1.1 Oscylator harmoniczny prosty

1 Wstęp 1.1 Oscylator harmoniczny prosty Oscylator harmoniczny prosty jest to każdy układ, którego ruch opisuje funkcja będąca rozwiązaniem równania różniczkowego postaci: d x(t) dt + ω 0x(t) = 0 (1) Rysunek 1: Przykład oscylatora harmonicznego prostego. Rozważmy ruch ciała zaczepionego na sprężynie, jak na??. Jeżeli możemy pominąć tarcie, jedyną siłą działającą na to ciało jest siła sprężystości, która zgodnie z prowem Hooke a wynosi F(t) = kx(t), gdzie x(t) jest chwilowym wychyleniem ciała z położenia równowagi, a k jet stałą sprężystości sprężyny. Minus przed współczynnikiem k wynika z faktu, iż siła w każdej chwili jest skierowana przeciwnie do kierunku wychylenia. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona: ma(t) = kx(t), () gdzie a(t) jest chwilowym przyspieszeniem ciała, czyli drugą pochodną x(t) po czasie. Jeśli oznaczymy czynnik k m jako ω, otrzymamy równanie 1, 0 zatem taki układ możemy nazwać oscylatorem harmonicznym prostym. Równanie 1 jest jednorodnym równaniem różniczkowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Sposób rozwiązania takiego równania zostanie przedstawiony na przykładzie zadania nr 3. W ogólności rozwiązanie ma następującą postać: lub: x(t) = B 1 cos ω 0 t + B sin ω 0 t (3) 1

gdzie: x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ) (4) A = B 1 + B (5) W powyższym równaniu A oznacza amplitudę drgań czyli maksymalne wychylenie, ϕ fazę początkową, a ω 0 częstość kołową drgań własnych, równą ω = π T, (6) gdzie T jest okresem oscylacji czyli czasem jednego drgania. Amplituda oraz prędkość maksymalna oscylatora zależą od warunków początkowych, natomiast częstość kołowa drgań wasnych zależy tylko od parametrów układu (w tym przypadku rodzaj sprężyny i masa ciała). Zależność prędkości od czasu v(t) obliczamy jako pierwszą pochodną po czasie funkcji opisującej wychylenie x(t), a zależność przyspieszenia od czasu a(t) jako drugą pochodną funkcji x(t) po czasie: v(t) = dx(t) dt = Aω 0 sin(ω 0 t + ϕ) (7) a(t) = d x(t) dt = Aω 0 cos(ω 0t + ϕ) (8) Rysunek : Zależność wychylenia, prędkości i przyspieszenia oscylatora prostego od czasu dla ϕ = 0. Na wykresie widać, że ruch rozpatrywanego układu polega na drganiach wokół pewnego punktu równowagi ze stałą amplitudą. Jest to ruch harmoniczny prosty. Przykładem oscylatora harmonicznego mogą być: masa zaczepiona na sprężynie, wahadło matematyczne, wahadło fizyczne

czy układ elektryczny złożony z pojemności elektrycznej C i indukcyjności L. Energia kinetyczna oscylatora harmonicznego wyraża się wzorem : E k (t) = mv(t) = ma ω 0 sin (ω 0 t + ϕ) natomiast energia potencjalna wzorem: E p (t) = kx = ma ω 0 cos (ω 0 t + ϕ) (10) Całkowita energia mechaniczna jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej czyli: (9) E c (t) = ma ω 0 (11) Rysunek 3: Zależność energii kinetycznej, potencjalnej i całkowitej od czasu oscylatora prostego dla ϕ = 0. 1. Składanie drgań, dudnienia Jeżeli rozpatrywany układ uczestniczy w kilku niezależnych ruchach harmonicznych, to jej drgania są superpozycją ruchów składowych. Drgania podlegają zasadzie superpozycji, więc jeżeli ruch jest wynikiem złożenia dwóch drgań, to wypadkowe wychylenie oscylatora jest sumą wychyleń związanych z drganiami składowymi. Jeżeli drgania składowe x 1 i x mają zbliżone (lecz inne) częstości kołowe, ale równe amplitudy: to wypadkowe drgania będą opisane funkcją: x 1 = Acos(ω 1 t) (1) x = Acos(ω t), (13) 3

x(t) = x 1 + x = A cos( ω 1 ω t)cos( ω 1 + ω t) (14) Drgania o takiej postaci nazywamy dudnieniami. ω 1+ω jest częstością drgań wypadkowych, a czynnik A cos( ω 1 ω ) jest funkcją określającą zmiany amplitudy, a więc ω 1 ω jest częstością z jaką zmienia się wartość amplitudy czyli częstością dudnień. Rysunek 4: Zielona linia przedstawia superpozycję drgań składowych (linia niebieska i czerwona) w postaci dudnień. 1.3 Oscylator harmoniczny tłumiony 1.3.1 Równanie oscylatora tłumionego Załóżmy, że układ opisany w 1.1 znajduje się w ośrodku o współczynniku oporu b. Wówczas na ciało działa siła oporu, której wartość jest wprost proporcjonalna do jego prędkości. Oznacza to, że wypadkowa siła działająca na ciało jest sumą siły sprężystości i siły oporu ośrodka. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona: ma(t) = kx(t) bv(t) (15) d x(t) dt + Γ dx(t) + ω dt 0x(t) = 0 (16) Gdzie Γ = b m nazywamy współczynnikiem tłumienia. W zależności od relacji między częstością kołową drgań własnych ω 0, a Γ otrzymamy różne rozwiązania takiego równania: Oscylator słabo tłumiony (4ω 0 Γ ): x(t) Ae Γ t cos(ω 0 t + ϕ) (17) 4

