Rozdział. Kinematyka 018
Spis treści Ruch jednowymiarowy Ruch na płaszczyźnie Rzut ukośny Ruch jednostajny po okręgu Ruch przyspieszony po okręgu Ruch krzywoliniowy
Ruch jednowymiarowy Dział Fizyki zajmujący się opisem ruchu ciał nazywamy kinematyką. DEFINICJA Definicja 1: Pojęcie ruchu Pod pojęciem ruchu rozumiemy zmiany wzajemnego położenia jednych ciał względem drugich wraz z upływem czasu. Położenie określamy względem układu odniesienia, tzn. wybranego ciała lub układu ciał. Zwróćmy uwagę na to, że ruch tego samego ciała widziany z różnych układów odniesienia może być różny. W szczególności można wybrać taki układ odniesienia, w którym ciało nie porusza się. Oznacza to, że ruch jest pojęciem względnym. Ponao, w naszych rozważaniach będziemy posługiwać się pojęciem punktu materialnego. DEFINICJA Definicja : Punkt materialny Punkty materialne to obiekty obdarzone masą, których rozmiary (objętość) możemy zaniedbać. Rzeczywiste ciała mają zawsze skończoną objętość, ale dopóki rozpatrujemy ich ruch postępowy (ciała nie obracają się, ani nie wykonują drgań) to z dobrym przybliżeniem możemy je traktować jako punkty materialne. To przybliżenie może być z powodzeniem stosowane do opisu ruchu obiektów o różnej wielkości, zarówno "małych" cząsteczek, jak i "dużych" planet. Prędkość DEFINICJA Definicja 3: Prędkość Prędkość definiujemy jako zmianę położenia ciała w jednostce czasu. Prędkość stała Jeżeli wskazania prędkościomierza samochodu nie zmieniają się, oznacza to, że samochód porusza się ze stałą prędkością v, i jeżeli w pewnej chwili t 0 znajdował się w położeniu x 0 to po czasie t znajdzie się w położeniu x x x 0 = v(t t 0 ) (1) skąd v = x x 0 t t 0 ()
Zależność między położeniem x i czasem t pokazana jest na Ruch jednowymiarowy-rys. 1 dla dwóch ciał (np. pojazdów). Jak wynika ze wzoru Ruch jednowymiarowy-( 1 ) nachylenie wykresu x(t) przedstawia prędkość danego ciała. Różne nachylenia wykresów x(t) odpowiadają więc różnym prędkościom. Prędkość v (wektor) może być dodatnia albo ujemna; jej znak wskazuje kierunek ruchu. Wektor v dodatni - ruch w kierunku rosnących x, ujemny to ruch w kierunku malejących x. Rysunek 1: Zależność położenia od czasu dla ciała poruszającego się ze stałą prędkością ZADANIE Zadanie 1: Położenie początkowe i prędkość ciał Treść zadania: Odczytaj z wykresu i zanotuj w tabeli poniżej położenia początkowe x 0 obu ciał oraz ich prędkości. ciało 1 Tabela 1 [m] x 0 v[m/s] Rozwiązanie: ciało Tabela [m] x 0 1-1 1.5 v[m/s] 0 0.67 Prędkość chwilowa Gdy samochód przyspiesza lub hamuje to wskazania prędkościomierza zmieniają się i nie możemy mówić o jednej stałej prędkości. Prędkość zmienia się i w każdej chwili jest inna. Nie można wtedy stosować wzoru Ruch jednowymiarowy-( 1 ) chyba, że ograniczymy się do bardzo małych wartości x x 0 ( Δx) czyli również bardzo małego przedziału czasu Δt = t t 0 (chwili). Prędkość chwilową w punkcie x otrzymamy, gdy Δt dąży do zera. Δx v = lim Δt 0 Δt (3) Tak definiuje się pierwszą pochodną więc
