[wersja z 1 IV 8] Analiza Matematyczna część 4 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 7/8 Wojciech Broniowski 1
Równania różniczkowe
Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe zwyczajne ma ogólną postać F( x, y( x), y'( x),...) =, gdzie... oznaczają możliwosć wystąpienia wyższych pochodnych. Zmienna x jest zmienną niezależną, a yx ( ) jest szukaną funkcją. Rząd równania to najwyższy rząd pochodnej. W szczególnosci, równanie różniczkowe rzędu pierwszego ma postać F( x, y, y') =. Równanie różniczkowe cząstkowe ma ogólną postać F( x, x,..., x, y( x,..., x ), 1 n 1 n..., x ) y( x,..., xn),...,,...) = x x yx ( 1, n 1 (równaniami cząstkowymi nie bedziemy się zajmować) 1 n Uklad równań różniczkowych zwyczajnych na n funkcji y ( x) ma postać F( x, y ( x),..., y ( x), y '( x),..., y '( x),...) =, i = 1,..., n i 1 n 1 n i Model fizyczny/ekonomiczny/meteorologiczny... r. różniczkowe 3
Przykład: oscylator harmoniczny Ftxt (, (), xt (), xt ()) = r. mechaniki f = ma prawo Newtona k kx t = mx t k m > = ω m xt = ω xt ( ) ( ),,, oscylator harmoniczny () () r. różniczkowe do rozwiązania xt ( ) = Acos( ωt) + Bsin( ωt) ogólna postać rozwiązania Sprawdzenie: xt () A sin( t) B cos( t), xt () xt () Warunki początkowe: xt () = x, xt () = v A= x, Bω = v v xt x t t ω = ω ω + ω ω = ω ( ) = cos( ω ) + sin( ω ) rozwiązanie spelniające war. początkowe 4
Przykład: rozpad promieniotwórczy / wzrost populacji dn() t = λnt (), λ > dt (ubytek na jedn. czasu proporcjonalny do liczby atomów) Rozw.: Nt ( ) = Nexp( λt) liczba nierozpadlych atomów po czasie t λ λ Nt ( ) = Nexp( λt) populacja w czasie t, prawo wzrostu Malthusa Bardziej realistyczne równanie: dn() t = λnt Nt N dt x = N N x = λx x * ()[1 ()/ ], * / (1 ) (nieliniowosć!) 5
Ogólne uwagi i twierdzenia Rozwiązanie yx ( ) r.r. nazywamy calką r.r., a wykres ( xyx, ( )) krzywą calkową. Calka ogólna równania rzędu pierwszego jest postaci yx ( ) = f( xc, ), gdzie C jest stalą. Stalą tę wyznacza się z warunku poczatkowego y = f( x, C). Rozwiązanie osobliwe to rozwiązanie, którego nie można uzyskać z postaci f( x, C) dla żadnej wartosci C. y ' Przyklad: y' = y = 1 ( y) ' = 1 y = x+ C, x+ C y ( x+ C), x C yx ( ) =, x< C y( x ) = rozw. osobliwe 6
Jednoznaczność rozwiązań Tw. (o jednoznacznosci rozwiązań) R. postaci y' = f( x, y), f( x, y) i f ( x, y) ciagle w pewnym otoczeniu ( x, y ) y otoczenie ( x a, x + a), w którym jest okreslona dokladnie jedna funkcja φ( x) o wlasnociach: φ'( x) = f ( x, φ( x)), φ( x ) = y. 7
Równanie o zmiennych rozdzielonych dy pyy ( ) '( x) = qx ( ) py ( ) = qx ( ) pydy ( ) = qxdx ( ) pydy ( ) = qxdx ( ) dx P( y) = p( y) dy, Q( x) = q( x) dx, P( y) = Q( x) + C, C pewna stala Rozwiązanie jest dane w postaci uwiklanej! 3 ' 3, ' d dy d d D: ( P( y( x)) Q( x) C) = P( y) Q( x) = y' p( y) q( x) = dx dx dy dx Przyklad: 3 dy() t y t 3 3 y = t y dy = tdt = + C y = t + 3C dt 3 3 C = C y = t + C 3 y t C' 3 3 3 Warunek początkowy: yt ( ) = y = + y= ( t t) + y 3 3 Z nieskończonej liczby rozwiązań z parametrem C warunek początkowy wybiera jedno! 8
