to z rówości 0, twierdzeia o arytmetyczych własościach graicy ci agu + agu zbieżego α ) o wyrazach ieujemych i tego, że α α dla każdego ci twierdzeie zae z zajeć) Stad i z twierdzeia Stolza wyika, że Uwaga Bez twierdzeia Stolza też moża Mamy k < k + ) + 3 + + + > + 3 + 3+ 4 + + ++ + + ++ 3 + + 3 + 4 3 + + + ) + ) zieśliśmy pracowicie iewymierość w miaowikach A teraz oszacujemy z góry + 3 + + + < + + + 3 + + + + + 3 + + + ) + Mamy wi + ) + + + ) + < + ++ 3 + + < + + + Z otrzymaej ierówości i z twierdzeia o trzh ciagach oraz z twierdzeń z zajeć rówość wyika od razu + 3 + + + +
zestaw B Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a, a R, < a < 3, 9 gdzie a jest parametrem Wykazać, że a) < a < 3 dla każdego N, ; b) ciag a ) jest malejacy; c) ciag a ) jest zbieży Obliczyć jego graice Rozwiazaie Mamy a + a a 9 3a + 6 a 9 3 a + ) a 9 3 a 9 a ) Jeśli < a < 3, to 5 < a 9 < 3, wi 3 < 3 5 a 9 <, zatem 0 < 3a 5 ) < a + < a i wob tego < a + < a < 3 Udowodiliśmy w te sposób łatwiutka idukcja!), że ciag a ) jest malejacy i ograiczoy Jest wi zbieży Z otrzymaych ierówości wyika, że a < a < 3 Nih a g Mamy g a + a a 9 g g 9, bo graica podciagu jest taka sama jak graica ciagu i spełioe sa założeia twierdzeia o arytmetyczych własościach graicy ciagu Spełioa jest wi rówość 0 g g g 9 g 0g + g 9 g )g 3) g 9 Z iej wyika, że g lub że g 3, a poieważ g < a < 3, wi g Uwaga Gdy już wiemy, że < a < a < < a a < 3, to stwierdzić możemy, że 3 < 3 a 5 a 9 < dla każdego > 0, zatem 0 < a a 9 < a a 9) a), wi a ) 0 z twierdzeia o trzh ciagach i zbieżości do 0 ciagu geometryczego o ilorazie z przedziału otwartego, ) Nie musimy wi rozwiazywać rówaia, aby zaleźć graice Nih A { 5+3k zbioru A 5k+3 :, k N, 06, k 07} Wyzaczyć kres góry i kres doly Rozwiazaie Mamy 5 5+3k 5 3 )k > 0, wi 5 3 5k+3 35k+3) 3 Żada miejsza liczba ograiczeiem górym ie jest, bo jeśli ε > 0 i > 3 to 5 > 5+3k > 5 3 5k+3 3 jest ograiczeiem górym zbioru A ) 5k, 5 3 )k 3ε ε St ad 3 wyika, że sup A 5 5+3k Dalej 3 5 3 ) > 0, wi 3 5k+3 5 55k+3) jest ograiczeiem dolym zbioru A Wi 5 ) ekszego ograiczeia dolego ie ma, bo jeśli ε > 0 i k > 5 3 ) 3, to 3 < 5+3k < 3 3 + ε Wob tego if A 5 5ε 5 5k+3 5 5 Uwaga Moża bez trudu udowodić, że zwiekszeie powoduje wzrost liczby 5+3k St ad 5k+3 5+3k wyika, że w celu zalezieia kresu górego warto zaleźć Zwi ekszeie 5k+3 k powoduje zmiejszeie liczby 5+3k, wi 5+3k 5k+3 tym razem warto obliczyć 5k+3
3 Wykazać ierówość 3 + dla N, 3 Rozwiazaie Nierówość, która ależy udowodić jest rówoważa ierówości 3 + 3 3 3 3, a ta ierówości ) 3 3 Ostatia wyika z ierówości Beroulliego: 3 każdej liczby aturalej, wi 3 ) ) + 3 3 > dla 4 Nih a ) bedzie takim ciagiem, że Wykazać, że istieje podciag a k ) ci Rozwiazaie a + a ) 0, supa > 0, if a < 0 agu a ) zbieży do 0 Ciag a ) zawiera podciagi a l ) i a m ) zbieże do sup a > 0 oraz do if a < 0, wi istieje ieskończeie wiele takich, że a > 0 i ieskończeie wiele takich, że a < 0 Zdefiiujemy teraz liczby < < Nih ozacza ajmiejszy umer wyrazu ciagu a ), dla którego a > 0 Nih bedzie ajmiejsza z tych liczb >, dla których a 0 Teraz defiiujemy 3 jako ajmiejsza z tych liczb aturalych >, dla których a > 0, co pozwala a zdefiiowaie liczby 4 jako ajmiejszej liczby aturalej > 3, dla której a 0 Kotyuujemy defiiowaie kolejych k Otrzymujemy ściśle rosacy ciag liczb aturalych k ) przy czym koleje wyrazy ciagu a k )zajduja sie po różych stroach liczby 0 te o parzystych umerach moga być rówe 0) Poieważ a k+ > 0 i a k+ 0, wi 0 < a k+ a k+ a k+, zatem z twierdzeia o trzh ciagach wyika, że a k+ 0 Podobie 0 a k > a k a k, wi z twierdzeia o trzh ciagach wyika, że a k 0 Z twierdzeia o scalaiu wyika, że a k 0, co kończy dowód 5 Należy wybrać jedo z zadań: a) lub b) a) Obliczyć obie graice 0 +,! + 3 ) / b) Obliczyć obie graice /, + + + + ++ 4 ) Rozwiazaie a) Mamy < 8 < 0 dla każdej liczby aturalej, bo + ierówość Beroulliego Wob tego zachodza ierówości 0 < 0 + < 0 + 0 0 Stad i z twierdzeia o trzh ciagach wyika, że 0 + 0 Mamy <! + 3 3 + 3 3, bo! jest iloczyem czyików, z których to liczby miejsze od, a 3 to iloczy 3 czyików rówych Wob tego mamy <! + 3 3 ) 3, a poieważ graica podciagu ciagu zbieżego jest rówa graicy ciagu, wi zachodza rówości i i wob tego z twierdzeia o trzh ciagach wyika, że! + 3 b) Mamy + + + < St ad 4 wyika, że < + 4 + + <,
zatem z rówości + + + 4 i oraz z twierdzeia o trzh ci agach wyika, że Ciag ) jest ściśle ros acy Jego graica jest +, ) wi moża spróbować ) zastosować twierdzeie Stolza Mamy + + + + + + + + + Obliczamy graice + + + ++ ) + ) ) + + + + Wyika to z rówości 0, twierdzeia o arytmetyczych własościach graicy ci agu + agu zbieżego α ) o wyrazach ieujemych i tego, że α α dla każdego ci ++ + twierdzeie zae z zajeć) Stad i z twierdzeia Stolza wyika, że Uwaga Bez twierdzeia Stolza też moża Mamy k < k + ) + + + > + + + 3 + + + + + 3 + + ) + ) zieśliśmy pracowicie iewymierość w miaowikach A teraz oszacujemy z góry + + + < + + + + + ) Udowodiliśmy, że + + ) < + + + ) ++ < Z otrzymaej ierówości i z twierdzeia o trzh ciagach oraz z twierdzeń z zajeć rówość wyika od razu + + +