DEFINICJA Definicja 4: Prędkość chwilowa Prędkość chwilowa jest pochodną drogi względem czasu. v = d x d t (4) Nachylenie krzywej x(t) ponownie przedstawia prędkość v, a znajdujemy je (zgodnie z definicją pochodnej) jako nachylenie stycznej do wykresu x(t), w danym punkcie tj. dla danej chwili t (Ruch jednowymiarowy-rys. ). Rysunek : Nachylenie krzywej x(t) jest prędkością chwilową Prędkość średnia Często określenie zależności x(t) nie jest możliwe, np. przy oszacowaniu czasu dojazdu do wybranej miejscowości nie jesteśmy w stanie przewidzieć wszystkich parametrów podróży wpływających na prędkość takich, jak natężenie ruchu, konieczność ograniczenia prędkości w terenie zabudowanym, itp. Posługujemy się wtedy pojęciem prędkości średniej. Prędkość średnia ciała w przedziale czasu t jest zdefiniowana jako DEFINICJA Definicja 5: Prędkość średnia gdzie x x 0 jest odległością przebytą w czasie t v = x x 0 t (5)
ZADANIE Zadanie : Prędkość średnia samochodu Treść zadania: Oblicz prędkość średnią samochodu, który przejeżdża odcinek x 1 = 0 km z prędkością v 1 = 40 km/h, a potem, przez następne x = 0 km, jedzie z prędkością v = 80 km/h. Wykonaj obliczenia. Wskazówka: Oblicz całkowitą drogę przejechaną przez samochód i całkowity czas jazdy samochodu. Skorzystaj z równania Ruch jednowymiarowy-( 5 ) Rozwiązanie: Całkowita droga przejechana przez samochód: x 1 + x = 0 km + 0 km = 40 km Całkowity czas jazdy samochodu: t 1 = x 1 /v 1 = (0km)/(40 km/h) = 0.5 h t = x / v = (0km)/(80 km/h) = 0.5 h. t = t 1 + t = 0.75 h. Prędkość średnia (równanie.4): (40 km)/(0.75 h) = 53.33 km/h Otrzymany wynik: 53.33 km/h jest różny od średniej arytmetycznej z prędkości v 1 i v, która wynosi 60 km/h. Powodem jest to, że poszczególne wartości wchodzą w skład średniej matematycznej z różnymi czynnikami wagowymi. W naszym przykładzie obliczamy średnią względem czasu, więc skoro przedziały czasu, w których samochód jedzie z prędkościami v 1 i v są różne to i udziały tych prędkości w średniej są też różne. O średniej ważonej możesz przeczytać w module Średnia ważona. Wartość średnia daje praktyczne wyniki. Zilustrujmy to jeszcze jednym ćwiczeniem. ZADANIE Zadanie 3: Droga hamowania Treść zadania: Obliczmy drogę hamowania samochodu, który jedzie z prędkością 0 m/s (7 km/h). Czas hamowania wynosi 5 sekund, a prędkość samochodu maleje jednostajnie (stała siła hamowania). Wykonaj samodzielnie obliczenia, korzystając z równania Ruch jednowymiarowy-( 5 ). Wskazówka: Oblicz prędkość średnią, i następnie ze wzoru Ruch jednowymiarowy-( 5 ) drogę hamowania. Droga hamowania: Rozwiązanie: Prędkość średnia wynosi 10 m/s. Korzystając z równania Ruch jednowymiarowy-( 5 ): x x 0 = 10 m/s 5 s = 50 m.to najkrótsza droga hamowania. Przyspieszenie
DEFINICJA Definicja 6: Przyspieszenie Przyspieszeniem nazywamy tempo zmian prędkości. Przyspieszenie jednostajne Jeżeli ciało przyspiesza lub hamuje i jego prędkość zmienia się jednostajnie z czasem to przyspieszenie a tego ciała jest stałe a = v v 0 t (6) Gdy prędkość rośnie ( a > 0 to ruch nazywamy jednostajnie przyspieszonym, a gdy prędkość maleje ( a < 0) to ruch określamy jako jednostajnie opóźniony. Przyspieszenie chwilowe Jeżeli przyspieszenie nie jest stałe, zmienia się z