Rozwiązanie równania populacji ( λ = 1): dx dx x x = x(1 x) dt ln t C exp( t C) dt = = + = + x(1 x) x 1 x 1 1 1 1 1 = exp( C)exp( t) 1 = C'exp( t) x( t) = x x 1 C'exp( t) 1 1 war. początkowy: xt ( = ) = x 1 = C' xt ( ) = x 1 x + t x 1 exp( ) 1 x x x 1+ exp( t) exp( t) t ln, x (,) (1, ) x x 1 x 1 (w t ln osobliwosć) x x = x 1 = x( t) = x : lim x( t) = 1 t 9
Jednoparametrowe rodziny krzywych R. populacji x = x(1 x) xt () = 1 1 x + x 1 exp( t) Inne równanie y y = t yt () 3t = 3 + y 3 1
Równania sprowadzalne do równania o zmiennych rozdzielonych y' = f( ax + by + c) u = ax+ by+ c u' = a+ by ' = a+ bf ( u) u ' = 1 a+ bf( u) R. jednorodne w x i y: y y'( x) = f x y ux ( ) =, y= ux, y' = ux ' + u x ux ' + u= fu ( ) u ' 1 =, f( u) u, x f( u) u x 11
Analiza funkcji wielu zmiennych 1
Przestrzeń wektorowa unormowana : X R - norma 1) x x >, = ) x + y x + y 3) ax = a x Tw. Przestrzeń unormowana ( X, ) jest przestrzenią metryczną z metryką ρ(x,y) = x y. (norma indukuje metrykę, ale metryka nie indukuje normy) D: ρ : X X R+ {} 1) ρ(x,x) = =, ) ρ(x,y) = ρ(y,x), 3) ρ(x,z) = x z = x y + y z x y + y z = ρ(x,y) + ρ(y,z) Przyklad: X = R n, x = x1 + x +... + x n (dlugosć wektora) 13
Pochodna cząstkowa n f : R R, y = f( x) = f( x1, x,..., xn) Pochodna cząstkowa po x w punkcie x: f f( x1,..., xk + δ,..., xn) f( x1,..., xk,..., xn) ( x) = lim x δ k δ Inna notacja: f ( x), f ( x) x k k k Pochodną funkcją cząstkową po x nazywamy funkcję f przyporządkowującą każdemu x wartosć ( x) x Pochodna cząstkową po x k wyliczamy tak samo, jak zwykłą pochodną, traktując pozostałe zmienne jako stałe f( x, y, z) = zsin( xy) f ( x, y, z) = zy cos( xy), f ( x, y, z) = zx cos( xy), f ( x, y, z) = sin( xy) x y z k k 14
Gradient n f : R R Gradientem funkcji f nazywamy wektor pochodnych cząstkowych, tj. f( x) f( x) f( x) f( x) = grad f( x) =,,..., x1 x xn Operator Nabla =,,..., x1 x xn f x y = x + y f x = x y ( ) (, ), ( ), 15
Interpretacja geometryczna gradientu Kierunek najszybszego wzrostu f ( x, y) = 1 x y f ( x, y) = ( x, y) F = V 16
Pochodna funkcji złożonej k m f : R R, gi : R R, i = 1,..., k, posiadające pochodne cząstkowe w punkcie x i yk = gk( x). Oznaczamy f g ( x) = f( g ( x),..., g ( x)) ( ) 1 k Tw. Pochodna cząstkowa funkcji f g wynosi m ( f g) ( x) f( y) gi( x) =, j = 1,..., k x y x Przyklad: j i= 1 i j f( y1, y) = y1y + y1, g1( αβγ,, ) = α+ β+ γ, g( αβγ,, ) = α f( y) f( y) g f( y) g α α α f( y) f( y) =..., =... β γ 1 = + = ( y + )1+ y1α = α + α( α + β + γ) y1 y 17
h( α(,), s t β(,), s t γ(,)) s t h α h β h γ = + + s α s β s γ s h( α(,), s t β(,), s t γ(,)) s t h α h β h γ = + + t α t β t γ t κ( f( x, y), y) κ f = x f x κ( f( x, y), y) κ f κ = + y f y y 18