Oscylator silnie tłumiony (4ω 0 > Γ ): x(t) = Ae Γ t cos( ω 0 1 4 Γ t + ϕ) (18) Oscylator tłumiony krytycznie (4ω 0 Γ ): Oscylator prztłumiony (4ω 0 < Γ ): x(t) = Ae Γ t (19) Oscylator tłumiony krytycznie oraz przetłumiony nie poruszają się ruchem periodycznym. Drgania obserwujemy jedynie w przypadku gdy (4ω 0 > Γ ). Zależność wychylenia od czasu w takim przypadku przedstawia wykres: Rysunek 5: Zależność wychylenia od czasu oscylatora tłumionego dla ϕ = 0. 1.3. Logarytmiczny dekrement tłumienia Logarytmiczny dekrement tłumienia definiujemy jako logarytm naturalny stosunku kolejnych (następujących po sobie po czasie jednego okresu) amplitud: ale Λ = ln A n A n+1 (0) A n+1 = A n e Γ T (1) Zatem Logarytmiczny dekrement tłumienia możemy wyrazić wzorem: 5

1.4 Oscylator wymuszony. Rezonans Λ = Γ T () Jeżeli Jeżeli do układu masy na sprężynie przyłożymy zewnętrzną siłę zmienną, opisaną funkcją periodyczną, np.: rys F(t) = F 0 cos(ωt) (3) to siła wypadkowa będzie sumą siły sprężystości, siły oporu ośrodka i siły zewnętrznej: ma(t) = kx(t) bv(t), (4) a równanie 16 przyjmie postać: d x(t) dt + Γ dx(t) + ω dt 0 x(t) = F 0 cos(ωt) (5) m Rozwiązanie ogólne równania 5 jest dość złożone: x(t) = e Γ t [C 1 cos(ω 0 t) + C sin(ω 0 t)] + B 1 cos(ωt) + B sin(ωt), (6) gdzie B 1 i B wynoszą odpowiednio: B 1 = F 0 Γω m (ω 0 (7) ω ) + Γ ω B = F 0 ω 0 ω m (ω 0 (8) ω ) + Γ ω Stałe C 1 i C możemy wyznaczyć na podstawie zadanych warunków brzegowych. Funkcja 6 opisuje ruch złożony z dwóch ruchów drgających. Jeden z nich ma częstość drgań taką jak w przypadku oscylatora tłumionego, natomiast drugi ma częstość kołową równą częstości zmian siły zewnętrznej. Zauważmy, że pierwszy składnik równania 6 : e Γ t [C 1 cos(ω 0 t)+ C sin(ω 0 t)] jest identyczny z funkcją opisującą drgania tłumione. Oznacza to, że po pewnym czasie te drgania wygasają. Każdy oscylator wymuszony, po pewnym czasie poruszą się zgonie z funkcją x(t) = B 1 cos(ωt) + B sin(ωt) (9) 6

Taki rodzaj drgań wymuszonych nazywami drganiami stacjonarnymi. Zauważmy, że ich postać nie zależy od warunków początkowych, a niezależnie od wartości częstości drgań własnych, układ porusza się z częstością siły wymuszającej. Korzystając z zależności trygonometrycznych, funkcję 9 możemy zapisać następująco: gdzie: x(t) = A cos(ωt + ϕ), (30) A = F 0 (31) m (ω 0 ω ) + Γ ω Γω tan ϕ = ω ω (3) 0 Łatwo udowodnić, że amplituda drgań A przyjmuje największą wartość dla częstości kołowej ω o wartości: ω r = ω 0 Γ (33) Jest to tak zwana częstość rezonansowa. Rezonans jest to zjawisko zachodzące tylko dla drgań wymuszonych i polegające na tym, że dla wartości częstości siły wymuszającej równej ω r amplituda drgań osiąga wartość maksymalną. Zwróćmy uwagę, że jeżeli opór ośrodka jest bardzo mały (Γ 0), to ω r ω 0, a wartość amplitudy zmierza do nieskończoności. 1.5 Ruch falowy Fala jest to zaburzenie ośrodka rozchodzące się w przestrzeni ze stałą prędkością. W przypadku fal mechanicznych tym zaburzeniem mogą być drgania cząsteczek ośrodka (musi to być zatem ośrodek materialny), natomiast w przypadku fal elektro - magnetycznych tym zaburzeniem są drgania pola elektrycznego i pola magnetycznego (może to być ośrodek materialny lub próżnia). Należy pamiętać, że fala nie przenosi materii, natomiast transportuje energię. 1.5.1 Funkcja falowa Stwierdziliśmy, że fala jest przemieszczającym cię zaburzeniem, np. w postaci drgań cząsteczek ośrodka. Oznacza to, że jeżeli w chwili t = 0 7