czasem, musimy wtedy ograniczyć się do pomiaru zmian prędkości Δv w bardzo krótkim czasie Δt (podobnie jak dla prędkości chwilowej). Wówczas przyspieszenie chwilowe definiujemy jako pierwszą pochodną v względem t. DEFINICJA Definicja 7: Przyspieszenie a = dv (7) Ruch jednostajnie zmienny Z ruchem jednostajnie zmiennym spotykamy się na co dzień, np. gdy obserwujemy swobodny spadek ciał w pobliżu powierzchni Ziemi. Jeżeli możemy zaniedbać opór powietrza (w porównaniu z ciężarem ciała) to każde ciało upuszczone swobodnie porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem równym 9.81 m/s. Wyrażenie na prędkość ciała poruszającego się ze stałym przyspieszeniem możemy otrzymać wprost ze wzoru Ruch jednowymiarowy-( 6 ) v = v 0 + at (8) Natomiast do policzenia położenia korzystamy ze wzoru Ruch jednowymiarowy-( 6 ) na prędkość średnią przekształconego do postaci x = x 0 + vt (9) Ponieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość rośnie jednostajnie od v 0 do v więc prędkość średnia wynosi
v = ( v 0 +v) (10) Łącząc powyższe trzy równania otrzymujemy at x = x 0 + v 0 t + (11) Jako podsumowanie, pokazane jest graficzne przedstawienie ruchu prostoliniowego jednostajnego i jednostajnie zmiennego w postaci wykresów x(t), v(t) oraz a(t). Rysunek 3: Graficzna prezentacja ruchu prostoliniowego jednostajnego (wiersz górny) i jednostajnie zmiennego (wiersz dolny) Rozważając ruch po linii prostej możemy operować liczbami, a nie wektorami bo mamy do czynienia z wektorami równoległymi. Jednak trzeba sobie przy opisie zjawisk (rozwiązywaniu zadań) uświadamiać, że w równaniach ruchu mamy do czynienia z wektorami. Prześledzimy to wykonując następujące ćwiczenie:
ZADANIE Zadanie 4: Rzut w górę Treść zadania: Dwa identyczne ciała rzucono pionowo do góry z prędkością początkową v 0 w odstępie czasu Δt jedno po drugim. Na jakiej wysokości spotkają się te ciała? Wskazówka: Do opisu położenia ciała (np. wysokość na jakiej się znajduje w danej chwili) posłuż się równaniem Ruch jednowymiarowy-( 14 ). Zauważ, że w rzucie pionowym ciało przebywa na tej samej wysokości dwa razy w dwóch różnych chwilach (pierwszy raz przy wznoszeniu, drugi przy opadaniu) więc trójmian kwadratowy Ruch jednowymiarowy-( 14 ) ma dwa rozwiązania: v v a = 0 t i t. Z treści zadania wynika, że t 1 t = Δt. Z tego warunku otrzymasz rozwiązanie h = (1) Rozwiązanie: Dane: v 0 Δt, g - przyspieszenie ziemskie. Korzystając z równania Ruch jednowymiarowy-( 14 ) otrzymujemy: gt y = v t 0 Wektor położenia y (opisujący wysokość ponad poziom y = 0) jest w dowolnej chwili sumą dwóch wektorów v 0 t oraz g t /. Powyższe równanie opisuje więc zarówno ruch ciał w górę jak i w dół. Oczywiście opis matematyczny musi odzwierciedlać sytuację fizyczną. W rzucie pionowym ciało przebywa na tej samej wysokości ( y = h) dwa razy w dwóch różnych chwilach (pierwszy raz przy wznoszeniu, drugi przy opadaniu). Trójmian kwadratowy gt h v t + (13) 0 = 0 ma dwa rozwiązania t 1 i t. Z treści zadania wynika, że t 1 t = Δt. Z tego warunku otrzymujemy rozwiązanie: v (14) h = 0 (Δt) g g 8 Pamiętanie o tym, że liczymy na wektorach jest bardzo