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów n f U R, f : U R, ( x) różniczkowalna x i f Pochodna cząstkowa drugiego rzędu: ( x) = fxx = f j i x x f f f f Tw. W U istnieją pochodne i, ciągle w x. Wtedy =. x x x x x x x x 1 1 1 j i i j j i i j j i D: Φ ( xy, ) = f( x+ h, y+ k)- f( x, y+ k)- f( x+ h) + f( x, y) ϕ( xy, ) = f( x+ hy, ) f( xy, ), ψ( xy, ) = f( xy, + k) f( xy, ) Z Tw. Lagrange'a o wartosci sredniej θ, θ, η, η (,1) : 1 1 Φ ( xy, ) = ϕ( xy, + k) ϕ( xy, ) = kϕ ( xy, + θ k) ϕ ( xy, + θ k) = f( x+ hy, + θ k) f( xy, + θ k) = hfxy( x+ θh, y+ θ1k) y Φ ( xy, ) = hkf ( x+ θ hy, + θ k) xy 1 Podobnie Φ ( xy, ) = ψ( x+ hy, ) ψ( xy, )... Φ ( xy, ) = hkf ( x+ η hy, + ηk) yx 1 y f ( x+ θ h, y+ θ k) = f ( x+ η h, y+ ηk). Z ciaglosci f ( x, y) = f ( x, y) xy 1 yx 1 xy yx 1 ji 19
Macierz drugich pochodnych (hessian): f ''( x, y) f x f xy f x y f y = 3 f f Pochodna cząstkowa rzędu trzeciego: ( x) = = x x x x x x k j i k j i f kji 3 f R R f x y z x yx :, (,, ) = + f = x+ y, f = x, f =, f = f = 1, f = x y xx xy yx yy
Wzór Taylora dla wielu zmiennych f U R R P = x y P x+ h y + k PP U :, (, ), (, ), j j j j f( x, y) j l l d f( x, y)( h, k) = h k różniczka rzedu j (dwa wymiary) j l l i l = x y Tw. f ma ciągle pochodne cząstkowe rzędu n w U θ (,1): f( P) = f( P) + 1 n 1 n d f( P )( hk, ) d f ( P)( h, k) d f ( x + hθ, y + kθ))( h, k) +... + + 1! ( n 1)! n! m Dla d wymiarów i n = czlonów, f : R R, mamy f( x + h) = f( x) + h + hh d d d f( x) 1 f( x + θh) i i j i= 1 xi i= 1 j= 1 xi xj d f : U R R d-wymiarów j j j j! f( x1,..., xd ) i1 id d f( x)( h) = h1... hd, i1+... + i i d = j 1 id i!... i! x... x i,..., i = 1 d 1 d 1 d (wzór Taylora taki sam, jak wyżej) 1
Przyklad: y x xy x y xy x xy 7x y f( x) = sin( x)cos( xy) e x xy + + + + 6 6 6 1 4 1 3 3 3 5 4 3 dokładna przybliżona wielomianem
Ekstrema funkcji wielu zmiennych Tw. (warunek konieczny ekstremum lokalnego) Jeżeli funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie x i ma w tym f( x) pochodne cząstkowe, to =. x i Dowód: Ustalmy i, następnie rozważmy g( x) = f(..., x, x, x Funkcja gx ( ) ma ekstremum dla x= x i 1 x+ 1 co oznacza., i i 1 x+ 1, a zatem z tw. o warunku,...). dg( x) koniecznym ekstremum dla funkcji jednej zmiennej mamy =, dx f(..., x, x, x,...) = x f( x, y) = x + y x =, y = f ( x, y) f( x, y) = = x y 3
Forma kwadratowa to wyrażenie postaci gh hah n x y z zx xy n ( ) = i ij j (np. dla = 3: + 1 + ) i, j= 1 Forma kwadratowa jest dodatnio okreslona, jeżeli h : g( h) > a ujemnie okreslona, jeżeli h : g( h) <. Jeżeli nie zachodzi żaden z tych przypadków, to forma jest nieokreslona. f( x) Tw. Rozważmy formę d f( x)( h) = hh i j i niech f( x) ma ciągle pierwsze xi xj i drugie pochodne w okolicy x, oraz f ( x x a) d f( x)( h) jest dodatnio okreslona to f ma w x minimum lokalne b) d f( x)( h) jest ujemnie okreslona to f ma w x maksimum lokalne c) d f( x)( h) jest nieokreslona to f nie ma i ) =. Wtedy jeżeli w x ekstremum lokalnego 4
Minorem rzędu k macierzy a rzędu m nazywamy wyznacznik utworzony z pierwszych k rzędów i pierwszych k kolumn tej macierzy: A k a a 11 1k k1 a = a kk Tw. Forma gh ( ) = hah jest dodatnio okreslona, jeżeli wszystkie jej minory są i ij j A > k = m A > k = m k dodatnie, k, 1,,..,, a ujemnie okreslona, jeżeli (-1) k, 1,,..,. Jeżeli nie zachodzi żadna z tych dwóch sytuacji, to forma jest nieokreslona. Przypadek m = : W= f ( x, y) f( x, y) x x y f( x, y) f( x, y), = = f( x, y) f( x, y) x y xy y f( x, y) 1) W >, > - minimum x f( x, y) ) W >, < - maksimum x 3) W < - punkt siodlowy 4) W = - brak rozstrzygnięcia 5