cząsteczka w punkcie z ma wychylenie ψ(z, 0) = g(z ), to po upływie czasu t, cząsteczka w punkcie punkcie z = z + vt, gdzie v to prędkość fali, ma takie samo wychylenie: ψ(z, t) = ψ(z vt, 0) = g(z vt). Funkcja g może być zatem dowolną funkcją o argumencie (z vt), a jej postać decycuje o kształcie zaburzeń ośrodka. W naturze najczęściej spotykane są fale sinusoidalne, czyli np.: ψ(z, t) = Acosα(z vt + ϕ), (34) Gdzie A jest amplitudą, α jest pewną stałą, a ϕ jest przesunięciem fazowym fali. Prędkość fali jest stosunkiem długości fali do jej okresu: v = λ T. Ponieważ π λ = k, gdzie k jest liczbą falową, a π T = ω, prędkość fali wyraża wzór: a funkcja falowa ma postać: v = ω k, (35) ψ(z, t) = Acos(ωt kz + ϕ) (36) Prędkość 35 jest prędkością, z jaką przemieszczają się punkty będące w tej samej fazie drgań i nazywamy je prędkością fazową. Zależyona od rodzaju fali i od właściwości ośrodka, w którym się rozchodzi. Poniżej przedstawione są przykładowe wyrażenia na prędkość fazową w wybranych ośrodkach dla fal mechanicznych: fala poprzeczna w strunie o gęstości liniowej µ i naprężonej siłą T 0 : T 0 v = (37) µ fala podłużnana w pręcie o gęstości ρ i module Younga E: E v = ρ fala podłużna w gazie o ciśnieniu p i gęstości ρ: (38) v = i dla fal elektromagnetycznych: κp ρ (39) 8

w próżni: w ośrodku materialnym: v = v = 1 (40) µ 0 ε 0 1 (41) µ 0 µ r ε 0 ε r 1.5. Fale stojące Rozważmy falę poprzeczną ψ i (x, t) = sin(ωt kx), rozchodzącą się w strunie zamocowanej na obu końcach. Fala poruszająca się w prawo odbija się od prawego końca. Fala odbita od ośrodka gęstszego jest przesunięta w fazie o π i porusza się w lewo, więc opisuje ją funkcja ψ r(x, t) = sin(ωt + kx + π ). Fala wypadkowa jest zatem wynikiem nałożenia się dwóch fal: padającej ψ i (x, t) i odbitej ψ r (x, t): ψ(x, t) = ψ i (x, t) + ψ r (x, t) = A sin(ωt kx) + A sin(ωt + kx + π ) (4) Amplituda drgań cząsteczek struny zależy zatem od położenia, ale nie zależy od czasu : Falę stojącą przedstawia rysunek 6. ψ(x, t) = A sin(kx)cos(ωt) (43) 1.5.3 Efekt Dopplera Częstotliwość fali wysyłanej przez źródło ν 0 jest równa częstotliwości obserwowanej tylko wtedy, gdy źródło nie porusza się względem odbiornika. W przeciwnym wypadku częstotliwość fali obserwowanej ν wyraża się wzorem: v + / v o ν = ν 0, (44) v / + vź gdzie v o jest prędkością odbiornika ( + gdy odbiornik się zbliża do źródła, - gdy się oddala), v z jest prędkością źródła ( - gdy źródło się zbliża do odbiornika, + gdy się oddala). 9

Rysunek 6: Fala stojąca na strunie o długości l. Linia czerwona i niebieska przedstawiają położenie cząsteczek w chwilach odległych w czasie o T. Cząsteczki w punktach S (strzałki) drgają z maksymalną amplitudą, a cząsteczki w punktach W (węzły) mają amplitudę równą zero, czyli pozostają w spoczynku.λ oznacza długość fali biegnącej. 1.5.4 Natężenie fali Natężenie fali jest to średnia wartość energii przenoszonej przez falę w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni. W przypadku fali płaskiej natężenie fali nie zależy od odległości od źródła, natomiast dla fal wytworzonych przez punktowe źródło (fale kuliste), zależność natężenia od odległości r źródła wyraża wzór: I(r) = P 4πr, (45) gdzie P jest mocą źródła. Zauważmy, że dla źródła punkktowego zgonie z 45, ilość energii przechodzącej przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu maleje wraz z odległością od źródła (I 1 ). Energia jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy, więc A 1 r r. Wówczas funkcja falowa dla fal kulistych różni się od [36] i ma postać: ψ(z, t) = a cos(ωt kz + ϕ) (46) r Natężenie dźwięku oczywiście jest wielkością którą możemy ocenić za pomocą narządów słuchu. Ucho ludzkie działa jednak w taki sposób, że to, że jakiś dźwięk słyszymy dwa razy głośniej, w cale nie oznacza, że ten dźwięk ma dwa razy większego natężenie. Dlatego wprowadzono wielkość charakteryzującą dźwięk, której zmiany są proporcjonalne to tego, jak 10