istotne przy rozpatrywaniu ruchu w dwóch lub trzech wymiarach, np. w ruchu na płaszczyźnie. SYMULACJA Symulacja 1: Poruszający się człowiek Pobierz symulację Symulacja ruchu jednostajnego lub jednostajnie przyspieszonego. Ustaw położenie, prędkość i przyspieszenie człowieka, obserwuj jego ruch i rysujące się wykresy. Autor: PhET Interactive Simulations University of Colorado Licencja: Creative Commons Attribution 3.0 United States Ruch na płaszczyźnie Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych x i y. Na przykład y - wysokość, x - odległość w kierunku poziomym. Pokażemy, że taki ruch można traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe. Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r(t) ; prędkość wektor v(t), przyspieszenie wektor a(t). Wektory r(t), v(t), a(t) i oraz j
r(t), v(t), a(t) są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić za pomocą wersorów i oraz j czyli wektorów jednostkowej długości zorientowanych odpowiednio wzdłuż osi x i y. r = i x + j y (15) dr dv dx dv x dy dv y v = = i + j = i + j v x v y a = = i + j = i a + j x a y (16) (17) Położenie punktu określić można podając wektor r lub, dla wybranego układu odniesienia, poprzez podanie współrzędnych tego wektora np. x, y. Oczywiście wektor r i jego współrzędne zmieniają się z czasem więc trzeba podać zależności czasowe r(t), x(t), y(t) tak jak na Ruch na płaszczyźnie-rys. 1. Rysunek 4: Zmiany wektora położenia z czasem Warto w tym miejscu również zapamiętać, że wektor prędkości jest zawsze styczny do toru poruszającego się punktu. Punkty, przez które przechodzi poruszający się punkt tworzą krzywą, którą nazywamy torem ruchu. Jako przykład rozpatrzmy ruchu jednostajnie zmienny na płaszczyźnie. Ponieważ ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem tzn. nie zmieniają się ani kierunek ani wartość przyspieszenia to nie zmieniają się też składowe przyspieszenia. Spróbujmy najpierw napisać równania wektorowe dla tego ruchu. Mają one następującą postać a = const. v = v 0 + at at r = r 0 + v 0 t + (18) (19) (0) Przypuśćmy, że chcemy znaleźć położenie ciała (wektor r) po czasie t. W tym celu, jak widać z równań Ruch na płaszczyźnie-( 4 )Ruch na płaszczyźnie-( 5 ) i Ruch na płaszczyźnie-( 6 ) trzeba wyznaczyć (znaleźć wartość, kierunek i zwrot) i dodać do siebie geometrycznie trzy wektory: r 0, v 0 t oraz 1/at. Zadanie możemy jednak znacznie uprościć korzystając z tego, że równania wektorowe Ruch na płaszczyźnie-( 4 )Ruch na płaszczyźnie-( 5 ) i Ruch na płaszczyźnie-( 6 ) są równoważne równaniom w postaci skalarnej (zestawionym w Tabela 3 poniżej) i zamiast dodawania geometrycznego wektorów możemy poprostu dodawać liczby. Znalezienie wektora r prowadza się teraz do znalezienia jego składowych. Tabela 3: Ruch jednostajnie zmienny na płaszczyźnie Równania skalarne opisujące ruch wzdłuż osi x Równania skalarne opisujące ruch wzdłuż osi y a x = const. = + t (1) a y = const. () = + t v x v x0 a x t x = x 0 + v x0 t + a x v y v y0 a y a y t y = y 0 + v y0 t + Na przykładzie modułu Rzut ukośny opisano ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem.