minimum maksimum 6
Siodło: f(x)=x -y +xy Poszukiwanie ekstremów globalnych na obszarze domkniętym: 1) znalezienie ekstremów lokalnych we wnętrzu ) inspekcja brzegu i "rogów" 7
Funkcje uwikłane F( xy, ) - ciągla, Fxy (, ) = y= yx ( ) - funkcja uwiklana Tw: F( x, y ) =, F, F - ciągle w otoczeniu ( x, y ), F ( x, y ) x y y 1) ε > δ > x ( x δ, x + δ) jedyne y ( y ε, y + ε) : F( x, y) = ) y'( x) = Fx ( x, y( x)) F ( xyx, ( )) y 1 F x y x y y x 1 Fx = x, Fy = y y'( x) =, y'( ) = 1 - mamy "bez wysilku" y (, ) = + 1, x = = - równanie okręgu i punkt doń należący F x y x x y x y y F y (, ) = + (1 )sin, x = = - nie da się odwiklać! y (,) = 1 y xy x sin y y '( x) =, y'() = 1 y xln x y+ (1 x )cosy 8
Wyprowadzenie ): F( x, y( x)) =, Z tw. o pochodnej funkcji zlożonej: d F ( x, y ( x )) = F x( x, y ) + y '( x ) F y( x, y ) = dx d d Ponadto F( x, y( x)) = ( Fx( x, y) + y'( x) Fy( x, y) ) = dx dx = F + y'( x) F + y''( x) F + ( y'( x) ) F = xx xy y F x F x Fxx Fxy + y''( x) Fy + Fyy = F y F y y''( x) = F F F F F + F F xx y xy x y yy x 3 Fy F Ekstremum yx ( ) : y'( x) = Fx = y''( x) = F yy xx y 9
Przyklad krzywej trzeciego stopnia: Lisć Kartezjusza F x y = x + y xy = 3 3 (, ) 3 F = y x y + y y y y xy 6 3 3 3 3 3 3 3 3 (, ) (,) (, ) ( 4, ) x 3 3 3 6 3 ' = = ' = dla = + 3 = Fy 3y 3x x =, y = 4, F y '' = xy F x y y y y x x x x 3 3 xx F F F F + F F y xy x y yy x 3 Fy 6 x(3y 3 x) + 6(3x 3 y)(3y 3 x) + 6 y(3x 3 y) = 3 (3y 3 x) (po wstawieniu) y''( x, y ) < - maksimum = 3
Ekstrema warunkowe f, g: R R Funkcja f ma w punkcie ( x, y ) maksimum warunkowe, jeżeli δ > xy, : ( x- x) + ( y- y) < δ gxy (, ) = f( x, y) f( xy, ) analogicznie: minimum... f( x, y ) f( x, y) g gxy (, ) = y= yx ( ), y' = g x y g x Rozważmy F( x) = f( x, y( x)) F'( x) = fx + fyy' = fx fy = g funkcja może mieć ekstremum gdy fg = Przyklad: (, ), (, ) 1 warunek: y = x, x = y = ± 1 x y y x f x y = x+ y g x y = x + y fg y fg x y y x g y fg 31
Metoda mnożników Lagrange a Tworzymy pomocniczą funkcję Φ ( xy, ) = f( x, y) λg( x, y), gdzie λ nazywa się mnożnikiem Lagrange'a lub czynnikiem nieoznaczonym Lagrange'a. Następnie znajdujemy ekstrema funkcji Φ tak, jakby zmienne x i y byly niezależne. Rozwiązujemy uklad równań Φ =, Φ =, gxy (, ) =. x y Dowód: Φ = f + λg =, Φ = f + λg =. Eliminując λ dostajemy f g = f g. x x x y y y x y y x Dla n zmiennych i k warunków mamy następujące uogólnienie: Φ( x1, x,..., xn = f x1 x xn + λ1g1 x1 x xn + + λkgk x1 x xn Szukamy ekstremum ) (,,..., ) (,,..., )... (,,..., ) Φ ( x, x,..., x ) = f( x, x,..., x ) + λ g ( x, x,..., x ) +... + λ g ( x, x,..., x ) = j 1 n j 1 n 1 j 1 1 n k j k 1 n Ponadto g ( x, x,..., x ) =, r = 1,..., k, co lacznie daje n+ k równań na n+ k niewiadomych r 1 ( n zmiennych x i k czynników λ). n 3