ten dźwięk jest odbierany przez ludzki organizm. Tę wielkość nazywamy poziomem natężenia natężenia dźwięku i wyraża się wzorem : L = 10 log I I 0, (47) Gdzie I 0 jest natężeniem dźwięku, zwanym progiem słyszalności i wynosi 10 1 W m. 1.6 Fale elektromagnetyczne Fale elektromagnetyczne są to drgania pola elektrycznego i magnetyczne rozchodzące się w przestzeni. Drgania obu pól są zgodne w fazie, ale odbywają się w kierunkach prostopadłych do siebie i do kierunku propagacji fali, czyli są to fale poprzeczne. Opisując fale elktromagnetyczne zazwyczaj rozpatrujemy tylko zachowanie wektora pola elektrycznego, gdyż wektor indukcji magnetycznej pod wieloma względami zachowuje się identycznie. Z tego względu wektor pola elektrycznego nazywany jest wektorem świetlnym. 1.6.1 Polaryzacja fal elektromagnetycznych Polaryzacja fal jest to uporządkowanie drgań w konkretnym kierunku. Drgania ośrodka w przypadku fal podłużnych odbywają się zawsze w jednym kierunku - zgodnym z kierunkiem rozchodzenia się fali. Kierunek zaburzenia ośrodka fal poprzecznych jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali, a takich kierunków jest nieskończenie wiele. O polaryzacji możemy zatem mówić wyłącznie w przypadku fal poprzecznych. Najczęściej mamy do czynienia z polaryzacją fal elektromagnetycznych. Światło słoneczne lub światło ze zwykłej żarówki jest światłem niespolaryzowanym. To znaczy, że drgania wektora pola elektrycznego E odbywają się we wszystkich kierunkach. Istnieją różne sposoby polaryzacji, np: Za pomocą polaroidu - warstwy materiału, który przepuszcza wyłącznie światło spolaryzowane w jednym kierunku zwanym osią polaroidu, a reszta światła jest pochłaniana. Jeżeli światło spolaryzowane liniowo pada na polaroid, a kąt między płaszczyzną polaryzacji tego światła, a osią polaroidu wynosi γ, to natężenie światła wychodzącego z polaryzatora określa prawo Malusa: I(γ) = I 0 cos γ (48) 11

Poprzez odbicie - jeżeli światło pada na granicę ośrodków pod kątem zwanym kątem Brewstera odbiciu ulega tylko część światła spolaryzowanego prostopadle do płaszczyzny padania, pozostała część o takiej polaryzacji przechodzi do drugiego ośrodka. Światło spolaryzowane w płaszczyźnie padania w całości przechodzi przez granicę ośrodków. Korzystając z tego zjawiska tworzy się polaryzatory płytkowe. Są one zbudowane z szeregu płytek ustawionych pod kątem Brewstera do kierunku padania światła. Światło przechodząc przez kolejne granice ośrodów pomiędzy płytkami za każdym razem ulega odbiciu. Odbijane jest tylko światło spolaryzowane w kierunku prostopadłym do płaszczyzny padania, więc coraz mniejsza jego część przechodzi przez kolejne płytki. Światło spolaryzowane w płaszczyźnie padania przechodzi w całości przez wszystkie płytki. Po przejściu przez odpowiednią liczbę płytek, natężenia światła spolaryzowanego w kierunku prostopadłym do płaszczyzny padania jest znikome. Za pomocą polaryzatora płytkowego otrzymujemy więc światło spolaryzowane w kierunku płaszczyzy padania. Rysunek 7: Polaryzacja poprzez odbicie pod kątem Brewstera Zadania 1. Obliczyć częstość drgań ciężarka o masie m, zawieszonego na nieważkich sprężynach w sposób pokazany na rysunkach (1a,1b). Masy elementów łączących sprężyny pomijamy. Współczynniki sprężystości sprężyn wynoszą odpowiednio k 1, k i k 3. 1

Rysunek 8: Rysunek do zadania nr 1. Dwie kulki o jednakowych masach m zawieszono na dwóch niciach o długościach l 1 i l. Nici umocowano w taki sposób, że kulki wisząc na tym samym poziomie stykają się ze sobą. Kulkę wiszącą na nici o długości l 1 odchylono o mały kąt (<5 ) i puszczono swobodnie tak, że zderzyła się ona doskonale sprężyście z drugą kulką. Po jakim czasie nastąpi n -te zderzenie? Rysunek 9: Rysunek do zadania nr 3. Masie m, zawieszonej na wahadle matematycznym o długości l, nadano prędkość kątową Θ, taką, że amplituda nie przekroczyła 5. Znaleźć zależność wychylenia, prędkości i przyspieszenia masy m od czasu. Narysuj wykres zależności wychylenia i kinetycznej energii od czasu. Założyć brak oporu ośrodka. 4. Cząstka wykonuje drgania harmoniczne. W odległościach x 1 i x od 13