SYMULACJA Symulacja : Lądownik księżycowy Pobierz symulację Stań się pilotem lądownika księżycowego i spróbuj miękko wylądować na jego powierzchni! Autor: PhET Interactive Simulations University of Colorado Licencja: Creative Commons Attribution 3.0 United States SYMULACJA Symulacja 3: Ruch dwuwymiarowy Pobierz symulację Symulacja pokazuje wektory prędkości i przyspieszenia w kilku typach ruchów na płaszczyźnie. Autor: PhET Interactive Simulations University of Colorado Licencja: Creative Commons Attribution 3.0 United States SYMULACJA Symulacja 4: Ruch biedronki w wymiarach Pobierz symulację Obserwuj biedronkę poruszającą się na płaszczyźnie zadanym ruchem krzywoliniowym, jej tor, wektory prędkości i przyspieszenia. Autor: PhET Interactive Simulations University of Colorado Licencja: Creative Commons Attribution 3.0 United States Rzut ukośny Piłka kopnięta przez piłkarza lub rzucona przez koszykarza, oszczep lub dysk rzucony przez atletę czy wreszcie pocisk wystrzelony z działa poruszają się po torze krzywoliniowym. Naszym celem jest znalezienie prędkości i położenia rzuconego ciała w dowolnej chwili, opisanie toru ruchu i wyznaczenie zasięgu rzutu. Jeżeli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem grawitacyjnym g = (0, g) ; możemy więc zastosować równania z Tabela 3 w module Ruch na płaszczyźnie. Ponieważ przyspieszenie jest skierowane "w dół" wygodnie jest wybrać układ współrzędnych tak, że x będzie współrzędną poziomą, a y pionową. Ponao, przyjmijmy, że początek układu współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn. r 0 = 0 oraz, że prędkość w chwili początkowej t = 0 jest równa v 0 i tworzy kąt θ z dodatnim kierunkiem osi x (Rzut ukośny-rys. 1 poniżej).
Rysunek 5: Składowe prędkości początkowej Składowe prędkości początkowej (zgodnie z Rzut ukośny-rys. 1) wynoszą odpowiednio v x0 = v 0 cos θ v y0 = v 0 sin θ (3) Stąd dla składowej x (poziomej) prędkości otrzymujemy (porównaj z Tabela 3 w module Ruch na płaszczyźnie ) v x = v x0 + g x t (4) Ponieważ g x = 0 (przyspieszenie jest skierowane w "dół") więc = cos θ v x v 0 (5) Składowa pozioma prędkości jest stała, ruch w kierunku x jest jednostajny. Natomiast dla składowej pionowej y otrzymujemy v y = v y0 + g y t (6) Ponieważ g y = g (przyspieszenie jest skierowane "w dół") więc = sin θ gt v y v 0 (7) Wartość wektora prędkości w dowolnej chwili wynosi v = v x + v y v = v 0 v 0 gt sin θ + gt (8) (9) Teraz obliczamy położenie ciała w dowolnej chwili t. Ponownie korzystamy z równań z Tabela 3 i otrzymujemy odpowiednio y = ( x = ( v 0 cos θ) t gt v 0 sin θ) t (30) (31) Wartość wektora położenia w dowolnej chwili obliczamy z zależności r = x + y (3) Sprawdźmy teraz po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej y(x). Równania Rzut ukośny-( 8 ), Rzut ukośny-( 9 ) przedstawiają zależność x(t) oraz y(t). Równanie y(x) możemy więc obliczyć eliminując czas t z tych równań. Z zależności x(t) obliczamy t, a następnie wstawiamy do równania y(t), które przyjmuje postać y = (tgθ) x g x ( v 0 cos θ) (33) Otrzymaliśmy równanie paraboli (skierowanej ramionami w dół) i taki kształt ma tor ruchu y(x) pokazany na rysunku poniżej. Rysunek 6: Parabola rzutu ukośnego