Krzywe i rozciągłości wielowymiarowe Φ Φ Φ k n 1 : V R U R, k n homeomorfizm (1 1, i ciągle), U, V otwarte. Wtedy U nazywamy k-wymiarową powierzchnią (hiperpowierzchnią, rozciągloscią, rozmaitoscią) Φ1 Φ ma n skladowych, Φn. Ukladamy gradienty Φn w macierz: Φ '( x) =... Φn Φ jest homeomorfizmem regularnym, jeżeli x V rząd Φ '( x) = k. Wtedy U nazywamy k-wymiarową powierzchnią gladką k= - zerowymiarowa powierzchnia (punkty izolowane) k=1 - krzywa, linia k= - powierzchnia k> - hiperpowierznia 33
Przyklad: π π cost sint k = 1, n=, U = (, ), Φ=, ', : ' rz ' 1 luk gladki t U sint Φ = cos t Φ Φ = 1 t k 1, n, U ( 1,1),, t : ' sgn( t) = = = Φ= Φ = w t = Φ' nie instnieje (szpic) t t Parametr t numeruje punkty wzdłuż krzywej 34
Krzywa domknięta gładka: Φ:[ ab, ] R n Φ( a) początek, Φ( b) koniec Φ( a) Φ( b) homeomorficzna z przedzialem Φ ( a) =Φ( b) homeomorficzna z okregiem RYS., str. 1 35
Krzywe stopnia drugiego (stożkowe) Powstają z przecięcia stożka płaszczyzną: Okrąg, elipsa, parabola, hiperbola ax bxy cy dx fy g + + + + + = a b d Δ= b c f, J = d f g a b b c a d c f I = a+ c, K = + krzywa Δ Δ / d g f g okrąg=elipsa, a = c J I K elipsa > < parabola hiperbola < linie przecinajace się < linie przekrywające się 36
Redukcja do prostszej postaci: Przez obrót możemy się pozbyć czlonu mieszanego x' = xcosφ + ysinφ y' = xsinφ + ycosφ x y a c φ φ+ b φ φ Czlon mieszany wynosi wtedy ' '[( )cos sin (cos sin )] b π i znika dla tg( φ) = dla c a oraz φ= dla c = a. Po takim obrocie c a 4 mamy Ax ' + Cy ' + Dx ' + Fy ' + G =. Dla A, C, czlonow liniowych pozbywamy się przez transformację x'' = x' + D/ A y'' = y' + F/ C Ax + Cy + G = Wtedy '' '' ''. x y c a b c a b e + = 1, >, =, = mimosród a b a a = b= r, x + y = r okrąg y ax, x ay parabola x a = = y = 1, xy = c hiperbola b 37
Elipsa x a y + b = 1 =, ( ) c a b a b c e = a mimośród XF + XF = a = const. 1 F 1, F -ogniska a - półoś wielka b - półoś mała 38
39
4
Całki eliptyczne (*) x = asin φ, y = bcosφ długość łuku elipsy Ψ Ψ Ψ dφ 1 k sin dx dy dx dy d a b d ( ) + ( ) = φ cos φ sin φ φ dφ + = + = dφ φ + φ φ = φ φ = φ φ a cos ( a c )sin d a c sin d a 1 e sin d Φ L( Φ ) = a 1 e sin d φ φ π = Fk (, Ψ ), k< 1, Fk ( ) = Fk (, ) φ dφ k φ E k k E k E k 1 sin = (, Ψ ), < 1, ( ) = (, ) dφ (1 + hsin φ) 1 k sin = Khk (,, Ψ) φ π Całka eliptyczna: I rodzaju II rodzaju III rodzaju W wielomian stopnia 3 lub 4 41
Hiperbola PF PF = a = const. 1 x y = 1 a b c = a + b c e = > 1 a asymptoty 4
Parabola x = e = 1 4ay 43
44
Stosunek długości czerwonych odcinków ukośnych do poziomych wynosi e directrix = kierownica 45
Krzywa y = y( x) Krzywizna krzywej płaskiej równanie stycznej w ( x, y ) : y y = y'( x)( x x ) 1 równanie normalnej w ( x, y ) (prostopadla do stycznej): y y = ( x x ) y'( x) π 1 ( jest tak dlatego, bo y '( x) = tgα, więc tg( α + ) = ctgα = ) y'( x) Rozważmy punkty na krzywej, ( x, y ) i ( x, y ), oraz normalne w tych punktach: 1 1 1 1 y y = ( x x ), y y = ( x x ). Ich punkt wspólny to 1 1 y'( x) y'( x1) ( y1 y) ( y1 y) 1 + y'( x1) 1 + y'( x1) * x1 x * x1 x x = x y'( x), y = y +. y'( x1) y'( x) y'( x1) y'( x) x x x x 1 1 * 1 + ( y'( x)) * 1 + ( y'( x)) 1 = = + y''( x) y''( x) 3/ (1 + y'( x) ) x y ρ = y''( x) W granicy x x dostajemy x x y'( x ), y y. Odleglosć tego punktu od (, ) to, a krzywizna to 1 z def. ρ 46