położenia równowagi jej prędkości wynoszą v 1 i v. Znaleźć amplitudę i częstość drgań cząstki. 5. Wahadło matematyczne na Ziemi wykonuje drgania z dekrementem logarytmicznym. Na planecie X logarytmiczny dekrement tłumienia drgań tego wahadła wynosi. Znaleźć przyspieszenie grawitacyjne planety X wiedząc, że współczynnik tłumienia jest taki sam jak na Ziemi. 6. Wahadło matematyczne na planecie X wykonuje drgania z dekrementem logarytmicznym. Jaki będzie logarytmiczny dekrement tłumienia drgań tego wahadła na Ziemi, jeżeli wiemy, że opór atmosfery ziemskiej jest n razy większy niż na planecie X, a przyspieszenie grawitacyjne planety X jest m razy większe. 7. Ile razy zmniejszy się energia całkowita drgań wahadła sekundowego po upływie t=5 min, jeżeli logarytmiczny dekrement tłumienia =0,031? Wahadło sekundowe ma okres drgań T=s). 8. Ruch wahadła sferycznego jest wynikiem superpozycji dwóch ruchów harmonicznych zachodzących wzdłuż prostych prostopadłych według równań: x(t) = a sin(ωt) i y(t) = b sin(ωt + π ). Znaleźć i wykreślić równanie toru ruchu wahadła (zawieszonej masy) y(x) oraz prędkość w chwili t. 9. Ruch cząstki jest superpozycją dwóch ruchów harmonicznych. Okresy drgań wynoszą T 1 i T. Wyznaczyć okres drgań wypadkowych i okres dudnień. 10. Ze złożenia dwóch drgań harmonicznych zachodzących wzdłuż jednego kierunku otrzymano równanie ruchu cząstki w postaci x(t) = a cos(αt) cos(βt), gdzie α > β. Znaleźć kołowe częstości drgań składowych, okres dudnień drgania wypadkowego oraz prędkość cząstki w chwili, kiedy amplituda drgania wypadkowego wynosi zero. 11. Nieważką sprężynę podzielono na dwie, tak, że jedna jest n razy dłuższa od drugiej. Następnie między sprężynami zamocowano ciało a końce sprężyn zamocowano do przeciwległych ścian. Obliczyć okres drgań ciała odchylonego od położenia równowagi w kierunku poziomym, jeśli wiadomo, że ciało zamocowane do krótszej sprężyny wykonuje drgania o częstotliwości f. Założyć brak tarcia. 14

1. Na dwóch sprężynach o stałej sprężystości k połączonych szeregowo zaczepiono masę M. Masa i sprężyna znajdują się w ośrodku o współczynniku oporu b (b < 4Mk). W chwili t=0 odchylono masę od położenia równowagi o odległość A i puszczono swobodnie. Znaleźć zależność wychylenia i prędkości masy M od czasu. Narysuj wykres zależności wychylenia i całkowitej energii mechanicznej od czasu. 13. Pralka przemysłowa umieszczona w przyczepie kempingowej powoduje ugięcie podłogi o x. Przy jakiej częstotliwości obrotów pralki powstanie niebezpieczeństwo rezonansu i zniszczenia przyczepy, jeżeli współczynnik tłumienia drgań w takim układzie wynosi γ. Przyjąć, że masa pralki jest znacznie większa od masy podłogi. g ω r = x Γ (49) 14. Obliczyć średnią energię kinetyczną, średnią energię potencjalną siły sprężystości oraz średnią energię całkowitą ciała o masie m wykonującego stacjonarne drgania wymuszone o równaniu x(t) = A cos(ωt + ϕ). Częstość drgań własnych wynosi ω 0. 15. Struna o masie m, zamocowana na obu końcach, drga z częstotliwością równą drugiej harmonicznej, przy której maksymalne wychylenia struny wynosi A. Znaleźć średnią energię kinetyczną struny. 16. W pręcie o długości L, złożonym ze stopu o składzie zmieniającym się wraz z długością, rozchodzi się fala podłużna. Na jednym końcu pręt ma gęstość ρ 1 i moduł Younga E 1, a na drugim ρ i E. Moduł Younga zmienia się liniowo, natomiast gęstość rośnie proporcjonalnie do kwadratu długości. Oblicz prędkość fali w punkcie x = L 4. Oblicz czas, w którym fala przebędzie całą długość pręta, w przypadku, gdy gęstość jest stała i wynosi ρ. 17. Nietoperz przelatując z prędkością v n z jednego drzewa na drugie, wysyła jednocześnie sygnał ultradźwiękowy do przodu i do tyłu o częstotliwości ν 0. Obliczyć częstość sygnału odbieranego przez nietoperza i częstość dudnień. 18. Na osi x znajduje się odbiornik i źródło dźwięku o częstotliwości f 0. Źródło porusza się ruchem harmonicznym wzdłuż osi x z częstością kołową ω i amplitudą a. Przy jakiej wartości ω szerokość przedziału częstotliwości rejestrowanego przez odbiornik będzie równa δ f. Prędkość dźwięku wynosi v d. 15