ZADANIE Zadanie 5: Zasięg rzutu Treść zadania: Korzystając z równania Rzut ukośny-( 11 ) spróbuj znaleźć zasięg rzutu z oraz określić kąt wyrzutu θ, przy którym zasięg jest maksymalny. Wskazówka: Rozwiąż równanie Rzut ukośny-( 11 ) podstawiając y = 0. Otrzymasz dwa miejsca, w których parabola lotu przecina oś x. Pierwsze, odpowiada punktowi z którego wylatuje ciało, drugie poszukiwanemu zasięgowi rzutu. Wynik zapisz poniżej. Zasięg rzutu: Zasięg maksymalny otrzymujemy dla kąta θ = Rozwiązanie: Dane: v 0, θ, g - przyspieszenie ziemskie.w celu znalezienia zasięgu rzutu podstawiamy do równania (3.11) y = 0 i otrzymujemy dwa miejsca, w których parabola lotu przecina oś x. Pierwsze, x = 0, odpowiada punktowi z którego wylatuje ciało, drugie x = Z poszukiwanemu zasięgowi rzutu v Z = 0 sin θ cos θ v = 0 sin θ (34) g g Z powyższego równania wynika, że zasięg Z osiąga maksimum dla, kąta θ = 45, bo wtedy funkcja sin θ ma maksymalna wartość równą 1. Gdy mówimy o ruchu prostoliniowym to ewentualne przyspieszenie ciała związane jest ze zmianą wartości prędkości ale nie ze zmianą jej kierunku czy zwrotu. Dlatego mówimy wtedy o przyspieszeniu stycznym W omawianym rzucie ukośnym zmienia się zarówno wartości prędkości jak i jej kierunek i zwrot. Zanim jednak omówimy ten przypadek zaczniemy od rozpatrzenia prostszej sytuacji gdy wartość prędkości się nie zmienia, a zmienia się jej kierunek i zwrot tj. Ruch jednostajny po okręgu. SYMULACJA Symulacja 5: Rzut ukośny Pobierz symulację Program przedstawia prezentację graficzną rzutu ukośnego, pozwalając prześledzić ruch punktu materialnego w zależności od wartości prędkości początkowej oraz kąta wyrzutu. W trakcie ruchu można śledzić prędkość chwilową oraz jej składowe albo przyspieszenie i jego składowe. Autor: Zbigniew Kąkol, Jan Żukrowski
SYMULACJA Symulacja 6: Rzut ukośny Pobierz symulację Strzelaj z armaty różnymi obiektami. Ustaw kąt, prędkość początkową i masę. Wprowadź opór powietrza. Spróbuj trafić w cel. Autor: PhET Interactive Simulations University of Colorado Licencja: Creative Commons Attribution 3.0 United States Ruch jednostajny po okręgu Rozważać będziemy ciało poruszające się ze stałą prędkością po okręgu o promieniu R pokazane na rysunku poniżej. Punkt materialny poruszający się jednostajnie po okręgu znajduje się w punkcie P w chwili t, a w punkcie P w chwili t + Δt. Wektory prędkości v, v mają jednakowe długości, ale różnią się kierunkiem; pamiętajmy, że wektor prędkości jest zawsze styczny do toru. Chcąc znaleźć przyspieszenie musimy wyznaczyć różnicę prędkości v i v. Rysunek 7: Ruch jednostajny po okręgu W tym celu przerysowujemy wektor v w punkcie P i wyznaczamy różnicę Δv. Zauważmy, że kąt pomiędzy wektorami v i v jest równy kątowi θ więc korzystając z podobieństwa trójkątów możemy zapisać równość Δv v = l r (35) gdzie l jest długością odcinka PP, a dla małych wartości l długością łuku PP. Ponieważ l = vδt więc Δv = Δt v r (36) Znając już Δv możemy obliczyć przyspieszenie Δv a n = a r = = Δt v r (37) Jak widać na Ruch jednostajny po okręgu-rys. 1, wektor Δv jest prostopadły do toru to znaczy pokrywa się z kierunkiem promienia i jest zwrócony do środka okręgu. Oznacza to, że i wektor przyspieszenia ma taki sam kierunek i zwrot (Ruch jednostajny po okręgu-rys. ). W ruchu po okręgu przyspieszenie to nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym (jest zwrócone do środka okręgu), a dla ruchu po dowolnej krzywej przyspieszeniem normalnym a n (jest prostopadłe do toru) lub radialnym a r (jest skierowane wzdłuż promienia). Przyspieszenie normalne jest związane ze zmianą kierunku prędkości, a przyspieszenie styczne za zmianę jej wartości.