d y dy y d y x y y x Dla krzywej parametrycznej ( xt ( ), yt ( )) mamy =, = =, dx x dx x x r. stycznej y ( x x( t)) x ( y y( t)) = t r. normalnej x ( x x( t)) + y ( y y( t)) = t * wsp. srodka krzywizny ( ) krzywizna t x = x t 1 xy t tt yx t tt = 3/ ρ ( xt + yt ) t t t dt x t tt t t tt 3 t t ( t) x + y x + y y y t x xy yx xy yx t t * t t t, y = ( ) + t tt t tt t tt t tt t Krzywizna nie zależy od ukladu wspólrzędnych (translacje, obroty). 47
Parametryzacja kanoniczna krzywej (*) ( xt ( ), yt ( ), zt ( )) t st ( ) = dt' x + y + z dlugosć krzywej mierzona od s s t t t t t' t' t' s = x + y + z > t( s) ( xts [ ( )], yts [ ( ), zts [ ( )]) krzywa sparametryzowana kanonicznie dx xt xt dy dz = =, =..., =... ds s x + y + z ds ds t t t t dx dy dz + + = 1 ds ds ds Dla d = y = f( x) dα dα dx f 1 1 kąt stycznej do Ox: α = arctg f ' = = = ds dx ds 1+ f 1+ f ρ xx x x Interpretacja: krzywizna jest pochodną tangensa nachylenia krzywej po parametrze kanonicznym 48
Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera Alexandra Butelka Kleina 49
5
Całki wielowymiarowe 51
Definicja całki wielowymiarowe Uogólnienie jednowymiarowej calki Riemanna na n wymiarów: P = [ a, b] [ a, b ]... [ a, b ] 1 1 P = ( b a )... ( b a ) 1 1 δ = ( b a ) +... + ( b a ) 1 1 n n n Dokonujemy podzialu n-wymiarowego prostokąta m = inf{ f( x) : x P}, M = sup{ f( x) : x P} i i i n s = m P +... + m P, S = M P +... + M P n 1 1 k k 1 1 k k Rozważamy normalny ( δ ) ciąg podzialów * * n n * * Jeżeli s = to wielkosć tę n n s = lim s calka dolna, S = lim S calka górna funkcji f na prostokącie P S n n i nazywamy wielokrotną calka Riemanna Notacja: dxdy f ( x, y), dxdydz g( x, y, z) P P 5
Całka iterowana P = [ a, b] [ a, b ] 1 1 b b1 b1 b dy dx f ( x, y), dx dy f ( x, y) calki iterowane a a1 a1 a Tw. Fubiniego: Jeżeli f : P R jest ciągla, to obie calki iterowane są równe calce Riemanna dxdy f ( x, y). P (analogicznie dla większej liczby wymiarów) Przyklad: P = [,1] [,] P 1 1 1 xy dxdy (x y + ) = dx dy (x y + ) = dx ( + y) = dx(x + 4) = + 4 3 y= 3 xy y dy dx y + = dy ( + x) = ( ) 4 3 dx + = + 3 3 x= 1 = (x ) 1 53
Całki po dowolnym obszarze A R n f( x) dla x A F( x) = dla x P\ A ϕψ, :[ ab, ] R A= {( x, y): a x b, ϕ( x) y ψ( x)} zbiór normalny względem Ox Tw. Jeżeli f : A R jest ciągla, to jest calkowalna, oraz ψ ( x) dxdy f ( x, y) = dx dy f ( x, y) A a ϕ ( x) b Przyklad: A={( xy, ) : x 1, y 1 x} trójkąt 1 1 x 1 dxdy dx dy dx x x 1 1 xy = xy = (1 ) = 4 A 54
Zastosowania całek wielokrotnych V = A dxdydz A= {( x, y, z): x, y, x, x+ y+ z 1} xy, ustalone z 1 x y x ustalone, szukamy największego możliwego y: y 1 x z, ponieważ najmniejsze z = y 1 x 1 1 x 1 x y 1 1 x 1 (1 x) 1 V = dx dy dz = dx dy(1 x y) = dx (1 x) = 6 1 Jest to tzw. objetosć sympleksu. W n wymiarach V = n! 55