19. Punktowe źródło dźwięku znajduje się na prostej prostopadłej do powierzchni ograniczonej przez okrąg o promieniu R oraz jego średnicę i przechodzącej przez jego środek O. Odległość między środkiem okręgu, a źródłem wynosi l. Znaleźć wartość strumienia energii przechodzącej przez tę powierzchnię, jeżeli w punkcie O natężenie fali wynosi I 0. 0. W układzie złożonym z soczewki płasko-wypukłej, stykającej się stroną wypukłą z płytką szklaną, można obserwować prążki interferencyjne w kształcie koncentrycznych okręgów zwanych pierścieniami Newtona. Wyznaczyć promień n-tego ciemnego i n-tego jasnego pierścienia obserwowanych w świetle przechodzącym i odbitym prostopadle do płaszczyzny płytki. 1. Obliczyć grubość warstwy przeciwodblaskowej, z materiału o współczynniku załamania n na krzemie o współczynniku załamania n Si dla światła o długości fali λ. Rozpatrzyć przypadek prostopadłego padania światła oraz określić długości fal, dla których warstwa ta będzie odblaskowa.. Polaryzator płytkowy składa się ze stosu k- płytek ustawionych pod kątem Brewstera do kierunku wiązki światła. Określić najmniejszą liczbę płytek niezbędną do tego, aby światło, przechodząc przez nie, zostało w P=90% spolaryzowane. Przyjąć, że przy każdym odbiciu od powierzchni płytek z wiązki światła przechodzącego ubywa p=8% światła spolaryzowanego i pominąć pochłanianie. 3. Równoległą wiązkę światła słonecznego skierowano na układ trzech polaryzatorów, w którym kierunek polaryzacji pierwszego polaryzatora jest prostopadły do kierunku polaryzatora ostatniego i tworzy kąt z kierunkiem drugiego równy =30. Znaleźć zmianę natężenia światła przy przejściu przez taki układ polaryzatorów. Pominąć straty energii związane z odbiciami i pochłanianiem. Przy jakim ustawieniu środkowego polaryzatora układ ten może przepuścić najwięcej światła. 4. Znaleźć grubość ćwierćfalówki z materiału o zwyczajnym współczynniku załamania 1,66 i nadzwyczajnym 1,49 dla światła o długości 500 nm. Określić warunki polaryzacji eliptycznej i kołowej. 5. Światło naturalne pada na układ złożony z trzech ustawionych kolejno polaroidów, przy czym oś główna środkowego polaroidu tworzy kąt =60 z osiami dwóch pozostałych polaroidów. Współczynnik 16

przepuszczania liniowo spolaryzowanego światła jest dla każdego z tych polaroidów równy t=0,81. Ile razy zmniejszy się natężenie światła po przejściu przez ten układ? 6. Siatka dyfrakcyjna jest oświetlona prostopadle wiązką światła białego. Czy widzialne widmo trzeciego rzędu może zachodzić na widmo rzędu czwartego? Zakres długości fal widzialnego widma światła białego przyjąć 4000nm 7000nm. 3 Rozwiązania do zadań 1. Częstość drgań w takim układzie wyraża się wzorem k ω = m (50) Należy więc znaleźć zastępczy współczynnik sprężystości układu sprężyn. Zgodnie z prawem Hooke a, wartość siły odkształcającej sprężynę (tu układ sprężyn) ma wartość, gdzie x jest odkształceniem sprężyny. a. F = kx (51) Z I zasady dynamiki Newtona wynika, że w momencie, gdy sprężyna jest odkształcona przez siłę F (masa m się nie porusza), siła F jest równoważona przez sumę sił sprężystości poszczególnych sprężyn, zatem: F = F 1 + F + F 3 (5) Ponieważ każda sprężyna zostaje odkształcona o tę samą wartość x, możemy zapisać: kx = k 1 x + k x + k 3 x (53) k = k 1 + k + k 3 (54) W łączeniu równoległym sprężyn, zasępczy współczynnik sprężystości układu sprężyn jest zatem sumą wsp. spr. poszczególnych sprężyn. k1 +k +k3 Odp. ω = m 17

b. Każda sprężyna jest odkształcana taką samą siłą F, zatem F = F 1 = F = F 3. kx = k 1 x 1 = k x = k 3 x 3 (55) Całkowite odkształcenie x jest sumą odkształceń poszczególnych sprężyn: Z powyższych równań otrzymujemy: x = x 1 + x + x 3 (56) 1 k = 1 + 1 + 1 (57) k 1 k k 3 Częstość drgań wynosi zatem ω = c. k 1 k k 3 (k 1 +k +k 3 )m Współczynnik sprężystości układu dwóch sprężyn połączonych równolegle wynosi: k 3 = k + k 3 (58) Układ odpowiada więc szeregowemu połączeniu sprężyn o współczynnikach k 3 i k 1, czyli zastępczy wsp. spr. układu obliczamy ze wzoru: Częstość drgań: ω = k 1 k 3 (k 1 +k 3 )m 1 k = 1 k 1 + 1 k 3 (59). Okresy wahadeł wynoszą T 1 = π l 1 /g i T = π l /g. Gdy pierwsza kulka zastała puszczona, do momentu zderzenia przebyła drogę równą 1 4 drogi odpowiadającej pełnej oscylacji. Ponieważ zderzenia kulek są doskonale sprężyste, na podstawie zasad zachowania pędu i energii można wykazać, że w momencie zderzenia kulka o niezerowej prędkości przekazuje cały swój pęd drugiej kulce, czyli sama się zatrzymuje. Następnie kulka druga wykonuje pół pełnego drgania i znów zderza się z pierwszą kulką będącą w spoczynku, przekazując jej cały swój pęd. N-te zderzenie nastąpi po czasie t = 1 4 T 1 + n 4 T 1 + n 4 T (60) 18