Rysunek 8: Prędkość i przyspieszenie w ruch jednostajny po okręgu Przyspieszenie dośrodkowe często wyraża się poprzez okres T czyli czas, w którym punkt materialny wykonuje pełen obieg okręgu. Ponieważ v = πr T (38) więc π T 4 R a r = (39) ZADANIE Zadanie 6: Przyspieszenie normalne Treść zadania: Korzystając z powyższego wyrażenia spróbuj obliczyć jakiego przyspieszenia, wynikającego z obrotu Ziemi, doznaje ciało będące na równiku? Załóż, że Ziemia jest kulą o promieniu R Z = 6370 km. Jak duże jest to przyspieszenie w porównaniu do przyspieszenia grawitacyjnego g = 9.81 m/s? a n = Rozwiązanie: Dane: R Z = 6370 km, g = 9.81 m/s, T = 4 h = 8.64 10 4 s Podstawiając te dane do równania Ruch jednostajny po 4π okręgu-( 5 ) a = R n otrzymujemy a m/s T n = 0.0034 co stanowi 0.35 g. SYMULACJA Symulacja 7: Zakręcona biedronka Pobierz symulację Obserwuj ruch biedronki na wirującej tarczy, śledź wykresy parametrów jej ruchu. Autor: PhET Interactive Simulations University of Colorado Licencja: Creative Commons Attribution 3.0 United States
Ruch przyspieszony po okręgu W module tym uzupełnimy wiadomości z ruchu po okręgu wyprowadzając równania na przyspieszenie w tymże ruchu. Współrzędne x, y punktu poruszającego się po okręgu można wyrazić za pomocą promienia R (o stałej wartości) oraz kąta (Rys. 9 poniżej). Rysunek 9: x(t) = R cos φ(t) y(t) = R sin φ(t) Przy czym związek między drogą liniową s, a drogą kątową φ, jest dany z miary łukowej kąta φ = s/r. Różniczkując powyższe równania możemy obliczyć zgodnie ze wzorami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( ), Ruch na płaszczyźnie-( 3 ) składowe prędkości v x v y dφ dφ = R sin φ = Rω sin φ = R cos φ = Rω cos φ (40) gdzie wprowadzono prędkość kątową ω = dφ/. Różniczkując z kolei uzyskane równania otrzymamy zgodnie ze wzorami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( ), Ruch na płaszczyźnie-( 3 ) składowe przyspieszenia a x a y dω dφ Rω dφ Rω = R sinφ Rω cosφ = Rαsinφ cosφ dω = R cosφ Rω sinφ = Rαcosφ sinφ (41) lub a x a y α = v ω x xω α = v ω y yω (4) gdzie wprowadzono przyspieszenie kątowe α = dω/. Na podstawie powyższych zależności możemy obliczyć wektor całkowitego przyspieszenia a = α v Rω ω (43) Wektor przyspieszenia całkowitego a jest sumą dwóch wektorów: przyspieszenia stycznego a s (równoległego do wektora prędkości v) a s α ω = v (44) i przyspieszenia normalnego a n (przeciwnego do wektora R czyli skierowanego do środka okręgu) a n = Rω (45) Ruch krzywoliniowy
Prześledźmy przykład, w którym zmieniają się i wartość i kierunek prędkości. Całkowite przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym jest sumą przyspieszenia stycznego a s i prostopadłego do niego przyspieszenia normalnego a n. Ponownie rozpatrzymy rzut ukośny. W tym ruchu przyspieszenie grawitacyjne g jest odpowiedzialne zarówno za zmianę wartości prędkości i jej kierunku tak jak przedstawiono na Rys. 10 poniżej. Rysunek 10: Przyspieszenie całkowite g, styczne a s i dośrodkowe a n w rzucie ukośnym. ZADANIE Zadanie 7: Wektor przyspieszenia Treść zadania: Spróbuj pokazać, że tak jest w każdym punkcie toru i dodatkowo narysuj wektory przyspieszenia całkowitego, stycznego i dośrodkowego w innym dowolnym punkcie toru na Rys. 10. Teraz obliczymy obie składowe przyspieszenia. Przyspieszenie styczne obliczamy na podstawie zależności a s = dv/ (obliczamy zmianę wartości prędkości) i wyrażenia na prędkość w rzucie ukośnym v = v 0 v gt sin θ + gt 0 (równanie Rzut ukośny-( 7 )) gt v sin θ a 0 s v 0 v 0 gt sin θ+g t = g (46) Natomiast przyspieszenie normalne możemy obliczyć korzystając z zależności a r = g a s (Rys. 10) Można oczywiście skorzystać z równania Ruch jednostajny po okręgu-( 3 ) a = v /R, ale trzeba umieć obliczyć promień krzywizny R w każdym punkcie toru. Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/. Data generacji dokumentu: 018-11-6 3:08:50