Środek ciężkości 1 1 x = x dxdy y y dxdy A = A A figura -wym. 1 1 x = x dxdydz, z z dxdydz bryla V = V V A V Objętosć bryly obrotowej powstalej w wyniku obrotu regularnego zbioru A wokól Ox: V = π y dxdy 1 Reguly Guldina: V = πη A, η = y dxdy, A Dla torusa V = πa πr Podobnie dla powierzchni powstalej w wyniku obrotu luku mamy 1 S = πξ L, ξ = ydt - odleglosc srodka ciężkoci luku od osi obrotu L Dla torusa S = πa πr β α A A 56
Pole powierzchni z = f( x, y), ( x, y) A f f S = dxdy 1+ + x y A Wzór wynika z konstrukcji przybliżającej powierzchnię równoleglobokami Przyklad: f( x, y) = 1 x y A= {( x, y) : x, y, x+ y 1} S = dxdy 3 = A 3 57
Zamiana zmiennych - dyfeomorfizm :, homeomorfizm rzędu n 1 n n f C R U V R -1 (bijekcja, pochodna odwracalna, f i f ciągle) 1 1 1 1 1 1 ϕ ( b ) Pamiętamy, że dla jednej zmiennej dy f ( y) = dx f [ ϕ( x)] ϕ '( x), y = ϕ( x) n n Tw. ϕ : X R Y R klasy C ϕ ( a) J( x) = jakobian przeksztalcenia ϕ Wtedy Y ϕ x ϕn x n ϕ x n ϕn x n... f ( y) dy.. dy =... f [ ϕ( x)] J( x) dx.. dx, y = ϕ ( x,..., x ) X b a 1 n i i 1 n 58
Podstawowe układy współrzędnych Współrzędne biegunowe (osiowe) Φ: R R Φ1 xr (, φ) Φ (, r φ) = =, x rcos φ, y rsinφ yr (, φ) = = Φ rxy 1 (, ) y Φ ( xy, ) =, r x y, φ=arctg φ( xy, ) = + x x x r φ cosφ r sinφ Φ '( r, φ) = = y y sinφ rcosφ r φ cosφ r sinφ J = = r (, ) ( (, ), (, )) sinφ r cosφ dxdy f x y = rdrdφ f x x φ y r φ Homeomorfizm regularny dla r,rząd Φ ' =. Dla r = jest osobliwosć, bo w tym punkcie nie można okreslić kąta 59
Przyklady: dxdy x y rdrdφ r π = = dr dφ = Rπ r + x + y R r R I = e dxdy = e rdrdφ = π rdre = π e = π πe I R = lim I = π R R x y r r r R x + y R r R R R x y x x I = dx e dy e = dx e dx e = π r= 6
Współrzędne eliptyczne x = arcosφ y = brsinφ x a y + =, = b r J abr Współrzędne walcowe (cylindryczne) x = rcosφ y = rsinφ z = z J = r Liniowa zmiana skali x = ax' y = by' z = cz' J = abc 61
Współrzędna sferyczne (kuliste) Φ: R R 3 3 x = rsinθcosφ y = rsinθsinφ z = rcosθ θ [, π] - kąt osiowy(szerokosć geogr.), φ [, π) - kąt biegunowy (azymutalny, dlugosć geogr.) sinθcosφ rcosθcosφ rsinθsinφ Φ ' = sinθsinφ rcosθsinφ rsinθcosφ cosθ r sinθ J = r sinθ r = rz Φ ' = 1 w srodku kuli nie można okreslić kątów θ = θ = π rz Φ ' = na biegunach nie można okrelić kąta φ 6
Przyklad: Objętosć kuli π π R 1 π 3 R 4 3 V = dxdydz = dr dθ dφr sinθ = dr d cosθ dφr = π = πr 3 3 x + y + z < R ( dcosθ = sin θdθ) R 1 Srodek ciężkosci pólkuli: η = x + y + z < R z> x + y + z < R z> z dxdydz dxdydz R π / π dr d d r r 3 1 = θ φ sin θ cosθ = π R 3 R 1 π 4 3 R 3 3 πr 3 3 1 3 = dr d cos θ dφ r cosθ = π = R πr 4 8 63
Równania prostej i płaszczyzny prosta o kierunku a i należącym do niej punkcie x : x() t = x + ta plaszczyzna o wektorze a do niej prostopadlym i należącym do niej punkcie x : ( x x ) a = 64