dla parzystej liczby zderzeń i dla nieparzystej liczby zderzeń. t = 1 4 T 1 + n 1 4 T 1 + n 1 4 T (61) 3. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wiemy, że wypadkowa siła działająca na ciało o masie m wynosi F = ma, gdzie a to przyspieszenie tego ciała. Przyspieszenie masy m jest drugą pochodną wychylenia x(t) z położenia równowagi po czasie: a = d x(t) dt (6) Z rysunku wynika, że wypadkowa siła, zwana siłą kierującą ma wartość F = mg sin ϕ(t). Ponieważ kąt ϕ jest bardzo mały, można zastosować przybliżenie: sin ϕ(t) = ϕ(t). Podstawiając wyrażenia na siłę, przyspieszenie i ϕ(t) = x(t) l Oznaczamy ω 0 = g l., otrzymujemy równanie: m d x(t) dt = mg x(t) l (63) d x(t) dt + ω 0x(t) = 0 (64) Jest to równanie oscylatora harmonicznego prostego. Jest to jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Rozwiązanie ogólne równania tego typu jest kombinacją liniową dwóch (ta liczba odpowiada rzędowi równania) liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych. Rozwiązaniem szczególnym nazywamy dowolną funkcję spełniającą to równanie. Takich funkcji jest nieskończenie wiele, ale tylko jedna odpowiada zadanym warunkom początkowym. Aby rozwiązać takie równanie, należy rozwiązać równanie charakterystyczne powyższego równania różniczkowego. Równanie charakterystyczne otrzymamy podstawiając do równania różniczkowego jedno z jego rozwiązań postaci x i (t) = e αt. Łatwo się domyślić, że funkcja wykładnicza musi spełniać równanie różniczkowe, w którym suma wielokrotności tej funkcji oraz wielokrotności jej drugiej pochodnej musi dać zero (wynika to z faktu, iż kolejne pochodne funkcji wykładniczej są właśnie jej wielokrotnościami). Po podstawieniu otrzymamy: 19

α e αt + ω 0 eαt = 0 (65) czyli: α + ω 0 = 0 (66) Jest to równanie kwadratowe, dla którego δ < 0, zatem jego pierwiastki są liczbami zespolonymi: α 1 = iω 0 α = iω 0 (67) Otrzymaliśmy zatem dwie wartości α, co nam daje dwa liniowo niezależne rozwiązania szczególne: x 1 (t) = e iω 0t x (t) = e iω 0t (68) Rozwiązanie ogólne równania 64, jako kombinacja liniowa x 1 (t) i x (t) ma postać: x(t) = C 1 e iω 0t + C e iω 0t (69) gdzie C 1 i C są dowolnymi stałymi. Korzystając ze wzorów Eulera: e iω0t = cos ω 0 t + i sin ω 0 te iω0t = cos ω 0 t i sin ω 0 t (70) Otrzymamy rozwiązanie ogólne w postaci trygonometrycznej: x(t) = B 1 cos ω 0 t + B sin ω 0 t (71) gdzie B 1 = C 1 + C i B = C 1 ic Zależność prędkości od czasu jest więc pierwszą pochodną po czasie funkcji x(t): v(t) = dx(t) = B 1 ω 0 sin ω 0 t + B ω 0 cos ω 0 t (7) dt Do rozwiązania ogólnego podstawiamy warunki początkowe określone w zadaniu (wychylenie i prędkość w chwili t = 0), aby wyznaczyć stałe B 1 i B : 0

x(0) = 0 (73) v(0) = lθ (74) i otrzymujemy : x(0) = B 1 cos ω 0 0 + B sin ω 0 0 = B 1 = 0 (75) v(0) = B 1 ω 0 sin ω 0 0 + B ω 0 cos ω 0 0 = B ω 0 = lθ (76) Rozwiązanie szczególne równania 64, czyli zależność wychylenia masy m z położenia równowagi ma postać: Wykres!! x(t) = lθ ω 0 sin ω 0 t (77) Prędkość i przyspieszenie są opisane funkcjami: v(t) = lθ cos ω 0 ta(t) = lθω 0 sin ω 0 t (78) Zależność wartości energii kinetycznej oscylatora od czasu opisuje funkcja: WYKRES!! E k (t) = mv = ml θ cos ω 0 t (79) 4. Cząstka wykonuje drgania harmoniczne, więc jej wychylenie z położenia równowagi opisuje funkcja x(t) = A cos ω 0 t + ϕ, a prędkość funkcja v(t) = Aω 0 sin ω 0 t + ϕ. Otrzymujemy więc układ czterech równań dla wychyleń i prędkości w chwilach t 1 i t : x 1 = A cos ω 0 t 1 + ϕx = A cos ω 0 t + ϕ (80) v 1 = Aω 0 sin ω 0 t 1 + ϕv = Aω 0 sin ω 0 t + ϕ (81) 1