Płaszczyzna styczna Płaszczyzna styczna do powierzchni gładkiej o równaniu f(x,y,z)= dana jest równaniem f( x, y, z) f( x, y, z) f( x, y, z) ( x x) + ( y y) + ( z z) = x y z f( x, y, z ) f( x, y, z ) f( x, y, z ) x y z powierzchni w punkcie ( x, y, z ). Prosta prostopadla do powierzchni w tym Wektor,, jest prostopadly do punkcie ma więc równanie parametryczne f( x, y, z ) f( x, y, z ) f( x, y, z ) t+ x, t+ y, t+ z x y z Dla sfery f = x + y + z R, więc prosta prostopadla ma równanie ( xt + x, y t+ y, zt+ z ) 65
Elementy analizy fourierowskiej 66
Szereg Fouriera f :[ π, π ] C funkcja calkowalna z kwadratem modulu: dx f ( x) (przestrzeń L ) 1) uklad ortonormalny funkcji: φ : [ π, π] C π -π dxφ ( x) φ ( x) = δ * m n mn n ) uklad φ ( x) jest zupelny, tj. kazda funkcje z L mozna zapisac jako n szereg f( x) = c φ ( x) n n π π π * * * m = m n n = n m n -π -π -π dxφ ( x) f( x) dxφ ( x) c φ ( x) c dxφ ( x) φ ( x) = c δ = c n mn m π -π 67
1 inx W szeregu Fouriera φn ( x) = e, x [ π, π] (ortonormalny). π 1 inx 1 inx inx f( x) = cne = c + cne + c ne = π π 1 1 inx inx inx inx 1 ( e + e ) ( e e ) c + ( cn + c n) + i( cn c n) = π 1 1 i a + a cos nx + b sin nx n 1 1 ( szereg F. z funkcjami sin i cos) n π π π 1 1 1 a = dx f ( x), an = dx f ( x)cos nx, bn = dx f ( x)sinnx π π π π π π 68
Przyklad: f( x) = sgn( x), x [- ππ, ] (nieciągla!) a n =, n =,1,,... π π 4 1 π, n - nieparzyste bn = dxsin nx dxsin nx cos nx nπ π = π = = nπ π, n - parzyste w punktach nieciągłości średnia arytmetyczna wartości po obu stronach, tutaj (1-1)/= 69
Dla f : [ ab, ] Crozwinięcie Fouriera ma postać nπx nπx f( x) = a + a cos + bnsin T gdzie a = T 1 T b b a n 1 T 1 dxf( x), 1 nπx 1 nπx an = dxf( x)cos, bn dxf( x)sin, ( n ) T = > T π T a b- a =, oraz Uwagi: Podobnie jak w rozwinięciu Taylora, rozwinięcie Fouriera reprezentuje daną funkcję z pomocą (nieskończonej liczby) współczynników. Reprezentacją funkcji jest więc nieskończenie wymiarowy wektor (c n ). Każda funkcja całkowalna z kwadratem ma rozwinięcie Fouriera. b a 7
1 inx 1 f ( x) = cne, g( x) = dne π π π π n= * * ( ) ( ) = n n= dxf x g x c d n n= inx 71
Transformata Fouriera (ciągła) Rozważmy f : R C, dla której dt f( t) (przestrzeń L). Transformatą Fouriera funkcji f nazywamy 1 ˆ( ) iωt f ω = dt e f ( t ), ω R π Wlasnosci: 1. fˆ ( ω) jest ciągla iωa. gt ( ) = f( t- a) gˆ ( ω) = e fˆ ( ω) 3. gt ( ) = f( t/ a) gˆ ( ω) = afˆ ( aω), a > 4. f - różniczkowalna, f ' L f '( ω) = iωfˆ ( ω) 1-1 7
Splotem funkcji f i g nazywamy ( f * g)( y) = dx f( y x) g( x) Tw. ( f * g)( ω) = fˆ ( ω) gˆ ( ω). Odwrotna transformata Fouriera: 1 iωt f() t = dω e fˆ ( ω), t R π * ˆ * Równosć Parsevala: ( ) ( ) = ω ( ω) ˆ( ω) dt f t g t d f g Równosć Plancherela: dt f ( t) = dω f ( ω) ˆ 73
Re Im sygnał czasowy widmo częstości rozmycie szerokości od skończonego zakresu w t 74
Transformata Fouriera funkcji Gaussa (), ˆ( ) a a f t = e f ω = dte e t t d 1 1 f dte a e iωt i dte a ω te t t 1 d a iωt ia d a iωt i dt( a ) e e dt e e t a 1 π ˆ( ) iωt = dω π = = π = = = π dt π dt = ia π t dte d e dt iωt Rozwiązanie: fˆ ( ω) = Ce a ω t iωt t a iωt = a ω dte e = a ωfˆ( ω ) (szerszy sygnał, węższe widmo) t a ω 1 a C = fˆ() = dte due a fˆ( ω) ae π = = = π a u 75