Korzystając z jedynki trygonometrycznej, otrzymamy: więc: 5. Odp. x 1 A + v 1 A ω 0 A = = 1 x A + v A ω 0 v 1 x v x 1 v 1 ω 0 = v 1 v v x x 1 = 1 (8) (83) g x = 4π + Λ x Λ 4π + Λ g (84) Λ x 6. Odp. 4π mn Λ x Λ z = 4π + (1 mn )Λ x 7. Odp. Energia się zmniejszy e Λ T t razy. 8. Odp. x (85) a + y b = 1 (86) Torem ruchu jest zatem elipsa. 9. Odp. 10. Odp. T w = T 1T T 1 + T T d = T 1T T 1 T (87) ω 1 = α + β (88) ω = α β (89) T d = π (90) β v(t) = π (91) β 11. Z drugiej zasady dynamiki: ma(t) = k 1 x(t) k x(t) (9) d x(t) dt + (k 1 + k )x(t) = 0 (93) powyższe równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego o częstości kołowej drgań ω:

ω = k 1 + k m Współczynnik sprężystości krótszej sprężyny wynosi k 1 = 4π f m. (94) Dłuższa sprężyna ma współczynnik sprężystości k = k 1 n (patrz rozwiązanie zadania 1.). Ponieważ ω = π T, to okres drgań wynosi: T = f n + 1 n 1. Sprężyny zostały połączone szeregowo, zatem (patrz zadanie 1) zastępczy współczynnik sprężystości układu wynosi: (95) K = k (96) Z drugiej zasady dynamiki Newtona F = Ma, gdzie F to siła wypadkowa dzialająca na ciało, a to przyspieszenie ciała. Przyspieszenie masy M jest drugą pochodną wychylenia x(t) z położenia równowagi po czasie: a(t) = d x(t) dt (97) Jak widać na rysunku siła wypadkowa jest sumą siły sprężystości i siły oporu: Oznaczamy ω 0 = Ma(t) = M k bv(t) (98) k M i Γ = b m 3

d x(t) dt + Γ dx(t) + ω dt 0x(t) = 0 (99) Jest to równanie oscylatora harmonicznego tłumionego. Jest to jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.rozwiązujemy je tą samą metodą, co w przypadku równaia oscylatora harmonicznego prostego czyli tworzymy równianie charakterystyczne: α + Γα + ω 0 = 0 (100) δ = Γ 4ω 0 (101) Jak widać, zależnie od wartości stałych Γ i ω 0 możemy otrzymać δ < 0, δ = 0 lub δ > 0. Wszystkie trzy przypadki należy rozważyć osobno, Jednak w treści zadania podano warunek (b < 4Mk), który jest równoważny z Γ < 4ω.W takim przypadku δ < 0 i mamy dwa 0 rozwiązania równiania 101. α 1 = Γ + i ω 0 Γ 4 α = Γ i ω 0 Γ 4 (10) Stosujemy podstawienie ω = ω 0 Γ 4, gdzie ω jest częstością kołową drgań tłumionych. Rozwiązanie ogólne równania 99 ma zatem postać: gdzie C 1 i C są dowolnymi stałymi. x(t) = e Γ [C1 e iωt + C e iωt ] (103) Korzystając ze wzorów Eulera otrzymujemy rozwiązanie ogólne w postaci trygonometrycznej: gdzie B 1 = C 1 + C i B = C 1 ic x(t) = e Γ [B1 cos ω 0 t + B sin ω 0 t] (104) Zależność prędkości od czasu jest pierwszą pochodną po czasie funkcji x(t): v(t) = dx(t) dt = B 1 ω 0 sin ω 0 t + B ω 0 cos ω 0 t (105) Aby wyznaczyć stałe B 1 i B, wprowadzamy warunki początkowe: 4

x(0) = A (106) v(0) = 0 (107) i otrzymujemy : x(0) = B 1 cos ω 0 0 + B sin ω 0 0 = B 1 = 0 (108) v(0) = B 1 ω 0 sin ω 0 0 + B ω 0 cos ω 0 0 = B ω 0 = lθ (109) Rozwiązanie szczególne równania 64, czyli zależność wychylenia masy m z położenia równowagi ma postać: x(t) = lθ ω 0 sin ω 0 t (110) Prędkość i przyspieszenie są opisane funkcjami: 13. v(t) = lθ cos ω 0 ta(t) = lθω 0 sin ω 0 t (111) Zależność wartości energii kinetycznej oscylatora od czasu opisuje funkcja: E k (t) = mv = ml θ cos ω 0 t g ω r = x Γ 14. Zależność wychylenia ciała od czasu wynosi x(t) = Acos(ωt + ϕ). (11) (113) Średnią energię potencjalną drgań wyznaczamy z definicji wartości średniej: Ē p = 1 Ē p = t+t t t+t t 1 kx (t)dt t+t t dt mω 0 A cos (ωt + ϕ)(t)dt T (114) (115) 5

Ē p = mω 0 A 4 Podobnie wyznaczamy średnią wartość energii kinetycznej: t+t 1 t Ē k = mv (t)dt t+t dt t Prędkość v(t) obliczny jako pochodną x(t) po czasie: (116) (117) v(t) = Aω sin(ωt + ϕ) (118) zatem: Ē k = mω A 4 (119) Srednia wartość calkowitej energii jest równa sumie średniej energii kinetycznej i średniej energii potencjalnej: Ē = m(ω 0 + ω )A 4 (10) 6